Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika. Persamaan Diferensial Orde I

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer

Teknik Informatika

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial

Definisi

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.

Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa

(PDB). (PDB).

Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial.

Persamaan Diferensial (2)

Persamaan Diferensial (2)

Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear.

Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikut a_n(x) yn _{+ a}

n-1(x) yn-1 + … + a0(x) y = f(x)

dengan a_n(x) ≠ 0 dan a_n(x), a_n-1(x), … , a₀(x) adalah koefisien PD.

koefisien PD.

Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.

Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB

Contoh

Contoh

dt dN (1) (2) y ’ + 2 cos 2x = 0

= kN , N = N(t), orde 1 dimana N peubah tak bebas t peubah bebasnya

, orde 1 dimana y peubah tak bebas x peubah bebasnya

(3) y” + ex y’ + sin xy = ex _{sin x , orde 2}

x3 _{y”+ cos 2x (y’)}3_{= x}2 _y2 _{, orde 2}

Solusi

Solusi

Misal ada suatu persamaan diferensial dimana y

sebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x atau suatu fungsi y = f (x) disebut solusi PDB jika fungsi y = f (x) disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaan identitas.

Solusi umum dan solusi khusus

Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.

Contoh

Contoh

(1) y = cos x + c _ solusi umum Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0 Karena

(cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0 (2) y = cos x + 6 _ solusi khusus (2) y = cos x + 6 _ solusi khusus

Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0 Karena

PDB Orde 1

PDB Orde 1

PDB terpisah

PDB dengan koefisien fungsi homogen
PDB Linier

PDB terpisah

PDB terpisah

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : g(y) dy = f(x) dx disebut PDB terpisah. Penyelesaian : integralkan kedua ruas Contoh : tentukan solusi umum PD

(x ln x) y' = y , (y’= dy) 1. (x ln x) y' = y , (y’= dx dy ) 1

y

=

x

3

e

−y , y(2) = 0 1. 2.

Contoh

Contoh

1. Jawab: (x ln x) y' = y

y

dx

dy

x

x

ln

=

dx

dy

=

(

x

)

c

y

ln

ln

ln

=

(

x

)

c

y

=

ln

Jadi solusi umum PD tersebut

x

x

dx

y

dy

ln

=

∫

∫

=

x

x

dx

y

dy

ln

(

x

)

c

y

ln

ln

ln

ln

=

+

Jadi solusi umum PD tersebut adalah

(

x

)

c

y

=

ln

Contoh

Contoh

2. Jawab: y' = x3 _e-y y

e

x

dx

dy

₋

=

3

dx

x

dy

₃

=













+

=

x

c

y

4

4

1

ln













+

=

(

2

)

4

c

4

1

ln

0

Diketahui y(2) = 0, sehingga

dx

x

e

dy

y 3

=

−

∫

∫

e

y

dy

=

x

3

dx

c

x

e

y

=

4

+

4

1



 4

Jadi solusi khusus PD tersebut adalah













−

=

3

4

1

ln

x

2

y

3

4

1

=

+

c

→

c

=

−

Latihan

Latihan

2 2

1

y

x

dx

dy

−

=

2 4 3 2 + + = x x dy _{' 2(1 )(1} 2_{), (0) 0} = + + = x y y y

)

2

1

)(

2

1

(

'

y

x

2

x

3

y

=

+

+

+

1. 2. 5. 6.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

) 1 ( 2 2 4 3 − + + = y x x dx dy

)

1

(

'

₃ 2

x

y

x

y

+

=

2 2 1 ' x y xy y = + + + 1 ) 0 ( , 2 1 cos 2 = + = y y x y dx dy 0 ) 0 ( ), 1 )( 1 ( 2 '= + x + y y = y 1 ) 0 ( , 0 ) 1 ( + + e y = y = dx dy ex x 2. 3. 4. 6. 7. 8.

Fungsi homogen

Fungsi homogen

Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika

A(kx,ky) = kn_A(x,y),

k konstan sembarang
Contoh :

Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak ! 1. A(x,y) = x + y

1. A(x,y) = x + y

A(kx,ky) = kx + ky

= k (x + y) = k A(x,y)

A(x,y) = x + y , fungsi homogen dengan derajat 1 2. A(x,y) = x2 _{+ xy}

A(kx,ky) = k2_x2 _{+ kx ky}

PD dengan koefisien fungsi homogen

PD dengan koefisien fungsi homogen

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk

) , ( ) , ( ' y x B y x A y =

dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.

Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x) Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)

u x u y'= ' + dx dy dx du = x + u dy = x du + u dx dengan

Contoh

Contoh

Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut

x y x y1 = + 1. Jawab: x y x dx dy + =

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

      + = x y dx dy 1



_u dx dx u du x + = + 1



xdu +udx =

(

1+u

)

dx



dx du x =



x dx du =



∫

=

∫

x dx du



u = lnx +c



c x x y + = ln

_

_y = _xln _x +_{c x}

Contoh

Contoh

2.

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

2 2 2 x xy y dx dy + = _      +       = ⇒ x y x y dx dy 2 2 0 xy 2 y dx dy x2 − 2 − = _{, y(1)=1}

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

u u dx dx u du x 2 2 + = +



xdu +udx =

(

u2 + 2u

)

dx



(

u u

)

dx du x = 2 +



x dx u u du = + 2



∫

=

∫

+ x dx u u du 2



c x du ln ln + =

∫

_

∫

 1 − 1 du = lncx

_

lnu −ln

(

u+1

)

= lncx

Contoh (no.2 lanjutan)

Contoh (no.2 lanjutan)



cx u u ln 1 ln  =      +



cx x y x y ln 1 ln =           +



cx x y y ln ln _ =      +



cx x y y = +



2 ) 1 ( cx cx y − = cx2



y cx_cx − = 1 2

Diketahui y(1) = 1, sehingga



c c − = 1 1 2 1 = c

Jadi solusi khusus PD di atas adalah y = x

Latihan

Latihan

1. 2. 5. 6.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

xy

y

x

dx

dy

2

3

2 2

+

=

2 2 2 x y xy x dx dy + + =

y

x

y

x

dx

dy

+

+

−

=

2

3

4

2y dx – x dy = 0 3. 4. 7.

xy

dx

2

2 2

2

x

xy

y

dx

dy

+

=

y

x

y

x

dx

dy

−

+

=

3

y

x

dx

2

+

y

x

x

y

dx

dy

−

−

=

2

3

4

PDB Linier

PDB Linier

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :

1

y _{+ P(x) y = r(x)}

disebut PDB linier.

Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integral

∫

∫

P x dx

e

( )

∫

P x dx

e

( ) 1

y

e

∫

P(x)dx

e

∫

P(x)dx 1 ) (

)

(

ye

∫

P x dx

e

∫

P(x)dx + P(x)y r(x) = r(x)

Kemudian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh:

Integralkan kedua ruas

Contoh

Contoh

1. xy’ – 2y = x3 _ex

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab: x

e

x

y

x

y

'

−

2

=

2 (bagi kedua ruas dengan x) Sehingga diperoleh faktor integrasi:

Sehingga diperoleh faktor integrasi:

2 ln ln 2 2 2 ₋ − −

=

=

=

∫

−

x

e

e

e

xdx x x

kalikan kedua ruas dengan x-2_{, yaitu:}

x

e

y

x

y

x

2

−

3

=

2

'

1



y

e

x

x





=









1 2

1



y

e

c

x

x

+

=

2

1



2 2

x

c

e

x

y

=

x

+

Contoh

Contoh

2. y’ + y = (x + 1)2_{, y(0) = 3}

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab:

Faktor integrasi dari PD di atas adalah:

x dx

e

e

∫

1

=

e

e

=

kalikan kedua ruas dengan ex_{, yaitu:}

(

)

2

1

'

+

e

y

=

e

x

+

y

e

x x x

_

(

e

x

y

)'

=

e

x

(

x

2

+

1

)

_

∫

+

=

e

x

dx

y

e

x x

(

1

)

2



e

x

y

=

(

x

+

1

)

2

e

x

−

∫

2

(

x

+

1

)

e

x

dx

(

)

(

)

x

ce

x

x

y

=

+

1

2

−

2

+

1

+

2

+

−



(

x

)

e

x

e

e

c

y

e

x

=

+

1

2 x

−

2

(

+

1

)

x

+

2

x

+

sehingga

_

_y

=

_x

2

+

1

+

_ce

−x

Contoh (no. 2 Lanjutan)

Contoh (no. 2 Lanjutan)

Diketahui y(0) = 3, sehingga



c

+

=

1

3

c

=

2

Jadi solusi khusus PD di atas adalah x

e x

Latihan

Latihan

Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:

x

x

y

y

'

tan

sec

.

3

+

=

x

e

y

y

'

+2

=

−

.

1

1

'

)

1

(

.

2

x

+

y

+

y

=

x

2

−

(

)

2

1

1

2

'

.

4

=

+

+

+

x

x

y

y

x

x

y

y

'

tan

sec

.

3

+

=

(

1

)

,

(

1

)

0

.

6

xy

1

+

+

x

y

=

e

−x

y

=

2

2

'

.

5

y

+

y

=

x





π

Trayektori Ortogonal

Trayektori Ortogonal

Masalah dalam TO ini adalah bagaimana

mendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga kurva lain.

Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatu kurva adalah sebagai berikut:

 Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakan parameter c dalam x dan y.

nyatakan parameter c dalam x dan y.

 Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi: ) , ( 1 1 y x Df y = −

 Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan

Contoh

Contoh

2

cx

y =

Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva Jawab:

Langkah-langkah menentukan TO :

1. Tuliskan

y =

cx

2 dalam bentuk ₂

x y c =

Kemudian turunkan

y =

cx

2 yaitu: Kemudian turunkan

y =

cx

2 yaitu:

2. TO akan memenuhi PD

cx

y

' =

2

_













=

2

2

'

x

y

x

y

_

x

y

y

' =

2

y

2

x

x

/

y

2

1

y

1

=

−

=

−

Contoh (lanjutan)

Contoh (lanjutan)

3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:

y

x

y

2

1

−

=

y

x

dx

dy

2

−

=

∫

2

ydy

=

∫

−

xdx

y

=

−

x

+

c

2

2 2 2

cx

y =









x y

)

(

2

2 2

ellips

c

y

x

_⇒

=

+

∫

∫

2

Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola

y =

cx

2

adalah 2

(

)

2

ellips

c

y

x

⇒

=

+

Latihan

Latihan

Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut :

2

2

2

c

y

x

+

=

y

=

x

+

c

2

2

2

c

y

x

−

=

_{4 x}

2

_{+ y}

2

_{= c}

4. 2. 1. 5.

_{4 x + y = c}

y = cx

3.

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer

Teknik Informatika

Penggunaan PD Orde I

Penggunaan PD Orde I

Penerapan dalam Rangkaian Listrik

Penerapan dalam Rangkaian Listrik

Sesuai dengan Hukum Kirchhoff,

rangkaian listrik sederhana (gambar samping) yang mengandung sebuah tahanan sebesar R ohm dan sebuah kumparan sebesar L Henry dalam rangkaian seri dengan sumber gaya elektromotif (sebuah baterai atau generator) yang menyediakan suatu voltase E(t) volt pada saat t memenuhi

( )

t

R

I

( )

t

E

( )

t

I

Contoh

Contoh

Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu

rangkaian RL dengan R = 6 ohm, L = 2 henry dan sebuah baterai yang menyediakan voltase sebesar E = 12 Volt dan diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).

1.

Jawab

Persamaan diferensialnya adalah Atau bisa disederhanakan menjadi

12

6

'

2

I

+

I

=

6

3

'

+

I

=

I

Contoh (Lanjutan)

Contoh (Lanjutan)

Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi

e

3t

(

t

)

t t

e

C

C

e

e

I

=

−3

2

3

+

=

2

+

−3

Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan C = –2 Kita peroleh

Sehingga,

t

e

I

=

2

−

2

−3

Contoh

Contoh

Dari contoh sebelumnya baterai diganti dengan generator arus bolak – balik dengan E = 12 sin 9t Volt dan

diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).

Jawab 2.

Persamaan diferensialnya adalah Atau bisa disederhanakan menjadi

t

I

I

'

6

12

sin

9

2

+

=

t

I

I

'

+

3

=

6

sin

9

Contoh (Lanjutan)

Contoh (Lanjutan)

(

)

_      + − + = e− e Sin t Cos t C I t t 9 9 9 3 81 9 6 3 3 t e C t t I cos9 3 5 3 9 sin 5 1 ₋ + − =

Dengan integral parsial, didapat hasil integralnya adalah

Jadi, 5 5 C + − = 5 3 0 5 3 = C t

e

t

t

I

3

5

3

9

cos

5

3

9

sin

5

1

₋

+

−

=

Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan

Sehingga,

Latihan

Latihan

Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian RL dengan R = 106 _{ohm, L = 1 henry dan}

sebuah sumber gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar E = 1 Volt dan diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S 1.

ditutup).

Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian RL dengan L = 3,5 Henry dan sebuah sumber gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar

E(t) = 120 sin 377t Volt dan diasumsikan saat awal arusnya 2.

Latihan

Latihan

Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian RL dengan R = 1000 ohm dan sebuah sumber gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar E(t) = 120 sin 377 t Volt dan diasumsikan saat awal

arusnya adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S 3.

ditutup).

Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian RL dengan R = 1000 ohm, L = 3,5 henry dan sebuah sumber gaya elektromotif yang menyediakan

voltase sebesar E(t) = 120 sin 377t Volt dan diasumsikan 4.