IDENTIFIKASI KESALAHAN MENYELESAIKAN KALKULUS LANJUT MAHASISWA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOREJO

(1)

IDENTIFIKASI KESALAHAN MENYELESAIKAN KALKULUS LANJUT MAHASISWA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PURWOREJO Erni Puji Astuti

Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Purworejo

email: 3rniee.ast84@gmail.com

Abstract

This research purpose is to know kind of errors in solving the problems in advanced calculus related to: 1) pre-calculus; 2) the function of two variables, partial derivatives; 3) the integral function of two variables; 4) drawing D area, as the most error found in solving the problem; 5) pre-calculus; 6) partial derivative of the function of two variables; 7) the integral function of two variables; and 8) criteria for mastery in problem-solving information calculus. This research was conducted in 2006 with the subject throughout the third semester students of Mathematics Education of Muhammadiyah University of Purworejo, Academic year 2005/2006 with 78 students. The technique to collect the data was test method with descriptive persentative analysis. The results showed that the average errors in solving the problems in advanced calculus related to: 1) pre-calculus was 10.21% which was completely done; 2) partial derivative of the function of two variables was 36.45% which was done ; 3) the integral function of two variables was 20.35% which was done; 4) drawing of D was 45.90% which was almost done; 5) completing system equation fy(x,y) = 0 was 34.62%; 6) partial derivative of error function of two variables in determining the results of the partial derivative of x with the chain rule in the standard form f(u) = lnn u was 90.74%; 7) determining the outcome of integration into the y was 28.80%, and 8) the average error in the solution of problems of the advanced calculus middle exam and final exam was 28.23% which was completely done.

Kata kunci : jenis kesalahan, kalkulus lanjut, tuntas PENDAHULUAN

Perguruan tinggi sebagai lembaga pendidikan tinggi dalam proses belajar mengajarnya dikenal dengan istilah perkuliahan. Dalam proses perkuliahan, dosen berperan menyampaikan dan menjelaskan materi, agar dapat dipahami dan dikuasai oleh mahasiswa. Namun perlu disadari bahwa kemampuan setiap mahasiswa itu berbeda-beda. Hal itu dapat dilihat dari kemampuan mereka dalam menyelesaikan soal. Dari hasil penyelesaian soal tersebut dapat diketahui apakah mahasiswa itu mampu menyelesaikan soal dengan benar atau mereka melakukan kesalahan dalam menyelesaikan soal tersebut.

Kesalahan-kesalahan yang dilakukan oleh mahasiswa dalam menyelesaikan soal, bermula dari kesalahan-kesalahan ketika mereka duduk di bangku SMA. Kesalahan-kesalahan yang dilakukan oleh mahasiswa sudah selayaknya untuk diidentifikasi, terutama pada soal yang persentase kesalahannya paling banyak.

(2)

Hal ini menunjukkan bahwa soal tersebut adalah soal yang sulit atau materi tersebut sulit dikuasai oleh mahasiswa. Dengan mengetahui jenis kesalahan yang dilakukan oleh mahasiswa maka dapat dicari alternatif pemecahannya agar mahasiswa tidak melakukan kesalahan apabila menjumpai soal yang sejenis, sehingga diharapkan materi tersebut dapat dikuasai oleh mahasiswa. Jika suatu kesalahan sudah diperbaiki maka kesalahan tersebut tidak akan berlanjut ke materi berikutnya yang berhubungan dengan materi kalkulus lanjut. Materi kalkulus lanjut ini merupakan kelanjutan dari materi pra kalkulus, kalkulus I dan kalkulus II. Materi ini akan lebih diperdalam lagi pada mata kuliah dengan prasyarat kalkulus lanjut, misalnya statistik matematika.

Penelitian ini membahas tentang identifikasi kesalahan dalam menyelesaikan soal ujian tengah semester dan ujian akhir semester matakuliah kalkulus lanjut. Berdasarkan latar belakang masalah di atas akan dirumuskan permasalahan penelitian, yaitu: 1) sejauh mana kemampuan dalam menyelesaikan soal kalkulus lanjut pada mahasiswa semester III program studi Pendidikan Matematika; 2) apa saja kemungkinan kesalahan yang dilakukan dalam menyelesaikan soal kalkulus lanjut pada mahasiswa semester III program studi Pendidikan Matematika; 3) apakah kesalahan tersebut disebabkan mereka kurang menguasai materi mata kuliah pra kalkulus, kalkulus I dan kalkulus II; 4) jenis kesalahan apa yang paling banyak dilakukan dalam menyelesaikan soal kalkulus lanjut pada mahasiswa semester III program studi Pendidikan Matematika.

KAJIAN LITERATUR

Kesalahan dalam menyelesaikan soal matematika bersumber dari masalah kesulitan belajar matematika. Masalah kesulitan belajar yang sering dialami oleh para peserta didik merupakan masalah penting yang perlu mendapat perhatian yang serius. Dikatakan demikian, karena kesulitan belajar yang dialami oleh para peserta didik akan membawa dampak negatif.

Terdapat tiga jenis kesulitan belajar akademik, diantaranya kesulitan belajar matematika, Sedangkan beberapa ciri tingkah laku yang merupakan manifestasi dari gejala kesulitan belajar adalah: 1) menunjukkan hasil belajar yang rendah atau di bawah rata-rata nilai yang dicapai oleh kelompok kelas; 2) hasil yang dicapai tidak seimbang dengan usaha yang dilakukan; 3) lambat dalam melakukan tugas-tugas kegiatan belajar, ia selalu tertinggal dari kawan-kawannya dalam menyelesaikan tugas sesuai dengan waktu yang tersedia; 4) menunjukkan sikap-sikap yang kurang wajar, seperti acuh tak acuh, menentang, berpura-pura, dusta; 5) menunjukkan tingkah laku yang berkelainan, seperti datang terlambat, tidak mengerjakan tugas, mengasingkan diri, tersisih, tidak mau bekerjasama; 6) menunjukkan gejala emosional yang kurang wajar, seperti pemurung, mudah tersinggung, pemarah, tidak atau kurang gembira dalam menghadapi situasi tertentu, misalnya dalam menghadapi nilai rendah tidak menunjukkan sedih atau menyesal, dan sebagainya. (Hallen, 2005)

Menurut Munawir (2003) matematika perlu dipelajari berdasarkan berbagai alasan antara lain sebagai berikut: 1) penalaran dari tata urutan materi ilmunya dapat berfungsi sebagai sarana berpikir yang jelas dan logis; 2) pengetahuan dan ketermpilan ilmunya dapat berfungsi sebagai sarana untuk mempelajari berbagai bidang studi atau mata pelajaran lain; 3) pengetahuan dan

(3)

keterampilan ilmunya dapat berfungsi sebagai sarana komunikasi yang kuat, ringkas dan jelas; 4) Penalaran yang terkandung di dalamnya mampu berfungsi sebagai sarana untuk memecahkan masalah kehidupan sehari-hari; 5) pengetahuan dan keterampilan ilmunya memungkinkan anak untuk mengembangkan kreativitas; 6) memberikan kepuasan terhadap usaha pemecahan masalah yang menantang; 7) kesalahan dalam menyelesaikan soal matematika bermacam-macam. Sedangkan menurut Polya dalam (Herman, 2005) pemecahan masalah didefinisikan sebagai usaha mencari jalan keluar dari suatu kesulitan, mencapai suatu tujuan yang tidak dengan segera dapat dicapai. Karena itu pemecahan masalah merupakan suatu tingkat aktivitas intelektual yang tinggi. Jenis belajar ini merupakan suatu proses psikologis yang tidak hanya sekedar melibatkan aplikasi dalil-dalil atau teorema-teorema yang dipelajari.

Dalam menyelesaikan masalah terdapat empat langkah yang dapat dilakukan, yaitu: 1) memahami permasalahan yang akan diselesaikan; 2) membuat perencanaan berkaitan dengan penyelesaian masalah; 3) melakukan penyelesaian masalah dan 4) melihat kembali penyelesaian yang sudah dikerjakan Polya dalam (Herman, 2005)

Beberapa penelitian yang mendukung perlunya diadakan penelitian ini adalah penelitian tentang analisis kesalahan penyelesaian soal persamaan differensial biasa orde satu pada mahasiswa semester V Universitas Muhammadiyah Purworejo yang hasilnya menunjukkan bahwa kebanyakan mahasiswa tidak menguasai konsep-konsep yang merupakan prasyarat bagi materi persamaan differensial, seperti turunan dan integral, dengan jumlah lebih dari 40% (Siti, 2002)

Penelitian yang senada dengan kesalahan adalah penelitian tentang jenis-jenis kesulitan dalam menyelesaikan soal cerita yang berkaitan dengan pokok bahasan peluang pada siswa kelas II semester I SMU Pancasila Purworejo tahun pelajaran 2002/2003. Dari hasil penelitian ini ditemukan jenis-jenis kesulitan yang dialami siswa dalam menyelesaikan soal cerita yang berkaitan dengan pokok bahasan peluang adalah: 1) kesulitan mengingat rumus sebanyak 46,3%; 2) kesulitan menggunakan rumus sebanyak 22,5%; 3) kesulitan menyelesaikan operasi hitung sebanyak 33,4%; 4) kesalahan menentukan ruang sampel sebanyak 56,7%; e) kesalahan menentukan suatu kejadian sebanyak 53,6%; dan 5) kesalahan mengubah soal cerita ke dalam model matematika yang menggunakan rumus kombinasi teknik hitung dan peluang sebanyak 90,0%. Sedangkan rata-rata jenis kesalahan sebanyak 50,4% (Atika, 2003).

METODE PENELITIAN

Penelitian tentang identifikasi kesalahan dalam menyelesaikan soal Kalkulus Lanjut mahasiswa semester III Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Purworejo ini dilaksanakan selama 11 bulan dari bulan November 2005 sampai dengan bulan Agustus 2006. Kesalahan-kesalahan yang dimaksud dalam kalkulus lanjut berasal dari materi pra kalkulus, turunan fungsi dua peubah di kalkulus I, integral fungsi dua peubah di kalkulus II dan di kalkulus lanjut serta gambar daerah D di kalkulus II. Kesalahan-kesalahan yang berasal dari pra kalkulus berkaitan dengan matematika SMA program IPA.

(4)

Subjek dalam penelitian ini adalah semua mahasiswa semester III Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Purworejo tahun akademik 2005/2006. Data diperoleh melalui tes yang mengacu pada latihan-latihan Kalkulus Lanjut di buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2 oleh Edwin J. Purcell Dale Varberg yaitu pada soal-soal 15.2 nomor 3,7, 8, 10, 11, 12, 14, dan 15; soal-soal 15.8 nomor 2; soal-soal 16.2 nomor 3; dan soal-soal 16.3 nomor 13, 14, 21, 26, dan 35. Selain itu juga mengacu pada latihan-latihan Kalkulus Lanjut di buku Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik jilid 3 oleh Louis Leithold yaitu pada latihan 15.4 nomor 3, 6, 15, 18, dan 26; latihan 16.3 nomor 14, 16, dan 22; dan latihan 17.2 nomor 9, 25, dan 26.

Soal–soal yang menjadi instrument dalam penelitian ini dinyatakan dalam bentuk tes uraian, hal ini dimaksudkan untuk mendapatkan informasi tentang langkah-langkah dalam menyelesaikan soal. Dari jawaban tes tersebut dilakukan analisis untuk mengetahui jenis kesalahan yang dilakukan dalam menyelesaikan soal kalkulus lanjut tentang turunan parsial fungsi dua peubah, penggunaan turunan fungsi dua peubah dan integral fungsi dua peubah. Sedangkan analisis data yang digunakan dalam penelitian ini adalah deskriptif persentase karena peneliti ingin mengetahui persentase jenis kesalahan tanpa merumuskan hipotesis PEMBAHASAN

Dari hasil pengolahan data diperoleh jenis kesalahan dari masing-masing sub pokok bahasan. Terdapat tiga sub pokok bahasan yang penulis teliti yaitu turunan parsial fungsi dua peubah, penggunaan turunan fungsi dua peubah dan integral fungsi dua peubah. Jenis kesalahan tersebut diperoleh dengan cara menggabungkan kesalahan-kesalahan yang sejenis dari setiap soal.

Untuk mengetahui tingkat ketuntasan mahasiswa dalam menyelesaikan soal, perlu dicari persentasenya. Persentase dari jenis kesalahan dapat dilihat pada pengolahan data di atas. Dari setiap jenis kesalahan yang ada pada pengolahan data mempunyai persentase yang berbeda-beda. Jenis kesalahan yang paling banyak dilakukan oleh mahasiswa adalah kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = lnn u.

Persentase dari kesalahan itu sebesar 90,74%. Sedangkan jenis kesalahan yang jarang dilakukan adalah kesalahan dalam penulisan simbol turunan parsial ke-dua ke-x, kesalahan dalam penulisan simbol turunan parsial kedua ke-y, dan kesalahan dalam penulisan simbol turunan parsial kedua ke-x kemudian ke-y. Ketiga jenis kesalahan tersebut mempunyai persentase yang sama yaitu sebesar 1,28%.

Pada jenis kesalahan yang persentasenya > 20% terdapat 45 jenis kesalahan, sedangkan untuk jenis kesalahan yang persentasenya ≤ 20% terdapat 40 jenis kesalahan. Pada pembahasan data berikut ini akan dibahas jenis kesalahan yang persentasenya >20%. Dari 45 jenis kesalahan tersebut akan dibahas mulai dari kesalahan yang persentasenya paling besar sampai dengan kesalahan yang persentasenya paling rendah.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = lnn u diperoleh persentase sebesar 90,74%. Berikut ini

(5)

Soal : f



x,y



ln3



2x3y2



Responden kebanyakan menjawab : ₂ 3 2 3 y x  x 

_

₂_{x }₃_y2

_

Seharusnya sebagai berikut : 2

ln 3



2x 3y2



x  

_

2

_

3 2 ln x  y = 2 ln 3



2x 3y2



₂ 3 2 1 y x  x 

_

2

_

3 2x  y

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep dalil rantai dengan benar. Selain itu mereka tidak mengetahui turunan dari lnn u dengan u sebagai fungsi.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-y dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = lnn u diperoleh persentase sebesar 90,57%.

Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal : f



x,y



ln3



2x3y2



Responden kebanyakan menjawab : ₂ 3 2 3 y x  y 



2



3 2 ln x  y

Seharusnya sebagai berikut : 2

ln 3



2x 3y2



y   _ln

_

₂_{x }₃_y2

_

: 2 ln 3



2x 3y2



₂ 3 2 1 y x  y 

_

2

_

3 2x  y

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep dalil rantai dengan benar. Selain itu mereka tidak mengetahui turunan dari lnn u dengan u sebagai fungsi.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = tan u diperoleh persentase sebesar 78,95%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal : f



x,y



2tan



2x2xy3



Responden kebanyakan menjawab : 2 arc tan



2x 2 xy3



x



_

2 3

_

2x xy

Seharusnya sebagai berikut : 2sec2



2x 2 xy3



x



_

2 3

_

2x xy

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak mengetahui turunan dari tan u dengan u sebagai fungsi. Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-y dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = tan u diperoleh persentase sebesar 77,19%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal : f



x,y



2tan



2x2xy3



Responden kebanyakan menjawab : 2 arc tan



2x 2 xy3



y



_

2 3

_

2x xy

Seharusnya sebagai berikut : 2sec2



2x 2 xy3



y

 



2 3



2x xy

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak mengetahui turunan dari tan u dengan u sebagai fungsi. Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x

(6)

dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = ln u diperoleh persentase sebesar 59,70%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal : f



x,y



ln x4 y4

Responden kebanyakan menjawab :





2 1 4 4 1 y x  x 

_

4 4

_

y x 

Seharusnya sebagai berikut :





2 1 4 4 1 y x  x 

_

_

2 1 4 4 y x 

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep dalil rantai dengan benar. Selain itu mereka tidak mengetahui turunan dari ln u dengan u sebagai fungsi.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku y =

v u

dengan u sebagai fungsi sinus diperoleh persentase sebesar 59,70%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan :

Soal :





xy xy y x f . sin

Responden kebanyakan menjawab : cos . ₂ sin₂ .

y x y xy xy y 

 

2 . sin cos xy y xy xy x xy xy    =

 

2 sin . cos xy xy y y xy xy 

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep dalil rantai dengan benar. Selain itu mereka tidak mengetahui turunan dari sin xy. Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku y =

v u

dengan u sebagai fungsi cosinus diperoleh persentase sebesar 59,32%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal :





₂ ₃ 2 cos , y x xy y x f 

Responden kebanyakan menjawab : sin y2.x2y3 2cosxy2.x3y3



₂ ₃



2 2 3 2 2 3 2 cos 2 sin y x xy xy y xy y x  

Kesalahan tersebut disebabkan mereka salah dalam menggunakan rumus turunan untuk

v u

y  . Selain itu mereka tidak menguasai konsep dalil rantai dengan benar dan tidak mengetahui turunan dari cos xy2.

(7)

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-y dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = ln u diperoleh persentase sebesar 57,81%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal :_f



_x_,_y



__ln _x4 __y4





2 1 4 4 1 y x  y 

_

4 4

_

y x 





2 1 4 4 1 y x  y 

_

_

2 1 4 4 _y x 

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep dalil rantai yang benar. Selain itu mereka tidak mengetahui turunan dari ln u dengan u sebagai fungsi.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-y dengan aturan rantai dalam bentuk baku y =

v u

dengan u sebagai fungsi sinus diperoleh persentase sebesar 56,25 %.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-y dengan aturan rantai dalam bentuk baku y = u.v dengan u sebagai fungsi sinus dan v sebagai fungsi cosinus diperoleh persentase sebesar 54,79%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal : f



x,y



sinxy.cosy

Responden kebanyakan menjawab : ycosxy.cosysinxy.siny

Seharusnya sebagai berikut : ycosxy.cos y

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep dalil rantai dengan benar. Selain itu mereka tidak bisa membedakan antara konstanta dengan variabel dan mereka tidak mengetahui turunan dari sin xy.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku y = u.v dengan u sebagai fungsi sinus dan v sebagai fungsi cosinus diperoleh persentase sebesar 53,25%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal :f



x,y



sinxy.cosy

Responden kebanyakan menjawab : cosx.cosysinxy



siny



Seharusnya sebagai berikut : xcosxy.cosysinxy.siny

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep dalil rantai dengan benar. Selain itu mereka tidak bisa membedakan antara konstanta dengan variabel. Jika diturunkan ke-x maka cos y dianggap sebagai konstan dan mereka tidak mengetahui turunan dari sin xy.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-y dengan aturan rantai dalam bentuk baku y = u.v dengan v sebagai fungsi sinus diperoleh persentase sebesar 52,63%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan: Soal : f



x,y



2xsinxy

Responden kebanyakan menjawab : 2sinxy2xcosxy.x Seharusnya sebagai berikut : 2xcosxy.x

(8)

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep dalil rantai dengan benar. Selain itu mereka tidak bisa membedakan antara konstanta dengan variabel. Jika diturunkan ke-y maka 2x dianggap sebagai konstanta.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-y dengan aturan rantai dalam bentuk baku y =

v u

dengan u sebagai fungsi cosinus diperoleh persentase sebesar 51,72%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan: Soal :



,



cos₂ ₃ y x xy y x f 

Responden kebanyakan menjawab : 2sinxy.x2y33cosxy2.x2y4



₂ ₃



2 2 2 2 2 3 2 _sin _.₂ ₃ _cos y x xy y x xy xy y x  

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep dalil rantai dengan benar. Selain itu mereka tidak bisa membedakan antara konstan dengan variabel. Jika diturunkan ke-y maka 2x dianggap sebagai konstanta.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku y = u.v dengan v sebagai fungsi cosinus diperoleh persentase sebesar 51,35%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan: Soal : f



x,y



2xy2.cosx3y

Responden kebanyakan menjawab : 2y2cosx3y2xy2



sin3xy



Seharusnya sebagai berikut : 2y2.cosx3y6x3y3.sinx3y

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep dalil rantai dengan benar. Selain itu mereka tidak mengetahui turunan dari cos x3y.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = ln un diperoleh persentase sebesar 47,62%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal :









5 2 2 ln ,y x y x f  



_x ₂_y



x



x 2y



y



x 2y



1 2 5 2 5 2 _      

Seharusnya sebagai berikut :









5 2 5 2 2 2 1 y x y y x     =



_x ₂_y



.5



x 2y



y



x 2y



1 2 4 2 5 2 _     Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep dalil rantai dengan benar.

Kesalahan dalam menurunkan menganggap sin x sebagai variabel diperoleh presentase sebesar 46,33%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan: Soal : f



x,y



sin4x2.cosy

Responden kebanyakan menjawab : cos4x2.8xcosysin4x2.sin y

(9)

0 0

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak dapat membedakan penerapan rumus

y = u.v

Kesalahan dalam menggambar daerah D yang dibatasi oleh dua buah kurva atau lebih diperoleh presentase sebesar 45,90%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal : y = x3 dan x = y2 Responden kebanyakan menjawab :

y

y = x3

x

x = y2

y y = x3 x x = y2

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak bisa menggambar grafik fungsi y = x3.

Kesalahan dalam menurunkan menganggap sin x sebagai variabel diperoleh presentase sebesar 45,20%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan: Soal : f



x,y



sin4x2.cosy

Responden kebanyakan menjawab : 4cos4x2.cosy4sin4x2.siny

Seharusnya sebagai berikut : sin4x sin2. y

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak dapat membedakan penerapan rumus

y = u.v

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku y = u.v dengan v = ea diperoleh persentase sebesar 44,59%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal : f



x,y



 xexy

Responden kebanyakan menjawab : xy x xexy

 

Seharusnya sebagai berikut : xy x xe exy xy   

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep dalil rantai dengan benar serta tidak bisa membedakan penerapan rumus y = u.v. Selain itu mereka tidak mengetahui turunan dari exy.

(10)

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = sin-1 u diperoleh persentase sebesar 42,42%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal : f



x,y



sin1



2x3y3xy4



) 3 2 ( 1 1 4 3_y _xy x  





4 3 3 2x y xy x   

2 4 3 ) 3 2 ( 1 1 xy y x  





4 3 3 2x y xy x   

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep dalil rantai dengan benar. Selain itu mereka tidak mengetahui turunan dari sin-1 u dengan u sebagai fungsi.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-y dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = sin-1 u diperoleh persentase sebesar 40,63%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal : f



x,y



sin1



2x3y3xy4



) 3 2 ( 1 1 4 3_y _xy x  





4 3 3 2x y xy y   

2 4 3 ) 3 2 ( 1 1 xy y x  





4 3 3 2x y xy y   

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep dalil rantai dengan benar. Selain itu mereka tidak mengetahui turunan dari sin-1 u dengan u sebagai fungsi.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai diperoleh persentase sebesar 40,12%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan: Soal :



,



5 3 6 2 7 8 5 2       xy x y xy y x y x f

Responden kebanyakan menjawab : 5y312xy7y8y5 Seharusnya sebagai berikut : 5 3 12 7 5

 

 xy y

y

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep turunan pertama variabel dengan benar. Jika diturunkan ke-x maka 8y dianggap konstanta.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-y dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = arc tan u diperoleh persentase sebesar 38,60%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal : f(x,y) = arc tan 3₃

y x

3 3 1 1 y x  x        3 3 y x

2 3 3 1 1        y x x        3 1 3 y x

(11)

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep turunan dari arc tan u dengan u sebagai fungsi.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-y dengan aturan rantai diperoleh persentase sebesar 20,11%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal : f



x,y



5xy36x2y7xy8y5x2 Responden kebanyakan menjawab : 5xy2 y7xy5x

Seharusnya sebagai berikut : 15 2 6 2 7 8  

 x x

xy

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep turunan pertama variabel dengan benar. Jika diturunkan ke-y maka 5x dianggap konstanta.

Kesalahan dalam menyelesaikan persamaan sistem fy(x,y) = 0 diperoleh

persentase sebesar 34,62%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Responden kebanyakan menjawab : 3x2 x6 240



x0



x3



x2



0

Seharusnya sebagai berikut : 3x2  x6 240 3



x4



x2



0

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai penyelesaian persamaan baik yang linier maupun yang bukan linier.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-y dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = ln u diperoleh persentase sebesar 33,80 %. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal :f



x,y



ln



x2y3





₂ ₃



2

1

y

x  x



_

_{x }2 _y3

_



2 3



1 y x  x 

_

2 3

_

y x 

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak mengetahui turunan dari ln u dengan

u sebagai fungsi.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = arc sin u diperoleh persentase sebesar 32,00%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal : f(x,y) = arc sin



x2y2 x



4 Responden kebanyakan menjawab :



₂ ₂



2 4 1 1 x y x   x  (4x2 y2 + x)



₂ ₂



2 4 1 1 x y x   x  (4x2 y2 + x)

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak mengetahui turunan dari arc sin u dengan u sebagai fungsi.

Kesalahan dalam menentukan hasil pengintegralan ke-y diperoleh persentase sebesar 28,80%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan Bentuk :

_







3 1 2 2 2y y dy

(12)

Responden kebanyakan dijawab : 3 1 y2 + 3 1

_

3 1 3 y

3 1 3 2 3 2     y y

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep pengintegralan dengan benar.

Kesalahan dalam menuliskan interval yang merupakan proyeksi daerah D ke sumbu-y atau batas-batas pengitegralan integral lipat dua dari daerah D yang diproyeksikan ke sumbu-y diperoleh persentase sebesar 28,68%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Bentuk : D =





x,y



/0 x1,x3  y x



Responden kebanyakan menulis :

_

1

0



x

x3

dx dy

Seharusnya sebagai berikut : D =





x y



x x3  y x



, 1 0 / ,

_

1 0



x x3 dy dx

Kesalahan tersebut disebabkan mereka salah dalam menuliskan batas-batas integral lipat dua jika daerahnya di proyeksikan ke sumbu-y.

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-y dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = arc sin u diperoleh persentase sebesar 28,57%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal : f(x,y) = arc sin



x2y2x



4 Responden kebanyakan menjawab :



₂ ₂



2 4 1 1 x y x   y  (4x2 y2 + x)



₂ ₂



2 4 1 1 x y x   y  (4x2 y2 + x)

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak mengetahui turunan dari arc sin u dengan u sebagai fungsi.

Kesalahan dalam menuliskan interval yang merupakan proyeksi daerah D ke sumbu-x atau batas-batas pengitegralan integral lipat dua dari daerah D yang diproyeksikan ke sumbu-x diperoleh persentase sebesar 28,33%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Bentuk : D =





x,y



/1x0,1 y5



Responden kebanyakan menulis :

_

1

0



5

1

dx dy

Seharusnya sebagai berikut : D =





x,y



/1x0,1y5



_

5 1



1 0 dx dy

(13)

Kesalahan tersebut disebabkan mereka salah dalam menuliskan batas-batas integral lipat dua jika daerahnya di proyeksikan ke sumbu-x.

Kesalahan dalam mengubah kebentuk baku rumus turunan f(y) = ym diperoleh persentase sebesar 22,58%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan: Bentuk :





₂ 2 , x y y x y x f  

Responden kebanyakan menulis :x2y1 yx2 Seharusnya sebagai berikut : 1x2 yx2

y

Kesalahan tersebut disebabkan mereka salah dalam mengubah variabel yang akan dicari turunannya dan mereka tidak menguasai rumus pangkat tak sebenarnya yang dikaitkan dengan fungsi p

p a a   1 .

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = ln u diperoleh persentase sebesar 22,22 %. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Soal : f



x,y



ln



x2y3





₂ ₃



2 1 y x  y 



2 3



y x 



2 3



1 y x  y 

_

2 3

_

y x 

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak mengetahui turunan dari ln u dengan

u sebagai fungsi.

Kesalahan dalam menentukan hasil pengintegralan ke-x diperoleh persentase sebesar 21,05 %. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan: Bentuk :

_







3 1 2 y xy dx

Responden kebanyakan menjawab : 2 1

_

2 0 2 y x

Seharusnya sebagai berikut : 2 1

x2y + xy2



2 0

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep pengintegralan dengan benar. Selain itu mereka juga tidak mengetahui jika y2 diintegralkan ke-x maka hasilnya xy2 karena y2 dianggap sebagai konstanta.

Kesalahan dalam membuat bentuk eksplisit dari persamaan permukaan pada fungsi dua peubah diperoleh persentase sebesar 20,83%. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan:

Bentuk : y2  xz4 Oleh responden kebanyakan dibuat bentuk:

x y z 2 4  

x y z 4 2  

(14)

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai dalam mengubah ke dalam bentuk eksplisit.

Kesalahan dalam mengubah kebentuk baku rumus turunan f(x) = xn diperoleh persentase sebesar 20,13 %. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan: Bentuk :





₂ 2 , x y y x y x f  

Responden kebanyakan menulis : x2y1 yx2 Seharusnya sebagai berikut : x2y-1  y 1₂

x

Kesalahan tersebut disebabkan mereka salah dalam mengubah variabel yang akan dicari turunannya dan mereka tidak menguasai rumus tak sebenarnya yang dikaitkan dengan fungsi p

p a a   1 .

Kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial pertama ke-y diperoleh persentase sebesar 20,11 %. Berikut ini contoh jenis kesalahan yang dilakukan: Soal : _f



_x,_y



_ _x3__y3 _3_x2 _24_x_12_y_5

Oleh responden kebanyakan dijawab: 3y 122 y

Seharusnya sebagai berikut : 3_y2 _12

Kesalahan tersebut disebabkan mereka tidak menguasai konsep turunan pertama dari bermacam-macam variabel dengan benar. Berikut ini dipaparkan kriteria ketuntasan dalam menyelesaikan soal kalkulus lanjut dengan kriteria dilihat dari pengelompokan persentase jenis kesalahannya. Kesalahan yang persentasenya ≤ 20% diperoleh 40 jenis kesalahan. Kesalahan tersebut oleh penulis dimasukkan dalam kriteria sangat tuntas. Belajar dianggap sangat tuntas jika dapat menguasai 80% dari tujuan instruksional yang hendak dicapai.

Kesalahan yang persentasenya > 20% diperoleh 45 jenis kesalahan. Kesalahan tersebut penulis kelompokkan lagi menjadi empat kelompok pada interval 20% < K ≤ 40%, 40% < K ≤ 60%, 60% < K ≤ 80% dan 80% < K ≤ 100%. Pada interval 20% < K ≤ 40% penulis masukkan dalam kriteria tuntas sedangkan pada interval 40% < K ≤ 60% penulis masukkan dalam kriteria agak tuntas. Belajar dianggap tuntas jika dapat menguasai minimal 75% dari tujuan instruksional yang hendak dicapai (Ischak S.W, 1982). Pada interval 60% < K ≤ 80% penulis masukkan dalam kriteria tidak tuntas sedangkan pada interval 80% < K ≤ 100% penulis masukkan dalam kriteria tidak tuntas sama sekali. Belajar dianggap tidak tuntas jika hanya dapat menguasai kurang dari 75% dari tujuan instruksional yang hendak dicapai.

Kesalahan dalam pra kalkulus sebanyak 28 jenis kesalahan dengan rata-rata 10,21%. Jenis kesalahan yang banyak dilakukan diantaranya adalah kesalahan dalam menyelesaikan persamaan sistem fy(x,y) = 0 sebanyak 34,62%, kesalahan dalam

mengubah kebentuk baku rumus turunan f(y) = ym sebanyak 22,58%, kesalahan dalam menyelesaikan persamaan sistem fx(x,y)=0 sebanyak 21,79%, kesalahan

dalam membuat bentuk eksplisit dari persamaan permukaan pada fungsi dua peubah sebanyak 20,83% dan kesalahan dalam mengubah kebentuk baku rumus turunan

(15)

Kesalahan dalam turunan fungsi dua peubah sebanyak 50 jenis kesalahan dengan rata-rata 36,45%. Jenis kesalahan yang banyak dilakukan diantaranya adalah kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = lnn u sebanyak 90,74%, kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-y dengan aturan rantai dalam bentuk baku

f(u) = lnn u sebanyak 90,57%, kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = tan u sebanyak 78,95%, kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke- y dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = tan u sebanyak 77,19% dan kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku

f(u) = ln u sebanyak 59,70%.

Kesalahan dalam integral fungsi dua peubah sebanyak 6 jenis kesalahan dengan rata-rata 20,35%. Jenis kesalahan tersebut yaitu kesalahan dalam menentukan hasil pengintegralan ke-y sebanyak 28,80%, kesalahan dalam menuliskan interval yang merupakan proyeksi daerah D ke sumbu-y atau batas-batas pengintegralan integral lipat dua dari daerah D yang diproyeksikan ke sumbu-y sebanyak 28,68%, kesalahan dalam menuliskan interval yang merupakan proyeksi daerah D ke sumbu-x atau batas-batas pengintegralan integral lipat dua dari daerah D yang diproyeksikan ke sumbu-x sebanyak 28,33%, kesalahan da-lam menentukan hasil pengintegralan ke-x sebanyak 21,05%, kesalahan dada-lam menentukan nilai pengintegralan lipat dua sebanyak 9,98% dan kesalahan dalam menuliskan integral lipat dua dengan mengambil proyeksi ke sumbu-x atau ke sumbu-y sebanyak 5,25%.

Kesalahan dalam menggambar daerah D sebanyak 1 jenis kesalahan dengan rata-rata 45,90%. Jenis kesalahan tersebut adalah kesalahan dalam menggambar daerah D yang dibatasi oleh dua buah kurva atau lebih sebanyak45,90%. Jenis kesalahan yang paling banyak dilakukan dalam menyelesaikan soal tentang pra kalkulus yaitu kesalahan dalam menyelesaikan persamaan sistem fy(x,y) = 0

sebanyak 34,62%.

Jenis kesalahan yang paling banyak dilakukan dalam menyelesaikan soal tentang turunan parsial fungsi dua peubah yaitu kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = lnn u sebanyak 90,74%. Jenis kesalahan yang paling banyak dilakukan dalam menyelesaikan soal tentang integral fungsi dua peubah yaitu kesalahan dalam menentukan hasil pengintegralan ke-y sebanyak 28,80%.

PENUTUP

Berdasarkan hasil pengolahan data dari penelitian ini, maka dapat disimpulkan bahwa: 1) rata-rata jenis kesalahan dalam menyelesaikan soal tentang kalkulus lanjut yang berkaitan dengan materi pra kalkulus sebesar 10,21% termasuk dalam kriteria sangat tuntas; 2) rata-rata jenis kesalahan dalam menyelesaikan soal tentang kalkulus lanjut yang berkaitan dengan materi turunan parsial fungsi dua peubah sebesar 36,45% termasuk dalam kriteria tuntas; 3) rata-rata jenis kesalahan dalam menyelesaikan soal tentang kalkulus lanjut yang berkaitan dengan materi integral fungsi dua peubah sebesar 20,35% termasuk dalam kriteria tuntas; 4) rata-rata jenis kesalahan dalam menyelesaikan soal tentang kalkulus lanjut yang

(16)

berkaitan dengan menggambar daerah D sebesar 45,90% termasuk dalam kriteria agak tuntas; 5) jenis kesalahan yang paling banyak dilakukan dalam menyelesaikan soal tentang pra kalkulus yaitu kesalahan dalam menyelesaikan persamaan sistem fy(x,y) = 0 sebanyak 34,62%; 6) jenis kesalahan yang paling

banyak dilakukan dalam menyelesaikan soal tentang turunan parsial fungsi dua peubah yaitu kesalahan dalam menentukan hasil turunan parsial ke-x dengan aturan rantai dalam bentuk baku f(u) = lnn u sebanyak 90,74%; 7) jenis kesalahan yang paling banyak dilakukan dalam menyelesaikan soal tentang integral fungsi dua peubah yaitu kesalahan dalam menentukan hasil pengintegralan ke-y sebanyak 28,80%; 8) rata-rata jenis kesalahan dalam menyelesaikan kalkulus lanjut sebesar 28,23% termasuk dalam kriteria tuntas.

Dari simpulan yang telah diperoleh dalam penelitian ini, maka untuk meningkatkan kemampuan mahasiswa dalam menyelesaikan soal matematika, penulis memberikan saran-saran sebagai berikut: 1) mahasiswa hendaknya memperbanyak latihan-latihan soal khususnya pada materi kalkulus lanjut; 2) setelah mengetahui jenis-jenis kesalahan yang sering dilakukan diharapkan mahasiswa dapat mencari alternatif pemecahannya sendiri; 3) untuk peneliti-peneliti selanjutnya, penulis mengharapkan agar menindaklanjuti peneliti-penelitian ini untuk dikembangkan lebih luas ruang lingkupnya.

DAFTAR PUSTAKA

A Hallen. (2005). Bimbingan dan Konseling. Jakarta: Quantum Teaching. Arikunto, Suharsimi. (1998). Prosedur Penelitian. Jakarta: Rineka Cipta.

Atika Nugraheni. (2003). Jenis-jenis Kesulitan dalam Menyelesaikan Soal Cerita

yang Berkaitan dengan Pokok Bahasan Peluang pada Siswa Kelas II Semester I SMU Pancasila Purworejo Tahun Pelajaran 2002/2003.

Skripsi: UMP.

Hadi, Sutrisno. (2004). Metodologi Research. Yogyakarta: Andi.

Hudojo, Heman. (1997). Pengembangan Kurikulum Matematika dan Pelaksanaannya di Depan Kelas. Surabaya: Usaha Nasional.

Leithold, Louis. (1991). Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Jilid 3. Jakarta: Erlangga.

Maier, Herman. (1985). Kompedium Didaktik Matematika. Bandung: Remadja Karya.

Margono, S. (2004). Metodologi Penelitian Pendidikan. Jakarta: PT. Asdi Mahasatya.

Nazir, Moh. (1988). Metode Penelitian. Jakarta: Ghalia Indah.

Siti Sufiyah. (2002). Analisis Kesalahan Penyelesaian Soal Persamaan

Differensial Biasa Orde Satu pada Mahasiswa Semester V Universitas Muhammadiyah Purworejo. Skripsi: UMP.

(17)

Sugiyono. (2002). Statistik Untuk Matemetika. Jakarta: Rineka Cipta.

Sumarsono, Sony. (2004). Metode Riset Sumber Daya Manusia. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Varberg, Dale dan Edwin J. Purcell. (1994). Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid

2. Jakarta: Erlangga.

. (1999). Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta: Erlangga.

Yusuf, Munawir dkk. (2003). Pendidikan Bagi Anak dengan Problema Belajar. Solo: PT. Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.