• Tidak ada hasil yang ditemukan

4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Membagikan "4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1"

Copied!
32
0
0

Teks penuh

(1)

4. TURUNAN

(2)

4.1 Konsep Turunan

c x

c f x

m

PQ

f

= ( ) − ( )

4.1.1 Turunan di satu titik

Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung

Kemiringan tali busur PQ adalah :

c

f(c) P

x

f(x) Q

x-c

f(x)-f(c)

Jika x à c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan

f(c)

f(x)

(3)

n  b. Kecepatan Sesaat

Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).

n  Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah

c

c+h

Perubahan waktu Perubahan posisi

s

f(c) f(c+h)

h

c f h c

vrata rata f ( + )− ( )

=

(4)

Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan

Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi didefinisikan sebagai berikut:

h

c f h c v f

v h rata rata h

) ( )

lim (

lim0 0

= +

=

c x

f(c) v f(x)

c

x

= −

lim

) ( ' c f

f(c) c f(x)

f ' ( ) lim −

(5)

Notasi lain :

Contoh : Diketahui tentukan )

( ' ) ,

( y c

dx c df

) x x (

f 1

=

− =

= −

3

3 3

3

x

) f(

lim f(x) )

f'(

x 3

3 1 1

lim3

x

x

x

− =

= −

x(x )

x

x

3 3

lim 3

3

9 1 3

lim 1

3

− = −

=

x

x

) 3 ( ' f

) x(x

x

x

3 3

) 3 lim (

3

(6)

4.1.2 Turunan Sepihak

Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

bila limit ini ada.

Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau ada, jika

c ) f ( c ) (

f

'

=

+'

c x

c f x

c f

f

x c

=

) ( )

lim ( )

'

(

c x

f(c) (c) f(x)

f

x c

'

=

+

+

lim

) ( ' c f )

c ( f ) c ( f ) c (

'f =

_'

=

+'

dan

(7)

Contoh : Diketahui

⎩ ⎨

⎧

≥ +

<

+

= −

1 ,

2 1

1 ,

) 3 (

2

x x

x x

x x f

Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan

Jawab :

a.

b.

Jadi, f diferensiabel di x=1.

dan f

'

( 1 ) = 1 .

) 1 ( ' f

1 1 1

1

=

x

) ( f ) x ( lim f )

( f

x '

1

) 1 2 1 ( lim 3

2

1

+

− +

=

x

x x

x

lim 1

2

1

=

x

x x

x

1

1 ) 1 lim (

1

=

=

x

x x

x

1 1 1

1

=

+

+ x

) ( f ) x ( lim f )

( f

x '

1

) 1 2 1 ( 2

lim 1

1

+

=

+

+

x

x

x

1 2 lim 2

1

=

+

x

x

x

) 1 1 )(

1 (

lim 1

2

1

=

+

=

+

x x

x

x

(8)

¨  Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c èf kontinu di c.

¨  Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah

¨  Perhatikan bahwa

¨  Maka

¨  Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

) ( )

(

lim f x f c

c

x

=

c x

c c x

x

c f x

c f f x

f − ≠

− + −

= ( ) ( ).( ) ,

) ( )

(

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

− + −

=

( ) ( ) ( )

) ( lim

) (

lim x c

c x

c f x

c f f x

f

x c

c x

) (

lim ) .

( )

lim ( )

(

lim x c

c x

c f x

c f

f

x c x c

c

x

− + −

=

0 ).

( ' )

(c f c

f +

= = f(c). Terbukti.

(9)

Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0

Jawab

Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0

⎩ ⎨

⎧

<

= ≥

= , 0

0

| ,

| )

( x x

x x x

x f

) x ( f lim

x→0

0 ) (

lim

0

− =

=

x

x

) x ( f lim

x→0+

0 lim

0

=

=

+

x

x

lim ( ) 0

0

=

f x

x

) 0 ( )

(

lim

0

f x f

x

=

f(0) = 0

q

q

q

f kontinu di x=0

(10)

0 0 0

0

= −

x

) ( f ) x ( lim f )

( f

x

'

0 lim 1

lim

0 0

− = −

− =

=

x

x x

x

x x

0 0 0

0

= −

+

+ x

) ( f ) x ( lim f

) ( f

x

'

0 lim 1 .

lim

0

− =

0

=

=

+ +

x

x x

x

x x

Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0

1 ) 0 ( )

0 (

1 =

'

'

=

f

f

+

Karena

maka f tidak diferensiabel di 0.

(11)

4.2 Aturan Pencarian Turunan

Fungsi Turunan Pertama

n  Definisi 4.2 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai

n  atau jika h=t-x

bila limitnya ada.

n  Notasi lain , bentuk dikenal sebagai notasi Leibniz.

Ι

− ∀

= −

x

x t

x f t

x f

f t x ( ) ( ) ,

lim )

('

Ι

− ∀

= +

x

h

x f h

x x f

f

h

( ) ( ) ,

lim )

('

0

) ( ,

), , (

,' D y D f x

dx x df dx

y dy x x

dx dy

) ( ' x f

(12)

n  Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :

1. Jika f (x)=k, maka 2.

3.

4.

5. dengan g(x) 0.

( )

rx r R

dx x

d r r

= 1;

( )

f (x) g (x)

dx

g(x) f(x)

d ' '

+ + =

( ( ) ( ) ) f

'

( x ) g ( x ) f ( x ) g

'

( x )

dx x g x f

d = +

(

( ) ( )

) f

'

( x ) g ( x ) f ( x ) g

'

( x )

d

f x g x

= ≠

0 )

(

' x = f

(13)

Bukti aturan ke-4 Misal h(x) = f(x)g(x)

h

x h h x x h

h h

) ( ) lim (

) (

' 0

= +

h

x g x f h x g h x f

h

) ( ) ( ) (

) lim (

0

+

= +

h

x g x f x g h x f x g h x f h x g h x f

h

) ( ) ( )

( ) (

) ( ) (

) (

) lim (

0

+

+ +

+

= +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ +

+ + +

= h

x f h x x f

h g

x g h x h g x

h f

) ( ) ) (

) ( ( ) ) (

( lim0

h

x f h x x f

h g

x g h x h g

x

f h h h

h

) ( ) lim (

) ( ) lim

( ) lim (

) (

lim0 0 0 0

+ +

+ +

=

) ( ' ) ( )

( ' )

(x g x g x f x

f +

=

) ( ' ) ( )

( ) (

' x g x f x g x

f +

=

(14)

1 ) 3

( 2

+

= + x x x

f

2 2 1 6x 2x

x +

2 1 2 3

1.(x + ) x( x+ )

3.Tentukan turunan pertama dari

x . x2 6 +1

Contoh

1. Tentukan turunan pertama dari f (x) = x3 +3x2 +4 Jawab :

0 2

. 3 3

) (

' x = x2 + x +

f

= 3 x

2

+ 6 x

2. Tentukan turunan pertama dari f (x) = (x3 +1)(x2 +2x+3) Jawab :

) 2 2

)(

1 (

) 3 2

( 3 ) (

' x = x2 x2 + x+ + x3 + x + f

2 2

2 2

9 6

3 4 + 3 + 2 + 4 + 3 + +

= x x x x x x

2 2

9 8

5

4

+

3

+

2

+ +

= x x x x

Jawab :

(15)

Soal Latihan

Tentukan fungsi turunan pertama dari

) 1 2

( ) 1 (

)

( x = x + x

3

+ x + f

1 ) 1

( −

= + x x x

f

) 1

(

2

= − x x x

f

1 ) 1

(

2

2

+

= − x x x

f

1 )

( x = x

1/2

+

3

x

2

+ f

1.

2.

3.

4.

5.

(16)

4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus

Bukti:

a. Misal f(x) = sin x maka

x x

f x

x f

a . ( ) = sin → ' ( ) = cos

x x

f x

x f

b . ( ) = cos → ' ( ) = − sin

x t

x x t

f t x

= −

sin limsin

) ( '

2 ) (

2 ) sin(

lim 2 ).

cos(

lim

2 0 t x

x t x

t

x x t

t

= +

x t

x t x

t

x

t

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

sin 2 cos 2

2 lim

. cos 1

.

cos x = x

=

(17)

b. Misal f(x) = cos x maka

h

x h

x x

f

h

cos )

lim cos(

) (

'

0

= +

h

x x

x

h

cos sinh

sin cosh

lim cos

0

= −

h

x x

h

sinh sin

) 1 (cosh lim cos

0

= −

x h

h x h

h

sin sinh 2)

sin ( cos lim

2

0

=

sinh) 4 sin

) 2 / (

2) sin ( cos (

lim 2

2

0 x h

h

h h x

h

= h x h

h x h

h h

limsinh 4 sin

2 /

) 2 / lim sin(

cos 0

2 0

) 2 /

( ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

=

x x

x.0 sin sin

cos − = −

=

(18)

Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v

( ) ( )

dx d

dx x

c d

x

xcos

tan

sin

. =

x 2 x x

2 2

cos sin cos +

= cos2 x

= 1

= sec

2

x

( ) ( )

dx d dx

x

d d x

xsin

cot cos

. =

x

x x

2

2 2

sin

cos sin −

= −

2 x sin

−1

=

= − csc

2

x

( ) ( )

dx d dx

x

e d sec 1cosx

. = = cossin2xx

x x

x

cos 1 cos

= sin

= tan x sec x

( ) ( )

dx d dx

x

f d csc 1sinx

. = = sincos2 xx x x

x sin

1 sin

− cos

=

= − csc x cot x

(19)

4.4 Aturan Rantai

n 

Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada , maka

Contoh : Tentukan dari Jawab :

Misal sehingga bentuk diatas menjadi Karena

dan

maka

dx du du dy dx

dy =

du dy

dx du

dx

dy

sin( 2 1)

+

= x

y

2

1 + u = x

dx x

du = 2

u y sin =

du u

dy = cos

) 1 cos(

2

2

+

= x x

x dx x

dy = cos(

2

+ 1 ) 2

(20)

dx dv dv du du dy dx

dy =

Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan

dx dv dv

du du

dy , ,

Ada, maka

Contoh : Tentukan

dx

dy

4( 3 5)

+

= Sin x dari y

3

5 +

v = x dx dv = 3 x

2

Jawab :

Misal

u = Sin v = cosv = cos(x3 +5) dv

du

u

4

y =

= 4u3 = 4Sin3(x3 +5)

du dy

sehingga

(21)

n  Contoh : Tentukan jawab :

1 ))

( ( )

(

'

2

f x

2

= x

2

+

dx jika d

x f

2 1

2 ))= x + x

( f dx (

d

2

2 1

'( ) 2 f x x

x

⇔ = +

1

2

2

2

= +

f ' ( x ). x x

(22)

( )

y = 2 x − 3 10 y = sin 3 x

( x x )

y = cos

4

4

2

2

1 1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

= + x y x

Tentukan fungsi turunan pertama dari

y = sin x tan [ x2 + 1 ] Soal Latihan

y x x

x x

= − +

+ −

2 2

2 5

2 3

1.

2.

3.

4.

5.

6.

(23)

4.5 Turunan Tingkat Tinggi

n  Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).

n  Turunan pertama

n  Turunan kedua

n  Turunan ketiga

n  Turunan ke-n

n  Contoh : Tentukan dari

n  Jawab :

f x df x

( )

' ( ) = dx

( )

2 2

) (

"

dx x f x d

f =

( )

3 3

) ( '

"

dx x f x d

f =

( )

( )

n n n

dx x f x d

f ( ) =

( ( ) )

)

(

( 1)

)

(

f x

dx x d

f

n

=

n

x x

y = 4

3

+ sin

x x

y ' = 12

2

+ cos maka y ' ' = 24 x sin x ''

y

(24)

( )

y = sin 2 x − 1

( )

y = 2 x − 3

4

y x

= x

+ 1

( )

y = cos 2 π x

f "( ) = 0 c f x ( ) = x

3

+ 3 x

2

− 45 x − 6 g x ( ) = ax

2

+ b x c +

3 ) 1 ( ' =

g

g '' ( 1 ) = − 4

A. Tentukan turunan kedua dari

B. Tentukan nilai c sehingga bila

C. Tentukan nilai a, b dan c dari bila g (1) = 5, dan

Soal Latihan

1.

2.

3.

4.

(25)

4.6 Turunan Fungsi Implisit

n  Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam

bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x.

Contoh :

n  Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.

10 .

1 x

3

y

2

+ x

2

+ y =

1 )

sin(

.

2 xy + x

2

= y

2

+

(26)

Jawab

) 10 ( )

( )

( )

( 3 2 x 2 x x

x x y D x D y D

D + + =

0 ' 2

) ' 2

3

( x2y2 + x3y y + x + y =

2 2

3 1) ' 2 3

2

( x y + y = x x y 1

2 3

' 2 3

2 2

+

=

y x

y x y x

) 10 ( )

( .

1 Dx x3y2 + x2 + y = Dx

0 ' 2 2

) ' (

)

cos(xy y + xy + x = yy +

) cos(

2 '

) 2 ) cos(

(x xyy y = − xy xy

y xy

x

xy y

y x

2 ) cos(

) cos(

' 2

=

) 1 (

) )

sin(

( .

2 Dx xy + x2 = Dx y2 +

10 .

1 x3y2 + x2 + y = 2. sin(xy)+ x2 = y2 +1 Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut

(27)

y

'

( )

y + sin xy = 1

x 3 − 3 x y y 2 + 2 = 0

Tentukan turunan pertama ( ) dari bentuk implisit

tan ( x y ) - 2 y = 0 Soal Latihan

x y

xy

x

2

sin( ) + =

1.

2.

3.

4.

(28)

4.7 Garis singgung dan garis normal

n 

Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x

0

,y

0

) dengan kemiringan m adalah

y – y

0

= m( x – x

0

).

n 

Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal.

n 

Persamaan garis normal di titik (x

0

,y

0

) adalah

).

1 (

0

0

x x

y

y − = − −

(29)

4 2

. 4 2

. 3 )

6 , 2 ( ' 4

3

' = x

2

xy =

2

− = y

4 − 2 y = x

) 2 (

4

6 = −

x

y

2 1 4

6 1 )

2 4 (

6 = − 1 − ⇔ − = − +

x y x

y

2 . 13 4

1 +

= x

y Jawab :

Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :

Persamaan garis normal dititik (2,6) :

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal

fungsi di (2,6). y = x3 2x2 +6

(30)

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva

0

2

6

2

y − xy − =

x

di titik dengan absis( x) = 1

Jawab :

Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh

0

2

6

=

y − y ⇔ ( y − 3 )( y + 2 ) = 0

) 0 ( )

6

( 2 2 x

x x y xy D

D − − =

y = 3 dan y = -2 Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2)

Hitung terlebih dahulu

y '

dengan menggunakan turunan fungsi implisit

⇔ 2 xy

2

+ 2 x

2

yy ' − ( y + xy ' ) − 0 = 0

(31)

0 '

' 2

2 xy

2

+ x

2

yyyxy =

2

2

) ' 2

2

( x yx y = yxy

x y x

xy y y

= −

2

2

2 ' 2

Di titik (1,3)

5 3 15 1

3 . 1 . 2

9 . 1 . 2

|'(1,3) 3 =

=

= y

Persamaan garis singgung

3 3 )

1 ( 3

3= = +

x x

y

6 3x+ y =

Persamaan garis normal

3 1 3 ) 1 1 3(

3= 1 =

x x

y

8 3 = x− y

(32)

Di titik (1,-2)

5 2 10 1

) 2 .(

1 . 2

4 . 1 . 2

|'(1, 2) 2 =

= −

= − y

Persamaan garis singgung

2 2

) 1 (

2

2 = − = −

+ x x

y

4 2 x − y =

Persamaan garis normal

2 1 2

) 1 1 2(

2 = − 1 − = − +

+ x x

y

3

2 = −

x + y

Referensi

Dokumen terkait

Alasan penulis memilih teks ini karena dalam konteks pengajaran Yesus tentang penghakiman terakhir tersebut, sangat jelas Yesus menunjukkan keberpihakan-Nya kepada kaum

Hasil penelitian terhadap perempuan (istri) pegawai tetap di Universitas HKBP Nommensen (Sihotang Maria, 2010), bahwa motivasi mereka bekerja untuk membantu

Jarak antara baris satu dengan baris berikutnya dalam pengetikan laporan kerja praktek adalah dua spasi. Khususnya untuk judul tabel, dan judul gambar yang lebih

[r]

[r]

Misalkan pernyataan bahwa bilangan 2, 3, …, n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima adalah benar (hipotesis induksi).. Menurut

Rumah Sakit adalah sarana upaya kesehatan yang menyelenggarakan kegiatan pelayanan berupa pelayanan rawat jalan, pelayanan rawat inap, pelayanan rawat darurat yang

Menurut Ibnu Abbas radhiallaahu 'anhu, &#34;Ketika firman Allah, 'Tidaklah sama antara mukmin yang duduk (yang tidak turut berperang) yang tidak mempunyai uzur dengan orang-orang