Kalkulus I. Fungsi Dan Grafik Fungsi. Dr. Eko Pujiyanto, S.Si., M.T eko.staff.uns.ac.id/kalkulus1

Kalkulus I

Fungsi Dan Grafik Fungsi

Dr. Eko Pujiyanto, S.Si., M.T.

eko@uns.ac.id 081 2278 3991

eko.staff.uns.ac.id/kalkulus1

Materi



Fungsi ( Daerah definisi, daerah asal dan daerah hasil )



Fungsi Surjektif, Injektif, Bijektif dan Invers



Operasi Pada Fungsi dan Fungsi Komposisi



Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Hubungan atau Relasi

 Dalam berbagai aplikasi, hubungan/relasi antara dua himpunan ( sering disederhanakan menjadi variabel ) sering terjadi.

 Misalnya, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi

 Definisi : Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap berelasi R dengan tepat satu

maka R disebut fungsi dari A ke B.

3

3

4 r V  

A x  B

y 

Fungsi



Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst.



Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:

f : A  B



Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B

dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f.

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Daerah Asal dan Nilai



Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df,



Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan

range atau daerah nilai fungsi f, ditulis atau Im(f) → Perhatikan gambar berikut

 ^{x : f ( x ) ada ( terdefinis ikan )} 

D

_f

  R

R

f

Fungsi : Daerah Asal dan Nilai

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Fungsi

• Jika pada fungsi f : A  B , sebarang elemen x  A mempunyai kawan y  B, maka

dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x”

dan ditulis y = f(x).

• Selanjutnya, x dan y masing-masing

dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas.

• Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.

Daerah Asal dan Nilai



Daerah asal (D

_f

)



Daerah nilai (R

_f

)

 ^{x R f x R} 

D

_f

  : ( ) 

 ^{x f (x ) ada ( terdefinis ikan )} 

D

_f

  R sehingga



_f



f

f x R x D

R  ( )  : 



_f



f

berapa f x R untuk semua x D

R  ( )  

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Mencari daerah asal dan daerah nilai

1 )

( dan

1 )

( x   x g x   x

²



f



^0,



^{( , 1]}

1 )

(

1 1

1 0

1 1

0 0

) ,

1 [

0 1

) , (

0 akar

bawah Di

2 2

2 2



































































































g f

f

g f

R R

x g

x x

x x D

x x

D D

Contoh 1

Hubungan Df dan Rf dengan Grafik Fungsi

Ilustrasi grafik fungsi f

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Hubungan Dg dan Rg dengan Grafik Fungsi

Ilustrasi grafik fungsi g

Fungsi Surjektif

Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut

fungsi surjektif

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Fungsi Injektif

Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif

Fungsi Bijektif

 Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1.

 Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Fungsi Invers

 Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah

ditunjukkan bahwa invers f juga

merupakan fungsi.

 Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi . _f ^1

) ( )

1

(

x f y

y f

x 

^

 

f f

f

R

f

R D

D

_1

 dan

_1



dengan

Operasi Pada Fungsi

Diberikan skalar real  dan fungsi-fungsi f dan g. , maka :

,

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Operasi Pada Fungsi

,

Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk

f g

 ^{  : ( )  0} 

 x D D g x

D

_{f g f g}

Operasi Pada Fungsi

,

Contoh 2

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Fungsi Komposisi

f

_o

g

g

_o

f

Syarat Fungsi Komposisi

g

_o

f R

_f

 D

_g

 

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Syarat Fungsi Komposisi

f

_o

g R

_g

 D

_f

 

f_og

g f

f(g(x))

Daerah asal dan daerah nilai Fungsi Komposisi



_{f g}



f

g

x D f x D

D

_

  : ( ) 



_{g f}



f

g

y R y g t t R

R

_

  :  ( ), 

g

_o

f

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret



_{g f}



g

f

x D g x D

D

_

  : ( ) 



_{f g}



g

f

y R y f t t R

R

_

  :  ( ), 

f

_o

g

Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi

Diberikan fungsi berikut

Tentukan

1 )

( dan

1 )

( x   x g x   x

²

 f

g f g

f

R

D

a .

_

dan

_

f g f

g

R

D

b .

_

dan

_

Contoh 3

g f g

f

R

D

a .

_

dan

_

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi Contoh 3

Lihat Contoh 1 → Df, Rf , Dg dan Rg Lihat Contoh 1 → Df, Rf , Dg dan Rg

g f g

f

R

D

a .

_

dan

_

Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi

Contoh 3

f g f

g

R

D

b .

_

dan

_

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi

Contoh 3

f g f

g

R

D

b .

_

dan

_

Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi

Contoh 3

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius



Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi:

 Fungsi Aljabar

 Fungsi Transenden



Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan,

selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat,

ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak.

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius



Contoh fungsi aljabar :



Fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi transenden.



Beberapa contoh fungsi transenden adalah fungsi trigonometri, fungsi logaritma, dsb.

1 ) 1 (

) 3

( 2

3 2 2





 

x x x

x x

f

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius



Fungsi Aljabar meliputi :



Fungsi rasional :



Fungsi bulat (fungsi suku banyak)



Fungsi pecah.



Fungsi irasional.

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Grafik Fungsi

Dalam Sistem Koordinat Kartesius



Fungsi suku banyak berderajat n mempunyai persamaan

f(x) = P

_n

(x) = a

₀

+ a

₁

x + . . . + a

_n

x

_n

dengan n bilangan bulat tak negatif , a

₁

, .

. . , a

_n

bilangan-bilangan real dan a

_n

 0.

Grafik Fungsi Suku Banyak

a. Fungsi konstan

f ( x )  c

b. Fungsi linear: f(x)= mx + n

Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik .

c. Fungsi kuadrat _{f (x)  ax}² _{ bx  c, a  0}

d. Fungsi kubik ^{f (x)  a}₃^{x3  a}₂^{x2  a}₁^{x  a}₀^{, a}₃ ^{ 0}

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Grafik Fungsi Pecah



Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak

disebut fungsi pecah.

m m n n

x b x

b b

x a x

a x a

f











 

...

) ...

(

1 0

1 0

Grafik Fungsi Pecah

 Contoh grafik f(x) =

) 1 ( 1 dan

  x x x

x f

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Grafik Fungsi Irasional

 Contoh

Grafik Transenden

( Fungsi Trigonometri )

 Contoh

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret

Grafik Transenden

( Fungsi Trigonometri )

Pelajari hubungan fungsi

trigonometri

Kata inspirasi pertemuan ini

Berfikir

Banyak orang yang berfikir. Tapi, sedikit yang bertindak. Ingat, tak

seorangpun akan sukes hanya dengan berfikir, tanpa bertindak. Semua

fikiran, harus diikuti oleh tindakan.

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret