BUKU AJAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. Oleh: Ir. LILIK ZULAIHAH, MSi

BUKU AJAR

KALKULUS PEUBAH BANYAK

Oleh:

Ir. LILIK ZULAIHAH, MSi

PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL “VETERAN”

JAKARTA, 2010

ACUAN PROSES PEMBELAJARAN

KALKULUS PEUBAH BANYAK

A. INDENTITAS MATA KULIAH

Kode Kuliah : TI1223

Nama Mata Kuliah : Kalkulus Peubah Banyak

Deskripsi : Mahasiswa memahami prinsip-prinsip penurunan fungsi lebih dari sau variabel dan intregral ganda untuk dapat diaplikasikan pada matakuliah lain atau dalam kehidupan sehari-hari

.

Semester : IV

Beban Kredit : 2 sks

Persyarat : Kalkulus II & III B. KOMPETENSI MATA KULIAH

1. Mahasiswa memahami konsep-konsep dasar yang diperlukan untuk mempelajari bidang optimisasi.

2. Mahasiswa memahami konsep tentang fungsi peubah banyak.

3. Mahasiswa memahami konsep serta trampil dalam memakai rumus dan metode turunan parsial untuk menyelesaikan masalah.

4. Mahasiswa memahami konsep serta trampil dalam memakai rumus dan metode penghampiran nilai fungsi untuk menyelesaikan masalah.

C. SUBSTANSI KAJIAN MATA KULIAH

1. Integral Lipit Dua dan aplikasinya, pertemuan 1 & 2 2. Integral lipat Tiga, pertemuan 3 & 4

3. Integral Garis, pertemuan 5 3. Latihan Soal, pertemuan 6 5. UTS pertemuan ke 7

6. Membahas soal UTS pertemuan 8 6. Deferensial parsial pertemuan 9 &10

3. Deret Fourier periode 2π pertemuan 11 – 13 8. Deret Fourier periode 2p pertemuan 14 – 15 9. Latihan soal 16

D. METODE PEMBELAJARAN

1. Kelas 2. Tutorial

E. EVALUASI PROSES PEMBELAJARAN

1. Tugas Individu 2. Kuis

3. Ujian

Komponen dan bobot penilaian:

1. Kehadiran 10 %

2. Tugas dan Kuis 15 % 3. Ujian Tengah Semester 25 % 4. Ujian Akhir Semester 50 % Skala Penilaian

Skala penilaian 1 – 100

Nilai Huruf Nilai Mutu Nilai Absolut Keterangan

A 4 80 – 100 Lulus A- 3.7 78 – 79 Lulus B+ 3.3 74 – 77 Lulus B 3 70 – 73 Lulus B- 2.7 65 – 69 Lulus C+ 2.3 60 – 64 Lulus C 2 55 – 59 Lulus C- 1.7 50 – 54 Tidak Lulus D+ 1.3 45 – 49 Tidak Lulus D 1 40 – 44 Tidak Lulus E 0 <40 Tidak Lulus

F. PERSYARATAN KUALIFIKASI DOSEN

Minimal Pendidikan S2 dengan latar belakang Matematika G. FASILITAS PEMBELAJARAN

Sarana penunjang yang diperlukan

1. Ruang perkuliahan dengan fasilitas White Board dan Overhead projector untuk perkuliahan

2. Kepustakaan H. DAFTAR PUSTAKA

1. Erwin Kreyszig, Matematika Teknik Lanjutan, 1993.

2. Folland, G.B., Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth & Brooks, 1992.

3. Muhammad Razali, Mahmud N. Siregar, Faridawaty Marpaung, Kalkulus Differensial, Agustus 2010.

4. Wikaria Gazali, Kalkulus Lanjut, 2007.

5. Yusuf Yahya, D. Suryadi HS., Agus S., Matematika Dasar Perguruan Tinggi, Februari 2010.

INTEGRAL RANGKAP

INTEGRAL GANDA

Integral untuk fungsi satu variable, kita membentuk suatu partisi dari interval [a,b] menjadi interval-interval yang panjangnya Δxk , k = 1, 2, 3, 4, ….n.

∑

∫

= →∞ ₌ ∆ n k b a dx x f 1 k k nlim f(x ) x ) (

Dengan cara yang sama, Kita definisikan integral untuk fungsi dua variable. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy. Kemudian daerah ini dibagi atas n buah sub daerah yang masing-masing luasnya A1 , A2 , A3 …… An

Dalam setiap sub daerah, pilih suatu titik Pk(xk, yk

dan bentuklah jumlah :

A y x f A y x f A y x f A y x f _{n n n} n k k k k ∆ = ∆ + ∆ + + ∆

∑

= ) , ( ... ) , ( ) , ( ) , ( _{2 2 2} 1 1 1 1

Jika jumlah sub daerah makin besar (n→~), maka integral rangkap (lipat dua) dari fungsi f(x,y) atas daerah R didefinisikan :

∑

∫∫

= →∞ ₌ ∆ n k k k k n R A y x f dA y x f 1 ) , ( lim ) , (

Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :

a.

∫∫

=

∫∫

R R dxdy y x f dA y x f( , ) ( , )

∫ ∫

          = = = b a y f y y f y dy dx y x f ) ( ) ( 2 1 ) , (

dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variabl y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y. b.

∫∫

=

∫∫

R R dydx y x f dA y x f( , ) ( , )

∫ ∫

          = = = b a y f y y f y dx dy y x f ) ( ) ( 2 1 ) , (

dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x.

Jika integral lipat dua diatas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil yang sama.

INTEGRAL LIPAT DUA

DENGAN BATAS PERSEGI PANJANG

Bentuk umum :

∫∫

∫∫

f x y dA= f x y dxdy R ) , ( ) , ( dimana : R = { (x,y) ; a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d } a,b,c dan d adalah konstanta

Contoh :

∫∫

1_{0 1}2 . 1 dxdy

∫∫

+ 4 2 2 1 2 2 ₎ ( . 2 x y dxdy

∫∫

+ 4 2 2 1 2₎ 3 ( . 3 xy y dydx

∫ ∫

+ 4 2 2 0 ) 2 cos (sin . 4 π θ θ θ r d dr

INTEGRAL LIPAT DUA

∫

∫

∫∫

= = = ) ( f ) ( 2 1 dx ) , ( ) , ( . x x f y b a x R dy y x f dA y x f a dimana : R = { (x,y) ; f1(x) ≤ y ≤ f2(x) ,a ≤ x ≤ b }

∫

∫

∫∫

= = = ) ( f ) ( 2 1 dy ) , ( ) , ( . y y f x d c y R dx y x f dA y x f b dimana :

R = { (x,y) ; f1(y) ≤ x ≤ f2(y) ,c ≤ y ≤ d }

Contoh :

∫∫

1 0 2 2 . 1 x x dydx xy

∫ ∫

+ 2 1 3 ) ( . 2 y y dxdy y x

∫ ∫

2 + 0 2 2 2 . 3 x x x dydx x

APLIKASI INTEGRAL LIPAT DUA

Aplikasi integral lipat dua yang bentuk umumnya :

∫∫

R dA y x f( , ) dapat dijelaskan sbb : 1. LUAS

Luas bidang dapat dipandang sebagai integral lipat dua jika f(x,y) = 1 , sehingga integral lipat dua menjadi :

∫∫

∫∫

∫∫

= = = R R dydx dxdy A atau R dA A

Dalam koordinat polar :

∫

∫

∫∫

= =₌ = 2 1 2 1 d d υ ρ β θ α θ θ ρ ρ R dA A contoh :

Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y = x + y Jawab :

∫

∫

∫

∫ ∫

∫ ∫

∫∫

= − = = − = − − − = = = = 2 0 2 2 0 2 0 2 0 y -2 4 -2y 2 0 y -2 4 -2y R 6 ) 6 12 ( ) y 2 3 -(6y dy ) y 3 6 ( dy ) 4 y 2 y 2 ( dt x dxdy dA A

TURUNAN PARSIAL

a. Fungsi dua peubah atau lebih

Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0.

Contoh: 1. z = 2x + y 2. z = ln _x2 _{−2 y}4 3. z = 1 – 2 _2sinx1_−siny 4. xy + xz – yz = 0 5. xy - ex_sin y_{= 0} 6. ln x y y x2 ₋ 2 ₋arctan _{= 0} 7. arc tan x y - 2z = 0

Pada contoh di atas, fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit adalah pada contoh 1,2, dan 3. Sedangkan contoh 4, 5, 6, dan 7 adalah fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit. Semua fungsi dalam bentuk eksplisit dengan mudah dapat dinyatakan dalam bentuk implisit. Akan tetapi tidak semua bentuk implisit dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.

Untuk menggambar fungsi dua peubah dapat dengan membuat sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x, sumbu y, dan sumbu z seperti gambar berikut:

b. Turunan Parsial Fungsi Dua dan Tiga Peubah

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu:

1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah. 2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah 3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

Pada kasus 1 dan 2 diatas mengakibatkan fungsinya menjadi fungsi satu peubah, sehingga fungsi tersebut dapat diturunkan dengan menggunakan definisi turunan pertama yang telah dipelajari pada kalkulus diferensial.

Definisi

Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan

x z ∂ ∂

dan _∂∂_yz dan didefinisikan oleh x Z ∂ ∂ = _∆Lim_x→0 x y x F y x x F ∆ − ∆ + , ) ( , ) ( dan y Z ∂ ∂ = _∆Lim_y→0 y y x F y y x F ∆ − ∆ + ) ( , ) , (

Asalkan limitnya ada. Contoh :

Tentukan turunan parsial pertama dari

X Y

a. z = _x2_+y2 Jawab x Z ∂ ∂ = _∆Lim_x→0 x y x F y x x F ∆ − ∆ + , ) ( , ) ( = _∆Lim_x→0 x y x y x x ∆ + − + ∆ + ₎2 2 2 2 ( = _∆Lim_x→0 x y x y x x ∆ + − + ∆ + ₎2 2 2 2 ( _. 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) ( y x y x x y x y x x + + + ∆ + + + + ∆ + = _∆Lim_x→0 x y x y x x ∆ + − + ∆ + ) ( ) ( 2 2 2 2 = _∆Lim_x→0 2 2 2 2 2 ) ( 2 y x y x x x x x x + + + ∆ + ∆ ∆ + ∆ = _∆Lim_{x→0 ( )}2 2 2 2 2 y x y x x x x + + + ∆ + ∆ + = ₂ 2 2 2 y x x + = _x2 _y2 x + y Z ∂ ∂ = _∆Lim_y→0 F(x,y+∆_∆y_y)−F(x,y) = _∆Lim_x→0 y y x y y x ∆ + − ∆ + + 2 2 2 2 _{( )} ( = _∆Lim_x→0 y y x y y x ∆ + − ∆ + + 2 2 2 2 _{( )} ( . _{2 2 2 2} 2 2 2 2 ( ( ) ( ( y x y x y x x y x + + + + + ∆ + + = _∆Lim_x→0 x y x y x x ∆ + − + ∆ + ) ( ) ( 2 2 2 2

= _∆Lim_x→0 2 2 2 2 2 ) ( 2 y x y x x x x x x + + + ∆ + ∆ ∆ + ∆ = _∆Lim_{x→0 ( )}2 2 2 2 2 y x y x x x x + + + ∆ + ∆ + = ₂ 2 2 2 y x y + = _x2 _y2 y + b. z = Sin (x+y) Jawab x Z ∂ ∂ = _∆Lim_x→0 x y x F y x x F ∆ − ∆ + , ) ( , ) ( = _∆Lim_x→0 x y x y x x ∆ + − + ∆ + ) sin( ) sin( = _∆Lim_x→0 x y x y x x y x y x x ∆ − − + ∆ + + + + ∆ + ( ) 2 1 sin ) ( 2 1 cos 2 = 2_∆Lim_x→0 x x x y x ∆ ∆ ∆ + + 2 sin ) 2 cos(

= 2Lim cos (x+y+_∆x→0 2 x ∆ )

x

x

Lim

x

∆

∆

→ ∆

2

sin

0

= 2Lim cos (x+y+_∆x→0 2 x ∆ )

2

1

.

2

/

2

sin

0

x

x

Lim

x

∆

∆

→ ∆ = 2 cos (x+y)(1)(1/2) = cos (x+y) y Z ∂ ∂ = _∆Lim_x→0 F(x,y+∆_∆y_y)−F(x,y)

= _∆Lim_x→0 y y x y y x y x y y x ∆ − − ∆ + + + + ∆ + + ( ) 2 1 sin ) ( 2 1 cos 2 = 2_∆Lim_x→0 x x x y x ∆ ∆ ∆ + + 2 sin ) 2 cos(

= 2Lim cos (x+y+_∆x→0 2 x ∆ )

x

x

Lim

x

∆

∆

→ ∆

2

sin

0 = 2Lim cos (x+_∆x→0 2 x ∆ )

2

1

.

2

/

2

sin

0

x

x

Lim

x

∆

∆

→ ∆ = 2 cos (x+y)(1)(1/2) = cos (x+y)

Untuk memudahkan dalam menentukan turunan parcial dapat dilakukan dengan menggunakan metode sederhana sebagai berikut. Andaikan z = F(x,y) maka untuk menentukan

x z ∂ ∂

sama artinya dengan menurunkan variabel x dan variabel y dianggap konstan dan selanjutnya y diturunkan. Demikian pula untuk menentukan _∂∂_yz sama artinya dengan menurukan variable y dan variable x dianggap konstant lalu diturunkan.

Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan

y W x W ∂ ∂ ∂ ∂ _, , dan z W ∂ ∂

yang secara berturut didefinisikan oleh:

x z y x F z y x x F Lim x W o x ∆ − ∆ + = ∂ ∂ → ∆ ) , , ( ) , , ( y z y x F z y y x F Lim y W o y ∆ − ∆ + = ∂ ∂ → ∆ ) , , ( ) , , ( z z y x F z z y x F Lim z W o z ∆ − ∆ + = ∂ ∂ → ∆ ) , , ( ) , , (

Asalkan limitnya ada. Contoh:

1. Ditentukan F(x,y,z) = xyz + 2 tan       x y

Carilah turunan parsial pertamanya. Dengan metode sederhana didapat

a. yz x z y x F ₌ ∂ ∂ ( , , ) + 2 2 1 2 x y + _− _x2_ y = yz - ) 1 ( 2 2 2 2 y x yx + b. xz y z y x F ₌ ∂ ∂ ( , , ) + 2 2 1 2 x y +      x 1 = xz - ) 1 ( 2 2 2 y x x + c. xy z z y x F = ∂ ∂ ( , , )

Untuk latihan para pembaca tentukan turunan persial fungsi-fungsi di bawah ini: 1. z = ln x+y 2. z = 36 – x2 _{– y}2 3. z = 3 - _sin(1_x+y) 4. z = xy2 _{– 2x}2 _{+ 3y}3 5. z = arc tan x y 6. F(x,y,z) = xy – yz + xz 7. F(x,y,z) = 3 _x2_+y2_+z2

8. F(x,y,z) = sin (xy) – 2exy 9. F(x,y,z) = arc sin 

     z xy

Selanjutnya turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n ≥2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi.

Dengan menggunakan analogi fungsi satu peubah dapat ditentukan turunan parsial tingkat 2, 3 dan seterusnya.

Jadi andaikan z = F(x,y) maka:

Turunan parsial tingkat dua adalah dan y x z y z x z , , , 2₂ 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ x y z ∂ ∂ ∂2

Demikian pula, jika W = F(x,y,z) Turunan parsial tingkat dua adalah

y z W x z W x y W z y W z x W y x W z W y W x W ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , , , , , , ,

Demikian seterusnya. Banyaknya turunan tingkat ditentukan oleh rumus mn _{, dimana m} banyaknya variabel dan n menunjukkan turunan ke-n

Contoh Tentukan ₂ 2 x z ∂ ∂ _dan 2 2 y z ∂ ∂

dari fungsi berikut: 1. z = _xxy_−y Jawab Dari z = _xxy_−y , diperoleh _{( )}2 ) 1 ( ) ( y x xy y x y x z − − − = ∂ ∂ = 2 2 ) (x y y − − _{( )}2 ) 1 ( ) ( y x xy y x x y z − − − − = ∂ ∂ = 2 2 ) (x y x − Sehingga       ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ x z x x z 2 2 = _ _ − − ∂ ∂ 2 2 ) (x y y x

= 4 2 2 ) ( ) 1 )( )( 2 )( ( ) ( 0 y x y x y y x − − − − − = 4 3 2 ) ( 2 2 y x y xy − − Dan 2 2 y z ∂ ∂ = _ _ − ∂ ∂ 2 2 ) (x y x y = 4 2 2 ) ( ) 1 )( )( 2 ( ) ( 0 y x y x x y x − − − − − = 4 2 3 ) ( 2 y x yx x − − − 2. z = 2 _x2 y y x ₋ 3. z = sin 3x cos 4y

d. Differensial Total dan Turunan Total

Misal z = F(x,y), dan fungsi tersebut dapat diturunkan terhadap variable x dan y, maka diperoleh turuna parisal terhadap x dan turunan parsial terhadap y yang secara berturut-turut dinotasikan dengan

x y x F x z ∂ ∂ = ∂ ∂ ( , ) --- (1) dan y y x F y z ∂ ∂ = ∂ ∂ ( , ) --- (2) Dari (1) dan (2) diperoleh:

dx x y x F dz ∂ ∂ = ( , ) dan dy y y x F dz ∂ ∂ = ( , )

Jumlah diferensialnya diperoleh:

dz = dx x y x F ∂ ∂ ( , ) + dy y y x F ∂ ∂ ( , ) Bentuk di atas disebut diferensial total. Contoh.

Differensial total dr = dy y r dx x r ∂ ∂ + ∂ ∂ dimana dr ≈∆r, dx ≈∆x, dx≈∆y didapat = ∆r y y r x x r ∆ ∂ ∂ + ∆ ∂ ∂ = _x2x_+y2 ∆x+_{2 x}2y_+y2 ∆y 2 2 2 =      − + +       + 16 5 20 15 20 8 5 20 15 15 2 2 2 2 = 16 5 25 20 8 5 25 15 − = 8 1 cm

2. Suatu tempat berbentuk silinder (tabung) dengan jari-jari alasnya 15 cm dan tingginya 20 cm. Karena pemuaian, tinggi slinder bertambah 0,5 cm/det dan tingginya

berkurang 1 cm/det. Hitunglah perubahan yang terjadi terhadap volume dan luas permukaan silinder.

Jawab.

Misal jari-jari tabung r, tinggi h dan volume I, maka I = _πr2h I = I(r,h) Diketahui r = 15 cm, h = 20, 0 cm,5 /det t r = ∆ ∆ , 1cm/det t h − = ∆ ∆

Dengan definisi turunan total

I = I(r,h) dengan r dan h bergantung pada waktu t, maka diperoleh

dt dh h I dt dr r I dt dI ∂ ∂ + ∂ ∂ = = 2 dt dh r dt dr rh _π 2 π +

Turunan Parsial Fungsi Implisit

Turunan Fungsi Implisit 2 Peubah

Fungsi implisit dua peubah secara umum dinyatakan dengan F(x,y) = 0.

Untuk menentukan turunan parsialnya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah differensial total.

Karena f(x,y) = 0, maka df(x,y) = d(0) Atau dy y y x f dx x y x f ∂ ∂ + ∂ ∂ ( , ) ( , ) = 0 ⇔ ( , ) ( , ) =0 ∂ ∂ + ∂ ∂ dx dy y y x f x y x f ⇔ f x_y y dy_dx =−∂f _∂x_xy ∂ ∂ ( , ) ( , ) ⇔ y y x f x y x f dx dy ∂ ∂ ∂ ∂ − = _{( , )} ) , ( Carilah dx dy dari

b. f(x,y) = xy-ex _{sin y = 0 (FUNGSI IMPLISIT 2 PEUBAH X DAN Y)}

akan dicari

dx dy

, menurut definisi turunan total

dx dy = y y x f x y x f ∂ ∂ ∂ ∂ − _{( , )} ) , ( = y e x y e y x x cos sin − − − 3. ln(x2 2) y + - arc tan       x y

= 0 (FUNGSI IMPLISIT 2 PEUBAH X DAN Y)

dx dy = y y x f x y x f ∂ ∂ ∂ ∂ − _{( , )} ) , ( = 2 2 2 2 2 2 y x x y y x y x + − + + − = 2_xx₋+_2yy

Fungsi Implisit 3 peubah secara umum dinyatakan dalam bentuk f(x,y,z) =0 Contoh: Contoh 1. xy + yz + xz = 0 2. exyz _{– zsin =0}     y x 3. x2 _{+ y}2 _{+ z}2 _{– 25 = 0}

Fungsi Implisit 4 Peubah BU dinyatakan dengan







=

=

0

)

,

,

,

(

0

)

,

,

,

(

v

u

y

x

G

v

u

y

x

F

Atau ditulis dalam bentuk F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v) = 0

dengan x,y variable berpasangan dan u,v variabel berpasangan dan F(x,y,u,v) = 0 serta G(x,y,u,v) = 0 tidak dapat berdiri sendiri.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini. Contoh 1.









=

+

+

+

−

=

+

+

0

0

2

2 2 2 2 2

v

u

y

xy

x

uv

y

x

Atau ditulis dengan x+y2 _{+ 2uv = 0, x}2_−xy+y2_+u2_+v2 ₌₀

2.









=

−

+

+

=

+

+

−

0

2

0

2

2 2

y

xy

v

u

xy

x

v

u

3.







=

−

+

=

+

+

−

0

0

3

2

2 2

y

x

uv

y

x

v

u

dan seterusnya.

Turunan Parsial dilakukan dengan menggunakan metode substitusi.

Dalam F(x,y,u,v) = 0 dan G(x,y,u,v)= 0, u,v variabel sejenis, x,y variabel sejenis sehingga tidak dapat ditentukan dan _uv

v u x y y x ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ _{, , ,} . Sehingga turunan parsialnya adalah _∂∂_ux,_∂∂_yv _{dan seterusnya.}

Untuk menentukan turunan parsial 4 peubah, langkah ditempuh adalah menurunkan fungsi terhadap peubah yang dimaksud.

Contoh: 1. Tentukan u x dan x u ∂ ∂ ∂ ∂ dari

x+y2 _{+2uv = 0 dan x}2_-xy+y2_+u2_+v2 _{= 0 didapat}

1 2 2 =0      ∂ ∂ + ∂ ∂ +       ∂ ∂ +       ∂ ∂ x u v x v u x y y x x ---à 1 0 2 2 0 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + + ⇔ x u v x v u atau 2 2 =−1 ∂ ∂ + ∂ ∂ x u v x v u 2x 2 2 2 =0 ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ +       ∂ ∂ + ∂ ∂ −       ∂ ∂ x v v x u u x y y x x y x y x x x ----à 2 ⇔2x-0-y+0+2u 2 =0 ∂ ∂ + ∂ ∂ x v v x u atau 2u y x x v v x u 2 2 = − ∂ ∂ + ∂ ∂ Setelah di eliminasi x v ∂ ∂ didapat ) ( 2 ) 2 ( 2 2 _u v x y u v x u − − − − = ∂ ∂ = _2(u(2 _v22₎) x y u v − − +

x+y2 _{+2uv = 0 dan x}2_-xy+y2_+u2_+v2 _{= 0 didapat}

diturunkan terhadap

u x ∂ ∂

(yang tidak boleh =0) ∂ ∂ u v 1 2 +2 =0 ∂ ∂ + ∂ ∂ _v u y y u x atau ⇔1 v u y y u x 2 2 =− ∂ ∂ + ∂ ∂ ---

→

(1)

2x 2 2 +0=0 ∂ ∂ + ∂ ∂ +       ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ u u u u y y u x y u y x u x atau u u y x y u x y x ) (2 ) 2 2 ( =− ∂ ∂ − + ∂ ∂ − ⇔ ---

→

(2)

Berdasarkan persamaan (1) dan (2), dengan metode eliminasi diperoleh

1 v u y y u x 2 2 =− ∂ ∂ + ∂ ∂ ... . (2y-x) u u y x y u x y x ) (2 ) 2 2 ( =− ∂ ∂ − + ∂ ∂ − ⇔ …………. (2y) Didapat ⇔(2y-x) 1 2 (2 ) 2v(2y x) u y x y y u x _{=− −} ∂ ∂ − + ∂ ∂ ) 2 ( 2 2 ) 2 ( 2 ) 2 ( u y u y y x y u x y y x =− ∂ ∂ − + ∂ ∂ − ⇔ -[(2y-x)-(2x-y)(2y)] u x ∂ ∂ = -2v(2y-x)+2u(2y) Diperoleh ) 2 4 ( ) 2 ( 4 2 4 2 y xy x y uy vx vy u x − − − + + − = ∂ ∂ = ₍₂4_{y x} 2_4xy 4_2y2₎ uy vx vy + − − − − −

2. Cari turunan parsial pertama dari dan dari persamaan

, dan

1) Mencari Persamaan 1)

….(1)

Persamaan 2) .... (2) dikali dikali Maka,

DERET FOURIER

Suatu fungsi ƒ (x) disebut fungsi periodik dengan pewriode T, jika untuk semua x berlaku :

ƒ (x +T) = ƒ (x), disini T suatu konstanta Pos

Contoh : a. ƒ (x) = sin x mempunyai periode-periode 2

п,

4

п,

6

п,

sin x = sin x + 2

п

= sin x + 4

п

= sin x + 6

п

dimana k = bilangan bulat positif

3

п

0

п

2

п

4

п

2

п

2

п

2

п adalah periode terkecil atau periode darisin x

b.

periode dari sin nx atau cos nx untuk n bulat positif

adalah

2

п/n

c. ƒ (x ) = tg x tg x = tg (x +

п)

=

tg (x + 2

п)

=

tg (x + 3

п)

tg x = tg (x + k

п)

periode dari tg x adalah п

d. Fungsi periodik dengan periode 4

-4 -2 0 2 4 6 8

x, 0 < x < 2 ƒ (x )

2, 2 < x < 4 I. Fungsi Ganjil

Suatu fungsi ƒ (x ) disebut fungsi ganjil bila untuk semua x berlaku, ƒ (-x ) = - ƒ (x )

Contoh : a). ƒ (x) = sin x ƒ (-x) = - sin x b). ƒ (x) = x3 _{– 5x}

ƒ (-x) = - x3 _{– 5 (-x)}

= - (x3 _{– 5x )}

= - ƒ (x)

c). Suatu fungsi ƒ(x) disebut fungsi ganjil bila kurva simetris terhadap

titik 0

-5 -4 -3 -2 2 3 4 5

II. Fungsi Genap

Fungsi ƒ (x) disebut, bila untuk semua x berlaku. ƒ (-x) = ƒ (x) Contoh, a). ƒ (x) = cos x

ƒ (-x) = cos (-x) = cos x ƒ (-x) = ƒ (x)

b). ƒ (x) = x6 _{– 7x}4 _{+ 8x}2 _-7

= x6 _{– 7x}4 _{+ 8x}2 _-7

ƒ (-x) = ƒ (x)

c). ƒ (x) = x2_{, -3 < x < 3}

suatu fungsi ƒ (x) disebut fungsi genap, bila curve fungsi tersebut letaknya simetris terhadap sumbu tegak.

Deret Fourier Untuk Fungsi Dengan Periode 2п Diambil Deret 1.

_cos

_cos

₂

_cos

₃

_...

_...

2

1 2 3 0

₊

_a

_x

₊

_a

_x

₊

_a

_x

₊

a

.... ... ... 3 sin 2 sin sin ... ... +b1 x+b2 x+b3 x+ atau 2.

a

_n

nx

b

_n

nx

disebutder

etgoneomet

ri

n

a

_[

_cos

_sin

_]

2

1 0

₊

∑

∞

₊

= Rumus Pokok 3.

∫

d+2Πsinnxdx =0 d 4.

∫

d+2Πcosnxdx =0,n≠0 d 5. d mx nxdx m n d = ≠

∫

+2Πcos cos 0, 6. 2 cos2 _=Π, _≠0

∫

d+ Π nxdx n d 7.

_∫

d+2Πcosmxsinnxdx=0 d 8.

_∫

d+2Πsinmxsinnxdx =0 d 9. 2 sin2 _=Π, _≠0

∫

d+ Π nxdx n d

10. ƒ (x) =

∑

∞ = + + 1 0 _{( cos sin )} 2 n n n nx b nx a a

a.

Mencari

a0

Bentuk (10) di integralkan dari X = d sampai X = d + 2п, terdapat 0 2 2 1 ) (x dx a d d =

∫

+Π

∫

_∫

d+Π dx+ d 2 ) sin cos ( 2 1 nxdx bn dx nx an d d n +

∫

+Π

∑

∞ =

]

1 2 0 2 2 ) (x dx a x d a d d d = + Π + Π +

∫ ∫

2 2 cosdx a d d +

∫

+ Π an dx x d d cos2 ... 2 +

∫

+ Π 1 2 cosnxdx b d d +

∫

+ Π 2 2 sinaxdx b d d +

∫

+ Π n d d sin2xdx ...b 2 +

∫

+Π

d nxdx

d

∫

+2Πsin

Sesuai (3) dan (4) terdapat

( 2 ) 2 ) ( 0 2 d d a dx x d d = + Π−

∫

+ Π

∫

11. a0 _Π1 x dx d d ( ) 2

∫

+Π

∫

b. Mencari

an

Bentuk (10) dikalikan cos nx. Kemudian di integralkan ke x, Dari x = d sampai x = d + 2п 2 cos ) ( 0 2 a dx nx x d d =

∫

+ Π

∫

_∫

d+ Π nxdx+ d 2 cos

2 cos ( cos sin )

1 nxdx bn dx nx an nx d d n +

∫

+Π

∑

∞ + = 1 2 0 _cos 2 nxdx a a d d +

∫

+ Π

∫

d+ Π nx xdx+ d 2 cos cos a2

_∫

+2Πcosnxcos2xdx+...+ d d 1 2 ₂ cos nxdx b a d d n

∫

+ Π +

_∫

d+ Π nx xdx+ d 2 sin

cos b2

_∫

+2Πcosnxsin2xdx+...+

d d b d nx xdx d n

∫

Π +2 sin cos

_∫

d+ Π

_∫

x nxdx = d 2 cos ) ( n d d nxdx=a

∫

+2Π_cos2 _п 12. a d x nxdx d n

∫

∫

Π + Π = 1 2 ( )cos

c.

Mencari bn

Bentuk (10) dikalikan sin nx kemudian di integralkan ke x, dari x = d sampai x = 2п dx nx b nx a nx dx nx a dx nx x d d n n n d d d

d ( )sin ₂ sin sin ( cos sin )

2 1 2 0 2

∫

∑

∫

∫ ∫

+ Π = + Π + + Π ∞₌ + x nxdx a nxdx a d nxcosxdx d d d d d

∫

∫

∫

+ Π

∫

= + Π + 1 +2Π 2 0 2 sin sin 2 sin ) ( dx nx nx a dx x nx a xdx nx a d d n d d d d

∫

∫

∫

+ Π + 3 +2Π + + +2Π 2

2 sin cos2 sin cos3 ... sin cos

dx nx b dx x nx b xdx nx b d d n d d d d

∫

∫

∫

+ Π + +2Π + + +2Π 2 2 2

1 sin sin sin sin2 ... sin .

n d d n d d x nxdx=b

∫

nxdx=b

∫

+2Π

∫

+2Π ₂ sin sin ) ( 13. b d x nxdx d n

∫

∫

Π + Π = 1 2 ( )sin

Bentuk (11), (12) dam (13) disebut koefisien fourier dari

∫

( x).

∑

∫

= + ∞₌ + 1 0 _{( cos sin )} 2 ). ( n nx bn nx an a x Dimana : a d x dx d

∫

+ Π

∫

Π = 2 0 ( ) 1 a d x nxdx d n

∫

∫

Π + Π = 1 2 ( )cos dx nx x b d d n

∫

∫

Π + Π = 1 2 ( )sin Contoh :

1. Tentukan deret Fourier

∫

( x)._=X2_{, 0 ≤ x ≤ 2п} Jawab: dx x a d d

∫

+ Π

∫

Π = 2 0 ( ) 1 d x dx d

∫

+Π Π = 1 2 2 x dx Π     Π = 2 0 3 3 1 1 _{(2 )}3 3 1 . 1 Π Π = 2 3 8 Π = 2. a d x nxdx d n

∫

∫

Π + Π = 1 2 ( )cos dx nx a_n

∫

Π Π = 2 0 cos 1

Π       ₊ Π = 2 0 2 2_{sin 2 cos} 1 n nx x n nx x a_n 2 2 cos 4 1 n nΠ Π Π = 2 2 4 2 cos 4 n n n a_n = Π Π = 1 2 2 2 3 2 4 ₂ 4 4 ; 3 4 ; 2 4 ; 1 4 = = = = a a a a dx nx x b d d n

∫

∫

Π + Π = 1 2 ( )sin nxdx x b_n 1 2sin Π = Π      _{− +} Π = 2 0 2 2_{cos 2 sin} 1 n nx x n nx x      ₋ Π Π₊ Π Π Π = 1 4 2cos2 4 sin₂2 n n n n 3 4 ; 2 4 ; 1 4 3 2 1 Π − = = Π − Π − = b b b

Deret Fourier

∫

( x). _=X2 _{; 0 ≤ x ≤ 2п adalah}

∫

( x).₌

∑

∞ = + + 1 0 _{( cos sin )} 2 n nx bn nx an a



















₊

₊

₊

₊

+

Π

=

...

4

4

cos

3

3

cos

2

2

cos

1

cos

2

3

8

2 2 2 2 2 2

x

x

x

x

X

_         _{+ + + +} Π − 2 2 2 ₄2 4 sin 3 3 sin 2 2 sin 1 sin 4 x x x x



















₊

₊

₊

₊

+

Π

=

...

4

4

cos

3

3

cos

2

2

cos

1

cos

4

2

3

4

2 2 2 2 2 2

x

x

x

x

X

         _{+ + + +} Π − _{2 2 2 2} 4 4 sin 3 3 sin 2 2 sin 1 sin 4 x x x x Contoh

2). Tentukan deret Fourier

∫

( x). _=X2 _{; - п < x < п adalah} Jawab : a

∫ ∫

x dx

∫

Πx dx Π − Π Π − =Π Π = 2 0 1 ) ( 1 = Π Π −     Π 3 3 1 1 X =

(

)

3 2 3 1 2 3 3_{+Π =} Π Π Π nxdx x a_n 1 2cos

∫

−ΠΠ Π = Π Π −       ₊ Π = 2 2 2_{sin 2 cos} 1 n nx x n nx x a_n Π Π −     Π = 2 2 cos 2 1 n nx x a_n     Π Π₊ Π Π Π = 2 2 cos 2 cos 2 1 n n n n = 4cos₂ 4₂ n n n = Π nxdx x b_n 1 2sin

∫

−ΠΠ Π = Π Π −      − ₊ Π = 2 2 2_{cos 2 sin} 1 n nx x n nx x b_n 1 ( 2 )cos 2( ) cos ( ) 0 2 =       − Π Π₋ −Π −Π Π = n n n n

Contoh

1). Tentukan deret Fourier

∫

( x). _{= (2X)}2 _{; - п < x < п}

Contoh :

2. Tentukan deret Fourier

∫

( x)._{=( X}2 _{+ 3 ), 0 ≤ x ≤ 2п}

Contoh

3). Tentukan deret Fourier

∫

( x). _{= SinX}2 _{; - п < x < п}

DAFTAR ISI

Hal

A. INTEGRAL RANGKAP

1. Integral Ganda 4

2. Integral Lipat Dua Dengan Batas Persegi panjang 5 3. Integral Lipat Dua Dengan Batas Bukan Persegi Panjang 10

4. Aplikasi Integral Lipat Dua 14

DAFTAR PUSTAKA

Erwin Kreyszig, Matematika Teknik Lanjutan, 1993.

Folland, G.B., Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth & Brooks, 1992.

Muhammad Razali, Mahmud N. Siregar, Faridawaty Marpaung, Kalkulus Differensial, Agustus 2010.

Wikaria Gazali, Kalkulus Lanjut, 2007.

Yusuf Yahya, D. Suryadi HS., Agus S., Matematika Dasar Perguruan Tinggi, Februari 2010.

BUKU AJAR

KALKULUS PEUBAH BANYAK

Oleh:

Ir. LILIK ZULAIHAH, MSi

PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS PEMBANGUNAN NASIONAL “VETERAN”

JAKARTA, 2010

BUKU AJAR

MATEMATIKA REKAYASA

Oleh:

Ir. LILIK ZULAIHAH, MSi

PROGRAM STUDI TEKNIK INDUSTRI

FAKULTAS TEKNIK