INTEGRAL BIASA DARI VEKTOR INTEGRAL BIASA DARI VEKTOR
Misalkan
Misalkan
sebuahvektor yang bergantung pada variabel sebuahvektor yang bergantung pada variabel skalar tunggalskalar tunggal uu, dimana, dimana
kontinu dalam suatu selang yang ditentukan. kontinu dalam suatu selang yang ditentukan. Maka,Maka,
Disebut integral tak tentu dari R (u). Bila
Disebut integral tak tentu dari R (u). Bila terdapat sebuah vektor S(u) sehinggaterdapat sebuah vektor S(u) sehingga
(())
maka : maka :
(() )
Dimana
Dimana cc adalah vektor konstan sebarang yang tak tergantung pada u. Integral tentu antara adalah vektor konstan sebarang yang tak tergantung pada u. Integral tentu antara
limit-limit u = a dan u = b dalam hal demikian dapat ditulis limit-limit u = a dan u = b dalam hal demikian dapat ditulis
(() )
Integral ini dapat juga didefenisikan sebagai limit dari jumlah dalam cara yang analog dengan Integral ini dapat juga didefenisikan sebagai limit dari jumlah dalam cara yang analog dengan yang pada kalkulus integral elementer.
yang pada kalkulus integral elementer.
Contoh 1: Contoh 1:
Jika R(u) = (u
Jika R(u) = (u – – u u22)i + 2u)i + 2u33 j -3k, carilah j -3k, carilah
∫∫
Penyelesaian: Penyelesaian:∫∫
∫∫[[
]]
∫∫
∫∫
∫∫
Dimana c adalah vektor konstan
Contoh 2: Hitunglah
∫
Dengan mengintegrasi,∫
∫
Contoh 3: Jika
Carilah∫
Penyelesaian: Misalkan,
Maka,∫ ∫
∫
INTEGRAL GARISMisalkan r(u) = x (u) i + y (u) j + z (u)k, dimana r(u) adalah vektor posisi dari (x, y, z) mendefenisikan sebuah kurva C yang menghubungkan titik-titik P1 dan P2, dimana u = u1dan u = u2 untuk masing-masingnya.
Kita menganggap bahwa C tersusun dari sejumlah berhingga kurva-kurva dimana untuk masing-masingnya r(u) memiliki turunan yang kontinu.
Misalkan
sebuah fungsi vektor dari posisi yang didefenisikan dan kontinu sepanjang C. Maka integral dari komponen tangensial A sepanjang C dari P 1 ke P2, ditulis sebagai
Adalah contoh dari integral garis. Jika A adalah gaya F pada sebuah partikel yang bergerak sepanjang C, maka integral garis ini menyatakan usaha yang dilakukan oleh gaya. Jika C adalah kurva tertutup (yang mana kita anggap sebagai kurva tertutup sederhana, yakni kurva yang memotong dirinya sendiri), maka integral mengelilingi C sering ditunjukkan oleh
Dengan kata lain jika ada garis lurus yang menghubungkan
ke (x, y, z) maka integral yang mengelilingi C dapat ditunjukkan oleh:
Dalam aerodinamika dan mekanika fluida, integral ini disebut sirkulasi dari A mengelilingi C, di mana A menyatakan kecepatan dari fluida.
Pada umumnya, setiap integral yang dihitung sepanjang sebuah kurva disebut integral garis. Integral-integral demikian dapat didefenisikan dari segi pandangan limit-limit dari jumlah-jumlah seperti halnya integral-integral kalkulus elementer.
Contoh 4:
Jika A =
, hitunglah∫
dari (0, 0, 0) ke (1, 1, 1) sepanjang lintasan-lintasan C garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (1, 1, 1).
[
]
Penyelesaian:
Garis lurus yang menghubungkan (0, 0, 0) dan (1, 1, 1) dalam bentuk parametrik diberikan oleh x=t, y=t, z=t. Maka,
Contoh 5:
Jika A =
, hitunglah∫
dari (0, 0, 0) ke (1, 1, 1) sepanjang lintasan-lintasan C garis-garis lurus dari (1, 0, 0), kemudian (1, 1, 0) dan kemudian ke (1, 1, 1) Penyelesaian:
[
]
Sepanjang garis lurus dari (0, 0, 0) ke (1, 0, 0) y = 0, z = 0, dy = 0 sedangkan x berubah dari 0 hingga 1, maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah
|
Sepanjang garis lurus dari (1, 0, 0) ke (1, 1, 0), x = 1, z = 0, dx = 0, dz = 0, sedangkan y berubah dari 0 hingga 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah
Sepanjang garis lurus dari (1, 1, 0) ke (1, 1, 1) x = 1, y = 1, dx = 0, dy = 0 sedangkan z berubah dari 0 hingga 1. Maka integral sepanjang bagian lintasan ini adalah
|
Jumlahkan,∫
TEOREMAJika A =
pada semua titik dalam suatu daerah R dari ruang, yang didefenisikan oleh
, dimana
berharga tunggal dan memiliki turunan-turuna yang kontinu dalam R, maka1.
∫
tidak bergantung pada lintasan C dalam R yang menghubungkan P1danP2
2.
∮
mengelilingi setiap kurva tertutup C dalam RDalam hal demikian A disebut medan vektor konservatif dan
adalah potensial skalarnya. Sebuah medan vektor A adalah konservatife jika dan hanya jika
, atau juga ekivalen dengan A =
. Dalam hal demikian, A . dr = A1 dx + A2 dy + A3 dz = d
, suatu diferensial eksak.SOAL-SOAL
1. Dari Percepatan sebuah partikel pada setiap saat t ≥ 0 diberikan oleh
Jika kecepatan v dan pergeseran r adalah 0 pada t = 0, carilah v dan r pada setiap saat. Penyelesaian:
Dengan mengintegrasi,
∫ ∫ ∫
= 6 sin 2t i
–
4 cos 2t j +
Dengan mengambil v = 0 bila t = 0, kita peroleh 0 = 0i + 4j + 0k + c1 dan c1 = -4j. Maka v = 6 sin 2t i + (4 cos 2t – 4) + 8t2k
Sehingga,
Dengan mengintegrasi,
∫ ∫∫
Dengan mengambil r = 0 apabila t = 0, 0 = -3i + 0j + 0k + c2 dan c2 = 3i Maka, t = (3 – 3 cos 2t)i + (2 sin 2t – 4t)j +
2. Jika A =
, hitunglah∫
dari (0, 0, 0) ke (1, 1, 1) sepanjang lintasan-lintasan C x = t, y =
, z =
Penyelesaian:
[
]
Jika x = t, y =
, z =
, titik-titik (0, 0, 0) dan (1, 1, 1) masing-masingnya berhubungan dengan t = 0 dan t = 1, maka∫ [
]
∫
∫
|
3. Jika F=
, dimana
berharga tunggal dan memiliki turunan-turunan parsial yang kontinu, perlihatkan bahwa usaha yang dilakukan dalam menggerakkan sebuah partikel dari suatu titik
dalam medan ini ketitik lainnya
tidak bergantung pada lintasan yang menghubungkan kedua buah titik. Penyelesaian:Usaha yang dilakukan =
∫ ∫
∫
∫
∫
Jadi, integral hanya bergantung pada titik-titik
dan tidak pada lintasan yang menghubungkan mereka. Ini hanyalah benar jika
berharga tunggal pada semua titik-titik
.DAFTAR PUSTAKA
Purcel, Edwin J. 2003. Kalkulus Jilid 2. Jakarta : Erlangga Spiegel, Murray R. 1988. Analisis Vektor . Jakarta : Erlangga Stewart, James. 1998. Kalkulus Jilid 2. Jakarta : Erlangga http://www.docstoc.com/docs/56602798/analis_vektor
