Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer Teknik Informatika

(1)

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer

Teknik Informatika

Integral Garis

(2)

Integral Garis

Definisi Integral garis

Integral garis di bidang

Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di bidang) x=x(t), y=y(t) ; a ≤ t ≤ b maka

(

) (

)

∫

=

∫

+ b 2 2 dt ) t ( ' y ) t ( ' x ) t ( y ), t ( x f dS ) y , x ( f

Integral garis di ruang

Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di ruang) x=x(t), y=y(t), z=z(t) ; a ≤ t ≤ b

(

) (

)

∫

=

∫

+ C a 2 2 dt ) t ( ' y ) t ( ' x ) t ( y ), t ( x f dS ) y , x ( f

(3)

Sifat

Sifat--sifat integral garis

sifat integral garis

1. Jika C = C₁UC₂U … UC_n, maka

2. Jika – C adalah kurva C dengan arah berlawanan denga C, maka

∫

= + + + n 2 1 C C C C dS ) y , x ( f ... dS ) y , x ( f dS ) y , x ( f dS ) y , x ( f C₁ C2 A B C_n C, maka

∫

= − −C C dS ) y , x ( f dS ) y , x ( f

(4)

Contoh

1. Hitung , C adalah kurva x=3t; y=t

∫

(

₊

)

3 _{; 0≤t≤1}

C dS y x3 Jawab. x’(t)=3; y’(t)=3t2

(

)

∫

+ C dS y x3 =

∫

(

( )

+

)

+

( )

1 0 2 2 3 3 3 3 3t t t dt

∫

+ = 1 4 3 ₉ ₉ 28t t dt

∫

+ = 0 4 3 ₉ ₉ 28t t dt

∫

+ = 1 0 4 3 1 84 t t dt

(

₄

)

3/2 1 1 6 1 84       + = t

(5)

Contoh

2. Hitung , C adalah terdiri dari busur parabola

∫

( )

C

dS x

2

y=x2 dari (0,0) ke (1,1) diikuti oleh ruas garis vertikal dari (1,1) ke (1,2).

C

(1,2) Jawab.

Untuk C₁_{: (0,0) (1,1) , berupa busur y = x}2_. C₁

C₂

(1,1)

Untuk C₁_{: (0,0) (1,1) , berupa busur y = x}2_.

Persamaan parameter C₁: misalkan x = t y = t2 x’(t)=1 y’(t)=2t

( )

∫

1 2 C dS x Sehingga

( )

∫

+ = 1 0 2 2 1 2t t dt 0≤ t ≤1

∫

+ = 1 0 2 4 1 2t t dt

(6)

Contoh (Lanjutan)

( )

∫

1 2 C dS x =

∫

+ 1 0 2 4 1 2t t dt

(

)

1 0 2 / 3 2 4 1 3 2 . 4 1 t + =

(

5 5 1

)

6 1 − =

( )

∫

2 2 C dS x Sehingga

∫

+ = 2 1 2 1 0 2 dt 2 ) 1 2 ( 2 2 ₁2 = − = = t Jadi, 6 Untuk C₂_{: (1,1) (1,2)} (berupa ruas garis)

Persamaan parameter C₁: misalkan Jadi,

( )

_∫

( )

_∫

( )

∫

= + 2 1 2 2 2 C C C dS x dS x dS x

(

5 5 1

)

2 6 1 + − =

(

)

1

(7)

Latihan

1. Hitung , C adalah setengah bagian atas lingkaran lingkaran satuan x2_+y2₌₁

(

)

∫

+ C 2 dS y x 2

2. Hitung , C adalah ruas garis dari (0,0) ke (π,2π)

(

)

∫

+ C dS y cos x sin

3. Hitung , C adalah kurva x=t; y=t

∫

(

₂_x +₉_z

)

_dS 2_{; z=t}3_;

3. Hitung , C adalah kurva x=t; y=t ; z=t ; 0≤t≤1

(

)

∫

+ C dS z 9 x 2

(8)

Kerja

Misalkan F(x,y) = M(x,y)iˆ+ N(x,y)jˆ r

adalah gaya yang bekerja pada pada suatu titik (x,y) di bidang

A r(t) _B

F T Q

Akan dicari: Berapa kerja (W) yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan sebuah partikel menyelusuri kurva C dari A ke B?

A _B

Misal rr = xiˆ+ yjˆ adalah vektor posisi Q(x,y) vektor singgung satuan di Q r d T r r =

(9)

Kerja (2)

Maka F.T = F T cosθ r r r r

adalah komponen singgung F di Q

Kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan partikel sejauh ∆s adalah

Kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan partikel dari A ke B adalah

s T . F W = ∆ ∆ r r

partikel dari A ke B adalah

jˆ dy iˆ dx r d jˆ dt dy iˆ dt dx dt r d + = ⇒ + = r r

∫

= = = C C C r d . F ds ds dt dt r d . F ds T . F W r r r r r r diketahui Jadi, didapat

(

)(

)

∫

+ = + + = C C dy ) y , x ( N dx ) y , x ( M jˆ dy iˆ dx . jˆ ) y , x ( N iˆ ) y , x ( M W

(10)

Kerja (3)

Dengan cara yang sama untuk

gaya yang bekerja pada suatu titik di ruang, maka k z y x P j z y x N i z y x M z y x F( , , ) = ( , , )ˆ+ ( , , )ˆ+ ( , , )ˆ r

∫

+ + = C dz z y x P dy z y x N dx z y x M W ( , , ) ( , , ) ( , , )

(11)

Contoh

1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya

j y x i y x y x

Fr( , ) ₌ ( 3 ₋ 3)ˆ₊ 2 ˆ dalam memindahkan partikel

sepanjang kurva C : x = t2_{, y=t}3 _{, -1 ≤t≤ 0}

Jawab. Kerja yang dilakukan medan gaya F adalah

∫

+ = Mdx N dy W

∫

; dx = 2t dt, dy=3t2 dt C

(

)

∫

− + = C dy xy dx y x3 3 2

( ) ( )

(

)

( )

∫

− + − = 0 1 2 2 3 2 3 3 3 2 ₂ ₃ dt t t t dt t t t

(

)

∫

− + − = 0 1 10 10 7 ₂ ₃ 2t t t dt

∫

(

)

− − = 0 1 10 7 2t t dt 0 1 11 8 11 1 4 1 − − = t t 44 7 11 1 4 1 − =       − − =

(12)

Contoh

2. Hitung integral garis

∫

+

C

2

dy x

ydx dengan kurva C : x = 2t, y=t2_{-1 , 0 ≤t≤ 2}

Jawab. Kerja yang dilakukan adalah

∫

+ = C dy x dx y W 2 ; dx = 2 dt, dy=2t dt

(

)

( )

∫

− + = 2 2 2 ₁ ₂ ₂ ₂ dt t t dt t

(

)

( )

∫

− + = 0 2 2 2 1 dt t t dt t

(

)

∫

− + = 2 0 3 2 ₂ ₈ 2t t dt 2 0 4 3 ₂ ₂ 3 2 t t t − + = 4 32 3 16 + − = 3 100 28 3 16 = + =

(13)

Latihan

1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya

k z y j z i y x z y x F( , , ) = (2 − )ˆ+ 2 ˆ+ ( − )ˆ r

dalam memindahkan partikel sepanjang C, dimana C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1)

2. Hitung integral garis

∫

+ 2

dy x

ydx dengan kurva C adalah ruas 2. Hitung integral garis

∫

+

C

dy x

ydx dengan kurva C adalah ruas garis dari (1,1) ke (3,-1) 3. Hitung

∫

C r d . F r r dengan F = xy2iˆ+xy2jˆ r sepanjang a. C = C₁ U C₂ b. C = C₃ C₁ C₂ C₃ (0,2) (3,2) (3,5) x y

(14)

Integral Garis Bebas Lintasan

Hitung

∫

C r d . F r r dengan F = yiˆ+ xjˆ r atas lintasan a. C garis y = x dari (0,0) ke (1,1) b. C garis y = x2 _{dari (0,0) ke (1,1)} c. C garis y = x3 _{dari (0,0) ke (1,1)} PENDAHULUAN

TEOREMA A: DASAR INTEGRAL GARIS Misalkan F(x,y) = M(x,y)iˆ+ N(x,y)jˆ

r

dengan C adalah kurva mulus sepotong-potong dengan titik pangkal (x₀,y₀) dan titik ujung (x₁,y₁).

Jika F(x,y) = ∇f(x,y) r

r

(15)

Integral Garis Bebas Lintasan(2)

disebut gaya konservatif dan disebut fungsi potensial dari

F r Contoh: Jika F(x,y) = ∇f(x,y) r r maka F r jˆ x iˆ y F = + r

dengan C kurva dari (0,0) ke (1,1)

jˆ y f iˆ x f f ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇r Contoh: maka F.dr f(1,1) f(0,0) 1.1 0.0 1 C = − = − =

∫

r r jˆ x iˆ y

F = + dengan C kurva dari (0,0) ke (1,1) f jˆ x iˆ y F = + = ∇ r r

dengan fungsi potensial f = xy

Masalah:

Bagaimana mengetahui bahwa F konservatif? (F(x,y)=gradien dari suatu fungsi f).

(16)

Integral Garis Bebas Lintasan(3)

kˆ y M x N jˆ x P z M iˆ z N y P       ∂ ∂ − ∂ ∂ +       ∂ ∂ − ∂ ∂ +       ∂ ∂ − ∂ ∂ =

DEFINISI: Misal F = Miˆ+ N jˆ+ Pkˆ r maka P N M z y x kˆ jˆ iˆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = F x F rot F Curl r r r r ∇ = = TEOREMA B TEOREMA B MisalkanF = Miˆ+ N jˆ+Pkˆ r maka F r

konservatif jika dan hanya jika atau jika dan hanya jika

0 F rot F Curl = = r r x P z M , z N y P , y M x N ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

Khusus jika F = Miˆ+ N jˆ r

makaF r

(17)

Contoh:

1. Diketahui

a. Tunjukkan bahwa F konservatif, dan tentukan f b. Hitung

(

x y

)

j i xy Fr = 2 3 ˆ + 1 + 3 2 2 ˆ r d . F C r r

∫

dengan C sebarang kurva dari (1,4) ke (3,1) Jawab. a. (i) F r Konservatif

⇔

x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ M ∂ M=2xy3 N=1+3x2y3 ₆ 3 y x x N = ∂ ∂ 3 6 xy y M = ∂ ∂

⇒

x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ F r Konservatif Jadi (ii) Fr = 2 xy 3 ˆi +

(

1 + 3 x 2y 2

)

ˆj j f y f i x f ∇ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ˆ ˆ r 3 2 x y xf = ∂ ∂ ₂ ₂ 3 1 x y y f + = ∂ ∂ ……. (1) ……. (2)

(18)

Contoh (Lanjutan)

dx y x y x f ( , ) =

∫

2 3 ) ( ) , (x y x 2y 3 C y f = + ……. (3)

Integralkan (1) terhadap x, diperoleh

Turunkan (3) terhadap y, diperoleh

f ∂ ) ( ' 3 x 2y 2 C y y f + = ∂ ∂ ……. (4) Dari (2) dan (4), diperoleh

2 2 2 2 _'₍ ₎ ₁ ₃ 3 x y C y x y y f + = + = ∂ ∂ 1 ) ( ' y = C

(19)

Contoh (Lanjutan)

=

∫

C r d F r r .

∫

+

(

+

)

) 1 , 3 ( ) 4 , 1 ( 2 2 3 ₁ ₃ 2 x y dx x y dy b. ) 4 , 1 ( ) 1 , 3 ( f f − =

(

32.13 + 1

) (

− 12.43 + 4

)

= 58 68 10 − = − = C y y x y x f( , ) = 2 3 + + ,

(20)

Contoh

2. Diketahui

a. Tunjukkan bahwa F konservatif, dan tentukan f b. Hitung

(

e y yz

)

i

(

xz e y

)

j xy k z y x Fr( , , ) = x cos + ˆ + − x sin ˆ + ˆ r d F C r r .

∫

dengan C sebarang kurva dari (0,0,0)ke (1,0,1) Jawab. a. (i) F r Konservatif

⇔

∂_∂_∂M_y_y = ∂_∂_∂N_x_x , ∂_∂P_x = ∂_∂M_z , _∂∂_yP = ∂_∂N_z M=ex _cosy+yz N=xz – ex siny e y z x N _x + − = ∂ ∂ sin z y e y M _x + − = ∂ ∂ sin

⇒

x z N = ∂ ∂ y z M = ∂ ∂ P=xy

⇒

x y P = ∂ ∂ y x P = ∂ ∂ z x ∂ ∂ ∂y ∂z

(21)

Contoh (lanjutan)

(ii)Fr =

(

ex cos y + yz

) (

ˆi + xz − ex siny

)

ˆj + xy kˆ k f y f j y f i x f ∇ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ˆ ˆ ˆ r yz y e x f _x + = ∂ ∂ cos xz e y y f _x sin − = ∂ ∂ ……. (1) ……. (2) y x zf = ∂ ∂ _{……. (3)}

(

e y yz

)

dx z y x f( , , ) =

∫

x cos + ) , ( cos ) , , (x y z e y xyz C y z f = x + + ……. (4)

Turunkan (4) terhadap y, diperoleh

) , ( siny xz C y z e y f y x ₊ ₊ − = ∂ ∂ ……. (5)

(22)

Contoh (Lanjutan)

Dari (2) dan (5), diperoleh

y e xz z y C xz y e y f _x y x _sin ₊ ₊ ₍ _, ₎ ₌ ₋ _sin − = ∂ ∂ 0 ) , (y z = C _y ) ( ) , (y z C z C = _{……. (6)} Masukan (6) ke (4), diperoleh ) ( cos ) , , (x y z e y xyz C z f = x + + ……. (7) Masukan (6) ke (4), diperoleh

Turunkan (7) terhadap z, diperoleh

) ( ' z C xy z f + = ∂ ∂ ……. (8) Dari (3) dan (8), diperoleh

(23)

Contoh (Lanjutan)

=

∫

F drr r .

∫

(

ex y + yz

)

dx +

(

xz − ex y

)

dy + xy dz ) 1 , 0 , 1 ( sin cos b.

Jadi fungsi potensialnya adalah

C xyz y e z y x f( , , ) = x cos + + Masukan (9) ke (7), diperoleh C xyz y e z y x f( , , ) = x cos + + =

∫

C r d F .

∫

(

ex y + yz

)

dx +

(

xz − ex y

)

dy + xy dz ) 0 , 0 , 0 ( sin cos b. ) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 0 , 1 ( f f − =

(

1 cos 0 + 1.0.1

) (

− 0 cos 0 + 0

)

= e e 1 − = e C xyz y e z y x f( , , ) = x cos + + ,

(24)

Penyataan berikut ekivalen

1. F = ∇f r r

untuk suatu f (F konservatif) 2. F.d r C r r

∫

bebas lintasan 3. F.dr 0 C =

∫

r r Sudah Jelas???

(25)

Latihan

Tentukan apakah F konservatif? Jika ya, tentukan f

(

F = ∇f

)

r r 1. F =

(

10x−7y

) (

iˆ− 7x−2y

)

jˆ r 2. F =

(

12x2 +3y2 +5y

) (

iˆ+ 6xy−3y2 +5x

)

jˆ r

3. F =

(

4y2 cos(xy2)

) (

iˆ+ 8xcos(xy2)

)

jˆ r

4. F =

(

2ey − yex

) (

iˆ+ 2xey −ex

)

jˆ r

5. F =

(

2xy+z2

)

iˆ+x2jˆ+

(

2xz+πcosπz

)

kˆ r

Hitung integral garis berikut: Hitung integral garis berikut:

6.

∫

(

)

(

)

− + + + ) 1 , 3 ( ) 2 , 1 ( 2 2 dy xy 2 x dx xy 2 y 7.

∫

(

)

(

)

π + ) 2 , 1 ( ) 0 , 0 ( x x dy y cos e dx y sin e 8.

∫

(

+

)

+

(

)

+

(

+

)

) 1 , 1 , 1 ( ) 0 , 0 , 0 ( 2 2 2 3 dz 1 xz 4 dy y x 9 dx z 2 xy 6 9.

∫

(

)

(

)

(

)

π π + + + + + ) 0 , , ( ) 0 , 0 , 0 ( dz xy 2 z dy xz 2 y sin dx yz 2 x cos 10.

∫

(

− −

)

+

(

+

)

+

( )

) 4 , 1 , 1 ( ) 0 , 0 , 0 ( y x dz xy dy e xz dx e yz 11.

∫

(

−

)

+

(

+

)

+

(

−

)

C 2 2 dz xyz 4 1 dy xz 3 y 2 dx yz 6 x 3

(26)

Teorema Green di Bidang

Misalkan C kurva mulus sepotong-potong, tertutup tertutup sederhana

sederhana yang membentuk batas dari suatu daerah di bidang XOY. Jika M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan

mempunyai turunan kontinu pada S dan batasnya C maka

∫∫

∫

+ = ∂_∂ − ∂_∂ dA y M x N dy N dx M Bukti. Perhatikan

∫∫

∫

    ∂ − ∂ = + S C dA y x dy N dx M C = C₁U C₂U C₃U C₄ S = {(x,y)|a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)} y S C₄ C₃ C₂ y=f(x)

∫

= + + + 4 C 3 C 2 C 1 C C dx M dx M dx M dx M dx M  b b a b

(27)

Teorema Green di Bidang

Sama halnya dengan memperlakukan S sebagai himpunan x sederhana, kita peroleh

Sehingga diperoleh

∫∫

∫

= ∂_∂ S C dA x N dy N

∫

∫∫

∂N ₋ ∂M_dA =

∫

_M_dx+ _N_dy

∫∫

_ = +      ∂ ∂ − ∂ ∂ C S dy N dx M dA y M x N

(28)

Contoh

Hitung

∫

+ C 2 xydy 4 dx

y dengan C adalah kurva tertutup yang terdiri dari busur parabola y = x2 _{dari titik asal (2,4) dan segmen garis}

(2,4) ke titik (0,0) Jawab.

Akan kita coba mengerjakan dengan dua cara, yaitu dengan Integral garis biasa dan teorema Green

1. Integral garis

C₂

(2,4)

Untuk C₁_{: (0,0) (2,4) , berupa busur y = x}2_.

Persamaan parameter C₁: misalkan x = t y = t2

(29)

Contoh (Lanjutan)

∫

= 2 0 4 9 dtt 2 0 5 5 9 t = 5 288 =

Untuk C₂_{: (2,4) (0,0) (berupa ruas garis)} Persamaan parameter C₂: misalkan

(x,y) = (2 , 4)+ t (0,0) - (2,4) x’(t)=-2 , y’(t)=-4 0≤ t ≤1 (x,y) = (2 , 4)+ t (0,0) - (2,4) x = 2 – 2t, y = 4 – 4t

⇒

Sehingga

∫

+ 2 4 2 C dy xy dx y

(

4 4t

) ( )

2 dt 4

(

2 2t

)(

4 4t

)( )

4 dt 1 0 2 − − − + − − =

∫

(

)

∫

− + − = 1 0 2 160 320 160 t t dt

(30)

Contoh (lanjutan)

Jadi,

∫

+ 2 4 2 C dy xy dx y = −

∫

(

− +

)

1 0 2 160 320 160 t t dt 1 0 3 2 3 160 2 320 160       + − − = t t t 3 160 − = Jadi, 3 160 5 288 − = 64

∫

+ = + + + 2 1 4 4 4 2 2 2 C C C dy xy dx y dy xy dx y dy xy dx y

(31)

Contoh (Lanjutan)

2. Teorema Green.

∫∫

∫

      ∂ ∂ − ∂ ∂ = + S C dA y M x N dy xy dx y2 4

(

)

∫ ∫

− = 2 0 2 2 2 4 x x dx dy y y

∫

= 2 2 2 dx y x y=x2 y=2x (2,4) y S S 4 M=y2 N=4 yx y x N 4 = ∂ ∂ y y M 2 = ∂ ∂

⇒

S={(x,y)| 0 ≤ x ≤ 2, x2 _{≤ y ≤ 2x}} Dengan:

∫

= 0 2 2 2 dx y x x

∫

− = 2 0 4 2 4x x dx 2 0 5 3 5 1 3 4 x x − = 15 64 5 32 3 32 = − = y=x2 (0,0) x S S 2

(32)

Latihan

1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya jˆ ) x e ( iˆ ) y x (sin ) y , x ( F = − + y − 2 r

dalam menggerakkan suatu obyek mengitari satu kali x2 _{+ y}2 _{= 4 dalam arah positif.}

2. Hitung

∫

+ C 2 dy y dx xy

2 dengan C kurva tertutup yang terbentuk oleh y = x/2 dan x = y2 _{antara (0,0) dan (4,2)}

3. Hitung

∫

xydx+(x+ y)dydengan C segitiga yg titik-titik sudutnya 3. Hitung

∫

+ + C dy ) y x ( dx

xy dengan C segitiga yg titik-titik sudutnya (0,0), (2,0), dan (0,1) 4. Hitung

∫

+ + + C 2 x 3 dy ) y sin x ( dx ) y 2 e

( dengan C persegipanjang yg titik

titik sudutnya (2,1), (6,1), (6,4) dan (2,4) 5. Hitung

∫

2 + + 2 + dy ) y 3 x 2 ( dx ) y x 4 x ( dengan C ellips

(33)

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer

Teknik Informatika

Integral Permukaan

(34)

Luas Permukaan

Misalkan diketahui partisi permukaan G berupa grafik z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z

k ∇ ∇∇ ∇F γγγγ ∆T_i ∆S_i kˆ jˆ f iˆ f F dengan , kˆ F kˆ . F cos _i ∇ = _x + _y − ∇ ∇ = γ r r r G b a c d G_i R R_i γγγγ γγγγ γγγγ ∆R_i ∆S_i~ ∆T_i= ∆R_i sec γ_i

∆S_i = luas G_i dan ∆R_i= luas R_i= ∆x_i∆y_i Jadi S f f 1 R

1 f f sec 1 f f 1 1 f f 1 cos i 2 y 2 x i 2 y 2 x i 2 y 2 x 2 y 2 x i ∆ + + = ∆ + + = γ + + = + + − = γ

(35)

Contoh

Hitung luas permukaan G : z = x2 _{+ y}2 _{dibawah bidang z=4}

Z

G

z = 4

Jawab.

Bagian G yang dimaksud diproyeksikan pada daerah S (daerah yang dibatasi oleh lingkaran x2_+y2_=4).

x2_+y2₌₄

x

y

S

Misalkan f(x,y)=x2_+y2_{. Maka didapat}

f_x= 2x, f_y=2y

∫∫

= + + = + + S S y x G dA y x dA f f dS 2 2 1 4 2 4 2 1

Sehingga luas permukaan G adalah

dengan S={(x,y)| -2≤ x ≤ 2, ≤y≤ 2 } 4 − x 2 4 − x − x2_+y2₌₄

(36)

Contoh (Lanjutan)

Dengan koordinat polar, batasan S berubah menjadi S={(r,

θ

)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤

θ

≤ 2

π

} Jadi

∫∫

= + + S G dA y x dS 4 2 4 2 1 π 2 2

∫ ∫

+ = π θ 2 0 2 0 2 ₁ 4r r dr d

(

)

∫

+ = π θ 2 0 2 0 2 / 3 2 ₁ 4 3 2 . 8 1 d r

(

)

π θ 2₀ . 1 17 17 12 1 − =

(

17 17 1

)

6 − = π

(37)

Latihan Luas Permukaan

1. Hitung luas permukaan G : z = x2 _{+ y}2 _{dibawah bidang}

z =4

2. Hitung luas permukaan G : yang tepat berada

z

=

4 −

y

2

di atas persegi panjang dengan titik sudut (1,0),(2,0), (2,1),(1,1)

3. Hitung luas permukaan G : silinder z2 _{+ x}2 _{= 16 di oktan}

I yang dipotong oleh bidang x =2, y = 1, y = 3

4. Hitung luas permukaan G : silinder z2 _{+ y}2 _{= 9 di oktan I}

(38)

Integral Permukaan

Misalkan g(x,y,z) terdefinisi pada permukaan G

z G c d ) z , y , x ( i i i Gi

Misalkan permukaan G berupa grafik z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z -Misalkan R proyeksi G pada bidang XOY

-Partisi R menjadi n bagian; R₁, R₂,…,R_n

-Pilih (x ,y )∈R dan (x ,y ,z )∈G x y b a c d ) y , x ( i i R R_i -Pilih

(partisi G yang bersesuaian dgn R) -Bentuk jumlah riemann

Integral permukaan dari g atas G

i i i i i i i,y ) R dan (x ,y ,z ) G x ( ∈ ∈ i i n 1 i i i i i,y ,z ) G , dengan G luasG x ( g ∆ ∆ =

∑

=

(39)

Integral Permukaan (2)

Dengan cara yang sama diperoleh

1. Jika permukaan G berupa grafik x = f(y,z), (y,z)∈ R

(Proyeksi G pada bidang YOZ), maka

2. Jika permukaan G berupa grafik y = f(x,z), (x,z)∈ R

∫∫

= + + R 2 z 2 y G dA f f 1 ) z , y ), z , y ( f ( g dS ) z , y , x ( g

2. Jika permukaan G berupa grafik y = f(x,z), (x,z)∈ R

(Proyeksi G pada bidang XOZ), maka

∫∫

= + + R 2 z 2 x G dA f 1 f ) z ), z , x ( f , x ( g dS ) z , y , x ( g

(40)

Contoh

1. Hitung

∫∫

G dS z , G adalah permukaan z = 4−x2 −y2 Jawab. 2 2 4 x y z = − −

⇒

z2 = 4 − x2 − y2 4 2 2 2 ₊ ₊ ₌ y x z

G bagian atas kulit bola dengan jari-jari 2.

2 2 Z x y 2 x2_+y2₌₄ R

R (proyeksi G pada XOY) berupa lingkaran x2_+y2_=4. 2 2 4 x y z = − −

(

₂ ₂

)

1/2 ₂ ₂ 4 2 . 4 2 1 y x x x y x f_x − − − = − − − = −

(

)

1 − y

Kita punya , maka

G

(41)

∫∫

= + + R y x G dA f f z dS z 2 2 1 Jadi

∫∫

− − ₋ ₋ = R dA y x y x2 2 ₂ ₂ 4 4 4

∫∫

= 2 dA

Contoh (lanjutan)

∫∫

R

dimana daerah R={(r,

θ

)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤

θ

≤ 2

π

}, sehingga

∫∫

= R G dA dS z 2

∫ ∫

= π θ 2 0 2 0 2 r dr d = 8π

(42)

Latihan Integral Permukaan

1. Hitung , dengan G bagian kerucut z2 _{= x}2 _{+ y}2

di antara z = 1 dan z = 2

∫∫

G 2 2 dS z x 2. Hitung

a. g(x,y,z) = x2 _{+ y}2 _{+ z , dengan G: z = x+y+1, 0≤x≤1, 0≤y≤1}

∫∫

G dS ) z , y , x ( g

b. g(x,y,z) = x , dengan G: x+y+2z = 4, 0≤x≤1, 0≤y≤1

c. g(x,y,z) = x+y , dengan G: , 0≤x≤√3, 0≤y≤1

z

=

4 −

x

2

d. g(x,y,z) = , dengan G: z =x

₄

_x

2

+ y

₄

2

+

₁

2_-y2_{, 0≤x}2_+y2_≤1