DISTRIBUSI GAMMA. Ada beberapa distribusi penting dalam distribusi uji hidup, salah satunya adalah distribusi gamma.

DISTRIBUSI GAMMA

Ada beberapa distribusi penting dalam distribusi uji hidup, salah satunya adalah distribusi gamma.

A. Fungsi kepadatan peluang (fkp)

Fungsi kepadatan peluang (fkp) dari distribusi gamma dengan dua parameter yaitu p dan σ adalah sebagai berikut:

   

, 0,σ 0, 0 σ exp σ Γ 1 1 _{  }         x  x x p p x f p p

dimana: Г(p) = (p-1)! adalah fungsi gamma.

 Nilai mean dari distribusi gamma adalah:

 

 

 

 

 





 













p p p p p p p p dx x x p dx x x p dx x x p x dx x f x x E p p p p p p                                      









     σ ! 1 ! 1 σ ! 1 ! σ Γ 1 Γ σ σ exp σ Γ 1 σ exp σ Γ 1 σ exp σ Γ 1 0 0 0 1 0

 

 

 

 

 





 













 





σ



1



! 1 1 ! 1 σ ! 1 ! 1 σ Γ 2 Γ σ σ exp σ Γ 1 σ exp σ Γ 1 σ exp σ Γ 1 0 0 1 1 0 1 2 0 2 2                                          









       p p p p p p p p p p dx x x p dx x x p dx x x p x dx x f x x E p p p p p p

 

 



 



















p p p p p p p x E x E x Var σ σ σ σ σ σ 2 2 2 2 2 2 2 2            B. Fungsi survivor

Fungsi survivor adalah peluang suatu individu atau objek masih tetap hidup sampai dengan waktu t yang telah ditentukan. Fungsi survivor didefinisikan sebagai berikut:

 









 

t F

 

t S t T P t T P t S _{r r}        1 1

dimana F(t) adalah fungsi distribusi.

 

 

 

_{ }

 

_{ }

 

t I



p x



S dx x x p t S dx x x p t S dx x f t S t p p t p p t , σ , 1 σ exp σ Γ 1 1 σ exp σ Γ 1 0 1 1                    







   

Fungsi survivor distribusi gamma yang kita peroleh adalah suatu fungsi survivor distribusi gamma dalam bentuk eksplisit. Kita membiarkan fungsi survivor distribusi gamma dalam bentuk eksplisit karena untuk menyelesaikan pengintegralan yang ada dalam rumus diatas pengintegralannya cukup rumit

C. Fungsi hazard

Karena fungsi survivor distribusi gamma tidak dalam bentuk eksplisit, maka fungsi hazardnya juga tidak dalam bentuk eksplisit juga. Fungsi hazard didefinisikan sebagai berikut:

 

_{   }

     

 

 



                       0 1 1 σ exp σ Γ 1 1 σ exp σ Γ 1 1 1 ' t t p t t p t S t f t h t S t F t h p p p p

D. Fungsi hazard kumulatif

Fungsi hazard kumulatif pun tidak bisa kita nyatakan dalam bentuk implisit, karena fungsi hazardnya sendiri dinyatakan dalam bentuk eksplisit. Fungsi hazard kumulatif didefinisikan sebagai berikut:

 

 

 

 

 

dx t t p t t p t H dx x h t H t t p p p p t







                   0 0 1 1 0 σ exp σ Γ 1 1 σ exp σ Γ 1 E. Estimasi

Misalkan



X₁,X₂,,X_n



adalah variabel random dari waktu-waktu kegagalan dan variabel random itu berdistribusi Gamma dengan parameter p dan σ.

1. Sampel lengkap

Suatu sampel dikatakan sampel lengkap apabila ada sebanyak n objek yang ditempatkan pada pengujian dan pengujian dihentikan setelah semua item objek mati.

o Fungsi kepadatan peluang (fkp) bersama dari



X₁,X₂,,X_n



adalah:

     





_



_{ }



  n i i n p n f x p x x x f 1 2 1, ,, ,σ ! ,σ

     







 



     





_{ }

     







 





_





                                 n i p i n i i np n n n i p p n n i i n x x p n x x L x x p n x x p L p x f n x x p L 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 σ exp σ Γ ! , , , x σ p, σ exp σ Γ 1 ! , , , x σ , σ , ! , , , x σ ,   

 



 



 





σ ln 1 σ ln Γ ln ! ln σ exp σ Γ ! ln σ , ln 1 1 1 1 1









                                           n i i n i i n i i n i p i np n x x p np p n n x x p n p L

Nilai maksimum dari L ,



σ px_i



akan dicapai apabila









0 , σ ln 0 σ , σ ln       p x p L atau x p L _{i i} .





2 1 σ σ σ , σ ln



_      n i i i x np x p L sehingga σˆ 0 σˆ σˆ 0 1 2 1





  _{ }    n i i n i i x np dan x np

dan kita peroleh

np x n i i



  1 σˆ .

Berdasarkan hasil estimasi tehadap σ yang kita peroleh diatas, maka kita dapat

membuktikan bahwa

 

 

np Var dan E 2 σ σˆ σ

σˆ   . Distribusi dari σˆ merupakan

distribusi gamma dengan parameter

np dan

np σ .

Seperti kita ketahui



X₁,X₂,,X_n



adalah distribusi identik independen (iid) yang

berdistribusi gamma dengan parameternya np dan σ, sedangkan untuk np x_i



 σˆ

merupakan distribusi gamma dengan parameternya

np dan

np σ . Sehingga kita peroleh

fungsi kepadatan peluang (fkp) dari σˆ adalah sebagai berikut:





_{ }

_σˆ 1 σ σˆ exp σ 1 Γ 1 σ , σˆ                     np np np np np p g diperoleh



_

_



 

 





 

1 1 1 1 σˆ 1 Γ Γ σ , σˆ σ , , ,   



 np n i p i np n n x np p np p g p x x L 

bebas dari parameter σ yang

tidak diketahui. Karena itu,σˆ adalah cocok untuk σ . Kelengkapan dari σˆ dapat dibuktikan dengan menggunakan sifat unik dari transform Laplace dan mengacu pada Lehmann dan Scheffe (1955). Sehingga kita memperoleh hasil bahwa σˆ tidak hanya merupakan MLE tetapi juga merupakan UMVUE dari σ . Dalam model distribusi gamma kita mengetahui bahwa rata-rata hidup adalah pσ dan jika kita mengestimasi

σ

p maka MLE dan UMVUE dari pσ adalah sama untuk rata-rata sampel



 n i i x n ₁ 1 . Besar dari parameter p dan σ tidak diketahui. Kita akan melakukan estimasi parameter p dan σ . Berdasarkan perhitungan diatas kita telah memperoleh hasil estimasi parameter σ yaitu

np x_i





σˆ . Selanjutnya kita akan mengestimasi parameter p

berdasarkan pada estimasi σ yang telah kita peroleh.

o Fungsi kepadatan peluang (fkp) bersama dari



X₁,X₂,,X_n



adalah:

     





_



_{ }



  n i i n p n f x p x x x f 1 2 1, ,, ,σ ! ,σ

o Fungsi likelihoodnya adalah:      







 



     





_{ }

     







 





_





                                 n i p i n i i np n n n i p p n n i i n x x p n x x L x x p n x x p L p x f n x x p L 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 σ exp σ Γ ! , , , x σ p, σ exp σ Γ 1 ! , , , x σ , σ , ! , , , x σ ,   

 



 



 





σ ln 1 σ ln Γ ln ! ln σ exp σ Γ ! ln σ , ln 1 1 1 1 1









                                           n i i n i i n i i n i p i np n x x p np p n n x x p n p L

Nilai maksimum dari L ,



σ px_i



akan dicapai apabila









0 , σ ln 0 σ , σ ln       p x p L atau x p L _{i i} .





0 σ σ σ , σ ln 2 1 _     



_ n i i i x np x p L ,





_{ }

0 ln σ ln Γ ln , σ ln 1         



 n i i i x n p p n p x p L Fungsi

 

p plnΓ  

sulit untuk dipecahkan sehingga untuk rumus diatas kita dapat menyelesaikannya dengan menggunakan metode iterasi Newton-Raphson. Metode lain yang dapat kita adalah dengan mensubstitusikan

p x np x_i  



σˆ ke dalam persamaan





_{ }

0 ln σ ln Γ ln , σ ln 1         



 n i i i x n p p n p x p L

 

x x n p p dp d n i i ln 1 ln Γ ln 1   



 . MLEnya adalah p x ˆ

σˆ dimana pˆ adalah hasil dari penyelesaian

 

x x n p p dp d n i i ln 1 ln Γ ln 1   



 . Persamaan

 

x x n p p dp d n i i ln 1 ln Γ ln 1   



 dapat

kita selesaikan dengan menggunakan metode interpolasi invers. Fungsi

 

p dp

d Γ

ln diketahui sebagai fungsi gamma dan perluasannya dapat dilihat pada tabel dalam Abramowitz dan Stegun (1964) dan Pairman (1919). Untuk nilai p yang besar, kita menggunakan aproksimasi

2. Sampel tersensor tipe I 3. Sampel tersensor tipe II

F. Estimasi reliabiliti

Misalkan S

 

t 1F



t p,σ



adalah fungsi reliabiliti. Maka untuk distribusi gamma dengan parameter p dan σ, fungsi reliabilitinya S



t p,σ



adalah sebagai berikut:







_

_{ }

         t p p dx x x p p t S σ exp σ Γ 1 σ , 1

MLE dari S



t p,σ



dinotasikan dengan S



t ˆp,σˆ



dimana pˆ danσˆ adalah MLE dari p dan σ. Oleh karena itu untuk sampel lengkap diperoleh:



 



 

 



 



               σˆ 1 ˆ 1 ˆ ˆ exp ˆ Γ 1 σˆ exp ˆ Γ σˆ 1 σˆ , ˆ σ , ˆ t p t p p dy y y p dx x x p p t S p t S

Untuk nilai t, pˆ,danσˆ yang diketahui, hasil pengintegralannya dapat kita peroleh dengan menggunakan tabel fungsi gamma tak lengkap [K. Pearson, 1968]

Pada kasus dimana p diketahui, MLE dari S



t p,σ



akan berubah menjadi



,σˆ



ˆ pt S dimana p x 

σˆ . Karena itu rumus estimasi reliabiliti dimana p diketahui adalah sebagai berikut:





_

_{ }



_



 

_ x tp p dy y y p p t S exp Γ 1 σ , ˆ 1

Seperti telah diketahui diatas bahwa apabila p diketahui maka

p x 

σˆ adalah