Integral Garis

(1)

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer

Teknik Informatika

Integral Garis

(2)

Integral Garis

Definisi Integral garis

Integral garis di bidang

Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di bidang) x=x(t), y=y(t) ; a ≤ t ≤ b maka

(

) (

)

∫

=

∫

+ b 2 2 dt ) t ( ' y ) t ( ' x ) t ( y ), t ( x f dS ) y , x ( f

Integral garis di ruang

Misalkan persamaan parameter kurva mulus C ( di ruang) x=x(t), y=y(t), z=z(t) ; a ≤ t ≤ b

(

) (

)

∫

=

∫

+ C a 2 2 dt ) t ( ' y ) t ( ' x ) t ( y ), t ( x f dS ) y , x ( f

(3)

Sifat

Sifat--sifat integral garis

sifat integral garis

1. Jika C = C₁UC₂U … UC_n, maka

2. Jika – C adalah kurva C dengan arah berlawanan denga C, maka

∫

= + + + n 2 1 C C C C dS ) y , x ( f ... dS ) y , x ( f dS ) y , x ( f dS ) y , x ( f C₁ C2 A B C_n C, maka

∫

= − −C C dS ) y , x ( f dS ) y , x ( f

(4)

Contoh

1. Hitung , C adalah kurva

∫

(

₊

)

x=3t; y=t3 _{; 0≤}_t_≤1

C dS y x3 Jawab. x’(t)=3; y’(t)=3t2

(

)

∫

+ C dS y x3 =

∫

(

( )

+

)

+

( )

1 0 2 2 3 3 3 3 3t t t dt

∫

+ = 1 4 3 ₉ ₉ 28t t dt

∫

+ = 0 4 3 ₉ ₉ 28t t dt

∫

+ = 1 0 4 3 1 84 t t dt

(

₄

)

3/2 1 1 6 1 84       + = t

(5)

Contoh

2. Hitung , C adalah terdiri dari busur parabola

∫

( )

C

dS x

2

y=x2 dari (0,0) ke (1,1) diikuti oleh ruas garis vertikal dari (1,1) ke (1,2).

C

(1,2) Jawab.

Untuk C₁: (0,0) (1,1) , berupa busur y = x2_.

C₁ C₂

(1,1)

Persamaan parameter C₁: misalkan x = t y = t2 x’(t)=1 y’(t)=2t

( )

∫

1 2 C dS x Sehingga

( )

∫

+ = 1 0 2 2 1 2t t dt 0≤ t ≤1

∫

+ = 1 0 2 4 1 2t t dt

(6)

Contoh (Lanjutan)

( )

∫

1 2 C dS x =

∫

+ 1 0 2 4 1 2t t dt

(

)

1 0 2 / 3 2 4 1 3 2 . 4 1 t + =

(

5 5 1

)

6 1 − =

( )

∫

2 2 C dS x Sehingga

∫

+ = 2 1 2 1 0 2 dt 2 ) 1 2 ( 2 2 ₁2 = − = = t Jadi, 6 Untuk C₂: (1,1) (1,2) (berupa ruas garis)

Persamaan parameter C₁: misalkan Jadi,

( )

_∫

( )

_∫

( )

∫

= + 2 1 2 2 2 C C C dS x dS x dS x

(

5 5 1

)

2 6 1 + − =

(

)

1

(7)

Latihan

1. Hitung , C adalah setengah bagian atas lingkaran lingkaran satuan x2₊_y2₌₁

(

)

∫

+ C 2 dS y x 2

2. Hitung , C adalah ruas garis dari (0,0) ke (π,2π)

(

)

∫

+ C dS y cos x sin

3. Hitung , C adalah kurva

∫

(

2x +9z

)

dS x=t; y=t2; z=t3; 3. Hitung , C adalah kurva x=t; y=t ; z=t ;

0≤t≤1

(

)

∫

+ C dS z 9 x 2

(8)

Kerja

Misalkan F(x,y) = M(x,y)iˆ+ N(x,y)jˆ

r

adalah gaya yang bekerja pada pada suatu titik (x,y) di bidang

A r(t) _B

F T

Q

Akan dicari: Berapa kerja (W) yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan sebuah partikel menyelusuri kurva C dari A ke B?

A _B

Misal rr = xiˆ+ yjˆ adalah vektor posisi Q(x,y)

vektor singgung satuan di Q

r d T r r =

(9)

Kerja (2)

Maka F.T = F T cosθ r r r r

adalah komponen singgung F di Q

Kerja yang dilakukan oleh F untuk memindahkan partikel sejauh ∆s adalah

Kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan partikel dari A ke B adalah

s T . F W = ∆ ∆ r r

partikel dari A ke B adalah

jˆ dy iˆ dx r d jˆ dt dy iˆ dt dx dt r d + = ⇒ + = r r

∫

= = = C C C r d . F ds ds dt dt r d . F ds T . F W r r r r r r diketahui Jadi, didapat

(

)(

)

∫

+ = + + = C C dy ) y , x ( N dx ) y , x ( M jˆ dy iˆ dx . jˆ ) y , x ( N iˆ ) y , x ( M W

(10)

Kerja (3)

Dengan cara yang sama untuk

gaya yang bekerja pada suatu titik di ruang, maka

k z y x P j z y x N i z y x M z y x F( , , ) = ( , , )ˆ+ ( , , )ˆ+ ( , , )ˆ r

∫

+ + = C dz z y x P dy z y x N dx z y x M W ( , , ) ( , , ) ( , , )

(11)

Contoh

1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya j y x i y x y x

Fr( , ) ₌ ( 3 ₋ 3)ˆ₊ 2 ˆ dalam memindahkan partikel

sepanjang kurva C : x = t2_{, y=t}3 _{, -1 ≤t≤} ₀

Jawab. Kerja yang dilakukan medan gaya F adalah

∫

+ = Mdx N dy W

∫

; dx = 2t dt, dy=3t2 dt C

(

)

∫

− + = C dy xy dx y x3 3 2

( ) ( )

(

)

( )

∫

− + − = 0 1 2 2 3 2 3 3 3 2 ₂ ₃ dt t t t dt t t t

(

)

∫

− + − = 0 1 10 10 7 ₂ ₃ 2t t t dt

∫

(

)

− − = 0 1 10 7 2t t dt 0 1 11 8 11 1 4 1 − − = t t 44 7 11 1 4 1 − =       − − =

(12)

Contoh

2. Hitung integral garis

∫

+

C

2

dy x

ydx dengan kurva C : x = 2t, y=t2_{-1 , 0 ≤t≤} ₂

Jawab. Kerja yang dilakukan adalah

∫

+ = C dy x dx y W 2 ; dx = 2 dt, dy=2t dt

(

)

( )

∫

− + = 2 2 2 ₁ ₂ ₂ ₂ dt t t dt t

(

)

( )

∫

− + = 0 2 2 2 1 dt t t dt t

(

)

∫

− + = 2 0 3 2 ₂ ₈ 2t t dt 2 0 4 3 ₂ ₂ 3 2 t t t − + = 4 32 3 16 + − = 3 100 28 3 16 = + =

(13)

Latihan

1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya

k z y j z i y x z y x F( , , ) = (2 − )ˆ+ 2 ˆ+ ( − )ˆ r

dalam memindahkan partikel sepanjang C, dimana C adalah ruas garis dari (0,0,0) ke (1,1,1)

2. Hitung integral garis

∫

+ 2

dy x

ydx dengan kurva C adalah ruas 2. Hitung integral garis

∫

+

C

dy x

ydx dengan kurva C adalah ruas garis dari (1,1) ke (3,-1) 3. Hitung

∫

C r d . F r r dengan F = xy2iˆ+xy2jˆ r sepanjang a. C = C₁ U C₂ b. C = C₃ C₁ C₂ C₃ (0,2) (3,2) (3,5) x y

(14)

Integral Garis Bebas Lintasan

Hitung

∫

C r d . F r r dengan F = yiˆ+ xjˆ r atas lintasan a. C garis y = x dari (0,0) ke (1,1) b. C garis y = x2 _{dari (0,0) ke (1,1)} c. C garis y = x3 _{dari (0,0) ke (1,1)} PENDAHULUAN

TEOREMA A: DASAR INTEGRAL GARIS

Misalkan F(x,y) = M(x,y)iˆ+ N(x,y)jˆ

r

dengan C adalah kurva mulus sepotong-potong dengan titik pangkal (x₀,y₀) dan titik ujung (x₁,y₁).

Jika F(x,y) = ∇f(x,y)

r r

(15)

Integral Garis Bebas Lintasan(2)

disebut gaya konservatif dan disebut fungsi potensial dari

F r Contoh: Jika F(x,y) = ∇f(x,y) r r maka F r jˆ x iˆ y F = + r

dengan C kurva dari (0,0) ke (1,1)

jˆ y f iˆ x f f ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∇r Contoh: maka F.dr f(1,1) f(0,0) 1.1 0.0 1 C = − = − =

∫

r r jˆ x iˆ y

F = + dengan C kurva dari (0,0) ke (1,1) f jˆ x iˆ y F = + = ∇ r r

dengan fungsi potensial f = xy

Masalah:

Bagaimana mengetahui bahwa F konservatif? (F(x,y)=gradien dari suatu fungsi f).

(16)

Integral Garis Bebas Lintasan(3)

kˆ y M x N jˆ x P z M iˆ z N y P       ∂ ∂ − ∂ ∂ +       ∂ ∂ − ∂ ∂ +       ∂ ∂ − ∂ ∂ =

DEFINISI: Misal F = Miˆ+ N jˆ+ Pkˆ

r maka P N M z y x kˆ jˆ iˆ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = F x F rot F Curl r r r r ∇ = = TEOREMA B TEOREMA B MisalkanF = Miˆ+ N jˆ+Pkˆ r maka F r

konservatif jika dan hanya jika atau jika dan hanya jika

0 F rot F Curl = = r r x P z M , z N y P , y M x N ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

Khusus jika F = Miˆ+ N jˆ

r

makaF

r

(17)

Contoh:

1. Diketahui

a. Tunjukkan bahwa F konservatif, dan tentukan f b. Hitung

(

x y

)

j i xy Fr = 2 3 ˆ + 1 + 3 2 2 ˆ r d . F C r r

∫

dengan C sebarang kurva dari (1,4) ke (3,1) Jawab. a. (i) F r Konservatif

⇔

x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ M ∂ M=2xy3 N=1+3x2y3 ₆ 3 y x x N = ∂ ∂ 3 6 xy y M = ∂ ∂

⇒

x N y M ∂ ∂ = ∂ ∂ F r Konservatif Jadi (ii) Fr = 2 xy 3 ˆi +

(

1 + 3 x 2y 2

)

ˆj j f y f i x f ∇ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ˆ ˆ r 3 2 x y x f = ∂ ∂ ₂ ₂ 3 1 x y y f + = ∂ ∂ ……. (1) ……. (2)

(18)

Contoh (Lanjutan)

dx y x y x f ( , ) =

∫

2 3 ) ( ) , (x y x 2y 3 C y f = + ……. (3)

Integralkan (1) terhadap x, diperoleh

Turunkan (3) terhadap y, diperoleh f ∂ ) ( ' 3 x 2y 2 C y y f + = ∂ ∂ ……. (4) Dari (2) dan (4), diperoleh

2 2 2 2 _'₍ ₎ ₁ ₃ 3 x y C y x y y f + = + = ∂ ∂ 1 ) ( ' y = C

(19)

Contoh (Lanjutan)

=

∫

C r d F r r .

∫

+

(

+

)

) 1 , 3 ( ) 4 , 1 ( 2 2 3 ₁ ₃ 2 x y dx x y dy b. ) 4 , 1 ( ) 1 , 3 ( f f − =

(

32.13 + 1

) (

− 12.43 + 4

)

= 58 68 10 − = − = C y y x y x f( , ) = 2 3 + + ,

(20)

Contoh

2. Diketahui

a. Tunjukkan bahwa F konservatif, dan tentukan f b. Hitung

(

e y yz

)

i

(

xz e y

)

j xy k z y x Fr( , , ) = x cos + ˆ + − x sin ˆ + ˆ r d F C r r .

∫

dengan C sebarang kurva dari (0,0,0)ke (1,0,1) Jawab. a. (i) F r Konservatif

⇔

∂_∂_∂M_y_y = ∂_∂_∂N_x_x , ∂_∂P_x = ∂_∂M_z , _∂∂_yP = ∂_∂N_z M=ex _cos_y+yz N=xz – ex _sin_y _e _y _z x N _x + − = ∂ ∂ sin z y e y M _x + − = ∂ ∂ sin

⇒

x z N = ∂ ∂ y z M = ∂ ∂ P=xy

⇒

x y P = ∂ ∂ y x P = ∂ ∂ z x ∂ ∂ ∂y ∂z

(21)

Contoh (lanjutan)

(ii)Fr =

(

ex cos y + yz

) (

ˆi + xz − ex siny

)

ˆj + xy kˆ k f y f j y f i x f ∇ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ˆ ˆ ˆ r yz y e x f _x + = ∂ ∂ cos xz e y y f _x sin − = ∂ ∂ ……. (1) ……. (2) y x z f = ∂ ∂ _{……. (3)}

(

e y yz

)

dx z y x f( , , ) =

∫

x cos + ) , ( cos ) , , (x y z e y xyz C y z f = x + + ……. (4)

Turunkan (4) terhadap y, diperoleh

) , ( siny xz C y z e y f y x ₊ ₊ − = ∂ ∂ ……. (5)

(22)

Contoh (Lanjutan)

Dari (2) dan (5), diperoleh

y e xz z y C xz y e y f _x y x _sin ₊ ₊ ₍ _, ₎ ₌ ₋ _sin − = ∂ ∂ 0 ) , (y z = C _y ) ( ) , (y z C z C = _{……. (6)} Masukan (6) ke (4), diperoleh ) ( cos ) , , (x y z e y xyz C z f = x + + ……. (7) Masukan (6) ke (4), diperoleh

Turunkan (7) terhadap z, diperoleh

) ( ' z C xy z f + = ∂ ∂ ……. (8) Dari (3) dan (8), diperoleh

(23)

Contoh (Lanjutan)

=

∫

F drr r .

∫

(

ex y + yz

)

dx +

(

xz − ex y

)

dy + xy dz ) 1 , 0 , 1 ( sin cos b.

Jadi fungsi potensialnya adalah

C xyz y e z y x f( , , ) = x cos + + Masukan (9) ke (7), diperoleh C xyz y e z y x f( , , ) = x cos + + =

∫

C r d F .

∫

(

ex y + yz

)

dx +

(

xz − ex y

)

dy + xy dz ) 0 , 0 , 0 ( sin cos b. ) 0 , 0 , 0 ( ) 1 , 0 , 1 ( f f − =

(

1 cos 0 + 1.0.1

) (

− 0 cos 0 + 0

)

= e e 1 − = e C xyz y e z y x f( , , ) = x cos + + ,

(24)

Penyataan berikut ekivalen

1. F = ∇f

r r

untuk suatu f (F konservatif) 2. F.d r C r r

∫

bebas lintasan 3. F.dr 0 C =

∫

r r Sudah Jelas???

(25)

Latihan

Tentukan apakah F konservatif? Jika ya, tentukan f

(

F = ∇f

)

r r 1. F =

(

10x−7y

) (

iˆ− 7x−2y

)

jˆ r 2. F =

(

12x2 +3y2 +5y

) (

iˆ+ 6xy−3y2 +5x

)

jˆ r

3. F =

(

4y2 cos(xy2)

) (

iˆ+ 8xcos(xy2)

)

jˆ

r

4. F =

(

2ey − yex

) (

iˆ+ 2xey −ex

)

jˆ

r

5. F =

(

2xy+z2

)

iˆ+x2jˆ+

(

2xz+πcosπz

)

kˆ

r

Hitung integral garis berikut: Hitung integral garis berikut:

6.

∫

(

)

(

)

− + + + ) 1 , 3 ( ) 2 , 1 ( 2 2 dy xy 2 x dx xy 2 y 7.

∫

(

)

(

)

π + ) 2 , 1 ( ) 0 , 0 ( x x dy y cos e dx y sin e 8.

∫

(

+

)

+

(

)

+

(

+

)

) 1 , 1 , 1 ( ) 0 , 0 , 0 ( 2 2 2 3 dz 1 xz 4 dy y x 9 dx z 2 xy 6 9.

∫

(

)

(

)

(

)

π π + + + + + ) 0 , , ( ) 0 , 0 , 0 ( dz xy 2 z dy xz 2 y sin dx yz 2 x cos 10.

∫

(

− −

)

+

(

+

)

+

( )

) 4 , 1 , 1 ( ) 0 , 0 , 0 ( y x dz xy dy e xz dx e yz 11.

∫

(

−

)

+

(

+

)

+

(

−

)

C 2 2 dz xyz 4 1 dy xz 3 y 2 dx yz 6 x 3

(26)

Teorema Green di Bidang

Misalkan C kurva mulus sepotong-potong, tertutup tertutup

sederhana

sederhana yang membentuk batas dari suatu daerah

di bidang XOY. Jika M(x,y) dan N(x,y) kontinu dan mempunyai turunan kontinu pada S dan batasnya C maka

∫∫

∫

+ = ∂_∂ − ∂_∂ dA y M x N dy N dx M Bukti. Perhatikan

∫∫

∫

    ∂ − ∂ = + S C dA y x dy N dx M C = C₁U C₂U C₃U C₄ S = {(x,y)|a ≤ x ≤ b, g(x) ≤ y ≤ f(x)} y S C₄ C₃ C₂ y=f(x)

∫

= + + + 4 C 3 C 2 C 1 C C dx M dx M dx M dx M dx M  b b a b

(27)

Teorema Green di Bidang

Sama halnya dengan memperlakukan S sebagai himpunan x sederhana, kita peroleh

Sehingga diperoleh

∫∫

∫

= ∂_∂ S C dA x N dy N

∫

∫∫

∂N ₋ ∂M_dA =

∫

_M_dx+ _N_dy

∫∫

_ = +      ∂ ∂ − ∂ ∂ C S dy N dx M dA y M x N

(28)

Contoh

Hitung

∫

+ C 2 xydy 4 dx

y dengan C adalah kurva tertutup yang terdiri dari busur parabola y = x2 _{dari titik asal (2,4) dan segmen garis}

(2,4) ke titik (0,0) Jawab.

Akan kita coba mengerjakan dengan dua cara, yaitu dengan Integral garis biasa dan teorema Green

1. Integral garis

C₂

(2,4)

Persamaan parameter C₁: misalkan x = t y = t2

(29)

Contoh (Lanjutan)

∫

= 2 0 4 9t dt 2 0 5 5 9 t = 5 288 =

Untuk C₂: (2,4) _{(0,0) (berupa ruas garis)} Persamaan parameter C₂: misalkan

(x,y) = (2 , 4)+ t (0,0) - (2,4) x’(t)=-2 , y’(t)=-4 0≤ t ≤1 (x,y) = (2 , 4)+ t (0,0) - (2,4) x = 2 – 2t, y = 4 – 4t

⇒

Sehingga

∫

+ 2 4 2 C dy xy dx y

(

4 4t

) ( )

2 dt 4

(

2 2t

)(

4 4t

)( )

4 dt 1 0 2 − − − + − − =

∫

(

)

∫

− + − = 1 0 2 160 320 160 t t dt

(30)

Contoh (lanjutan)

Jadi,

∫

+ 2 4 2 C dy xy dx y = −

∫

(

− +

)

1 0 2 160 320 160 t t dt 1 0 3 2 3 160 2 320 160       + − − = t t t 3 160 − = Jadi, 3 160 5 288 − = 64

∫

+ = + + + 2 1 4 4 4 2 2 2 C C C dy xy dx y dy xy dx y dy xy dx y

(31)

Contoh (Lanjutan)

2. Teorema Green.

∫∫

∫

      ∂ ∂ − ∂ ∂ = + S C dA y M x N dy xy dx y2 4

(

)

∫ ∫

− = 2 0 2 2 2 4 x x dx dy y y

∫

= 2 2 2 dx y x y=x2 y=2x (2,4) y S S 4 M=y2 N=4 yx y x N 4 = ∂ ∂ y y M 2 = ∂ ∂

⇒

S={(x,y)| 0 ≤ x ≤ 2, x2 _≤ _y_≤ _2x} Dengan:

∫

= 0 2 2 2 dx y x x

∫

− = 2 0 4 2 4x x dx 2 0 5 3 5 1 3 4 x x − = 15 64 5 32 3 32 = − = y=x2 (0,0) x S S 2

(32)

Latihan

1. Tentukan kerja yang dilakukan oleh medan gaya jˆ ) x e ( iˆ ) y x (sin ) y , x ( F = − + y − 2 r

dalam menggerakkan suatu obyek mengitari satu kali x2 _{+ y}2 _{= 4 dalam arah positif.}

2. Hitung

∫

+ C 2 dy y dx xy

2 dengan C kurva tertutup yang terbentuk oleh y = x/2 dan x = y2 _{antara (0,0) dan (4,2)}

3. Hitung

∫

xydx+(x+ y)dydengan C segitiga yg titik-titik sudutnya 3. Hitung

∫

+ + C dy ) y x ( dx

xy dengan C segitiga yg titik-titik sudutnya (0,0), (2,0), dan (0,1) 4. Hitung

∫

+ + + C 2 x 3 dy ) y sin x ( dx ) y 2 e

( dengan C persegipanjang yg titik titik sudutnya (2,1), (6,1), (6,4) dan (2,4)

5. Hitung

∫

2 + + 2 + dy ) y 3 x 2 ( dx ) y x 4 x ( dengan C ellips

(33)

Universitas Indonusa Esa Unggul Fakultas Ilmu Komputer

Teknik Informatika

Integral Permukaan

(34)

Luas Permukaan

Misalkan diketahui partisi permukaan G berupa grafik z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z

k ∇ ∇∇ ∇F γγγγ ∆T_i ∆S_i kˆ jˆ f iˆ f F dengan , kˆ F kˆ . F cos _i ∇ = _x + _y − ∇ ∇ = γ r r r G b a c d G_i R R_i γγγγ γγγγ γγγγ ∆R_i ∆S_i~ ∆T_i= ∆R_i sec γ_i

∆S_i = luas G_i dan ∆R_i= luas R_i= ∆x_i∆y_i Jadi S f f 1 R

1 f f sec 1 f f 1 1 f f 1 cos i 2 y 2 x i 2 y 2 x i 2 y 2 x 2 y 2 x i ∆ + + = ∆ + + = γ + + = + + − = γ

(35)

Contoh

Hitung luas permukaan G : z = x2 _{+ y}2 _{dibawah bidang z=4}

Z

G

z = 4

Jawab.

Bagian G yang dimaksud diproyeksikan pada daerah S (daerah yang dibatasi oleh lingkaran x2_+y2_=4).

x2_+y2₌₄

x

y

S

Misalkan f(x,y)=x2+y2. Maka didapat f_x= 2x, f_y=2y

∫∫

= + + = + + S S y x G dA y x dA f f dS 2 2 1 4 2 4 2 1 Sehingga luas permukaan G adalah

dengan S={(x,y)| -2≤ x ≤ 2, ≤y≤ 2 } 4 − x 2 4 − x − x2_+y2₌₄

(36)

Contoh (Lanjutan)

Dengan koordinat polar, batasan S berubah menjadi S={(r,

θ

)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤

θ

≤ 2

π

} Jadi

∫∫

= + + S G dA y x dS 4 2 4 2 1 π 2 2

∫ ∫

+ = π θ 2 0 2 0 2 ₁ 4r r dr d

(

)

∫

+ = π θ 2 0 2 0 2 / 3 2 ₁ 4 3 2 . 8 1 d r

(

)

π θ 2₀ . 1 17 17 12 1 − =

(

17 17 1

)

6 − = π

(37)

Latihan Luas Permukaan

1. Hitung luas permukaan G : z = x2 _{+ y}2 _{dibawah bidang}

z =4

2. Hitung luas permukaan G : yang tepat berada

z

=

4 −

y

2

di atas persegi panjang dengan titik sudut (1,0),(2,0), (2,1),(1,1)

3. Hitung luas permukaan G : silinder z2 _{+ x}2 _{= 16 di oktan}

I yang dipotong oleh bidang x =2, y = 1, y = 3

4. Hitung luas permukaan G : silinder z2 _{+ y}2 _{= 9 di oktan I}

(38)

Integral Permukaan

Misalkan g(x,y,z) terdefinisi pada permukaan G

z G c d ) z , y , x ( i i i Gi

Misalkan permukaan G berupa grafik z = f(x,y) atau F(x,y,z) = f(x,y) – z -Misalkan R proyeksi G pada bidang XOY

-Partisi R menjadi n bagian; R₁, R₂,…,R_n

-Pilih (x ,y )∈R dan (x ,y ,z )∈G x y b a c d ) y , x ( i i R R_i -Pilih

(partisi G yang bersesuaian dgn R) -Bentuk jumlah riemann

Integral permukaan dari g atas G

i i i i i i i,y ) R dan (x ,y ,z ) G x ( ∈ ∈ i i n 1 i i i i i,y ,z ) G , dengan G luasG x ( g ∆ ∆ =

∑

=

(39)

Integral Permukaan (2)

Dengan cara yang sama diperoleh

1. Jika permukaan G berupa grafik x = f(y,z), (y,z)∈ R (Proyeksi G pada bidang YOZ), maka

2. Jika permukaan G berupa grafik y = f(x,z), (x,z)∈ R

∫∫

= + + R 2 z 2 y G dA f f 1 ) z , y ), z , y ( f ( g dS ) z , y , x ( g

2. Jika permukaan G berupa grafik y = f(x,z), (x,z)∈ R (Proyeksi G pada bidang XOZ), maka

∫∫

= + + R 2 z 2 x G dA f 1 f ) z ), z , x ( f , x ( g dS ) z , y , x ( g

(40)

Contoh

1. Hitung

∫∫

G dS z , G adalah permukaan z = 4−x2 −y2 Jawab. 2 2 4 x y z = − −

⇒

z2 = 4 − x2 − y2 4 2 2 2 ₊ ₊ ₌ y x z

G bagian atas kulit bola dengan jari-jari 2.

2 2 Z x y 2 x2_+y2₌₄ R

R (proyeksi G pada XOY) berupa lingkaran x2_+y2_=4. 2 2 4 x y z = − −

(

₂ ₂

)

1/2 ₂ ₂ 4 2 . 4 2 1 y x x x y x f_x − − − = − − − = −

(

)

1 − y

Kita punya , maka

G

(41)

∫∫

= + + R y x G dA f f z dS z 2 2 1 Jadi

∫∫

− − ₋ ₋ = R dA y x y x2 2 ₂ ₂ 4 4 4

∫∫

= 2 dA

Contoh (lanjutan)

∫∫

R

dimana daerah R={(r,

θ

)|0 ≤ r ≤ 2, 0≤

θ

≤ 2

π

}, sehingga

∫∫

= R G dA dS z 2

∫ ∫

= π θ 2 0 2 0 2 r dr d = 8π

(42)

Latihan Integral Permukaan

1. Hitung , dengan G bagian kerucut z2 _{= x}2 _{+ y}2

di antara z = 1 dan z = 2

∫∫

G 2 2 dS z x 2. Hitung

a. g(x,y,z) = x2 _{+ y}2 _{+ z , dengan G: z = x+y+1, 0≤x≤1, 0≤y≤1}

∫∫

G dS ) z , y , x ( g

b. g(x,y,z) = x , dengan G: x+y+2z = 4, 0≤x≤1, 0≤y≤1

c. g(x,y,z) = x+y , dengan G: , 0≤x≤√3, 0≤y≤1

z

=

4 −

x

2

d. g(x,y,z) = , dengan G: z =x

₄

_x

2

+

₄

_y

2

+

₁

2_-y2_{, 0≤x}2_+y2_≤1