2011-Bahan Ajar Kalkulus 2

BAHAN AJAR

KALKULUS 2

Disusun Oleh: Drs. Moch. Chotim, MS. Muhammad Kharis, S.Si, M.Sc

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ... ii

BAB I. ANTI TURUNAN ... 1

I.1 Turunan ... 1

I.2 Antiturunan ... 6

I.3 Evaluasi ... 20

BAB II. INTEGRAL TENTU DAN PENGINTEGRALAN ... 21

II.1 Notasi Sigma ... 21

II.2 Induksi Matematika ... 24

II.3 Jumlah Riemann ... 25

II.4 Integral Tertentu ... 29

II.5 Teorema-teorema Integral Tertentu ... 32

II.6 Pendiferensialan Integral Tertentu terhadap Batas Atasnya ... 38

II.7 Evaluasi ... 44

BAB III. PENGGUNAAN INTEGRAL ... 46

III.1 Luas Daerah Bidang Datar... 46

III.2 Volume Benda Putar ... 46

BAB IV. FUNGSI LOGARITMA, FUNGSI EKSPONEN, DAN FUNGSI HIPERBOLIK ... 49

IV.1 FUNGSI LOGARITMA ... 49

IV.2 Bilangan e ... 54

IV.3 Logaritma Asli Sebagai Anti Turunan ... 55

IV.4 Fungsi Eksponen Asli ... 59

IV.5 Hampiran Nilai bilangan e ... 65

IV.6 Fungsi Eksponen dan Logaritma Untuk Bilangan Pokok Yang Lain ... 67

BAB V. TEKNIK INTEGRAL ... 68

V.1 Teknik Substitusi ... 68

V.2 Integral Fungsi Trigonometri ... 73

V.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri ... 84

V.4 Integral Parsial ... 95

V.5 Integral Fungsi Rasional. ... 99

V.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Sin x dan Cos x ... 112

BAB I.

ANTI TURUNAN

I.1 Turunan

Pembahasan tentang turunan tidak dapat dipisahkan dari pengertian tentang fungsi, baik fungsi eksplisit maupun fungsi implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam bentuk = ( ), sedangkan fungsi implisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam bentuk ( , ) = 0.

Perhatikan beberapa contoh fungsi di bawah ini. 1. = 2 − √2 − 3 2. = 3 − 4 + 3 3. = √ 4. + − 25 = 0 5. + − 2 = 0 6. − 2 + − 5 = 0

Pada contoh di atas, fungsi no 1, 2, dan 3 adalah fungsi eksplisit, sedangkan contoh 4, 5, dan 6 adalah fungsi implisit. Semua fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit dapat diubah penulisannya dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit dapat diubah dalam bentuk eksplisit. Perhatikan contoh 5 di atas. Selanjutnya dari fungsi-fungsi tersebut, dapat ditentukan turunannya.

Tulis ( + x) = . Jelas ∆ = – Karena x0maka t  x

Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain Definisi I-1

Turunan fungsi = ( ) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan ’( ) dan didefinisikan oleh f’(x) = x x f x x f x _      ) ( ) ( lim

’( ) = x t x f t f x t _   ) ( ) (

lim , asalkan limitnya ada.

Notasi lain untuk turunan = ( ) dinyatakan dengan ,D f(x)

dx dy x , dx x df( ) . Jika fungsi yang diketahui dinyatakan dalam bentuk implisit, maka turunannya dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah differensial yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel dalam fugsi tersebut. Berikut ini diberikan beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit dan implisit.

Contoh I-1

Berikut cara mencari

dx dy

dari beberapa fungsi yang diberikan. 1. Dipunyai = x + .

Berdasarkan definisi di atas diperoleh x x f x x f dx dy x _       ) ( ) ( lim 0 = x x x x x _     lim0 = x x x x x _     lim0 . _{x x x} x x x       = 0 lim  x _{{ }} ) ( ) ( x x x x x x x        =



x x x



x x x _{  }   lim0 = x x x x _{ }  1 lim 0 = x 2 1 2. Dipunyai y = ) 1 ( 3 x  _.

Berdasarkan definisi di atas diperoleh x x f x x f dx dy x _       ) ( ) ( lim 0

= x x x x x _        1 3 ) 1 ( 3 lim 0 = )} 1 )( 1 {( ) 1 ( 3 ) 1 ( 3 lim 0 _{x x x x} x x x x _{   }        = ) 1 )( 1 1 ( 3 lim 0 _{x x} x _{  }    = ₂ ) 1 ( 3 x  

Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada contoh di atas disebut fungsi yang differensiabel (dapat diturunkan).

Dengan cara yang sama, jika y = xn maka turunannya ditentukan oleh:

x x f x x f dx dy x _       ) ( ) ( lim 0 = x x x x Lim n n x _      ) ( 0 = x x x x x n n n x x n n x nx xn n n n n n x _                   ) ( ... ) ( ! 3 ) 2 )( 1 ( ) ( ! 2 ) 1 ( lim 3 3 2 2 1 0 = x x x x n n n x x n n x nxn n n n x _                 ) ( .... ) ( ! 3 ) 2 )( 1 ( ) ( ! 2 ) 1 ( lim 3 3 2 2 1 0 = ( ) .... ( ) ] ! 3 ) 2 )( 1 ( ) ( ! 2 ) 1 ( [ lim 1 2 3 2 1 0                 n n n n x x x x n n n x x n n nx = nxn1 3. Dipunyai x2 y2 250

Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, diperoleh: d(x )2 + d(y )2 - d(25) = d(0) 0 2 2    xdx ydy  x + y dx dy = 0  y x dx dy  

4. Tentukan dx dy dari x2y + xy2 – 2 = 0. Penyelesaian: Jelas d(x2y) + d(xy2 ) – d(2) = d(0)  (x2dy + 2xydx) + (2xydy + y2dx) = 0  (2xy + y2) dx + (2xy +x2) dy = 0  dx dy = - ₂ 2 2 2 x xy y xy  

Secara umum, misal u = u(x), v = v(x), dan w = w(x) adalah fungsi yang masing-masing dapat diturunkan dan c sebarang bilangan real, maka dengan menggunakan definisi turunan dapat ditentukan beberapa rumus umum turunan fungsi sebagai berikut.

1. dx d (c) = 0 2. dx d (x) = 1 3. dx d (xn) = nxn1 4. dx d (un) = nun1 dx d (u) 5. dx d ( u + v) = dx d (u) + dx d (v) 6. dx d (u – v) = dx d (u)  dx d (v) 7. dx d ( u  v  w  ... ) = dx d (u)  dx d (v)  dx d (w)  ... 8. dx d (cu) = c dx d (u) 9. dx d (uv) = u dx d (v) + v dx d (u) 10. dx d (uvw) = uv dx d (w) + uw dx d (v) + vw dx d (u)

11. dx d ( v u ) = ₂ v dx dv u dx du v 

Bukti sifat-sifat di atas diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Selanjutnya, dengan menggunakan definisi turunan

dx dy = x x f x x f x _      ) ( ) ( lim

0 , dapat ditunjukkan beberapa turunan fungsi geometri di

bawah ini. y = cos x, maka dx dy = x x f x x f x _      ) ( ) ( lim 0 = x x x x x _      cos ) cos( lim 0 = x x x x x x x x _          2 ) ( sin 2 ) ( sin 2 lim 0 = 2 sin 2 ) 2 sin( 2 lim 0 x x x x x        = -sin x.

Analog, diperoleh turunan fungsi trigonometri yang lain: 1. dx d (sinx) = cos x 2. dx d (cos x) = -sin x 3. dx d (tan x) = sec2x 4. dx d (cot x) = -csc2x 5. dx d

(sec x) = sec x tan x

6.

dx d

I.2 Antiturunan

Antiturunan merupakan balikan dari turunan, sehingga untuk mempelajarinya harus dikaitkan dengan turunan fungsi.

Menurut definisi turunan, jika y = x maka

x dx dy 2 1  .

Dengan cara yang sama, diperoleh 1. Jika y = x +3 maka x dx dy 2 1  . 2. Jika y = x - 3 maka x dx dy 2 1  . 3. Jika y = x - 100 maka x dx dy 2 1  4. Jika y = x + 7 1 maka x dx dy 2 1  , dan seterusnya.

Dengan kata lain, untuk y = x + C, C R maka

x dx dy 2 1  .

Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka penulisan bentuk di atas dapat disederhanakan dengan

√ = √ + .

Hal ini berarti bahwa fungsi y = x C, dengan C Rmempunyai turunan

x dx

dy 2

1

 atau antiturunan dari f(x) = _      x 2 1 adalah F(x) = x + C, C R. Fungsi-fungsi yang dapat ditentukan antiturunannya disebut integrable (terintegralkan).

Definisi antiturunan diberikan di bawah ini.

Dalam hal yang lebih umum, bentuk

√ = √ + dinyatakan dengan ∫

√ = √ + . Definisi I-2

Dipunyai : ⟶ dan : ⟶ .

Jika ( ) = ( ) untuk setiap maka. F disebut suatu anti turunan f pada selang I. Jika merupakan suatu titik ujung dari I maka ,( ) hanya perlu turuanan satu sisi.

Jadi, Jika y = f(x) mempunyai antiturunan F(x) + C, maka ∫ ( ) = ( ) + , .

Bentuk ∫ ( ) = ( ) + , f(x) disebut integran dan F(x) + C disebut anti turunan.

Bukti:

Untuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk



f(x) dx = F(x) + C, C  Real.

Kita cukup menunjukkan bahwa D_x[F(x)C] f(x)

Dalam kasus di atas r r

r x n x x r C r x D _                  ) 1 ( 1 1 1 1

Kelinearan integral diberikan oleh teorema berikut.

Bukti:

Untuk membuktikan teorema di atas, cukup dengan mendeferensialkan ruas kanan dan amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.

1. [ ∫ ( ) ] = [∫ ( ) ] = ( ) Teorema I-5

Dipunyai f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai turunan dan K suatu konstanta. Untu f dan g berlaku aturan di bawah ini.

1.

_

Kf(x)dx = K

_

f(x)dx,

2.

_

[f(x)g(x)]dx

_

f(x)dx

_

g(x)dx, 3.

_

[f(x)g(x)]dx

_

f(x)dx

_

g(x)dx, Teorema I-4

∫ sin = − cos + dan ∫ cos = sin + Teorema I-3

Jika r sebarang bilangan rasional kecuali  1, maka



    C r x dx x r r 1 1 .

2. [ ∫ ( ) ∫ ( ) ] = [∫ ( ) ] + [∫ ( ) ] = ( )+ ( ) 3. [ ∫ ( ) ∫ ( ) ] = [∫ ( ) ]  [∫ ( ) ] = ( )− ( ) Contoh I-2

Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral di atas. 1.

_



x2 x



dx Penyelesaian: Jelas

_



x2 x



dx =

_

x2dx xdx

_

= 3 ₁ 2 ₂ 2 1 3 1 C x C x    = x3  x2 C 2 1 3 1 2. dx x x2 1 2



       Penyelesaian: Jelas dx x x2 1 2



       = dx x x x



2 1 2 4 =

_



_



_

dx x dx x x dx x x4 2 2 1 =

_

x7/2dx2

_

x3/2dx

_

x1/2dx 3. dx x x x



3 2 ) 1 ( Penyelesaian: Jelas dx x x x



3 2 ) 1 ( =

_

  3 2 ) 1 2 ( x x x x dx = dx x x dx x x dx x x







  3 3 2 3 3 2 =

_

x8/3dx2

_

x5/3dx

_

x2/3dx = x11/3  x8/3  x5/3 C 5 3 4 3 11 3 .

Contoh I-3 1. Hitunglah .

_

4x 4x2 11dx. Penyelesaian: Jelas d(4x2 11) = 8x dx. Jadi

_

3x 4x2 11dx =

_

4  11 2 1 2 x d(8x) = x  C 2 / 3 ) 11 4 ( 2 1 2 3/2 = (4 2 11)3/2 3 1  x + C. 2. Hitunglah . 5 2 3 2



 dy y y Penyelesaian: Jelas d(2y2 5)  = 4y dy. Jadi

_

 dy y y 5 2 3 2 =



  ydy y 5) 3 2 ( 2 1/2 =

_

y   4ydy 4 3 ) 5 2 ( 2 1/2 =

_

  ydy y 5) .4 2 ( 4 3 2 1/2 = y  C 2 / 1 ) 5 2 ( . 4 3 2 1/2 = 2y  5C 2 3 2 . Teorema I-6

Diberikan f fungsi yang differensiabel dan n bilangan rasional dengan n ≠ 1, maka:











    , 1 ) ( ) ( ' ) ( 1 C r x f dx x f x f r r C Real.

3. Hitunglah

_

3sin(6x2)dx. Penyelesaian: Tulis U = 6x + 2. Jelas dU = 6 dx atau 3 dx = 2 dU . Jadi

_

3sin(6x2)dx =

_

2 sinU dU = (cosU ) C 2 1 = cos(6 2) . 2 1 C x  

4. Hitunglah

_

1cosxsinxdx.

Penyelesaian: Tulis A = 1cosx.

Jelas A21cosx _{dan 2A dA = (-sin x) dx.}

_

1 cosx sinxdx =

_

A.(2A)dA = -2

_

A2dA =  A 3 C 3 2 = (1 cos ) . 3 2 3 C A    Contoh I-4

Tentukan: (a)

_

(2xcosx).dx dan (b)

_

(2x1).dx. Penyelesaian:

(a) Jelas

_

(2xcosx).dx

_

2x.dx

_

cosx.dx

= (x2 C₁)(sinxC₂) = 2 sin ( _{1 2}) C C x x    = x2  sinxC. (b) Jelas

_

(2x1).dx

_

2x.dx

_

dx = x2 xC.

Teorema berikut diperlukan untuk menentukan integral tak tentu fungsi-fungsi komposisi yang juga dikenal dengan teorema penggantian.

Bukti: Dipunyai R_g I. Jadi F'[g(x)] f[g(x)]  [ ( )] )] ( [ )]] ( [ [ x g f x g d x g F d  . Jadi

_

f[g(x)].d[g(x)]F[g(x)]C 

_

f[g(x)].g'(x).dxF[g(x)]C. Contoh I-5

Tentukan: (a)

_

2.cos2x.dx ,

_

10(x5)9.dx , dan (c)

_

(x32x6)6(3x2 2).dx. (a) Strategi:

(1) Ingat rumus:



cosx.dxsin xC. (2) Jika x diganti 2x, diperoleh:



cos2x.d(2x)sin2xC. Penyelesaian: Jelas

_

2.cos2x.dx =

_

cos2x.d(2x) = sin2x C. (b) Strategi: (1) Ingat rumus: . 10 . 10 9 C x dx x  



(2) Jika x diganti (x+5), diperoleh

(3) . 10 ) 5 ( ) 5 ( . ) 5 ( 10 9 C x x d x    



Penyelesaian: Jelas

_

10(x5)9.dx = 10

_

(x5)9dx = 10

_

(x5)9d(x5) = x C 10 ) 5 ( . 10 10 = x 10 C ) 5 ( .

Teorema I-7 (Penggantian)

Dipunyai y g(x) mempunyai turunan pada D_g dan R_g I dengan I adalah suatu selang. Jika y  f(x) terdefinisi pada selang I sehingga F'(x) f(x), maka

(c) Strategi: (1) Ingat rumus:

_

x dx x C 7 . 7 6 . (2) Jika x diganti x3  x2 6, Diperoleh: ) 6 2 ( ) 6 2 ( 3  6 3 



x x d x x = x  x C 7 ) 6 2 ( 3 7 . (3) Jelas d(x3 2x6)(3x2 2).dx Penyelesaian: Jelas

_

(x3 2x6)6(3x2 2).dx =

_

(x32x6)6d(x3 2x6) = x  x C 7 ) 6 2 ( 3 7 . Bukti: Dipunyai d(U.V)U.dV V.dU . Jadi

_

d(U.V)

_

(U.dV V.dU)  U.V 

_

U.dV 

_

V.dU 

_

U.dV U.V 

_

V.dU.

Teorema ini efektif apabila

_

U .dV sulit dicari, akan tetapi

_

V .dU dengan mudah dapat ditentukan.

Contoh I-6

Tentukan: (a)

_

x.cosx.dx dan (b)

_

x2.sin x.dx.

Teorema I-8 (Integral Parsial)

Jika U U(x) dan V V( x) adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan pada selang buka I, maka

(a) Strategi:

(1) Ubah

_

x.cosx.dx menjadi



x.d(sin x)

(2) Tulis x U(x) dan sin x V(x). (3) Gunakan Teorema 7. Penyelesaian: Jelas

_

x.cosx.dx =

_

x.d(sinx) = x.sin x

_

sinx.dx = x.sinx cosxC (b) Strategi

(1) Ubah

_

x2.sin x.dx menjadi

) (cos . 2 x d x



 . (2) Tulis x 2 U(x)dan cosx V(x). (3) Gunakan Teorema 7. (4) Ubah

_

x.cosx.dx menjadi



x.d(sin x)

(5) Gunakan sekali lagi Teorema 7

Penyelesaian: Jelas

_

x2.sin x.dx = 

_

x2.d(cosx) = [x2.cosx

_

cosx.d(x2)] = x2.cosx2

_

x.cosx.dx = x2.cosx2

_

x.d(sin x)

= x2.cosx2(x.sinx

_

sin x.dx)

= x2.cosx2x.sinx2cosxC.

Berikut ini disenarai beberapa rumus teknis yang diperoleh berdasarkan pengalaman.

No Rumus Teknis No Rumus Teknis

1

_

_{dx xC} 9

_

_{cscx.cotx.dxcscxC} 2



xdx x C 2 . 2 ₁₀ C x x dx    



2 sin 1 1 = cos1x C 3 C n x dx x n n    



. ₁ 1 ₁₁ C x x dx    



2 tan 1 1 = cot1 x C 4



sinx.dxcosxC 12 _{x C} x x dx    



2 sec 1 1 = csc1 x C

5

_

_{cosx.dxsin xC} 13 C a U U a dU    



2 2 sin 1 = C a U  cos1 6

_

_sec2 _{x.dxtanxC 14} C a U a U a dU    



2 2 tan 1 1 = C a U a  1cot1 7



csc2 x.dxcotxC 15



    C a U a U U dU 1 2 sec 1 1 = C a U a  1csc1 8



secx.tanx.dxsecxC

Contoh I-7 Tentukan: (a)

_

12x.dx (b)

_

x 12x.dx (c)

_

1 2 . 2 x dx x (d)

_

sin3 x.dx (e)

_

sin4 x.dx (f)

_

sin x.dx (g)

_

 x dx x cos 1 . sin (h)

_

tan4 x.dx (i)

_

 x x dx ). 1 ( (j)



x2 2x5 dx (k)

_

 2 4x x dx (l)

_

 2 2 . x x dx x Strategi: (1) Ingat rumus

_

x dx x C 2 3 2 3 2 1 . .

(2) Jika x diganti (1-2x), diperoleh: (3)

_

 x d  x   x C 2 3 2 3 2 1 (1 2 ) ) 2 1 ( . ) 2 1 ( (4) Ingat bahwa d(12x)2dx Penyelesaian: (a) Jelas

_

12x.dx =

_

 x 2dx 1 ) 2 1 ( = 

_

(12 ) . (12 ) 2 1 ₂1 x d x =   x C 2 3 2 3 ) 2 1 ( . 2 1 =   x  x C 3 2 1 ) 2 1 ( .

Strategi:

(1) Ubah

_

x 12x.dx menjadi bentuk yang ada seperti pada contoh (a).

Penyelesaian: (b) Jelas

_

x 12x.dx =

_

[1(12x)]. 12x).dx 2 1 =

_

 x dx

_

(12x) .dx 2 1 . ) 2 1 2 1 ₂3 =

_

12x .)dx 2 1

_

(12x) .dx 4 1 ₂3 =     6 2 1 ) 2 1 ( x x C x x    10 2 1 ) 2 1 ( 2 (c) Penyelesaian: Jelas

_

1 2 . 2 x dx x =

_

2x(2x1)2.dx 1 =

_

[(2x1)1].(2x1)2.dx 1 =

_

(2x1) .dx

_

(2x1)2.dx 1 2 1 =

_

  

_

(2 1) . (2 1) 2 1 ) 1 2 ( . ) 1 2 ( 2 1 ₂1 ₂1 x d x x d x = x x  2x1C 3 1 2 ) 1 2 ( . Strategi:

(1) Ingat d(cosx)sinx.dx

(2) Ingat

_

x dx x C 3 .

3 2

(3) Jika x diganti cos x diperoleh:



xd x  xC 3 cos ) (cos . cos 3 2 . Penyelesaian: (d) Jelas

_

sin3 x.dx =

_

sin2 x.sin x.dx = 

_

(1cos2 x).d(cosx)

=

_

d(cosx)

_

cos2 x.d(cosx)

=  x xC 3 cos cos 3 .

Strategi: (1) Ingat rumus

 2

sin = cos2sin2 = 12sin2= 2cos21.

Penyelesaian: (e) Jelas

_

sin4 x.dx

=

_

(sin2 x .)2 dx =

_

       dx x 2 2 2 cos 1 =

_

dx

_

xdx

_

cos x.dx 4 1 . 2 cos 2 1 4 1 2 = 

_

cos2 (2 ) 4 1 4 xd x x 

_

 x.dx 2 4 cos 1 4 1 2 = x x

_

dx 8 1 4 2 sin 4 

_

cos4 . (4 ) 32 1 x d x = x x

_

dx xC 32 4 sin 8 1 4 2 sin 4 = x x

_

xC 32 4 sin 4 2 sin 8 3 . Strategi: (1) Tulis x  y (2) Jelas x dx dy 2  (3) Jadi

_

sin x.dx = 2

_

y.sin y.dy = 

_

y.d(cosy).

(4) Selanjutnya gunakan integral parsial, yaitu:

_

UdV UV

_

V.dU Penyelesaian: (f) Jelas

_

sin x.dx = 

_

yt.d(cosy) = 



y.cosy

_

cosy.dy



= y.cosysin yC =  x.cos xsin xC.

Strategi:

(1) Ingat d(1cosx)sin x.dx

(2) Ingat

_

x dx x2 C 1 2 1 . 2

(3) Jika x diganti 1cosx, diperoleh:



(1cos )2. (1cos ) 1 x d x =  x 2 C 1 ) cos 1 ( 2 Penyelesaian: (g) Jelas

_

 x dx x cos 1 . sin = 

_

(1cos )2 (1cos ) 1 x d x =  x 2 C 1 ) cos 1 ( 2 = 2 1 cosx C. Strategi: (1) Ingat rumus: , tan 1 sec2 2 x x  dx x x d(tan )sec2 . ,



x dx x C 3 . 3 2 , dan



sec2 x.dxtanxC. Penyelesaian: (h) Jelas

_

tan4 x.dx =

_

tan2 x.tan2 x.dx =

_

tan2 x.(sec2 x1).dx

=

_

tan2 x.sec2 x.dx

_

tan2 x.dx

=

_

tan2 x.d(tanx)

_

(sec2 x1).dx

= x

_

sec x.dx

_

dx 3 tan 2 3 = x tanxxC 3 tan3 . Strategi: (1) Tulis x  y. (2) Jelas x dx dy 2  . Penyelesaian: (i) Jelas

_

 x x dx ). 1 ( =

_

 2 1 2 y dy = _2.tan1 y C = 2.tan1 x C.

Strategi: (1) Tulis x2  x2 5 menjadi 4 ) 1 (x 2  (2) Ingat rumus:



    C x x dx 1 2 tan 1 (3) Jika x diganti 2 1  x , diperoleh:



                        C x x x d 2 1 tan 1 2 1 2 1 1 2 Penyelesaian: (j) Jelas

_

 2 5 2 x x dx =

_

 1) 4 (x 2 dx =

_

        1 2 1 4 1 2 x dx =

_

               1 2 1 2 1 2 1 2 x x d = C x    2 2 1 tan 1 . Strategi: (1) Ubah 2 4x x menjadi: 4 ) 4 2 . . 2 ( 2     x x = 4 x( 2)2. (2) Ingat Rumus: C x x dx    



2 sin 1 1 . Penyelesaian: (k) Jelas

_

 2 4x x dx =

_

 ( 2)2 4 x dx =

_

         2 2 2 1 ) 2 ( 2 1 x x d = C x    2 2 2 sin 1 Strategi: (1) Ingat ( 2 ) 2( 1) 2      x dx x x d . (2) Tulis x[1(x1)] dan 2xx2 1(x1)2. Penyelesaian: (l) Jelas

_

 2 2 . x x dx x = dx x x x . 2 ) 1 ( 1 2



     =

_

_

      2 2 ) 1 ( 1 2 ). 1 ( x dx x x dx x

= ( 2 ) ( 2 ) 2 1 2 2 1 2



     x x  d x x

_

    2 ) 1 ( 1 ) 1 ( x x d =  2x x2 sin1(x1)C.

I.3 Evaluasi

Kerjakan soal-soal di bawah ini.

1. Periksa kebenaran pernyataan berikut ini:

(a) F₀(x)x2  adalah anti turunan dari f(x)2x. (b) F(x) 1x merupakan antu turunan

x x f   1 2 1 ) (

(c) F(x)x.cos2x merupakan anti turunan dari f(x)cos2x2x.sin2x. (d) F(x) x.x merupakan anti turunan dari f(x)x.x pada  .

2. Jika suatu fungsi y  f(x) terdefinisi untuk x0, melalui titik (4,0), dan gradien garis singgung di setiap titik ditentukan oleh persamaan

2 1 2 1 ) ( ' x x x

f    , tentukanlah persamaan fungsi f .

3. Berikan masing-masing 3 buah contoh untuk membenarkan Teorema 5, yaitu:



[f(x)g(x)].dx



f(x).dx



g(x).dx

dan



K.f(x).dxK.



f(x).dx. 4. Hitunglah anti turunan dari:

(a) f(x)x3 2x2 (b) f(x)3.sin2xx2 5. Tentukan: (a)

_

x x4.dx (b)

_

x2 1 x.dx (c) x5 1 2x 



(d)

_

cosx. 1sinx.dx (e)

_

 3 cos 1 . sin x dx x (f)

_

 x dx x 1 . 2

BAB II.

INTEGRAL TENTU DAN PENGINTEGRALAN

Pada BAB 2 ini dibicarakan teorema yang cukup melandasi tentang integral, yaitu teorema dasar kalkulus 1 dan 2. Dengan ditemukannya dua teorema ini dunia menjadi gempar. Perhitungan integral yang tadinya harus dihitung dengan waktu la-ma, bahkan perlu dibantu dengan mesin hitung, dengan kledua teorema ini pekerjaan menjadi cukup sederhana dan dapat diselesaikan dengan cepat tanpa bantuan mesin hitung. Dibuka dengan pasal yang berisi tinjau ulang tentang notasi sigma.

II.1 Notasi Sigma

Perhatikan jumlah 10 bilangan asli pertama: 1 + 2 + 3 + … + 10. Bentuk ini dapat ditulis dengan



      10 1 10 3 2 1 i i 

yang dibaca"sigma I, I dari 1 sampai 10". Dengan cara serupa, dapat dinyatakan:

(a)

_

      50 1 2 2 2 2 2 ) 50 ( 3 2 1 s s  , (b)

_

      n i i n a a a a a 1 3 2 1  , (c)

_

      10 1 1 10 1 3 1 2 1 1 1 n n  , dan (d)

_

           n i i n 3 2 1 1 1 . 2 1 1 5 . 2 1 1 4 . 2 1 1 3 . 2 1  . Contoh II-1 Jelas 1 2 3 10 10 1     



  i i = (12)(34510) =

_

_

   10 3 2 1 i i i i . Contoh II-2

Tulis dengan notasi sigma bentuk-bentuk berikut ini: (a) 22222,

(c) 24681012141618, dan (d) 2510172637506582101. Strategi:

(1) Tulis c_i 2 untuk setiap i = ,2,3,4,5.

Penyelesaian: (a) Jelas 22222 = c₁c₂ c₃ c₄ c₅ =

_

 5 1 i i c =

_

 5 1 2 i . Strategi:

(1) Ingat: Bilangan asli ganjil yang ke-n adalah 2 . n. 1. Penyelesaian: (b) Jelas 13579111315 =

_

  8 1 ) 1 2 ( i i . Strategi:

(1) Ingat: Bilangan asli genap yang ke-n adalah 2 . n. (2) Jelas 18 = 2 . 9. Penyelesaian: (c) Jelas 2 + 4 + 6 + … + 18 =

_

 9 1 2 n n. Strategi: (1) Jelas: 212 1, 1 2 5 2  ,  1 10 101 2  . Penyelesaian: (d) Jelas



       10 1 2 ) 1 ( 1001 10 5 2 i i 

Berikut ini disajikan beberapa teorema yang sering digunakan. Khususnya dalam perhitungan integral tentu melalui limit jumlah Riemann.

Teorema II-1 (a) c nc n i . 1 





untuk sembarang konstanta c,

(b)

_

_

   n i i n i i c ca a c 1 1 . . . . (c)

_

_

_

      n i n i i n i i i i db c a d b a c 1 1 1 . . ) . . (

Strategi:

Tulis c_i  untuk setiap c i1,2,...,n.

Bukti (a): Jelas

_

_

   n i i n i c c 1 1 = c1c2 cn = ccc = n. . c Bukti (b): Jelas _n n i i ca ca ca a c. . ₁ . ₂ . 1    



  = c(a₁a₂ a_n) =



  n i i a c 1 . . Bukti (c): Jelas

_

  n i i i db a c 1 ) . . ( = (c.a1d.b1)(c.a2 d.b2)(c.an d.bn) =



c.a1c.a2 c.an



+



d.b1 d.b2 d.bn



=

_

  n i i a c 1 . +

_

  n i i b d 1 . . Contoh II-3 Hitunglah: (a)

_

  6 1 5 i dan (b)

_

   5 1 2 ) 5 4 ( i i i Penyelesaian: (a) Jelas

_

  6 1 5 i = 6 . 5 = 30. (b) Jelas

_

   5 1 2 ) 5 4 ( i i i =

_

 5 1 2 i i +

_

 5 1 4 i i -

_

 5 1 5 i . = (1+4+9+16+25) + 4(1+2+3+4+5) + 5 . 5 = 90.

II.2 Induksi Matematika

Induksi matematika merupakan pembuktian kebenaran suatu pernyataan P(n) benar untuk setiap bilangan asli atau bilangan cacah n. Dua langkah baku dalam induksi matematik, yaitu:

 pertama P(1) benar dan

 kedua P(k+1) benar apabila P(k) benar.

Dengan demikian dapat dinyakan:

Contoh II-4 Buktikanlah: (a) 2 ) 1 ( 3 2 1  n n n ,

(b) 2 n 2.n untuk setiap bilangan asli n,

(c) n3 8 habis dibagi n2 untuk setiap bilangan asli n, (d) 6 ) 1 2 )( 1 ( 9 4 1  n2  n n n , (e) 2 1 3 2 ) 1 (        



 n n i n i , dan (f) 30 ) 1 9 6 )( 1 ( 3 2 1 4     



 n n n n n i n i .

Buktinya sederhana. Berikut ini hanya dibuktikan butir (a), sedang butir yang lain diserahkan pembaca sebagai latihan.

P(1) benar P(n) benar 

Bukti (a): Tulis

_

      n i i n 1 3 2 1  . Tulis P(n):



   n i n n i 1 2 ) 1 ( .  Jelas P(1):



   1 1 2 ) 1 1 .( 1 i i . Jelas

_

  1 1 1 i i dan 1 2 ) 1 1 .( 1   . Jadi P(1)benar.  Dipunyai P(k) benar. Jadi 2 ) 1 ( 1  



 k k i k i . Jelas

_

  1 1 k i i = ( 1) 1        



 k i k i = ( 1) 2 ) 1 (    k k k = 2 ] 1 ) 1 ).[( 1 (k k  . Jadi P(k+1) benar apabila P(k) benar.

Jadi P(n) benar. Jadi 2 ) 1 ( 3 2 1  n n n .

II.3 Jumlah Riemann

Pada pasal ini disajikan pengertian jumlah Riemann suatu fungsi yang meru-pakan dasar pendefinisian integral tentu.

Definisi II-2

Dipunyai [a,b] suatu selang tutup. Suatu partisi P untuk selang [a,b] adalah sembarang _n himpunan yang terdiri (n+1) bilangan



x0,x1,x2,,xn



, dengan b x x x x a  ₀  ₁  ₂  _n  .

Contoh II-5 Jelas bahwa        3 2 5 , 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , 1 6

P adalah suatu partisi untuk selang [1,3]. Agar lebih memahami konsep yang dikembangkan, perhatikanlah gambar berikut ini.

Gambar II-1 P₆ suatu partisi untuk [1,3]. memperlihatkan bahwa dengan partisi P , ₆ selang [1,3] terbagi menjadi 6 buah subselang, yaitu:

] 2 5 , 2 [ ], 2 , 2 3 [ ], 2 3 , 3 4 [ ], 3 4 , 4 5 [ ], 4 5 , 1 [ , dan ,3] 2 5 [ .

Panjang untuk tiap subselang tidak perlu sama, sebagai contoh, panjang subselang pertama ditulis dengan:

0 1 1x x x  = 1 4 5  = 4 1 . Selanjutnya: 1 2 2xx x  = 4 5 3 4  = 12 1 , 2 3 3x x x  = 3 4 2 3  = 6 1 , 3 4 4xx x  = 2 3 2  = 2 1 , 4 5 5x x x  = 2 2 3  = 2 1 , dan 5 6 6xx x  = 2 3 3  = 2 1 .

Panjang subselang terbesar dinyatakan dengan P dibaca denga "norm ₆ P ". Dengan ₆ demikian pada contoh ini

2 1 6  P .  1 4 5 3 4 2 3 2 2 5 3

Contoh II-6 Periksa apakah       1 , 5 4 , 5 3 , 5 2 , 5 1 , 6 1 ,

0 merupakan suatu partisi untuk selang [0,1]. Jika merupakan suatu partisi, tentukan normnya.

Penyelesaian: Tulis P =       1 , 5 4 , 5 3 , 5 2 , 5 1 , 6 1 , 0 . Jelas 1. 5 4 5 3 5 2 5 1 6 1 0     

Jadi P suatu partisi untuk selang [0,1]. Jelas              5 3 1 , 5 3 5 4 , 5 2 5 3 , 5 1 5 2 , 6 1 5 1 , 0 6 1 maks P =       5 1 , 30 1 , 6 1 = 5 1 . Contoh II-7

Tentukan jumlah Riemann untuk fungsi ( ) 3 5 2 2 8    x x x x f pada selang [0,5]

dengan partisi 0 < 1,1 < 2 < 3,2 < 4 < 5 dan titik sampel 5 , 0 1  t , t₂ 1,5 , t3 2,5 , t4 3,6 , dan t5 5. Penyelesaian: Jelas R = ₅

_

  n i i i x t f 1 ). ( = f(t₁).₁x f(t₂).₂x f(t₃).₃x f(t₄).₄x f(t₅).₅x = ).(3,2 2) (3,6).(4 3,2) (5).(5 4) 2 5 ( ) 1 , 1 2 ).( 2 3 ( ) 0 1 ).( 2 1 (   f   f   f   f  f = (7,875).(1,1)+(3,125).(0,9)+(-2,625)(1,2)+(-2,944).(0,8)+ (18).1 = 23,9698. Definisi II-3

Dipunyai f :[a,b] suatu fungsi, P suatu partisi untuk selang [a,b], dan _n ] , [ _{i 1 i} i x x t  _ . Bangun



  f t x R_n (_i). _i .

Gambar situasinya:

Contoh II-8

Hitunglah jumlah Riemann untuk fungsi F(x) 9x pada selang [0,9] menggunakan partisi 0 < 1 < 2 < 4 < 6 < 7 < 9 dan titik sampel t yang _i merupakan titik-titik tengah subselan ke i.

Penyelesaian: Jelas x₀ 0, x₁ 1, x₂ 2, x₃ 4, x₄ 6, x₅ 7, dan x₆ 9. Selanjutnya: 2 1 2 0 1 0 2 0 1 0 1       x x x t , 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2       x x x t , 3 2 2 4 2 2 1 2 2 3       x x x t , 5 2 4 6 4 2 2 3 3 4       x x x t , 2 13 2 6 7 6 2 3 4 4 5        x x x t , dan 8 2 7 9 7 2 4 5 5 6       x x x t . Y 18 15 12 9 6 3 2,5 3,6 0 X 0,5 1,5 4,5 -3 -6

Jadi 6 R =

_

  6 1 ). ( i i i x t f = f(t1).1x f(t2).2x f(t3).3x f(t4).4x f(t5).5x f(t6).6x = )(2 1) (3)(4 2) (4)(6 4) (5)(7 6) (6)(9 7) 2 3 ( ) 0 1 )( 2 1 (   f   f   f   f   f  f = .1 6.2 5.2 4.1 3.2 2 15 1 . 2 17      = 12 10 4 6 2 15 2 17      = 40.

II.4 Integral Tertentu

Pada pasal ni didefinisikan pengertian integral tertentu sebagai limit jumlah Riemann sebagai berikut.

Catatan:

(a) Definisi formal integral tertentu diberikan dengan   , 

(b) Dalam kasus selang [a,b] dibagi menjadi n bagian sama panjang, maka 0  P  nm, (c) Pada bentuk

_

b a dx x

f( ). , f disebut integrn, a disebut batas bawah, dan b disebut batas atas integral,

Definisi II-4 Dipunyai fungsi f :[a,b]. Jika

_

   n i i i P f t x 1 0 ( ). lim ada

maka dikatakan fungsi f terintegralkan secara Riemann pada selang [a,b]. Selanjutnya ditulis



   n i i i P f t x 1 0 ( ). lim =

_

b a dx x f( ). disebut integral tertentu (integral Riemann) fungsi f dari a ke b.

(d) Dalam kasus fungsi f kontinu pada selang [a,b] dan f(x)0pada [a,b],



b a dx x

f( ). menyatakan luas daerah yang dibatasi oleh grafik f, garis x = a, garis x = b, dan sumbu X,

(e) Integral tertentu adalah suatu bilangan riil yang dapat bernilai positif, nol, atau negatif. Contoh II-9 Hitunglah

_

 b a dx x 3). ( . Penyelesaian: Tulis f(x) x3

Bangun partisi untuk selang [1,4] yang membagi selang [1,4] menjadi n buah subselang yang sama panjang.

Jelas n n x i 3 1 4     untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n. Jelas x₀ 1, n x₁ 1 3, n x₂ 12.3,…, n i x_i1 1( 1).3, n i x_i 1  .3, dan x_n 4 .

Pilih t _i x_i untuk setiap t_i[x_i1,x_i]. Jadi ( ) (13 )13 33 2 n i n i n i f t f _i . Jadi

_

 b a dx x 3). ( =

_

   n i i i P f t x 1 0 ( ). lim =

_

   _      n i n _{n n} i 1 3 . 2 3 lim =       

_



    n i n i n _n i _n 1 1 2 1 6 9 lim =           _n n n n n n . 6 2 ) 1 ( . 9 lim ₂ =           _n n n n n n . 6 2 ) 1 ( . 9 lim ₂ = 6 2 9  = 2 3  .

Contoh II-10 Hitunglah

_

1 0 2 .dx x . Penyelesaian:

Bangun partisi untuk selang [0,1] yang membagi selang [0,1] menjadi n buah subselang yang sama panjang.

Jelas n n x i 1 0 1     untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n. Jelas x0 0, n x1  1, n x2  2,…, n i xi 1 1    , n i xi  , dan xn 1. Pilih n i x t_i  _i1  1. Jadi

_

1 0 2 .dx x =

_

   n i i i P f t x 1 0 ( ). lim =

_

   _      n i n _{n n} i 1 2 3 . 2 3 lim =

_

     n i n _n i i 1 2 3 ( 2 1) 1 lim =        

_

_



     n i n i n i n _n i i 1 1 1 2 3 2 1 1 lim =              n n n n n n n n ₂ ) 1 ( . 2 6 ) 1 2 )( 1 ( 1 lim ₃ =              2 2 2 1 1 6 ) 1 2 )( 1 ( lim n n n n n n n = 3 1 . Contoh II-11 Hitunglah

_

b a dx x. . Penyelesaian:

Bangun partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah subselang yang sama panjang.

Jelas n a b x i    untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n.

Jadix 0 a, n a b a x₁    , n a b a x2 2( )    ,…, n a b i a xi ) )( 1 ( 1      , n a b i a x_i   (  )dan x_n b. Pilih ti xi1. Jadi

_

b a dx x. =

_

   n i i i P f t x 1 0 ( ). lim = n a b n a b i a n i n          



   . ) )( 1 ( lim 1 =

_

                     n i n _n i a b n a b a 1 2 ) 1 ( ) ( lim =                  





    n i n i n _n i a b n a b a 1 2 1 ) 1 ( 1 ) ( lim =                            n n n n a b n n a b a n ₂ ) 1 ( . . ) ( lim 2 = 2 2 2 2 2 b ab a a ab    = . 2 2 2 a b 

II.5 Teorema-teorema Integral Tertentu

Definisi integral; tertentu dari fungsi f pada selang [a,b] dapat diperluas untuk kasus = , atau < yang didefinisikan sebagai berikut.

Teorema II-6

Jika fungsi f kontinu pada selang [ , ], maka f terintegral secara Riemann pada selang [ , ].

Definisi II-5

(a) Jika f (a) terdefinisi maka

_



a a dx x f( ). 0. (b) Jika a > b dan

_

a b dx x f( ). terdefinisi, maka

_

a b dx x f( ). = 

_

b a dx x f( ). .

Teorema II-7

Bukti:

Tulis f (x) = 1.

Jelas f terdefinisi pada  .

Buat partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah subselang yang sama panjang.

Jelas n a b x i    untuk setiap I = 1, 2, 3, …, n. Pilih sembarang t_i[x_i1,x_i]. Jadi

_

b a dx x f( ). =

_

   n i i i P f t x 1 0 ( ). lim =   



       n n i n a b 1 . 1 lim = 1.lim(b a) n n  = b  . a Teorema II-8

Buktinya sederhana, diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Bukti:

(1) Buat partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n bah subselang yang sama panjang.

Teorema II-9

Jika fungsi-fungsi f dan g terintegral pada selang [a,b], maka fumgsi-fungsi (f + g) dan K.f dengan K konstanta terintegralkan, yaitu:

(1)

_







b a dx x g x f( ) ( ) =

_

b a dx x f( ). +

_

b a dx x g( ). . dan (2)

_

b a dx x f K. ( ). =

_

b a dx x f K. ( ).



b a dx K. =

_

   n i i P K x 1 0 . lim = K(ba).





      b a n i i P x b a dx 1 0 lim

Jadi

_







b a dx x g x f( ) ( ) =

_





    n i i i i P f t g t x 1 0 ( ) ( ). lim =

_

   n i i i P f t x 1 0 ( ). lim +

_

   n i i i P g t x 1 0 ( ). lim =

_

b a dx x f( ). +

_

b a dx x g( ). . Diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Interpretasi geometri Teorema II-10:

Bukti:

Kasus a < c < b: Teorema II-11

Jika fungsi f kontinu pada suatu selang yang memuat , , dan maka



b a dx x f( ). =

_

c a dx x f( ). +

_

b c dx x f( ). tanpa memperhatikan urutan , , dan .

Teorema II-10

Jika D adalah daerah daerah tertutup yang dibatasi grafik fungsi f , garis x = a, x = b, dan sumbu X maka



 b a dx x f L ( ). Y f X 0 a b

Buat [partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah subselang yang sama panjang dan c merupakan suatu titik ujung suatu subselang.

Tulis

n = m + p

dengan m merupakan banyak subselang dalam selang [a,c] dan p adalah banyak subselang dalam selang [c,b].

Tulis k m k x z  _ dan u_k t_mk. Jadi

_

b a dx x f( ). =

_

   n i i i P f t x 1 0 ( ). lim = _        





    m i n k k k i i n f t x f u z 1 1 ). ( . ). ( lim =

_

    n i i i n f t x 1 ). ( lim +

_

    n k i k p f u z 1 ). ( lim =

_

c a dx x f( ). +

_

b c dx x f( ). . Kasus c < a < b:

Berdasarkan kasus 1, dapat disimpulkan bahwa



b c dx x f( ). =

_

a c dx x f( ). +

_

b a dx x f( ). . Jelas

_

a c dx x f( ). = 

_

c a dx x f( ). . Jadi

_

b c dx x f( ). = 

_

c a dx x f( ). +

_

b a dx x f( ). 

_

b a dx x f( ). =

_

c a dx x f( ). +

_

b c dx x

f( ). 5tanpa memperhatikan urutan dari a, b, dan c.

Teorema II-12

Jika f terintegral pada selang [ , ] dan f(x)0 pada selang [ , ] maka



 b a dx x f( ). 0.

Bukti:

Buat partisi untuk selang [a,b] yang membagi selang [a,b] menjadi n buah subselang yang sama panjang.

Jelas

_

   n i i i P f t x 1 0 ( ). lim . Andaikan

_

 b a dx x f( ). 0. Pilih t_i [a_i,b_i] f(t_i)0. Ini adalah suatu kontradiksi.

Jadi

_

 b a dx x f( ). 0. Bukti:

Dipunyai f(x) g(x) pada selang [ , ]. Jelas g(x) f(x)0 pada selang [ , ].

Jadi

_

  b a dx x f x g( ) ( )]. 0 [ 

_

( ). 

_

( ). 0 b a b a dx x f dx x g 

_



_

b a b a dx x g dx x f( ). ( ). . Teorema II-13

Jika f dan g terintegral pada selang [ , ] dan f(x)g(x) pada [ , ] Maka





 b a b a dx x g dx x f( ). ( ). .

Bukti: Dipunyai m min f(x) b x a   dan M maks f(x) b x a   . Jelas m f(x)M . Jadi

_



_



_

b a b a b a dx M dx x f dx m. ( ). .   

_

  b a a b M dx x f a b m( ) ( ). ( ).

Interpretasi geometri Teorema II-14:

Contoh II-12 Hitunglah: (a)

_

 1 0 2 ). (x x dx (b)

_

1 0 2 . 6x dx (c)

_

  1 0 2 ). 7 6 3 ( x x dx. Strategi: (1) ingat 2 1 . 1 0 



xdx dan 3 1 . 1 0 2 



x dx . Penyelesaian: (a) Jelas

_

 1 0 2 ). (x x dx Teorema II-14

Jika f kontinu pada selang [ , ], m min f(x) b x a   , dan M maks f(x) b x a   , maka



    b a a b M dx x f a b m( ) ( ). ( ). Y M m X 0 a b

Gambar II-4 Terlihat bahwa luasan yang dinyatakan dengan



    b a a b M dx x f a b m( ) ( ). ( )

(2) Gunakan teorema kelinieran =

_



_

1 0 2 1 0 . .dx x dx x = 3 1 2 1  = 6 5 . (b) Jelas ∫ 6 = 2 ] = 2. (c) Jelas ∫ (3 − 6 + 7) = − 3 + 7 ] = 1 − 3 + 7 = 5.

II.6 Pendiferensialan Integral Tertentu terhadap Batas Atasnya

Contoh II-13 Tentukan: ( ) ∫ ( ) ∫ (3 − 1) Penyelesaian: (a) Jelas ∫ = = − . Jadi ∫ = = . Atau

Berdasarkan Teorema II-15 diperoleh ∫ = . (b) Jelas ∫ (3 − 1) = − = − ∫ ( ) = ( ) Teorema II-15

Jika f kontinu pada selang [ , ] dan suatu titik dalam [ , ] maka

Jadi ∫

( )

= = 6 − 2 .

Atau

Berdasarkan Teorema II-15 diperoleh ∫ (3 − 1)

= ∫ (3 − 1)

( ) .

( )

= (3 − 1). 2 = 6 − 2 .

Berikut ini merupakan teorema nilai rata-rata integral

Berikut ini merupakan teorema substitusi dalam integral tertentu

Teorema Dasar Kalkulus

Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut :

Contoh II-14

1. Perlihatkan bahwa jika r  Q dan r  -1, maka

1 1 1 1      



x dx _rb _ra r r b a r Teorema II-18

Jika ( ) kontinu pada [ , ] dan ( ) sebarang anti turunan ( ), maka

_

b

a

dx x

f( ) = F(b) – F(a). Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = [F(x)]b_a

( ) ( ) = ( )

( )

( ) Teorema II-17

Jika mempunyai turunan kontinu pada [ , ] dan f kontinu pada daerah nilai maka ( ) = ( )( − )

Teorema II-16

Jika f kontinu pada selang [ , ] dan maka terdapat suatu bilangan antara dan sedemikian hingga

Penyelesian Karena F(x) = 1 1   r xr

suatu anti turunan dari f(x) = xr, maka menurut teorema dasar

Kalkulus . 1 1 ) ( ) ( 1 1        



x dx F b F a _rb _ra r r b a r Contoh II-15 1. Jelas

_

_

                  0 4 cos 2 4 cos x dx x dx 4 2 4 1 . 4 cos 8 0



        dx x 2. Jelas dx x x



  5 5 2 5 4 = 0.

Tentukan hasil integral 1.

_

x dx 2 0 ) 2 ( Penyelesaian:

_

xdx 2 0 ) 2 ( = 2 0 2 2 2 _       x x = _               2 0 0 . 2 2 2 2 . 2 2 2 = (4+2) – (0+0) = 6 2.

_

 2 0 3 2 ) 1 (x dx x Penyelesaian: Misalnya u = (x3 )  du = 3x1 2dx  du x2dx 3  Teorema II-19

Jika ( ) fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat (− ) ( ) , maka: dx x f a a



 ) ( = 2 f xdx a



0 ) ( dan

Jika ( ) fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat (− ) = − ( ), maka f x dx a a



 ) ( = 0.

Untuk x = 0 maka u = 1 dan untuk x = 2 maka u = 9, sehingga:

_

 2 0 3 2 ) 1 (x dx x =

_

9 1 3 du u = 9 1 2 6 _    u = _       6 1 6 91 = 6 90 3.

_

 4 1 ) 1 ( u udu Penyelesaian: Misal p = u  p2 = u  2p dp = du Untuk u = 1 maka p = 1

Untuk u = 4 maka p = 2, sehingga:



 4 1 ) 1 ( u udu =

_

 2 1 2 2 . ) 1 ( p p pdp =

_

 2 1 3 2 ) 2 2 ( p p dp = 2 1 4 3 4 2 3 2        p p = _               4 3 4 3 ) 1 ( 4 2 ) 1 ( 3 2 ) 2 ( 4 2 ) 2 ( 3 2 = _               4 2 3 2 8 3 16 = 4 30 3 14  = 4 31  4.

_

 8 4 2 15 x xdx Penyelesaian: Misal A = x2 15  A 2 x215  2A dA = 2x dx Untuk x = 4 maka A = 1

Untuk x = 8 maka A = 7, sehingga

_

 8 4 x2 15 xdx =

_

7 1 A AdA =

_

7 1 dA= [A] 17= 7 – 1= 6 5. Jelas

_

 10 6 2 25 x dx = 10 6 5 5 ln 5 . 2 1   x x