KALKULUS I
Ida Ayu Putu Ari Utari, S.Si, M.Si
FUNGSI
Definisi
Fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 adalah aturan yang memasangkan/memetakan setiap anggota himpunan 𝐴 tepat satu anggota himpunan 𝐵.
• 𝐴 disebut domain (daerah asal) fungsi 𝑓
• 𝐵 disebut kodomain (daerah kawan)
• Sedangkan himpunan semua anggota 𝐵 yang mempunyai pasangan disebut range (daerah hasil).
FUNGSI
• Dalam uraian ini, domain dan kodomain dibatasi pada himpunan-himpunan bilangan real.
Daerah Hasil/Nilai (Range)
A B
FUNGSI
• Notasi Fungsi
Misalkan 𝑓 atau 𝐹 dinamakan fungsi, kemudian 𝑓(𝑥) dibaca 𝑓 di 𝑥. Hal ini menunjukkan nilai yang diberikan 𝑓 pada 𝑥.
Selanjutnya akan dibatasi untuk 𝐴, 𝐵 ⊂ ℝ
𝑦 = 𝑓(𝑥) dengan 𝑥 elemen 𝐴, 𝑓 𝑥 aturan pemadanannya dan 𝑦 elemen 𝐵 yang merupakan pasangan dari 𝑥.
FUNGSI
Contoh Soal :
𝑓 𝑥 = 𝑥! − 4 , maka
𝑓 2 = 2! − 4 = 4 𝑓 𝑎 = 𝑎! − 4
𝑓 𝑎 + ℎ = 𝑎 + ℎ ! − 4
= 𝑎! + 3𝑎"ℎ + 3𝑎ℎ" + ℎ! − 4
DAERAH ASAL DAN DAERAH HASIL
Daerah Asal dari suatu fungsi 𝑓(𝑥), dinotasikan 𝐷# adalah himpunan semua bilangan real yang menyebabkan aturan fungsi berlaku/ terdefinisi.
Daerah Nilai dari suatu fungsi 𝑓(𝑥), dinotasikan 𝑅# adalah himpunan bilangan real 𝑦 yang merupakan hasil pemetaan fungsi 𝑓. 𝑅# 𝑦|𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ 𝐷#
DAERAH ASAL DAN DAERAH HASIL
• Misal 𝑓 𝑥 = 𝑥" dan jika daerah asalnya diberikan −1,0,1,2 , maka daerah hasilnya adalah {0,1,4}.
• Jika daerah asalnya tidak dinyatakan secara eksplisit, kita selalu menganggap daerah asalnya adalah himpunan bilangan real terbesar sehingga aturan fungsi ada maknanya, yaitu menghasilkan bilangan real.
DAERAH ASAL DAN DAERAH HASIL
CONTOH SOAL :
Tentukan daerah asal dan dari hasil fungsi berikut ini : 1. 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3
2. 𝑓 𝑥 = 𝑥"
3. 𝑓 𝑥 = %&'$ Penyelesaian :
1. Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3 𝐷% = 𝑥 ∈ 𝑅 = 𝑅
DAERAH ASAL DAN DAERAH HASIL
1. Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 3 𝐷! = 𝑥 ∈ 𝑅 = 𝑅 𝑅! = 𝑦 ∈ 𝑅 = 𝑅 2. Diketahui 𝑓 𝑥 = 𝑥"
𝐷! = 𝑥 ∈ 𝑅 = 𝑅 𝑅! = 𝑦 ∈ 𝑅| 𝑦 ≥ 0
3. Diketahui 𝑓 𝑥 = $%&# 𝐷! = 𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 ≠ 6 𝑅! = 𝑦 ∈ 𝑅| 𝑦 ≠ 0
LATIHAN SOAL
1. Untuk 𝑓 𝑥 = 𝑥! + 3𝑥, carilah :
a. 𝑓 1 d. 𝑓(1 + ℎ)
b. 𝑓 2 e. 𝑓 1 + ℎ − 𝑓(1)
c. 𝑓 $(
2. Tentukan daerah asal dan daerah hasil fungsi berikut ini : a. 𝑓 𝑥 = 𝑥" + 2 d. 𝑓 𝑥 = 1 + 𝑥
b. 𝑓 𝑥 = 𝑥
c. 𝑓 𝑥 = 𝑥" + 2𝑥 + 4
GRAFIK FUNGSI
• Misal 𝑦 = 𝑓(𝑥) , himpunan titik 𝑥, 𝑦 |𝑥 ∈ 𝐷#, 𝑦 ∈ 𝑅# disebut grafik fungsi 𝑓.
• Grafik fungsi sederhana a. Fungsi linear
b. Fungsi Kuadrat
GRAFIK FUNGSI
Fungsi linear 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 Grafik berupa garis lurus
Contoh soal :
Gambarlah grafik 𝑦 = 𝑥 + 1 Penyelesaian :
Titik potong dengan sumbu 𝑥
GRAFIK FUNGSI
Penyelesaian :
Titik potong dengan sumbu 𝑥 𝑦 = 0, 𝑥 = −1 −1,0 Titik potong dengan sumbu 𝑦 𝑥 = 0, 𝑦 = 1 0,1
GRAFIK FUNGSI
Fungsi kuadrat 𝑓 𝑥 = 𝑎"𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Grafik berupa parabola
𝐷 = 𝑏" − 4𝑎𝑐
GRAFIK FUNGSI
JENIS-JENIS FUNGSI
1. Fungsi Polinom (suku banyak)
𝑓 𝑥 = 𝑎) + 𝑎$𝑥 + 𝑎"𝑥" + 𝑎!𝑥! + ⋯ + 𝑎*𝑥* Fungsi suku banyak terdefinisi dimana-mana (𝑅) 2. Fungsi Rasional
𝑓 𝑥 = +(%).(%)
dengan 𝑝(𝑥) dan 𝑞(𝑥) merupakan fungsi polinom dan 𝑞(𝑥) ≠ 0
Contoh : %%!!/$&( , 𝐷# = 𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 ≠ 2 dan − 2
JENIS-JENIS FUNGSI
3. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Fungsi 𝑓 disebut fungsi genap jika 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥). Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu 𝑦
JENIS-JENIS FUNGSI
Fungsi 𝑓 disebut fungsi ganjil jika 𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥). Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal (0,0)
JENIS-JENIS FUNGSI
Contoh Soal :
Tentukan apakah fungsi-fungsi tersebut merupakan fungsi genap, fungsi ganjil atau tidak keduanya
1. 𝑓 𝑥 = 𝑥"
2. 𝑓 𝑥 = 𝑥!
3. 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 2)"
Penyelesaian :
1. 𝑓 −𝑥 = (−𝑥)" = 𝑥" = 𝑓 𝑥
Maka 𝑓 𝑥 = 𝑥" merupakan fungsi genap karena 𝑓 −𝑥 = 𝑓(𝑥)
JENIS-JENIS FUNGSI
2. 𝑓 −𝑥 = (−𝑥)! = −𝑥!= −𝑓 𝑥
Maka 𝑓 𝑥 = 𝑥! merupakan fungsi ganjil karena 𝑓 −𝑥 =
− 𝑓(𝑥)
3. 𝑓 −𝑥 = (−𝑥 − 2)"= 𝑥" + 4𝑥 + 4
Maka 𝑓 −𝑥 = (−𝑥 − 2)" bukan fungsi genap atau fungsi ganjil karena 𝑓 −𝑥 ≠ 𝑓 𝑥 dan 𝑓 −𝑥 ≠ −𝑓 𝑥
JENIS-JENIS FUNGSI
3. Fungsi Periodik
Fungsi 𝑓 𝑥 disebut periodik jika terdapat sebuah bilangan positif konstan 𝑝 sehingga 𝑓 𝑥 + 𝑝 = 𝑓(𝑥). Jika 𝑝 bilangan terkecil, maka disebut 𝑝 periode dari 𝑓(𝑥).
Contoh :
𝑓 𝑥 = sin 𝑥 fungsi periodik dengan periode 2𝜋 karena 𝑓 𝑥 + 2𝜋 = sin 𝑥 + 2𝜋
= sin 𝑥 cos 𝜋 + cos 𝑥 sin 2𝜋
JENIS-JENIS FUNGSI
= sin 𝑥 cos 𝜋 + cos 𝑥 sin 2𝜋
= sin 𝑥 = 𝑓(𝑥)
JENIS-JENIS FUNGSI
4. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar
𝑓 𝑥 = 𝑥 atau 𝑓 𝑥 = 𝑥
adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan 𝑥 .
Contoh : 6,9 = 6 1,98 = 1
−0,9 = −1
−2,6 = −3
JENIS-JENIS FUNGSI
3. Fungsi Bernilai Mutlak
𝑓 𝑥 = 𝑥 = [ 𝑥, 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑥 < 0 Grafik fungsi bernilai mutlak
LATIHAN SOAL
Tentukan apakah fungsi-fungsi tersebut merupakan fungsi genap, fungsi ganjil atau tidak keduanya !
1. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1 2. 𝑓 𝑥 = 3𝑥
3. 𝑓 𝑥 = 𝑥" + 4
4. 𝑓 𝑥 = 3𝑥" + 2𝑥 − 1
