Integral Garis

INTEGRAL GARIS

INTEGRAL GARIS

Penghitungan integral kompleks merupakan dasar untuk memahami konsep-konsep topologi Penghitungan integral kompleks merupakan dasar untuk memahami konsep-konsep topologi ele

elemenmenter ter sepseperterti i kurkurva va mulmulus, us, linlintastasan an dan dan orioriententasi asi suasuatu tu lilintantasansan, , defdefiniinisi si dan dan carcara-ca-caraara menghi

menghitung integral garis. tung integral garis. Sebelum membicaSebelum membicarakan integral garis, rakan integral garis, terlterlebih ebih dahulu akan dahulu akan dibahadibahass kurva, kurva mulus, lintasan, dan orientasi suatu lintasan.

kurva, kurva mulus, lintasan, dan orientasi suatu lintasan.

1

1 KKuurrvvaa

Kurva (lengkungan) C di bidang datar dapat dinyatakan dalam bentuk parameter, Kurva (lengkungan) C di bidang datar dapat dinyatakan dalam bentuk parameter, yaitu  yaitu   b!.  b!. ,, "a "a tertutup tertutup selang selang  pada  pada kontinu kontinu y y dan dan # #  $i  $ikaka ,, disebut disebut C C Kurva Kurva  b!.  b!. ,, "a "a  pada  pada kontinu kontinu y y dan dan # # ,, ), ), (( dan dan )) (( dengan dengan  $  $ )) (( )) (( )) ((  mulus mulus kurva kurva b b tt a a tt y y y y tt x x x x tt y y ii tt x x tt F F C C

=

=

+

+

=

=

=

=

≤

≤

≤

≤

2 2   Lintasan  Lintasan .. ,, ... ... ,, ,, ,, ), ), ,, (( terbuka terbuka selang selang  pada  pada kotinu kotinu sehingga sehingga !! ,, "" selang selang dari dari % % ,, ... ... ,, ,, ,, & &  part  partiisisi  terdapat  terdapat  $i  $ikaka  bagi  bagian,an, demi demi  bag  bagiianan kontinu kontinu disebut disebut !! ,, ""   n n 3 3 2 2 1 1 ii x x x x f  f  b b a a x x x x x x x x   R  R  b b a a f  f  Fun!si Fun!si 1 1 "EFINISI "EFINISI 1 1 ii ii n n n n 1 1 # #

=

=

=

=

→

→

− − 'erdasarkan definisi

'erdasarkan definisi tersebut, kurva tersebut, kurva C C disebut kurva disebut kurva mulus bagian mulus bagian demi bagian demi bagian $ika di$ika di

dalam dalam ,, ), ), (( dan dan )) ((tt yy yy tt aa tt bb x x x x== == ≤≤ ≤≤ berlak

berlaku u # # dan dan y y kontinkontinu u bagian bagian demi demi bagian bagian padapada "a

"a,b,b!. !. KuKurvrva a mumululus s babagigian an dedemi mi babagigian an didisesebubutt lintasanlintasan. . PaPada da kukurrva va C C dedengnganan

,, ), ), (( dan dan )) ((tt yy yy tt aa tt bb x x x x== == ≤≤ ≤≤   ti

  tititikk (x(a), y(a))(x(a), y(a))  dis  disebebutut titik pangkal kurva C titik pangkal kurva C  dan dan titititik k  (x(a), y(b))

(x(a), y(b)) disebutdisebuttitik ujung kurva C titik ujung kurva C ..

Kurva C disebut tertutup sederhana, $ika berlaku Kurva C disebut tertutup sederhana, $ika berlaku

 b)  b) ,, (a (a ,, setiap setiap untuk untuk )) )) y y(( ), ), (( (( )) )) y y(( ), ), (( (( )) ((ii xx tt₁₁ tt₁₁

≠

≠

xx tt₂₂ tt₂₂ tt₁₁ tt₂₂

∈

∈

)) )) y y(( ), ), (( (( )) )) y y(( ), ), (( (( )) ((iiii xx aa aa == xx aa bb 3

$ika C ditelusuri dari titik aal ke titik akhir maka interiornya terletak di sebelah kiri C, sebaliknyab%r'ri%ntasi n%!atif) *) Int%!ral Garis isalkan , ,  $ ) ( ) ( ) ( F t x t i y t y a t b C

=

+

≤

≤

adalah kurva mulus dan  M   permukaan terbatas yaitu paling sedikit terdefinisi padakurva C )

Kontruksi integral garis

+x y x , C ) , (

∫ 

. a 'uatlah partisi

∆

untuk selang "a,b! dengan titik pembagian b t t t t a

=

_#

<

₁

<

₂

<

...

<

_n

=

selang bagian ke-* dari partisi

∆

 adalah ! , "t_i-+ t_i dan  pan$ang partisinya

∆

 dengan n i t maks

∆

_i

≤

≤

=

∆

 . b Kurva C terbagi atasn bagian yaitu

, ... , , ... , , _{1 2 i-1 i n-1 n} 1 #        ) - Pilih , ... , , , , ) , (  n 3 2 1 i   + -_i

=

_{i i}

∈

_i−_{1 i}

=

. + idefinisikan $umlah 1 i i i i i i n 1 i x x x x + -,( , )

∆

,

∆

=

−

-∑

=   dimana i x  absis i   dan 1 i x - absis , ... , , , , i 1 2 3 n i−1

=

. % entukan

∑

= → ∆

∆

n 1 i i i i # , - + x lim ( , )

/ika limit ini ada, maka , terintegralkan padaC) alam kasus ,terintegralkan pada C. integral garis dari,/x.y0 pada Cdidefinisikan dengan

∑

∫ 

= → ∆

∆

=

n 1 i i i i # C x + -, lim +x y x ,( , ) ( , )

+x y x , C ) , (

∫ 

artinya proyeksi daerah di baah permukaan   , /x.y0 dan di atas

kurva C  pada bidang$4 yang menghasilkan daerah di atas sumbu)

) ( 0 . )) ( ), ( ( ) ) ( 0 ), ( ( ) , ( ) ( ) ( 0 . )) ( ), ( ( )) ( 0 ), ( ( ) , ( ) ( 1 maka C,  pada terbatas  permukaan ) , ( /ika . ,  $ ) ( ) ( ) (  mulus kurva iberikan      +t t y t y t x , t t y t x , lim +y y x , b +t t x t y t x , t t x t x , lim +x y x , a y x ,  b t a t y i t x t F C 3 "EFINISI C n 1 i i i i # C C n 1 i i i i # C

∫ 

∑

∫ 

∫ 

∑

∫ 

= ∆ = = ∆ = = ≤ ≤ + = = → ∆ = → ∆

2 3pabila lintasan integral yang diberikan bukan dalam bentuk parameter, tetapi berbentuk 

y  f/x0 dan x  !/y0 dengan titik aal /a.b0 dan titik akhir /-.+0 , maka dengan subtitusi diperoleh 

∫

∫ 

∫ 

∫

∫ 

∫ 

=

=

=

=

+ b -a C -a + b C +x y f  x f  x , +y y y ! , +y y x , ii +y y ! y y ! , +x x f  x , +x y x , i ) ( 0 . )) ( , ( ) ), ( ( ) , ( ) ( ) ( 0 . ) ), ( ( )) ( , ( ) , ( ) (

5) Sifat 6 sifat Int%!ral Garis

 ) , (x y +x , C

∫ 

(x(a), y(a))

-C

C

(x(b), y(b)) R  k  x y x , k  +x y x k, 3 a +x y x N +x y x , +x y x N y x , 2 a x y x , 1 a C C C C C C , d ) , ( ) , ( ) . ( ) , ( ) , ( ! ) , ( ) , ( " ) . ( ada d ) , ( maka  terbatas C dan kontinu  /ika ) . (

∈

=

+

=

+

∫

∫ 

∫

∫ 

∫ 

∫ 

b  M tetap, C dipandang sebagai variabel 1 isalkan kurva mulus

, ,  $ ) ( ) ( ) ( F t x t i y t a t b C

=

+

≤

≤

  maka1

/b)10 (#(a), y(a)) titik pangkal dari C dan (#(b), y(b)) titik u$ung dari C. Perubahant  dari a ke b menghasilkan orientasi dari C. Perubahan t dari b ke a. akan diperoleh kurva yang sama dengan orientasi yang  berlaanan.

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

∑

+

=

=

=

+

=

=

≤

≤

+

=

≤

≤

+

=

+ -) , ( ) , ( ) , ( ) . ( ) , ( -) , ( ) . ( . kan didefinisi sama Secara . maka , )) ( ), ( ( )) ( ), ( ( dengan , ,  $ ) ( ) ( ) (  dan , ,  $ ) ( ) ( ) (  /ika ) . ( 2 1 2 1 C C C C C C n 1 i 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 +x y x , +x y x , +x y x , * b +x y x , +x y x , 3 b C C C C C b y b x b y b x b t a t y i t x t F C b t a t y i t x t F C 2 b    . . ) , ( maka ,  pan$ang dan terbatas C , ) , ( setiap untuk ) , ( kontinu, /ika ) ( C k  +x y x , C kurva C C y x k  y x , , -C

≤

∈

≤

∫ 

C'nt'7 &

entukan integral garis terhadap kedua pengubah bagian fungsi ,/x.y0  2x 8 y2 _sepan$ang

kurva C  C18 C2 8 C3 dimana1

C1 & 'usur lingkaran x2 8 y2  * dengan orientasi negatife dari ( -4,5) ke ( 4,5 )

C2 & 6uas garis lurus dari ( 4,5 ) ke ( -4, -4 )

C3 & 6uas garis lurus dari ( -4, -4 ) ke ( -4,5 )

%ny%l%saian &

∫ 

∫ 

=

+

C 2 C +y +y y x ,( , ) (4 x  y )

∫ 

∫ 

∫ 

+

+

+

+

+

=

3 1 C 2 C 2 C 2 +y +y +y (4 ) (4 ) ) 4 ( 4  y  x  y  x  y  x

dengan C1 & x2 _{8 y}2 _{ * .} 4 4 -

→

x

di ubah dalam bentuk parameter, yaitu

 $ ) ( ) ( ) ( F t x t i y t C

=

+

 $ 4 4 ) ( F t -'st i sint C₁

=

−

sehingga diperoleh  x = 2 cos t   dan  y = - 2 sin t 

 berdasarkandefinisi 5.3 (b) maka dengan demikian diperoleh,

) ( 0 . )) ( ), ( ( ) , (x y +y , x t y t y t +t , C C

∫ 

∫ 

=

dt ) t cos 4 ( . )) (-4sin t ) t cos 4 ( 4 ( ) 4 ( 4 4 4

₌

₊

₋

+

_∫ 

∫ 

π   π   C +y y x dt ) t cos 4 ( . ) sin t 7 t cos 7 ( 4 4

−

+

=

∫ 

π   π   dt t) cos sin t 8 t cos 8 ( 4 4 4

−

−

=

∫ 

π   π   d(sin t) . t in s 8 dt 4t) cos + ( 7 4 4 4

∫ 

∫ 

−

−

−

=

π   π   π   π   π   π   π   π   4 9 4  t sin 9 8 4t sin 4 + t 7

_



+

_



−

_



_



−

=









₊

−









₋

₊

₊

₊

=

sin ) 9 8 ( ) 4 sin 9 8 ( ) 7 sin 4 + (4 7 ) 7 sin 4 + 4 ( 7 π   π   π   π   9 π   9π   5 7 8 -

+

−

=

π  π  π   7

-=

C2 & / 2.# 0 k% / 92. 92 0

4 5  , 4 4  , + 4 +  4 y

=

x

−

x

→

−

y

→

−

C

engan demikian diperoleh,

∫ 

∫ 

−

+

=

4 5 4 ) 4 ( ) , ( 4 +y y x +y y x , C

∫ 

−

+

+

=

4 5 4 ) y ) 4 y 4 ( 4 ( +y

∫ 

−

+

+

=

4 5 4 ) y 7 y 7 ( +y

∫ 

−

+

+

=

4 5 4 4) .d(y 4) y ( 4 5 9 4) y ( 9 + −









+

=









₊

₋

₊

=

9 9 4) 5 ( 9 + 4) 4 -( 9 + 8) ( 9 +

−

=

9 4 4

−

=

C3 & / 92. 92 0 k% / 92. # 0

aka persamaan garisnya, yaitu1

5 4 - , 4   9 x

−

y

→

C

engan demikian diperoleh,

∫ 

∫ 

−

+

=

5 4 4 ) 4 ( ) , ( 9 +y y x +y y x , C

∫ 

−

+

−

=

5 4 4 ) ) 4 ( 4 ( y +y

∫ 

−

+

−

=

5 4 4 ) 7 ( y +y 5 4 9 y 9 + 7y -−









₊

=









₊

₋

₊

=

(-4) ) 9 + (-7(-4) ) (5) 9 + (-7(5) 9 9 9 +:

−

=

9 + ;

−

=

/adi ,

∫ 

∫ 

=

+

C 2 C +y +y y x ,( , ) (4 x  y )

=

∫ 

+

+

∫ 

+

+

∫ 

+

3 1 C 2 C 2 C 2 +y +y +y (4 ) (4 ) ) 4 ( 4  y  x  y  x  y  x 9 + ; 9 4 4 -7

−

=

π   8 7

−

−

=

π  3rti dari

∫ 

+

C 2 +y ) 4 (  x  y 8 7

−

−

=

π 

adalah proyeksi daerah di baah   2x 8 y2 _{dan di atas C}

 pada bidang 4$:yang menghasilkan daerah di baah sumbu4)

S'al Lati7an) 1 <itunglah ) (x y +y +y y C

−

+

∫ 

 $ika 1

a C adalah busur parabola x  y2 _{dari /#.#0 ke/*.20} b C adalah garis lurus dari/*.20ke/#.#0

- C adalah garis lurus dari/#.#0ke/*.#0 dilan$utkan dari /#.*0 ke/*.20

/aaban

4 2 0 y x x = y2 Gambar (1.a) 4 2 O (0,0)  P (4,2)

x

y

4

+

=

x y Gambar (1.b) ) (x y +y +y y C

−

+

∫ 

=

∫ 

+

∫ 

(

−

) C C +y y x +y y ! ) ( "y x y +y C

−

+

=

∫ 

+y x C

∫ 

=

, subtitusi busur parabola x  y2

4 +y y C

∫ 

=

,karena integral terhadap dy maka batasnya dari # sampai 2

∫ 

=

2 # 2 +y y 9 + 2 # 3 y









=

9 8

=

/1)b0 Penyelesaian : =radien garis (m) > 4 + 7 4 7 5 4 5

₌

−

−

=

−

−

=

−

−

1 2 1 2 x x y y

aka persamaan garis 1

y  m x 2y x x y 4 +

_→

₌

=

[ ]

y * +y 2y +y x 2 #₂ 2 C 5

−

=

=

=

∫ 

∫ 

/1)-0 Penyelesaian :

4 2 0 4 x y Gambar (1.c) 2 2 C K  x y 0 Gambar (2) • _{=radien garis (m+) >} 5 7 5 7 5 5 5

₌

−

=

−

−

=

−

−

1 2 1 2 x x y y

aka persamaan garis 1 y > 5 • _{=radien garis (m4) >} 4 + 7 4 5 7 7 4

₌

−

₌

₋

−

−

=

−

−

1 2 1 2 x x y y

aka persamaan garis 1

) ( ₁ 1 m x x y y

−

=

−

) (x * 2 1 2 y

−

=

−

−

2 2 x 2 1 y

=

−

+

+

; 2y x * x 2 1 y

=

−

+

→

=

−

+

[

]

* ;y y +y ; 2y +y x 2 * 2 2 * C ) (

−

=

+

−

=

+

−

=

∫ 

∫ 

2 entukan integral garis fungsi M(x,y)= x+y sepan$ang lintasan C?K dengan C  garis dari /#.#0ke /2.#0 dan K garis dari/2.#0 ke/2.20)

 Penyelesaian : # +x K  # +y C 2 y # x K  2 x # # y C

=

=

≤

≤

=

≤

≤

=

 kurva  pada dan  kurva Pada , 4  , 

∫ 

∫ 

∫ 

=

+

+K  C K  C +x y x , +x y x , +x y x ,( , ) ( , ) ( , )

∫ 

+

=

C +x y x ) (

∫ 

=

2 # +x x 4 4 + 5

=









=

2 2 x

∫ 

∫ 

∫ 

=

+

+K  C K  C +y y x , +y y x , +y y x ,( , ) ( , ) ( , )

∫ 

+

=

K  +y y x ) (

∫ 

+

=

2 # +y y 2 ) ( < y 2y 2 2 4 + 5

=









+

=

3 entukan besarnya usaha yang dilakukan medan vektor (gaya).F(#,y) > (#?4y) i ? (#-y) =untuk memindahkan partikel sepan$ang kurva (lintasan) C yang diberikan dengan persamaan  # > cos

t, y > 7 sin t dengan 5 @t  @

π 

4  .

[

]

[

]

[

]

2 * 3 ;-'st *t 2sin2t ;t *sin2t -'s2t +t sint ; * -'s2t * ; -'s2t ; sin2t 2 +t -'st 1<sint t ;-'s t 1<sin sint *-'st +t *-'st *sint 2-'st 2sint ;sint 2-'st +y y x +x 2y x > * # * # * # 2 2 * # C ) ( ) . ( ) . ( ) )( ( ) )( ( ) -( ) (

−

−

=

−

+

−

−

−

−

=

−

+

+

−

+

−

=

−

+

−

−

=

−

+

−

+

=

+

+

=

∫ 

∫ 

∫ 

∫ 

π   π   π   π   π