4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1

4. TURUNAN

4.1 Konsep Turunan

c x

c f x

m

_PQ

f

−

= ( ) − ( )

4.1.1 Turunan di satu titik

Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema ) a. Garis Singgung

Kemiringan tali busur PQ adalah :

c

f(c) P

x

f(x) Q

x-c

f(x)-f(c)

Jika x à c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di ttk P dgn kemiringan

f(c)

f(x) −

n  b. Kecepatan Sesaat

Misal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinat sehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).

n  Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah

c

c+h

Perubahan waktu Perubahan posisi

s

f(c) f(c+h)

h

c f h c

v_{rata rata} f ( + )− ( )

− =

Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :

Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk

Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dan kecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebut berada dalam satu tema, yaitu turunan

Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi didefinisikan sebagai berikut:

h

c f h c v f

v h rata rata h

) ( )

lim (

lim0 0

−

= +

= → − →

c x

f(c) v f(x)

c

x

−

= −

lim

→

) ( ' c f

f(c) c f(x)

f ' ( ) lim −

Notasi lain :

Contoh : Diketahui tentukan )

( ' ) ,

( y c

dx c df

) x x (

f 1

=

− =

= −

→

3

3 3

3

x

) f(

lim f(x) )

f'(

x 3

3 1 1

lim3 −

−

→ x

x

x

− =

= −

→

x(x )

x

x

3 3

lim 3

3

9 1 3

lim 1

3

− = −

=

^x→

x

) 3 ( ' f

) x(x

x

x

3 3

) 3 lim (

3

−

−

−

→

4.1.2 Turunan Sepihak

Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :

bila limit ini ada.

Fungsi f dikatakan mempunyai turunan(diferensiabel) di c atau ada, jika

c ) f ( c ) (

f

₋^'

=

₊^'

c x

c f x

c f

f

x c

−

=

₋

−

− →

) ( )

lim ( )

'

(

c x

f(c) (c) f(x)

f

x c

'

−

=

₊

−

+

lim

→

) ( ' c f )

c ( f ) c ( f ) c (

'f =

_{_}^'

=

₊^'

dan

Contoh : Diketahui

⎩ ⎨

⎧

≥ +

<

+

= −

1 ,

2 1

1 ,

) 3 (

2

x x

x x

x x f

Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1 Jika ya, tentukan

Jawab :

a.

b.

Jadi, f diferensiabel di x=1.

dan f

^'

( 1 ) = 1 .

) 1 ( ' f

1 1 1

1 −

= −

→ −

− x

) ( f ) x ( lim f )

( f

x '

1

) 1 2 1 ( lim 3

2

1 −

+

− +

= ₋ −

→ x

x x

x

lim 1

2

1

−

=

₋

−

→

x

x x

x

1

1 ) 1 lim (

1

=

−

=

₋

−

→

x

x x

x

1 1 1

1 −

= −

→ +

+ x

) ( f ) x ( lim f )

( f

x '

1

) 1 2 1 ( 2

lim 1

1

−

+

−

=

₊

+

→

x

x

x

1 2 lim 2

1

−

=

₊

−

→

x

x

x

) 1 1 )(

1 (

lim 1

2

1

=

+

−

=

₊

−

→

x x

x

x

¨  Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c èf kontinu di c.

¨  Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah

¨  Perhatikan bahwa

¨  Maka

¨  Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.

) ( )

(

lim f x f c

c

x

=

→

c x

c c x

x

c f x

c f f x

f − ≠

− + −

= ( ) ( ).( ) ,

) ( )

(

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

− + −

=

→

→

( ) ( ) ( )

) ( lim

) (

lim x c

c x

c f x

c f f x

f

x c

c x

) (

lim ) .

( )

lim ( )

(

lim x c

c x

c f x

c f

f

x c x c

c

x

−

− + −

=

→ → →

0 ).

( ' )

(c f c

f +

= = f(c). Terbukti.

Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = | x | kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0

Jawab

Akan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0

⎩ ⎨

⎧

<

−

= ≥

= , 0

0

| ,

| )

( x x

x x x

x f

) x ( f lim

x→0⁻

0 ) (

lim

0

− =

=

₋

→

x

x

) x ( f lim

x→0⁺

0 lim

0

=

=

₊

→

x

x

lim ( ) 0

0

=

→

f x

x

) 0 ( )

(

lim

0

f x f

x

=

→

f(0) = 0

q

q

q

f kontinu di x=0

0 0 0

0 −

= −

→ −

− x

) ( f ) x ( lim f )

( f

x

'

0 lim 1

lim

0 0

− = −

− =

=

₋

−

₋

→

→

x

x x

x

x x

0 0 0

0 −

= −

→ +

+ x

) ( f ) x ( lim f

) ( f

x

'

0 lim 1 .

lim

0

− =

0

=

=

_{+ +}

→

→

x

x x

x

x x

Selidiki apakah f terdiferensialkan di x=0

1 ) 0 ( )

0 (

1 =

^'

≠

^'

=

− f

₋

f

₊

Karena

maka f tidak diferensiabel di 0.

4.2 Aturan Pencarian Turunan

•  Fungsi Turunan Pertama

n  Definisi 4.2 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai

n  atau jika h=t-x

bila limitnya ada.

n  Notasi lain , bentuk dikenal sebagai notasi Leibniz.

Ι

∈

− ∀

= −

→ x

x t

x f t

x f

f t x ( ) ( ) ,

lim )

('

Ι

∈

− ∀

= +

→

x

h

x f h

x x f

f

h

( ) ( ) ,

lim )

('

0

) ( ,

), , (

,' D y D f x

dx x df dx

y dy _{x x}

dx dy

) ( ' x f

n  Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :

1. Jika f (x)=k, maka 2.

3.

4.

5. dengan g(x) 0.

( )

_{rx r R}

dx x

d ^r _r

∈

= ⁻¹;

( )

_{f (x) g (x)}

dx

g(x) f(x)

d _{' '}

+ + =

( ^{( ) ( )} ) _f

^'

_{( x ) g ( x ) f ( x ) g}

^'

_{( x )}

dx x g x f

d = +

(

^{( ) ( )}

) ^f

^'

^{( x ) g ( x ) f ( x ) g}

^'

^{( x )}

d

^{f x} _{g x}

−

= ≠

0 )

(

' x = f

Bukti aturan ke-4 Misal h(x) = f(x)g(x)

h

x h h x x h

h h

) ( ) lim (

) (

' 0

−

= +

→ h

x g x f h x g h x f

h

) ( ) ( ) (

) lim (

0

− +

= +

→

h

x g x f x g h x f x g h x f h x g h x f

h

) ( ) ( )

( ) (

) ( ) (

) (

) lim (

0

− +

+ +

− +

= +

→

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

− + + +

= → h

x f h x x f

h g

x g h x h g x

h f

) ( ) ) (

) ( ( ) ) (

( lim0

h

x f h x x f

h g

x g h x h g

x

f h h h

h

) ( ) lim (

) ( ) lim

( ) lim (

) (

lim0 0 0 0

− + +

− + +

= → → → →

) ( ' ) ( )

( ' )

(x g x g x f x

f +

=

) ( ' ) ( )

( ) (

' x g x f x g x

f +

=

1 ) 3

( ₂

+

= + x x x

f

2 2 1 6x 2x

x + − −

2 1 2 3

1.(x + )− x( x+ )

3.Tentukan turunan pertama dari

x . x² −6 +1

− Contoh

1. Tentukan turunan pertama dari f (x) = x³ +3x² +4 Jawab :

0 2

. 3 3

) (

' x = x² + x +

f

= 3 x

²

+ 6 x

2. Tentukan turunan pertama dari f ⁽x⁾ = ⁽x³ +¹⁾⁽x² +²x+³⁾ Jawab :

) 2 2

)(

1 (

) 3 2

( 3 ) (

' x = x² x² + x+ + x³ + x + f

2 2

2 2

9 6

3 ⁴ + ³ + ² + ⁴ + ³ + +

= x x x x x x

2 2

9 8

5

⁴

+

³

+

²

+ +

= x x x x

Jawab :

Soal Latihan

Tentukan fungsi turunan pertama dari

) 1 2

( ) 1 (

)

( x = x + x

³

+ x + f

1 ) 1

( −

= + x x x

f

) 1

(

₂

= − x x x

f

1 ) 1

(

₂

2

+

= − x x x

f

1 )

( x = x

^1/2

+

³

x

²

+ f

1.

2.

3.

4.

5.

4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus

Bukti:

a. Misal f(x) = sin x maka

x x

f x

x f

a . ( ) = sin → ' ( ) = cos

x x

f x

x f

b . ( ) = cos → ' ( ) = − sin

x t

x x t

f t x −

= −

→

sin limsin

) ( '

2 ) (

2 ) sin(

lim 2 ).

cos(

lim

2 0 t x

x t x

t

x x t

t −

−

= +

− →

→

x t

x t x

t

x

t −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎟ ⎛ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

= →

sin 2 cos 2

2 lim

. cos 1

.

cos x = x

=

b. Misal f(x) = cos x maka

h

x h

x x

f

h

cos )

lim cos(

) (

'

0

−

= +

→

h

x x

x

h

cos sinh

sin cosh

lim cos

0

−

= −

→

h

x x

h

sinh sin

) 1 (cosh lim cos

0

−

= −

→ x h

h x h

h

sin sinh 2)

sin ( cos lim

2

0 −

−

= →

sinh) 4 sin

) 2 / (

2) sin ( cos (

lim ₂

2

0 x h

h

h h x

h −

−

= → h x h

h x h

h h

limsinh 4 sin

2 /

) 2 / lim sin(

cos 0

2 0

) 2 /

( → ⎟ − →

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

=

x x

x.0 sin sin

cos − = −

=

Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnya turunan bentuk u/v

( ) ( )

dx d

dx x

c d

^x

xcos

tan

sin

. =

^{x 2} _x ^x

2 2

cos sin cos +

= cos² x

= 1

= sec

²

x

( ) ( )

dx d dx

x

d d ^x

xsin

cot cos

. =

x

x x

2

2 2

sin

cos sin −

= −

2 x sin

−1

=

= − csc

²

x

( ) ( )

dx d dx

x

e d sec ^1cosx

. = ⁼ _cos^sin2x_x

x x

x

cos 1 cos

= sin

= tan x sec x

( ) ( )

dx d dx

x

f d csc ^1sinx

. = ^{= −}_sin^cos2 _x^x _{x x}

x sin

1 sin

− cos

=

= − csc x cot x

4.4 Aturan Rantai

n 

Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada , maka

Contoh : Tentukan dari Jawab :

Misal sehingga bentuk diatas menjadi Karena

dan

maka

dx du du dy dx

dy =

du dy

dx du

dx

dy

_sin( 2 ₁₎

+

= x

y

2

1 + u = x

dx x

du = 2

u y sin =

du u

dy = cos

) 1 cos(

2

²

+

= x x

x dx x

dy = cos(

²

+ 1 ) 2

dx dv dv du du dy dx

dy =

→

Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dan

dx dv dv

du du

dy , ,

_{Ada, maka}

Contoh : Tentukan

dx

dy

⁴₍ ³ ₅₎

+

= Sin x dari y

3

5 +

v = x _dx ^{dv = 3 x}

²

Jawab :

Misal

→

u = Sin v = cosv = cos(x³ +5) dv

du

u

4

y =

_{= 4u}³ _{= 4Sin}³_(x³ ₊₅₎

du dy

→

sehingga

n  Contoh : Tentukan jawab :

1 ))

( ( )

(

'

²

f x

²

= x

²

+

dx jika d

x f

2 1

2 ))= x + x

( f dx (

d

2

2 1

'( ) 2 f x x

x

⇔ = +

1

2

²

2

= +

⇔ f ' ( x ). x x

( )

y = 2 x − 3 ¹⁰ y = sin ³ x

( ^{x x} )

y = cos

⁴

4

²

−

2

1 1 ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

−

= + x y x

Tentukan fungsi turunan pertama dari

y = sin x tan [ x² + 1 ] Soal Latihan

y x x

x x

= − +

+ −

2 2

2 5

2 3

1.

2.

3.

4.

5.

6.

4.5 Turunan Tingkat Tinggi

n  Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).

n  Turunan pertama

n  Turunan kedua

n  Turunan ketiga

n  Turunan ke-n

n  Contoh : Tentukan dari

n  Jawab :

f x df x

( )

' ( ) = dx

( )

2 2

) (

"

dx x f x d

f =

( )

3 3

) ( '

"

dx x f x d

f =

( )

( )

n n n

dx x f x d

f ( ) =

( ^{( )} )

)

(

^{( 1)}

)

(

f x

dx x d

f

ⁿ

=

ⁿ⁻

x x

y = 4

³

+ sin

x x

y ' = 12

²

+ cos ^{maka y ' ' = 24 x − sin x} ''

y

( )

y = sin 2 x − 1

( )

y = 2 x − 3

⁴

y x

= x

+ 1

( )

y = cos ² π x

f "( ) = 0 c f x ( ) = x

³

+ 3 x

²

− 45 x − 6 g x ( ) = ax

²

+ b x c +

3 ) 1 ( ' =

g

g '' ( 1 ) = − 4

A. Tentukan turunan kedua dari

B. Tentukan nilai c sehingga bila

C. Tentukan nilai a, b dan c dari bila g (1) = 5, dan

Soal Latihan

1.

2.

3.

4.

4.6 Turunan Fungsi Implisit

n  Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam

bentuk y = f(x) maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x.

Contoh :

n  Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.

10 .

1 x

³

y

²

+ x

²

+ y =

1 )

sin(

.

2 xy + x

²

= y

²

+

Jawab

) 10 ( )

( )

( )

( ^{3 2} _x ² _{x x}

x x y D x D y D

D + + =

0 ' 2

) ' 2

3

( x²y² + x³y y + x + y =

2 2

3 1) ' 2 3

2

( x y + y = − x − x y 1

2 3

' 2 ₃

2 2

+

−

= −

y x

y x y x

) 10 ( )

( .

1 D_x x³y² + x² + y = D_x

0 ' 2 2

) ' (

)

cos(xy y + xy + x = yy +

) cos(

2 '

) 2 ) cos(

(x xy − y y = − x − y xy

y xy

x

xy y

y x

2 ) cos(

) cos(

' 2

−

−

= −

) 1 (

) )

sin(

( .

2 D_x xy + x² = D_x y² +

10 .

1 x³y² + x² + y = ^{2. sin(}xy⁾+ x² = y² +¹ Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut

y

'

( )

y + sin xy = 1

x ³ − 3 x y y ² + ² = 0

Tentukan turunan pertama ( ) dari bentuk implisit

tan ( x y ) - 2 y = 0 Soal Latihan

x y

xy

x

²

sin( ) + =

1.

2.

3.

4.

4.7 Garis singgung dan garis normal

n 

Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x

₀

,y

₀

) dengan kemiringan m adalah

y – y

₀

= m( x – x

₀

).

n 

Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal.

n 

Persamaan garis normal di titik (x

₀

,y

₀

) adalah

).

1 (

0

0

x x

y

y − = − −

4 2

. 4 2

. 3 )

6 , 2 ( ' 4

3

' = x

²

− x → y =

²

− = y

4 − 2 y = x

) 2 (

4

6 = −

− x

y

2 1 4

6 1 )

2 4 (

6 = − 1 − ⇔ − = − +

− x y x

y

2 . 13 4

1 +

−

= x

y Jawab :

Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :

Persamaan garis normal dititik (2,6) :

Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal

fungsi di (2,6). y = x³ −2x² +6

Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva

0

2

6

2

y − xy − =

x

di titik dengan absis( x) = 1

Jawab :

Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh

0

2

6

=

−

y − y ⇔ ( y − 3 )( y + 2 ) = 0

) 0 ( )

6

( ^{2 2} _x

x x y xy D

D − − =

y = 3 dan y = -2 Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaan garis singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2)

Hitung terlebih dahulu

y '

dengan menggunakan turunan fungsi implisit

⇔ 2 xy

²

+ 2 x

²

yy ' − ( y + xy ' ) − 0 = 0

0 '

' 2

2 xy

²

+ x

²

yy − y − xy =

2

2

) ' 2

2

( x y − x y = y − xy

x y x

xy y y

−

= −

₂

2

2 ' 2

Di titik (1,3)

5 3 15 1

3 . 1 . 2

9 . 1 . 2

|'_(1,3) 3 − = −

− =

= − y

Persamaan garis singgung

3 3 )

1 ( 3

3=− − = − +

− x x

y

6 3x+ y =

Persamaan garis normal

3 1 3 ) 1 1 3(

3= 1 − = −

− x x

y

8 3 = − x− y

⇒

Di titik (1,-2)

5 2 10 1

) 2 .(

1 . 2

4 . 1 . 2

|'_{(1, 2)} 2 =

−

= −

−

−

−

= − y −

Persamaan garis singgung

2 2

) 1 (

2

2 = − = −

+ x x

y

4 2 x − y =

Persamaan garis normal

2 1 2

) 1 1 2(

2 = − 1 − = − +

+ x x

y

3

2 = −

x + y