1 Persamaan dan Fungsi Kuadrat

1

Persamaan dan Fungsi Kuadrat

A. Bilangan Real (ℝ) Definisi

Bilangan Real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk Desimal, seperti

2,86547 ⋯ atau 3,328184. Bilangan Real meliputi Bilangan Rasional, seperti 42 dan − 23

129,

dan Bilangan Irrasional, seperti 𝜋 dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

B. Bilangan Imajiner Definisi

Bilangan imajiner ditandai dengan adanya huruf, bilangan yang mempunyai sifat

𝑖2 _{= − 1 ↔ 𝑖 = √−1.}

C. Bilangan Kompleks (ℂ) Definisi

Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk

𝐶 = {𝑎 + 𝑏𝑖 | (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ dan 𝑖 adalah bilangan imajiner}.

D. Persamaan Kuadrat Definisi

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berbentuk

𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 ∈ ℝ} Bilangan Asli (ℕ)

(1,2,3, ⋯ )

Bilangan Nol

(0)

Bilangan Negatif

(⋯ , −3, −2, −1)

Bilangan Bulat (ℤ) Bilangan Pecahan

(1_{2 ; 3}5_{7 ; 5%; 6,82; ⋯ )}

Bilangan Rasional (ℚ) Bilangan Irrasional

(√2; 1 + √3; √5 + √7; ⋯ )

Bilangan Real (ℝ)

atau Bilangan Nyata

Bilangan Imajiner

atau Bilangan Tidak Nyata

𝑖 = √−1

Bilangan Kompleks (ℂ)

2 keterangan: 𝑎 = koefisien 𝑥2

𝑏 = koefisien 𝑥

𝑐 = konstanta

𝑥 = variabel

E. Akar-akar Persamaan Kuadrat 1) Pemfaktoran

𝑎2_{+ 𝑏}2 _{= (𝑎 + 𝑏)}2_{− 2𝑎𝑏} 𝑎2_{+ 2𝑎𝑏 + 𝑏}2 _{= (𝑎 + 𝑏)}2 𝑎2_{+ 2𝑎𝑏 + 𝑏}2 _{= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)}

misal: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞)

𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥}2 _{+ 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑝𝑞}

𝑥2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥}2 _{+ (𝑝 + 𝑞)𝑥 + 𝑝𝑞 jika dan hanya jika}

𝑏𝑥 = (𝑝 + 𝑞)𝑥

𝑏 = 𝑝 + 𝑞 dan 𝑐 = 𝑝𝑞 atau 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 dan 𝑝𝑞 = 𝑐

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 ! Jawab: 𝑝 + 𝑞 = 𝑏 dan 𝑝𝑞 = 𝑐

𝑝 + 𝑞 = −3 dan 𝑝𝑞 = 6

misal: −3 = −5 + 2, −3 = −1 − 2, dan lain-lain misal: −10 = (−5)(2), −10 = (5)(−2), dan lain-lain

Karena yang sama pada permisalan pertana dan permisalan kedua adalah −5 dan 2, maka dipakai 𝑝 = −5 dan 𝑞 = 2

𝑥2 _{− 3𝑥 − 10 = (𝑥 + 𝑝)(𝑥 + 𝑞)} 𝑥2_{− 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 2)}

Coba dicek

(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 𝑥2_{+ 2𝑥 − 5𝑥 − 10} (𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 𝑥2_{− 3𝑥 − 10}

Akar-akar persamaan kuadrat

(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 0

𝑥1 − 5 = 0 atau 𝑥2+ 2 = 0 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2 − 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥₁ = 5 atau 𝑥₂ = −2

2) Kuadrat Sempurna misal: 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

𝑎 = 𝑥2+

𝑏 𝑎𝑥 +

𝑐 𝑎

misal: 𝑥2+𝑏

𝑎𝑥 + 𝑐 𝑎= 0 𝑥2₊𝑏

𝑎𝑥 + 𝑐 𝑎−

𝑐

3

𝑥2₊𝑏 𝑎 𝑥 = −

𝑐 𝑎 ⋯(1)

misal 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2+ 6𝑥 + (3)2

𝑥2_{+ 6𝑥 + 9 = 𝑥}2_{+ (2 ⋅ 3)𝑥 + (3)}2 𝑥2_{+ 6𝑥 + 9 = 𝑥}2_{+ 2(3)𝑥 + (3)}2 𝑥2_{+ 6𝑥 + 9 = 𝑥}2_{+ 2 (}6

2) 𝑥 + ( 6 2)

2

⋯ (2)

Ubahlah persamaan (1) ke persamaan (2)

𝑥2₊𝑏 𝑎𝑥 = −

𝑐

𝑎 ke 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2+ 2 ( 6

2) 𝑥 + ( 6 2)

2

𝑥2₊𝑏 𝑎𝑥 = −

𝑐 𝑎 𝑥2_{+ 1 ⋅ (}𝑏

𝑎) 𝑥 = − 𝑐 𝑎 𝑥2_{+ 1 ⋅ (}𝑏

𝑎) 𝑥 = − 𝑐 𝑎 𝑥2₊2

2⋅ ( 𝑏

𝑎) 𝑥 = − 𝑐 𝑎 𝑥2₊ 2

1⋅2⋅ ( 𝑏

𝑎) 𝑥 = − 𝑐 𝑎 𝑥2₊2

1⋅ ( 𝑏

2⋅𝑎) 𝑥 = − 𝑐 𝑎 𝑥2_{+ 2 (}𝑏

2𝑎) 𝑥 + ( 𝑏 2𝑎)

2

= −_𝑎𝑐 + (_2𝑎𝑏)2

(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 = −_𝑎𝑐+ (_2𝑎𝑏)2

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2− 3𝑥 − 10 = 0 ! Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10

(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 = −_𝑎𝑐+ (_2𝑎𝑏)2

(𝑥 +(−3)₂₍₁₎)2 = −(−10)₁ + ((−3)₂₍₁₎)2

(𝑥 + (−3₂))2 = 10 + (−3₂)2

(𝑥 −3₂)2 = 10 +9₄

(𝑥 −3₂)2 = 1 ⋅ 10 +9₄

(𝑥 −3₂)2 =4₄⋅ 10 +9₄

(𝑥 −3₂)2 =4⋅10₄ +9₄

(𝑥 −3₂)2 =40₄ +9₄

(𝑥 −3₂)2 =49₄

(𝑥 −3₂)2 =49₄

4

√(𝑥 −3₂)2 = √7₂22

√(𝑥 −3₂)2 = √(7₂)2

𝑥 −3₂= ±7₂

𝑥 =3₂±7₂

𝑥1 = 3₂+7₂ atau 𝑥2 =3₂−7₂ 𝑥1 = 10₂ atau 𝑥2 = −4₂ 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2− 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥₁ = 5 atau 𝑥₂ = −2

3) Rumus 𝒂𝒃𝒄

(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 = −_𝑎𝑐+ (_2𝑎𝑏)2

(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 = −_𝑎𝑐+ (_2𝑎𝑏) (_2𝑎𝑏)

(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 = −_𝑎𝑐+_4𝑎𝑏2₂

(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 = −_𝑎𝑐⋅ 1 +_4𝑎𝑏22

(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 = −_𝑎𝑐⋅4𝑎_4𝑎+_4𝑎𝑏22

(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 = −4𝑎𝑐_4𝑎2+_4𝑎𝑏2₂

(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 = _4𝑎𝑏22 −

4𝑎𝑐 4𝑎2

(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 = _4𝑎𝑏22+ (−

4𝑎𝑐 4𝑎2)

(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 = _4𝑎𝑏2₂+ (−4𝑎𝑐_4𝑎2)

(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 = 𝑏2_4𝑎−4𝑎𝑐2

(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 = 𝑏_(2𝑎)2−4𝑎𝑐2

√(𝑥 +_2𝑎𝑏)2 = √𝑏_(2𝑎)2−4𝑎𝑐2

𝑥 +_2𝑎𝑏 =√𝑏_√(2𝑎)2−4𝑎𝑐₂

𝑥12+_2𝑎𝑏 = ±√𝑏

2_−4𝑎𝑐

2𝑎 𝑥12 = −_2𝑎𝑏 ±√𝑏

2_−4𝑎𝑐

2𝑎 𝑥12 =−𝑏_2𝑎+±√𝑏

2_−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−𝑏±√𝑏

2_−4𝑎𝑐

2𝑎

5

𝑥12 =−𝑏±√𝑏

2_−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−(−3)±√(−3)

2_{−4(1)(−10)}

2(1)

𝑥12 =3±√9+40₂ 𝑥12 =3±√49₂ 𝑥12 =3±7₂

𝑥1 = 3+7₂ atau 𝑥2 =3−7₂ 𝑥1 = 10₂ atau 𝑥2 = −4₂ 𝑥1 = 5 atau 𝑥2 = −2

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2− 3𝑥 − 10 = 0 adalah 𝑥₁ = 5 atau 𝑥₂ = −2

F. Sifat-sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat

Sifat-sifat akar-akar persamaan kuadrat dapat ditinjau dari nilai diskriminan (pembeda), yaitu: 𝐷 = 𝑏2− 4𝑎𝑐. Sifat akar-akar tersebut adalah

1) Jika 𝐷 > 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang berbeda (𝑥₁ ≠ 𝑥₂).

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2− 16 = 0 ! Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = 0, dan 𝑐 = −16

𝑥12 =−𝑏±√𝑏

2_−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−(0)±√(0)

2_{−4(1)(−16)}

2(1)

𝑥12 =0±√0+64₂ 𝑥12 =0±√64₂ 𝑥12 =±8₂

𝑥1 = +8₂ atau 𝑥2 = −8₂ 𝑥1 = 8₂ atau 𝑥2 =−8₂ 𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = −4

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2− 16 = 0 adalah 𝑥₁ = 4 atau 𝑥₂ = −4

2) Jika 𝐷 = 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang sama (𝑥₁ = 𝑥₂).

6

𝑥12 =−𝑏±√𝑏

2_−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−(−8)±√(−8)

2_−4(1)(16)

2(1)

𝑥12 =8±√64−64₂ 𝑥12 =8±√0₂ 𝑥12 =8±0₂

𝑥1 = 8+0₂ atau 𝑥2 =8−0₂ 𝑥1 = 8₂ atau 𝑥2 =8₂ 𝑥1 = 4 atau 𝑥2 = 4

Jadi, akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2− 8𝑥 + 16 = 0 adalah 𝑥₁ = 𝑥₂ = 4

3) Jika 𝐷 < 0, maka persamaan kuadrat 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, dimana 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dan 𝑎 ≠ 0, maka persamaan kuadrat tersebut memiliki dua akar yang kompleks (𝑥₁ = ⋯ +

⋯ 𝑖 atau 𝑥2 = ⋯ − ⋯ 𝑖).

Contoh: Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝑥2− 6𝑥 + 13 = 0 ! Jawab: 𝑎 = 1, 𝑏 = −6, dan 𝑐 = 13

𝑥12 =−𝑏±√𝑏

2_−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥12 =−(−6)±√(−6)

2_−4(1)(13)

2(1)

𝑥12 =6±√36−52₂ 𝑥12 =6±√−16₂ 𝑥12 =6±√16⋅(−1)₂ 𝑥12 =6±√16⋅√−1₂ 𝑥12 =6±4⋅𝑖₂ 𝑥12 =6±4𝑖₂

𝑥1 = 6+4𝑖₂ atau 𝑥2 = 6−4𝑖₂ 𝑥1 = 2(3+2𝑖)₂ atau 𝑥2 = 2(3−2𝑖)₂ 𝑥1 = 3 + 2𝑖 atau 𝑥2 = 3 − 2𝑖

7

G. Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

𝑥12 =−𝑏 ± √𝑏

2_{− 4𝑎𝑐} 2𝑎

𝑥1 = −𝑏+√𝑏

2_−4𝑎𝑐

2𝑎 atau 𝑥2 =

−𝑏−√𝑏2_−4𝑎𝑐

2𝑎

1) Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat

𝑥1+ 𝑥2 = −𝑏+√𝑏

2_−4𝑎𝑐

2𝑎 +

−𝑏−√𝑏2_−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1+ 𝑥2 = −𝑏+√𝑏

2_{−4𝑎𝑐−𝑏−√𝑏}2_−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1+ 𝑥2 = −𝑏−𝑏+√𝑏

2_{−4𝑎𝑐−√𝑏}2_−4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥1+ 𝑥2 = −2𝑏_2𝑎 𝑥1+ 𝑥2 = −𝑏_𝑎

2) Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

𝑥1𝑥2 = (−𝑏+√𝑏

2_−4𝑎𝑐

2𝑎 ) (

−𝑏−√𝑏2_−4𝑎𝑐

2𝑎 )

𝑥1𝑥2 =(−𝑏)(−𝑏)−(−𝑏)(−√𝑏

2_{−4𝑎𝑐)−(−𝑏)(√𝑏}2_{−4𝑎𝑐)+(√𝑏}2_{−4𝑎𝑐)(−√𝑏}2_{−4𝑎𝑐)}

(2𝑎)(2𝑎)

𝑥1𝑥2 =𝑏

2_{−𝑏√𝑏}2_{−4𝑎𝑐+𝑏√𝑏}2_{−4𝑎𝑐−√(𝑏}2_{−4𝑎𝑐)}2

4𝑎2

𝑥1𝑥2 =𝑏

2_−(𝑏2_{−4𝑎𝑐)}

4𝑎2

𝑥1𝑥2 =𝑏

2_−𝑏2_+4𝑎𝑐

4𝑎2

𝑥1𝑥2 =_4𝑎⋅𝑎4𝑎⋅𝑐 𝑥1𝑥2 =_𝑎𝑐

Contoh: Jika diketahui 𝑎 = 2, 𝑏 = −1, 𝑐 = 3, maka carilah − 1

𝑥1−

1 𝑥2 ! Jawab: − 1

𝑥1−

1 𝑥2 =

−1 𝑥1 ⋅ 1 −

1 𝑥2⋅ 1

=−1 𝑥1 ⋅

𝑥2 𝑥2−

1 𝑥2⋅

𝑥1 𝑥1 =_𝑥−𝑥2

1𝑥2− 𝑥1 𝑥1𝑥2 =−𝑥2− 𝑥1

𝑥1𝑥2 =(−𝑥_𝑥2− 𝑥1)

1𝑥2 =−(𝑥_𝑥1+ 𝑥2)

1𝑥2 = −(𝑥1_𝑥+ 𝑥2)

1𝑥2 = − (𝑥1_𝑥+ 𝑥2

8 = − ( −𝑏 𝑎 𝑐 𝑎 ) = − (−𝑏_{𝑎 ) (}𝑎_𝑐)

= − (−(−1)_{2 ) (}2₃₎

= − (1_{1) (}1₃₎

= −1 3

Jadi, − 1

𝑥1−

1 𝑥2 = −

1 3

H. Menyusun Persamaan Kuadrat

𝑥 = 𝑥1 atau 𝑥 = 𝑥2

𝑥 − 𝑥1 = 0 atau 𝑥 − 𝑥2 = 0 (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) = 0 𝑥2_{− 𝑥}

2𝑥 − 𝑥1𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0 𝑥2_{− (𝑥}

2 + 𝑥1)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0 𝑥2_{− (𝑥}

1+ 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0

Contoh: Jika diketahui −𝑏

𝑎= 3, 𝑐

𝑎 = −10, maka bentuklah persamaan kuadratnya!

Jawab:

𝑥2_{− (𝑥}

1+ 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0 𝑥2_{− (}−𝑏

𝑎) 𝑥 + ( 𝑐

𝑎) = 0 𝑥2_{− (3)𝑥 + (−10) = 0} 𝑥2_{− 3𝑥 − 10 = 0}

Jadi, persamaan kuadratnya 𝑥2− 3𝑥 − 10 = 0

Contoh: 𝑥₁ = 3 + 2𝑖 atau 𝑥₂ = 3 − 2𝑖, maka bentuklah persamaan kuadratnya! Jawab:

𝑥2_{− (𝑥}

1+ 𝑥2)𝑥 + 𝑥1𝑥2 = 0

𝑥2_{− (3 + 2𝑖 + 3 − 2𝑖)𝑥 + (3 + 2𝑖)(3 − 2𝑖) = 0} 𝑥2_{− (3 + 3 + 2𝑖 − 2𝑖)𝑥 + (9 − 6𝑖 + 6𝑖 − 4𝑖}2_{) = 0} 𝑥2_{− (6)𝑥 + (9 − 4√(−1)}2_{) = 0}

𝑥2_{− 6𝑥 + (9 − 4(−1)) = 0} 𝑥2_{− 6𝑥 + (9 + 4) = 0} 𝑥2_{− 6𝑥 + 13 = 0}

I. Bentuk Fungsi Definisi

Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan

𝑓(𝑥) = 𝑦

9 karena nilainya ditentukan oleh 𝑥.

J. Fungsi Kuadrat Definisi

Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 _{+ 𝑏𝑥 + 𝑐 atau 𝑦 = 𝑎𝑥}2_{+ 𝑏𝑥 + 𝑐, dimana 𝑎 ≠ 0, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥 ∈ 𝑹}

10 2) 𝒂 > 𝟎, 𝑫 = 𝟎

11 4) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 < 𝟎

12 6) 𝒂 < 𝟎, 𝑫 < 𝟎

L. Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat

Contoh: Gambarlah grafik 𝑓(𝑥) = 𝑥2− 3𝑥 − 10 ! Jawab:

𝑓(𝑥) = 𝑥2_{− 3𝑥 − 10 jika dan hanya jika 𝑦 = 𝑥}2_{− 3𝑥 − 10}

Langkah ke-1 (Menentukan titik potong sumbu 𝑿)

Jika 𝑦 = 0, maka 𝑥2− 3𝑥 − 10 = 0

𝑥 =−𝑏±√𝑏_2𝑎2−4𝑎𝑐

𝑥 =−(−3)±√(−3)₂₍₁₎2−4(1)(−10)

𝑥 =3±√9+40₂

𝑥 =3±√49₂

𝑥 =3±7₂

𝑥 =3+7₂ atau 𝑥 =3−7

2 𝑥 =10₂ atau 𝑥 =−4

2 𝑥 = 5 atau 𝑥 = −2

Koordinat (5,0) dan (−2,0)

Langkah ke-2 (Menentukan titik potong sumbu 𝒀)

Jika 𝑥 = 0, maka 𝑦 = (0)2− 3(0) − 10

13

𝑦 = −10

Langkah ke-3 (Mencari titik puncak)

𝑥 =−𝑏±√𝑏_2𝑎2−4𝑎𝑐

𝑥 =−𝑏_2𝑎±√𝑏2_2𝑎−4𝑎𝑐

𝑥 = −_2𝑎𝑏 ±√𝑏2_2𝑎−4𝑎𝑐

Jika 𝑏2− 4𝑎𝑐 = 0, maka koordinat sumbu 𝑋 adalah 𝑥 = − 𝑏

2𝑎

Jika 𝑦 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 dan 𝑥 = − 𝑏

2𝑎, maka koordinat sumbu 𝑌 adalah 𝑦 = 𝑎 (−_2𝑎𝑏)2 + 𝑏 (−_2𝑎𝑏) + 𝑐

𝑦 = 𝑎 (−_2𝑎𝑏) (−_2𝑎𝑏) −𝑏_2𝑎2+ 𝑐

𝑦 = 𝑎 (_4𝑎𝑏22) −

𝑏2

2𝑎+ 𝑐 𝑦 =𝑎𝑏_4𝑎22−

𝑏2

2𝑎+ 𝑐 𝑦 =_4𝑎⋅𝑎𝑎𝑏2 −_2𝑎𝑏2+ 𝑐

𝑦 =_4𝑎𝑏2−_2𝑎𝑏2+ 𝑐

𝑦 =_4𝑎𝑏2−_2𝑎𝑏2∙ 1 + 𝑐 ⋅ 1

𝑦 =_4𝑎𝑏2−_2𝑎𝑏2∙2₂+ 𝑐 ⋅4𝑎_4𝑎

𝑦 =_4𝑎𝑏2−2𝑏_4𝑎2+4𝑎𝑐_4𝑎

𝑦 =𝑏2−2𝑏_4𝑎2+4𝑎𝑐

𝑦 =−𝑏2_4𝑎+4𝑎𝑐

Jadi, (𝑥, 𝑦) = (− 𝑏

2𝑎,

−𝑏2+4𝑎𝑐

4𝑎 )

Contoh: Jika 𝑎 = 1, 𝑏 = −3, dan 𝑐 = −10, maka (𝑥, 𝑦) = (−(−3)

2(1),

−(−3)2_+4(1)(−10)

4(1) )

(𝑥, 𝑦) = (3₂,−9−40₄ )

(𝑥, 𝑦) = (3₂,−49₄ )

14

M. Menentukan Fungsi Kuadrat jika Titik Puncak dan salah satu Titik diketahui

Contoh: Jika diketahui titik puncak suatu fungsi kuadrat adalah (1,2) dan melalui titik (3,4), maka carilah fungsi kuadratnya!

Diketahui: (ℎ, 𝑘) = (1,2) jika dan hanya jika ℎ = 1, 𝑘 = 2

(𝑥1, 𝑦1) = (3,4) jika dan hanya jika 𝑥1 = 3, 𝑦1 = 4

Ditanya: 𝑦 ?

Jawab: (𝑦₁− 𝑘) = 𝑎(𝑥₁− ℎ)2

(4 − 2) = 𝑎(3 − 1)2

2 = 𝑎(4) 𝑎(4) = 2 𝑎 =2

4

𝑎 =1

15 (𝑦 − 𝑘) = 𝑎(𝑥 − ℎ)2

(𝑦 − 2) = 1

2(𝑥 − 1)2

(𝑦 − 2) = 1

2(𝑥 − 1)(𝑥 − 1)

(𝑦 − 2) = 1

2(𝑥2− 2𝑥 + 1) [dikalikan 2]

2(𝑦 − 2) = 2 ⋅1

2(𝑥2− 2𝑥 + 1)

2𝑦 − 4 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 2𝑦 = 𝑥2− 2𝑥 + 1 + 4

2𝑦 = 𝑥2− 2𝑥 + 5 [dikalikan1

2]

1

2⋅ 2𝑦 = 1

2(𝑥2− 2𝑥 + 5)

𝑦 =1