PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari

DIFFERENSIAL ORDE I

Nurdinintya Athari

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Definisi

• Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.

• Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB).

Contoh:

• Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial.

Contoh :

2 2

' cos , " 9

^x

, y'y"' 3 y' 0

y  x y  y  e

^

 

 

PERSAMAAN DIFERENSIAL [2]

• Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan

diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunan yang bersifat linear.

• Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut a_n(x) y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x) y^(n-1) + … + a₀(x) y = f(x)

dengan a_n(x)  0 dan a_n(x), a_n-1(x), … , a₀(x) adalah koefisien PD.

• Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.

• Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB

CONTOH

dt

(1) dN

(2) y ’ + 2 cos 2x = 0

(3) y” + e^xy’ + sin (xy) = e^x sin x , orde 2, tidak linier, tidak homogen

x³y”+ cos 2x (y’)³= x² y² , orde 2, tidak linier, homogen

= kN , N = N(t)

(4)

, orde 1 dengan N peubah tak bebas dan t peubah bebas, linier, homogen

, orde 1 dengan y peubah tak bebas dan x peubah bebas, linier, tidak homogen

SOLUSI

• Misal ada suatu persamaan diferensial dimana y sebagai peubah tak

bebas yang bergantung pada peubah bebas x atau suatu fungsi y = f (x) disebut solusi PDB jika fungsi y = f (x) disubtitusikan ke PDB diperoleh

persamaan identitas.

• Solusi umum dan solusi khusus

Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.

CONTOH

(1) y = cos x + c  solusi umum Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0

Karena

(cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

(2) y = cos x + 6  solusi khusus Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0 Karena

(cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

PDB ORDE 1

• PDB terpisah

• PDB dengan koefisien fungsi homogen

• PDB Linier

PDB TERPISAH

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : g(y) dy = f(x) dx disebut PDB terpisah.

Penyelesaian : integralkan kedua ruas

Contoh : tentukan solusi umum PD

(x ln x) y' = y

' 3 ^y

y  x e^{ , y(2) = 0}

1.

2.

CONTOH

1. Jawab:

(x ln x) y' = y

dx y x dy

xln 

x x

dx y

dy

 ln



 ^dy _y ^ _x ^dx _{ln x}

 

1

ln y  ln ln x c



2



ln y  ln c ln x

 

^x

c y  ln

Jadi solusi umum PD tersebut adalah

  ^x

c y  ln

 

2

ln y  ln ln x ln c

dengan c  c₂

CONTOH

2. Jawab:

y' = x³ e^-y

e y

dx x

dy _

 ³

dx e x

dy

y



3





 ^e

^y

^{dy  x}

³

^dx

c x

e

^y



⁴

 4

1



 



 

 x c

y ⁴

4 ln 1



 



 

 (2)⁴ c 4

ln 1 0

Jadi solusi khusus PD tersebut adalah

 

 



 

 3

4 ln 1 x

²

y

Diketahui y(2) = 0, sehingga

3 4

1  c c  

LATIHAN

2 2

1 y x dx

dy

 

) 1 (

2

2 4

3 ²





 

y x x

dx dy

) 1

' ( ² ₃ x y

y x

 

2

1 2

' x y xy

y    

1 )

0 ( 2 ,

1

cos

2 

  y

y x y

dx dy

0 )

0 ( ), 1

)(

1 ( 2

'  x  y² y  y

) 2

1 )(

2 1

(

' y x² x³

y    

1 )

0 ( , 0 )

1

(   e y  y 

dx

e^x dy ^x

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

FUNGSI HOMOGEN

• Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika A(kx,ky) = kⁿA(x,y),

k konstan sembarang

• Contoh :

Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak ! 1. A(x,y) = x + y

A(kx,ky) = kx + ky

= k (x + y) = k A(x,y)

Maka A(x,y) = x + y adalah fungsi homogen dengan derajat 1 2. A(x,y) = x² + xy

A(kx,ky) = k²x² + kx ky

= k² (x²+xy) = k² A(x,y)

HOMOGEN

• PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk

) , (

) , ' (

y x B

y x y  A

dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.

Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x) u

x u

y' '  dx

dy

dx

= x du + u

dy = x du + u dx

dengan

Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut

' x y

y x

  1.

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx x

y x dx

dy 





 





 x

y dx

dy 1



^u

dx dx u du

x   

1



^{xduudx }

^

^1u

^

^dx



dx du

x 



x

du  dx

 

^{du }



^dx_x

^

^{u  ln x  c}

^

y ln

x c

x  



^{y  xln x c x}

CONTOH

2.

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

2

2 2

x xy y

dx

dy 

 



 



 



 



 

 x

y x

y dx

dy 2

2

u dx u

dx u du

x   ²  2



^{xduudx }



^{u2 2u}



^dx

_



^{u u}



^dx

du

x  ² 



_u^2du_u ^{ dx}_x

 

_u^2du_u ^



^dx_x

^

( 1)

du dx

u u  x





 ^ _

^_u^{1 } _u¹_1^_^{du }

_

^dx_x

^

^{ln u  ln u  1 ln x  lnc}

0 xy

2 dx y

x² dy  ²   , y(1)=1



^ln _u^u_1 ^{ ln | |c x}



^{ln ln | |}

1 y

x c x

y x

 



^ln _{y }^y _x ^{ ln | |c x}



_{y }^y _x ^{ c x| |}



( 2); (k c) y  k xy  x  



^{y } ₁^kx_kx²

Diketahui y(1) = 1, sehingga



1 1 k

 k



1 k  2

Jadi solusi khusus PD di atas adalah x y  ² (1 ) 2

y kx  kx



LATIHAN

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

xy y x

dx dy

2

3 ²

2 



2

2 2

x

xy y

dx

dy  

y x

y x

dx dy



  3

2

2 2

x

y xy

x dx

dy   

y x

y x

dx dy



 

 2

3 4

y x

x y

dx dy



  2

3 4

2y dx – x dy = 0

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : y’+ P(x) y = r(x)

disebut PDB linier.

Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integrasi



^{P x dx}

e

^{( )}

( ) ( ) ( )

( ) ' ( )

' ( ) ( )

( )

P x dx P x dx P x dx

P x dx P x dx

y e P x y e r x e

ye r x e

    

    

 

 

Kemudian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh:

Integralkan kedua ruas

( ) ( )

P x dx

( )

P x dx

ye    r x e  dx

( )

^{P x dx}( )

r x e dx y



  

CONTOH

1. xy’ – 2y = x³ e^x

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab:

e

x

x x y

y 2

²

'  

(bagi kedua ruas dengan x) Sehingga diperoleh faktor integrasi:

2 ln

ln 2 2

2 

 





 

^

x e

e

e

^{xdx x x}

kalikan kedua ruas dengan x^-2, yaitu:

e

x

x y

x

₂

y  2

₃

 1 '



' 2

1

_x

y e

x

  

 

  

¹₂ ^{y e dxx}

x



 ^

2

2

e c x

x

y 

^x



Jadi solusi umumnya adalah

y  x

²

e

^x

 c x

²

2

1 _x

y e c x

 

CONTOH

2. y’ + y = (x + 1)², y(0) = 3

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab:

Faktor integrasi dari PD di atas adalah:

dx x

e e 

¹



kalikan kedua ruas dengan e^x, yaitu:

 ¹ 

²

'  e y  e x  y

e

^{x x x}



^{(e yx ) '  ex (x 1)2}



 ^

 e x dx y

e

^{x x}

( 1 )

²

 ^e

^x

^{y }  ^{x  1} 

²

^e

^x

^  ^{2 ( x  1 ) e}

^x

^dx

 ^x   ^x  ^ce

^x

y   1

²

 2  1  2 

^



 ^x  ^{e x e e c}

y

e

^x

  1

^{2 x}

 2 (  1 )

^x

 2

^x



sehingga

 y  x

²

 1  ce

^x

CONTOH (NO. 2 LANJUTAN)

Diketahui y(0) = 3, sehingga



 c

 1

3 c  2

Jadi solusi khusus PD di atas adalah

y  x

²

  1 2 e

^x

LATIHAN

Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:

 ¹ 

²

1 ' 2

.

4  

  x

x y y

x x

y

y ' tan sec .

3  

e

x

y

y ' 2 

^

.

1

1 '

) 1 (

.

2 x  y  y  x

²



 

^-x

6. xy'+ 1+x y=e , y(1)=0

2

2

' .

5 y  y  x



 

• Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga kurva lain.

• Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatu kurva adalah sebagai berikut:

• Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakan parameter c dalam x dan y.

• Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi:

' 1

( , ) y   Df x y

 Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan dengan mencari solusi dari

' 1

( , ) y   Df x y

CONTOH

cx

2

y 

Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva Jawab:

Langkah-langkah menentukan TO : 1. Tuliskan

y  cx

² dalam bentuk

x2

c  y

Kemudian turunkan

y  cx

² yaitu:

2. TO akan memenuhi PD

cx

y '  2  ^



 



 2 

₂

' x

x y

y 

x y '  2 y

' 1

2 / 2 y x

y x y

   

3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:

) 2 (

2 2

ellips c

x  y  

' 2

y x

  y

y x dx

dy

 2



 ^{2 ydy }  ^{ xdx y}

²

^{  x} ₂

²

^{ c}

cx

2

y 









Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola

y  cx

²

adalah

( )

2

2 2

ellips c

x  y  

x y

LATIHAN

Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut :

2 2

2

y c

x   y  x  c

2 2

2

y c

x   4 x

²

+ y

²

= c

4.

2.

1.

5.

y = cx

3.