Persamaan Differensial (Modul 01) | Dwipurnomoikipbu's Blog bab i revisi1

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Fungsi

Salah satu konsep dasar dalam matematika yang harus dipahami

untuk mempelajari persamaan differensial adalah fungsi. Ditinjau dari

cara penulisannya, fungsi dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit dan

implisit. Fungsi eksplisit adalah suatu fungsi yang secara umum

dituliskan dalam bentuk y = f(x), sedangkan fungsi implisit adalah

suatu fungsi yang secara umum dituliskan dalam bentuk f(x,y) = 0.

Berdasarkan cara penulisan fungsi sebagaimana disebutkan di

atas, maka dapat dibuat beberapa contoh fungsi yang ditulis dalam

bentuk eksplisit, maupun implisit.

1. y = x2 _{+ 5x – 4}

2. y = cos (x+5)

3. y = cosh x + sinh x

4. y = x x x

5. x2 _{+ y}2 _{= 25}

6. x2_{y + xy}2 _{– 2 = 0}

7. x2 _{+ y}2 _{– 2x – y = -1}

Fungsi pada contoh 1,2,3, dan 4 di atas adalah bentuk ekplisit dan

masing-masing dapat diubah menjadi bentuk implisit. sedangkan fungsi

pada contoh 5,6, dan 7 di atas adalah bentuk implisit. Tidak semua

Sehingga dapat disimpulkan bahwa setiap fungsi yang ditulis dalam

bentuk eksplisit dapat diubah menjadi bentuk implisit, akan tetapi ada

fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi bentuk eksplisit. Fungsi

pada contoh 6 adalah bentuk implisit yang tidak dapat dinyatakan

dalam bentuk eksplisit. Untuk pengembangan lebih lanjut pembaca

dapat membuat beberapa contoh fungsi dengan mengelompokkannya

kedalam bentuk eksplisit atau implisit. Disamping itu dapat pula

membuat contoh lain fungsi implisit yang dapat diubah menjadi fungsi

eksplisit atau fungsi implisit yang tidak dapat diubah menjadi fungsi

eksplisit. Pada prinsip bentuk eksplisit y = f(x), x dinamakan peubah

bebas (independen), sedangkan y disebut peubah tak bebas

(dependen). Bentuk f(x,y) = 0 jika dapat diubah dalam bentuk ekplisit,

x, dan y secara berturut juga dinamakan peubah bebas dan tak bebas.

Akan tetapi jika tidak dapat diubah dalam bentuk ekplisit, maka tidak

ada peubah bebas dan tak bebas dalam fungsi tersebut.

1.2 Turunan dan Antiturunan

Andaikan y = f(x) adalah suatu fungsi eksplisit, maka turunan

(derevative) pertamanya dinyatakan dengan y’ = f’(x). Notasi lain yang

digunakan untuk menyatakan turunan pertama suatu fungsi y = f(x)

adalah Dx[f(x)] atau

dx dy

atau dx

x df( )

. Selanjutnya turunan fungsi banyak

Berikut ini diberikan beberapa formula dasar tentang turunan

fungsi.

Misal u,v, dan w adalah fungsi-fungsi dalam x dan mempunyai turunan

(differensiable), c sebarang bilangan real, maka:

13.

dx d

(cos x) = -sin x

14.

dx d

(tan x) = sec2_x

15.

dx d

(cot x) = -csc2_x

16.

dx d

(sec x) = sec x tan x

17.

dx d

(csc x) = -csc x cot x

Formula di atas berlaku jika fungsi dinyatakan dalam bentuk

eksplisit, sedangkan untuk fungsi yang dinyatakan dalam bentuk implisit

f(x,y) = 0, turunannya dapat ditentukan dengan menggunakan kaidah

differensial, yaitu dengan cara mendifferensialkan masing-masing

variabel fungsi tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut:

1. Tentukan dx dy

dari x2 _{+ y}2 _{– 4 = 0}

Jawab

Dengan aturan differensial masing-masing variabel diperoleh

 d(x2 _{) + d(y}2 _{) – d(4) = d(0)}

 d(x2 _{) + d(y}2 _{) – d(4) = d(0)}

 2x dx + 2y dy = 0

 dx dy

2. Tentukan

3. Tentukan dx

dari fungsi di atas, maka bentuknya diubah

menjadi bentuk implisit, dan diperoleh:

y = x x x

Latihan soal

Tentukan dx dy

dari fungsi berikut ini

3. y =

x

sin 2 1

4. y – cos2_(2x1)

5. y = 1 +

1 2



x

6. y = sec 2 3

) 1 ( x

7. cos (xy) – 2x + 3y2 _{= 0}

8. y = x

x



1

9. yx + x2 _{– 3y +1 = 0}

10. y = sin 4_1x

Selain turunan fungsi, hal mendasar lain yang perlu dipahami

untuk mendalami persamaan differensial adalah antiturunan.

Antiturunan fungsi disebut juga integral fungsi.

Misal y = f(x) adalah sebuah fungsi, antiturunannya dinotasikan

dengan Ax(f(x)). Dalam hal yang lain dinyatakan dengan



f(x) dx. f(x)

disebut integran.

Misal y = f(x) dan antiturunannya F(x), maka

_

f(x) dx = F(x) + c, c



Real.

Jika y = f(x) yang mempunyai antiturunan maka fungsi tersebut

dikatakan terintegralkan (integrable).

Beberapa rumus dasar dalam pengintegralan fungsi.

2.

_

f(x) dx = F(x) + c, c



Real

3.

_

xn _{dx =}

1 1

 n x

n+1 _{+ c, c}



_{Real, n}

_

_-1

4.

_

(u+v) dx =

_

u dx +

_

v dx

5.

_

a u dx = a

_

u dx

6.

_

x

1

dx = ln | x | + c = e _{log │x│+ c, c}



_Real

7.

_

au _{du =}

a a

ln + c, c



Real

8.

_

(f(n)n_{) f’(x) dx =}

1 )

( 1





n x f n

+ c, c



Real

9.

_

eu _{du = e}u _{+ c, c}



_Real

10.

_

sin x dx = - cos x + c, c



Real

11.

_

cos x dx = sin x + c, c



Real

12.

_

tan x dx = ln | sec x | + c, c



Real

13.

_

sec x dx = ln | sec x + tan x | + c, c



Real

14.

_

cot x dx = ln | sin x | + c, c



Real

15.

_

csc x dx = ln | csc x – cot x | + c, c



Real

16.

_

sec2_{x dx = tgn x + c, c}

_

_Real

17.

_

csc2_{x dx = - cot x + c, c}

_

_Real

18.



sec x tan x dx = sec x + c, c



Real

19.



csc x ctgn x dx = -csc x + c, c



Real

20.

_

cosm _{x dx =}

n n n

x x

n _{sin 1}

cos 1 _





21.

_

sinm _{x dx =}

1.3 Persamaan Differensial (PD)

Perhatikan persamaan-persamaan di bawah ini:

2.

+ 4y = 0 (tingkat-3, derajat-1)

6. (y’’)2 _{+ (y’)}3 _{+ 3y = x}2 _{(tingkat-2, derajat-2)}

atau differensial. Oleh karenanya masing-masing persamaan disebut

persamaan differensial.

Definisi:

Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang di dalamnya

terdapat paling sedikit satu turunan atau differensial dari suatu fungsi

Jika dalam suatu persamaan differensial, turunan yang muncul

adalah turunan biasa dx dy

maka persamaannya dinamakan persamaan

differensial biasa, sebaliknya jika turunan yang muncul adalah turunan

parsial x z

 

dan __yz , maka persamaannya dinamakan persamaan

differensial parsial. Persamaan pada contoh 1-7 di atas dinamakan

persamaan differensial biasa, sedangkan persamaan pada contoh 8-10

di atas dinamakan persamaan differensial parsial.

Selain jenis persamaan differensial biasa dan parsial, dalam

persamaan differensial dikenal pula istilah tingkat (order) dan derajat

(degree). Tingkat suatu persamaan differensial ditentukan oleh turunan

tertinggi yang muncul dalam persamaan tersebut, sedangkan derajat

persamaan differensial ditentukan oleh pangkat dari turunan tertinggi

dalam persamaan yang diberikan.

Perhatikan beberapa contoh persamaan dibawah ini.

1. 2x dx – 3 dy = 0. Persamaan differensial tingkat satu derajat satu,

karena turunan tertingginya adalah turunan tingkat satu dan

berpangkat satu. Dengan cara yang sama dapat ditentukan tingkat

dan derajat fungsi dibawah ini.

2. dx dy

= 3 – 2x , persamaan tingkat satu derajat satu (1-1)

3. dx dy

4. 2₂

- 2y = 0, persamaan tingkat dua derajat satu (2-1)

5. 3₃

+ 4y = 0, persamaan tingkat 3 derajat 1 (3-1)

6. (y’’)2 _{+ (y’)}3 _{+ 3y = x}2_{, persamaan tingkat dua derajat dua (2-2)}

1.4 Primitif suatu Persamaan Differensial

Sebagaimana telah disebutkan dalam definisi persamaan

differensial, bahwa suatu persamaan differensial memuat turunan dari suatu fungsi yang belum diketahui. Dengan demikian jika diketahui

suatu persamaan differensial maka dapat ditentukan fungsi yang belum

diketahui tersebut. Untuk menentukan fungsi yang belum diketahui

suatu persamaan differensial terdapat beberapa cara, tergantung jenis

persamaan, tingkat, dan derajatnya.

Sebelum dirincikan secara mendetail tentang cara menentukan

fungsi yang belum diketahui suatu persamaan differensial, maka yang

perlu diperhatkan adalah koefisein dari masing-masing differensial

1. dx dy

= 2 – x

 (2-x) dx – dy = 0



_

(2 x)dx

_

_{dy = 0}

 2x –

2 1

x2 _{– y = C, C}



_R

 4x – x2 _{– 2y = C}

Berdasarkan uraian di atas, maka fungsi yang belum diketahui dari

persamaan dx dy

= 2 – x, adalah 4x – x2 _{– 2y = C.}

Untuk selanjutnya 4x – x2 _{– 2y = 0 dinamakan selesaian umum}

(primitif). Selesaian umum persamaan differensial juga disebut sebagai

persamaan keluarga kurva.

2. (xy-x) dx + (xy + y) dy = 0

 x(y-1) dx + y(x+1) dy = 0



1



x x

dx + _yy_{ 1}dy = 0



_

1



x x

dx +

_

_yy_{ 1}dy = C



_

1 _-

1 1



x dx +



1 + 1 1



y dy = C



_

dx _-

_

1 1



x dx +



dy +



1 1



y dy = C

 x - Ln │x+1 │+ y + Ln │y - 1│= C

 e(x+y)_(x+1)-1_{(y-1) = C}

Berdasarkan uraian di atas, maka selesaian umum persamaan

differensial

(xy-x) dx + (xy + y) dy = 0 adalah e(x+y)_(x+1)-1_{(y-1) = C.}

Kasus lain yang muncul adalah menentukan persamaan

differensial suatu primitif. Jika hal ini yang terjadi maka kita harus

melihat angka penting dalam suatu primitif. Primitif selalu memuat

konstanta sebarang sebanyak n-buah. Konstanta tersebut dikatakan

penting (esensial) dan sangat menentukan bentuk persamaan

differensialnya.

Contoh

1. x2 _{+ y}2 _{= c adalah primitif dengan satu angka penting}

2. y = c1ex + c2e3x adalah primitif dengan dua angka penting

3. y = A sin ax + B cox bx adalah primitif dengan dua angka penting

4. (x-c)2 _{+ y}2 _{= r}2 _{adalah primitif dengan dua angka penting.}

Jika ditentukan primitif maka untuk menentukan persamaan

differensialnya mengikuti langkah penting, langkah tersebut adalah:

1. Tentukan banyaknya konstanta sebarang (angka penting) primitif

yang diketahui.

2. Misal angka pentingnya sebanyak n, maka turunkan primitif tersebut

sampai turunan ke-n. Hasil akhirnya adalah persamaan yang diminta

jika dalam persamaan tersebut tidak terdapat konstanta sebarang

dapat digunakan kaidah differensial pada masing-masing

variabelnya.

3. Pada langkah kedua, jika masih terdapat konstanta sebarang, eliminir

semua konstanta sebarang tersebut. Jika banyaknya konstanta

sebarang n, maka untuk mengeliminirnya diperlukan (n+1)

persamaan dan diperoleh setelah primitif diturunkan sampai turunan

ke-n.

4. Banyaknya konstanta sebarang menunjukkan order tertinggi turunan

dalam persamaan differensial yang dicari.

5. Yang perlu diingat bahwa dalam primitif selalu terdapat konstanta

sebarang yang disebut angka penting, sedangkan dalam persamaan

differensial tidak terdapat konstanta sebarang.

Perhatikan beberapa contoh berikut:

Tentukan persamaan differensial dari primitif di bawah ini:

1. x2 _{+ 2y}2 _{= C}

Primitif mempunyai 1 angka penting, sehingga

 d(x2_{) + d(2y}2_{) = d(C)}

 2x dx + 4y dy = 0

 dx dy

= - ₂x_y

Persamaan differensial primitif x2 _{+ 2y}2 _{= C adalah}

dx dy

= - ₂x_y

2. y = A cos ax + B sin ax

 dx dy

= -Aa sin ax + Ba cos ax

 2₂ dx

y d

= -Aa2 _{cos ax – Ba}2 _{sin ax}

= -a2 _{(A cos ax + B sin ax)}

= -a2_y

Sehingga persamaan differensial primitif di atas adalah 2 0 2

2

  a y dx

y d

3. y = cx2 _{+ c}2

Primitif di atas mempunyai 2 angka penting, sehingga

 y’ = 2cx + 0

 y’’ = 2c

 c =

2 ''

y

Substitusikan ke persamaan y = cx2 _{+ c}2

Didapat y = (y”/2)x2 _{+ (y’’/2)}2

4. y = c1e2x + c2ex

Primitif mempunyai 2 angka penting

 y’ = 2c1e2x + c2ex

 y” = 4c1e2x + c2ex

Karena sampai pada turunan kedua masih terdapat konstanta c,

maka dengan menggunakan cara substitusi diperoleh persamaan.

5. Tentukan persamaan differensial dari keluarga lingkaran dengan

jari-jari r satuan yang tetap dan berpusat pada sumbu x.

Jawab

Persamaan keluarga lingkaran dengan jari-jari r satuan yang tetap

dan berpusat pada sumbu x adalah (x-c)2 _{+ y}2 _{= r}2_.

 2(x-c) + 2y dx dy

= 0

 2 + 2( y 2₂ dx

y d

+ dx dy

) = 0

 y 2₂ dx

y d ₊

dx dy

+ 1 = 0 adalah persamaan differensial yang

diminta.

6. Tentukan persamaan differensial keluarga kurva parabola yang

fokusnya di titik asal dan sumbu simetrinya sepanjang sumbu x.

Jawab

Persamaan bola yang diminta adalah y2 _{= 4c(c+x)}

Dengan menurukan masing-masing peubah, diperoleh

2y y’ = 4c + 0

 y y’ = 2c

 c = ½ y y’

Substitusikan ke persamaan semula

y2 _{= 2(y y’) (1/2 y y’ + x)}

 2y2 _{– 2yy’(yy’ +x) = 0}

1.5 Masalah Nilai awal dan Syarat Batas

Setiap persamaan differensial yang diberikan akan menimbulkan

pertanyaan, apakah persamaan differesial tersebut mempunyai

selesaian?. Jika mempunyai selesaian umum apakah selesaian tersebut

tunggal?. Untuk menjawab pertanyaan tersebut perlu dijelaskan

terlebih dahulu tentang pengertian masalah nilai awal.

Setiap selesaian persamaan differensial , banyak persoalan yang

dapat dicantumkan jika diketahui n nilai-nilai y(xo), y’(xo), .... y(n-1)(xo).

Contoh

Persamaan differensial dx dy

= 2x mempunyai selesaian y = x2 _{+ C, C}

_

Real.

Karena C



Real maka:

1. y = x2 _{+ 3 memenuhi selesaian persamaan}

dx dy

= 2x

2. y = x2 _{– ½ memenuhi selesaian persamaan}

dx dy

= 2x

3. y = x2 _{– 100 juga memenuhi selesaian}

dx dy

= 2x, dan seterusnya.

Bentuk y = x2 _{+ C dinamakan selesaian umum persamaan differensial}

dx dy

= 2x, sedangkan y = x2 _{+ 3, y = x}2 _{– ½ dan y = x}2 _{– 100 dinamakan}

selesaian khusus (particular solution). Nilai C sebagai konstanta real

diberikan syarat awalnya. Persamaaan differensial yang mempunyai

syarat awal dinamakan masalah nilai awal (initial value problems).

Definisi

Masalah nilai awal adalah persamaan differensial tingkat n bersama

dengan n syarat awal pada suatu nilai yang dimungkinkan mempunyai

nilai pada variabel bebas yang sama.

Dalam bentuk yang lain definisi diatas dapat dinyatakan dengan

pernyataan sebagai berikut:

Masalah nilai awal untuk persamaan differensial order n f(x,y,y’, y’’, ... ,

y(n)_{) = 0 yaitu menentukan selesaian persamaan differensial pada}

interval I dan memenuhi n syarat awal di xo



I subset dari bilangan

real.

Bentuk umum masalah nilai awal dinyatakan dengan:

persamaan differensial dengan n syarat awal konstanta C tersebut

diganti dengan bilangan real (R) yang memenuhi syarat awal.

Contoh

Tentukan selesaian masalah nilai awal

1.

















,1

)

0

(

'

y

dengan

e

y

x

Jawab

y’ = e-x

_

_{y =}



_ex_dx

_

_{y = -e}-x _{+ c (selesaian umum)}

Karena y(0) = 1 maka 1 = -e-0 _{+ c dan didapat c = 2}

Sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah

y = -e-x _{+ 2}

2.

      

  

1 ) 1 (

1

y dengan

x dx dy

Jawab

dx dy

Karena y(1) = 1 maka 1 =

2 1

(1)2 _{+ 1 + c dan diperoleh c =}

-2 1

Sehingga selesaian khusus masalah nilai awal di atas adalah

y = ½ x2 _{+ x – ½}

Atau x2 _{+ 2x – 2y -1 = 0}

3. x dx dy

+ y = 1 dengan y(1) = 1

Jawab

x dx dy

= 1

 x dy – dx = 0

 

x dx

y dy

= 0



_



x dx



dy_y = c

 Ln │ x_y │= c

Karena y(1) = 1 maka selesaian khususnya adalah x = yc

1.6 Soal-soal

1. Klasifikasikan tingkat dan derajat persamaan differensial di bawah ini

a) dy + (xy-cos x) dx = 0

b) y”’ + xy” + 2y(y’)2 _{+ xy = 0}

d) ( ₂

3

dv w d ₎2 _{– (}

2 2

dv w

d ₎2 _{+ vw = 0}

e) ₂

2

dx y d ₌

41 ( )2

dx dy



f) y'y _{= sin x}

g) sin (y”) + _ey'_{= 1}

2. Tentukan persamaan differensial dari :

a) y = A sin x

b) y = sin (x + A)

c) y = Aex _{+ B}

d) x2_{y + xy – 2y}2 _{= C}

e) (y-c)2 _{= cx}

f) Pada setiap titik (x,y) koefisien arah garis singgungnya sama dengan

kuadrat absis titik tersebut.

g) Pada setiap titik, panjang sub tangen sama dengan jumlah koordinat

titik itu.

3. Tentukan antiturunan dari

a) f(x) = sin x cos x

b) f(x) = e2x _{Cos x}

c) f(x) = 2 Sin4_x

4. Tunjukkan bahwa bahwa persamaan differensial

dx dy

=

x y

mempunyai

selesaian umum y = cx.

5. Diberikan persamaaan differensial y’ = 2x

b. Pilih c, sedemikian sehingga selesaiannya melalui (1,4)

c. Pilih c, sedemikian sehingga selesaiannya adalah gradien dari

persamaan

y = 2x + 3.

d. Pilih c, sedemikian selesaiannya memenuhi syarat

_

1

0