2.1 Fungsi Vektor Kurva Vektor 29

112  Download (0)

Teks penuh

(1)

D

D

A

A

F

F

T

T

A

A

R

R

I

I

S

S

I

I

K

K

A

A

T

T

A

A

P

P

E

E

N

N

G

G

A

A

N

N

T

T

A

A

R

R

i

i

D

D

A

A

F

F

T

T

A

A

R

R

I

I

S

S

I

I

i

i

i

i

B

B

A

A

B

B

I

I

:

:

V

V

E

E

K

K

T

T

O

O

R

R

K

K

O

O

N

N

S

S

T

T

A

A

N

N

1

1

1.1 Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor 1 1.2 Aljabar Vektor 2

1.3 Vektor Posisi Dalam Bidang dan Ruang 4 1.4 Perkalian Antar Vektor 10

1.5 Penggunaan Vektor Dalam Geometri 20

B

B

A

A

B

B

I

I

I

I

:

:

F

F

U

U

N

N

G

G

S

S

I

I

V

V

E

E

K

K

T

T

O

O

R

R

2

2

8

8

2.1 Fungsi Vektor 28 2.2 Kurva Vektor 29

B

B

A

A

B

B

I

I

I

I

I

I

:

:

D

D

I

I

F

F

E

E

R

R

E

E

N

N

S

S

I

I

A

A

L

L

V

V

E

E

K

K

T

T

O

O

R

R

3

3

4

4

3.1 Derivatif atau Turunan dari Fungsi Vektor 34 3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektor 35

3.3 Gradien, Difergensi dan Curl 38

3.4 Penggunaan Gradien, Difergensi dan Curl 41

B

B

A

A

B

B

I

I

V

V

:

:

I

I

N

N

T

T

E

E

G

G

R

R

A

A

L

L

V

V

E

E

K

K

T

T

O

O

R

R

5

5

6

6

4.1 Integral Garis 56

4.2 Teorema Green 69

4.3 Medan Gaya Konservatif 76 4.4 Integral Luasan 84

4.5 Teorema Divergensi Gauss 100 4.6 Teorema Stokes 106

D

(2)

BAB I

V

V

E

E

K

K

T

T

O

O

R

R

K

K

O

O

N

N

S

S

T

T

A

A

N

N

1.1. Pengertian Tentang Vektor dan Notasi Vektor

Beberapa besaran (quantities) dalam fisika mempunyai besar (magnitude) dan arah (direction), sebagai contoh misalnya lintasan dan kecepatan sebuah obyek yang bergerak, gaya yang bekerja pada suatu benda, medan listrik maupun medan magnet suatu titik dan lain sebagainya. Besaran yang mempunyai besar dan arah disebut dengan vektor (vector). Sementara besaran yang hanya mempunyai besar (magnitude) saja seperti massa, waktu maupun temperatur disebut dengan skalar (scalar). Notasi vektor dan teknik-teknik dengan menggunakan analisis vektor sangat berguna untuk menjelaskan hukum-hukum fisika dan aplikasinya baik dalam bidang (dimensi dua = R2) maupun ruang (dimensi tiga = R3).Dalam penyajiannya sebuah vektor biasa digambarkan sebagai segmen atau ruas garis yang berarah sebagai berikut :

v

=

AB

=

AB

=

AB

A = titik pangkal (initial point) B = titik ujung (terminal point)

Panjang vektor

v

=

v

=

A

B

: menyatakan besarnya vektor atau

panjangnya vektor v

dan tanda panah dalam

AB

menyatakan arah vektor.

A

B

v

POKOK BAHASAN :

) Pengertian tentang vektor dan notasi vektor ) Aljabar vektor

) Vektor posisi dalam bidang dan ruang ) Perkalian antar vektor

(3)

Ada 3 jenis vektor :

a. Vektor Bebas (free vector) : vektor yang boleh digeser sejajar dirinya dengan panjang dan arah tetap.

b. Vektor meluncur (sliding vector) : vektor yang boleh digeser sepanjang garis kerjanya, misalnya gaya yang bekerja sepanjang garis lurus.

c. Vektor terikat (binding vector) : vektor yang terikat pada sistem koordinat yang menunjukkan posisi tertentu.

Kecuali bila digunakan untuk menyatakan letak atau posisi, pada umumnya orang bekerja dengan vektor bebas.

1.2. Aljabar Vektor Vektor nol (null vector)

Ditulis

0

adalah vektor yang panjangnya nol sehingga arahnya tak

tentu (karena ujung dan pangkalnya berimpit) Kesamaan 2 vektor

Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai panjang dan arah yang sama.

Kesejajaran 2 vektor

Dua vektor dikatakan sejajar atau paralel jika garis-garisnya sejajar, arahnya bisa sama atau berlawanan.

Vektor-vektor yang segaris merupakan vektor-vektor yang paralel. Penjumlahan vektor

Penjumlahan vektor bisa dilakukan dengan mengikuti aturan jajaran genjang atau aturan segi banyak (poligon)

Misalnya: a.

C

B

A

+

=

atau

A

B

A

B

C

A

C

(4)

b.

E

=

A

+

B

+

C

+

D

c.

A

+

B

+

C

+

D

+

E

=

0

Jumlah dari vektor-vektor yang merupakan sisi-sisi dari sebuah segi banyak tertutup selalu nol jika arah sisi-sisi tersebut berurutan.

Penggandaan vektor dengan skalar Jika m = besaran skalar

dan

A

= vektor yang panjangnya |

A

|

maka :

m

A

= vektor yang panjangnya m kali panjangnya

A

dan arahnya

sama dengan vektor

A

jika m positif, atau berlawanan

dengan arah vektor

A

jika m negatif

Pengurangan vektor

Pengurangan vektor dilakukan dengan menambahkan lawan dari vektor yang mengurangi

D

A

C

B

A

C

B

D

E

E

A

B

C

D

(5)

Jadi:

A

B

=

A

+

(

B

)

⇒ ⇒

C

=

A

B

Jika

A

=

B

maka

A

B

=

0

Hukum-hukum yang berlaku dalam Aljabar Vektor Jika

A

,

B

,

C

adalah vektor dan m, n adalah skalar maka

1.

A

+

B

=

B

+

A

(komutatif terhadap jumlahan)

2.

A

+

(

B

+

C

)

=

(

A

+

B

)

+

C

(asosiatif terhadap jumlahan)

3. Terdapat vektor

0

sehingga:

A

+

0

=

0

+

A

=

A

(ada elemen netral)

4. Terdapat vektor

A

sehingga:

A

+

(

A

)

=

0

(ada elemen invers)

5. (mn)

A

=

n

(

m

A

)

(asosiatif terhadap perkalian)

6.

m

(

A

+

B

)

=

m

A

+

m

B

(distributif terhadap perkalian)

7. (m + n)

A

=

m

A

+

n

A

(distributif terhadap perkalian)

8.

1

(

A

)

=

A

(ada invers dalam perkalian)

2.3. Vektor Posisi dalam Bidang dan Ruang Teorema Dasar Dalam Vektor :

Setiap vektor

C

pada bidang dapat ditulis secara tunggal sebagai

kombinasi linier sembarang 2 vektor

A

dan

B

yang tidak paralel dan bukan

vektor nol. Atau:

C

=

m

A

+

n

B

dengan m, n adalah skalar yang tunggal

A

B

A

B

B

A

(6)

Bukti : 2 1

OP

OP

OP

C

=

=

+

1

OP

paralel dengan

A

sehingga

OP

1=

m

A

C

=

m

A

+

n

B

2

OP

paralel dengan

B

sehingga

OP

2 =

m

B

Dalam hal ini m, n adalah skalar yang tunggal. Karena jika tidak tunggal maka

C

akan bisa ditulis sebagai berikut :

C

= m1

A

+ n1

B

=

C

= m2

A

+ n2

B

(m1 - m2)

A

+ (n1 - n2 )

B

= 0

Karena

A

dan

B

bukan vektor nol dan tidak paralel maka,

m1 - m2 = 0

⎯→

m1 = m2 n1 - n2 = 0

⎯→

n1 = n2

Teorema dasar ini juga berlaku untuk vektor-vektor dalam ruang (R3), sehingga untuk sembarang vektor

D

dapat ditulis :

D

= m1

A

+ m2

B

+ m3

C

dengan

A

,

B

dan

C

adalah vektor-vektor yang tidak paralel, bukan vektor

nol dan tidak sebidang.

Dua vektor

A

dan

B

dikatakan saling bergantung secara linier (dependent

linear) jika terdapat skalar m dan n yang tidak nol dan m

A

+ n

B

= 0

Kejadian ini akan terjadi jika :

1.

A

dan

B

merupakan vektor nol atau

2.

A

dan

B

paralel (sejajar)

A

1

P

P

2

P

O

B

C

(7)

Contoh :

Buktikan bahwa garis yang menghubungkan titik tengah dua sisi sebuah segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya sama dengan 1/2 dari panjang sisi ketiga tersebut.

M titik tengah

AC

N titik tengah

CB

CB

AC

AB

=

+

)

CB

AC

(

CB

AC

CN

MC

MN

21 2 1 2 1

+

=

+

=

+

=

=12

AB

sehingga

MN

//

AB

dan panjang

MN

= ½ panjang

AB

Vektor satuan (unit vector)

Vektor satuan adalah vektor dengan panjang 1 satuan panjang.

A

A

=

a

= vektor satuan dari

A

dan

A

=

A

a

Vektor basis satuan

Perhatikan suatu sistem koordinat XOY dalam R2 dan pilih 2 vektor satuan i dan j sebagai basis yang masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu x dan y positif dan berpangkal di O.

y

j

O i x

maka vektor i dan j disebut dengan vektor-vektor basis di R2

Di R3 : sebagai vektor basis yang sejajar dan searah dengan sumbu z dinyatakan dengan vektor k.

C

N M

(8)

z

k

i j y x

Vektor posisi

a. Vektor Posisi dalam R2

Jika

i

dan

j

adalah vektor-vektor basis di R2 yaitu vektor satuan yang

masing-masing sejajar dan searah dengan sumbu X dan sumbu Y dan berpangkal di titik 0 dalam R2.

Maka sembarang vektor

r

dari titik 0 ke titik P(x,y) dalam bidang XOY

selalu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor basis

i

dan

j

.

y ry j = y j P(X,Y)

r

j O i rx i = x i x Sehingga :

r

= rxi + ryj = x i + y j

rx

i

= x i ; ry

j

= y j disebut vektor-vektor komponen

rx = x

⎯→

komponen vektor

r

pada sumbu X (proyeksi

r

ke sumbu X)

ry = y

⎯→

komponen vektor

r

pada sumbu Y (proyeksi

r

ke sumbu X)

Vektor

r

= x i + y j disebut vektor posisi titik P , karena

komponen-komponennya merupakan koordinat yang menunjukkan posisi titik P. Panjang dari

r

= |

r

| =

x

2

+

y

2

(9)

b. Vektor Posisi dalam R3:

Vektor-vektor basis dalam R3 adalah vektor-vektor satuan i , j dan k yang masing-masing berimpit dan searah dengan sumbu-sumbu X, Y dan Z positif dan berpangkal di titik 0.

. z P(x,y,z)

r

k j y i O x

r

= x i + y j + z k merupakan vektor posisi dari titik P(x,y,z)

x = proyeksi

OP

ke sumbu X

y = proyeksi

OP

ke sumbu Y

z = proyeksi

OP

ke sumbu Z

Panjang dari

r

= |

r

| =

x

2

+

y

2

+

z

2

Secara umum untuk sembarang vektor

A

= Ax i + Ay j + Az k dalam R3 , berlaku : Panjang 2 z 2 y 2 x

A

A

A

A

A

=

=

+

+

Vektor satuan 2 z 2 y 2 x

A

A

A

A

a

+

+

=

z k Az i j Ay y x i Ax α β γ

(10)

Dengan :

Š Ax, Ay; Az disebut bilangan arah vektor

A

Š Sudut-sudut

Į

;

ȕ

;

Ȗ

yang dibentuk vektor

A

terhadap sumbu x, y, z positif

disebut arah vektor

A

Š Cosinus sudut-sudut tersebut disebut cosinus arah. dengan:

A

A

A

A

A

A

Į

cos

x 2 z 2 y 2 x x

=

+

+

=

A

A

A

A

A

A

ȕ

cos

y 2 z 2 y 2 x y

=

+

+

=

cos

2

Į

+

cos

2

ȕ

+

cos

2

Ȗ

=

1

A

A

A

A

A

A

Ȗ

cos

z 2 z 2 y 2 x z

=

+

+

=

Menyatakan Suatu Vektor Dalam Koordinat Tegak 1

OP

= x1i + y1j +z1k 2

OP

= x2i + y2j + z2k 2 1 2 1

P

OP

OP

P

=

= (x2i + y2j z2k) – (x1i + y1j z1k) = (x2 – x1)i (y2 – y1)j + (z2 – z1)k

Sembarang vektor

P

1

P

2 dalam sistem koordinat bisa dinyatakan

sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor basis dengan komponen-komponennya adalah komponen vektor posisi titik ujung dikurangi komponen vektor titik pangkalnya.

z

)

z

,

y

,

(x

P

1 1 1 1

)

z

,

y

,

(x

P

2 2 2 2 O

y

x

(11)

)

z

(z

)

y

(y

)

x

(x

P

P

1 2

=

2

1 2

+

2

1

+

2

1 = panjang vektor

P

1

P

2 SOAL-SOAL

1. Tentukan vektor satuan yang sejajar dengan jumlah (resultan) dari vektor-vektor

1

r

= 2i + 4j – 5k

2

r

= i + 2j + 3k

2. Tunjukkan bahwa vektor-vektor :

A

= 3i + 2j + k

B

= i + 3j + 5k

C

= 2i + j – 4k

akan membentuk sebuah segitiga 3. Ambil sembarang segi 4 ABCD

Titik-titik P, Q, R, S adalah titik-titik tengah sisi AB; BC; CD dan DA Buktikan bahwa PQRS menyusun suatu jajaran genjang.

(Cukup dengan membuktikan bahwa

PQ

=

RS

atau

QR

=

PS

)

1.4. Perkalian Antar Vektor

a. Hasil Kali Skalar (Dot product / Scalar Product)

Ditulis:

A

$

B

=

A

B

cos

ș

; θ = sudut antara vektor A dan B

"

"

-∠ ∠ $ $ B Q C R D S O P

(12)

Proyeksi

A

pada

B

Proyeksi

B

pada

A

• Sifat Hasil Kali Skalar : 1.

A

$ =

B

B

$

A

2. 2 2

A

0

cos

A

A

A

$

=

=

3.

A

$

(B

+

C)

=

A

$

B

+

A

$

C

4.

(A

+

B)

$

C

=

A

$

C

+

B

$

C

Dalam R3 :

1

k

k

j

j

i

i

$

=

$

=

$

=

(krn //)

0

i

k

k

j

j

i

$

=

$

=

$

=

(krn ⊥) Karena :

1

0

cos

i

i

i

i

$

=

=

0

90

cos

j

i

j

i

$

=

°

=

Jika: A = Axi + Ay j + Azk B = Bxi + By j + Bzk

k)

B

j

B

i

B

(

)

k

A

j

A

i

A

(

B

A

$

=

x

+

y

+

z

$

x

+

y

+

z z z y y x x

B

A

B

A

B

A

B

A

$

=

+

+

• Sudut Antar 2 Vektor : Karena

A

$

B

=

A

B

cos

ș

A

B

ș

cos

A

ș

ș

cos

B

B

A

ș

z

k

i

j

y

x

(13)

cos θ =

B

A

B

A

$

==> Contoh : A = 3i + 6j + 9k

B

A

$

= 3(-2) + (6)(3) + (9(1) = 21 B = -2i + 3j + k

A

=

3

2

+

6

2

+

9

2

=

3

14

B

=

2

2

+

3

2

+

1

2

=

14

2

1

42

21

14

.

14

3

21

B

A

B

A

ș

cos

= $

=

=

=

• Vektor-vektor Yang Tegak Lurus dan Vektor-vektor Yang Paralel

Ō Vektor-vektor yang tegak lurus (yaitu cos θ = 0) ––>

A

$

B

atau A ⊥ B

Atau jika : Ax Bx + Ay By + Az Bz = 0

Ō Dua vektor paralel jika komponen-komponennya sebanding atau jika : z z y y x x

B

A

B

A

B

A

=

=

• Hasil Kali Skalar Untuk Menghitung Usaha

Dalam fisika, usaha = gaya × jarak perpindahan Jika gaya dan jarak perpindahan tidak sejajar

ș.d

cos

F

W

=

=

F

$

d

Contoh : Diketahui :

F

= 2i + 2j – 4k adalah gaya yang bekerja pada benda yang

bergerak dari titik (1,0,1) ke titik (2,4,2)

Tentukan besarnya usaha yang dilakukan oleh gaya

F

lj = arc cos

B

A

B

A

$

ș

cos

F

F

d

ș

d

d

=

(14)

Jawab:

d

F

W

=

$

d

= (2–1)i + (4–0)j + 2(2–1)k = 2i + 4j + k

W = (2i + 2j – 4k)

$

(2i + 4j + k) = 4 + 8 – 4 = 8 satuan usaha b. Hasil Kali vektor (Cross Product / Vector Product

Ditulis:

A

×

B

=

C

hasilnya berupa vektor

Dengan

A

×

B

=

A

B

sin

ș

Arah dari

A

×

B

ditentukan berdasarkan aturan tangan kanan atau

sekrup putar kanan. Sifat hasil kali vektor: Š A × B ≠ B × A A × B = –(B × A) anti komutatif Š (kA) × B = k(A × B) = A (kB) Š A × (B + C) = (A × B) + (A × C) (A + B) × C = (A × C) + (B × C) Dalam R3

ș

sin

i

i

i

i

×

=

dengan cara yang sama

i × i = j × j = k × k = 0

1

90

sin

j

i

j

i

×

=

°

=

C

A

ș

C

A

B

ș

B

B

A

B

A

×

A

B

×

z

k

i

j

y

x

(15)

sehingga: i × j = k ; j × k = i; k × i = j j × i = -k ; k × j = -i ; i × k = -j Jika :

A

= Ax i + Ay j + Az k

B

= Bx i + By j + Bz k

A

×

B

= (Ax i + Ay j + Azk) × (Bx i + By j + Bzk) = (AyBz – AzBy) i – (AxBz – AzBx) j + (AxBy – AyBx) k atau:

A

×

B

= z y x z y x

B

B

B

A

A

A

k

j

i

dan

A

×

B

=

A

B

sin

ș

=

( )( ) ( )

A

$

A

B

$

B

A

$

B

2 Contoh :

A

= 2i – j + k

B

= i – 3j + 4k

A

A

$

= 22 + 32 + 42 = 6

B

B

$

= 2 + 3 + 4 = 9

k

5

j

7

i

)

1

6

(

k

)

1

j(8

3)

4

(

i

4

3

-1

1

1

-2

k

j

i

B

A

=

+

+

+

=

=

×

75

25

49

1

5

7

1

B

A

×

=

2

+

2

+

2

=

+

+

=

Aplikasi dari Hasil Kali Vektor Š Menghitung Torsi/Momen

Dalam mekanika momen/torsi dari gaya

F

terhadap titik Q didefinisikan

(16)

d

F

m

=

F

dengan

d = jarak (dalam arah ⊥)

antara titik Q ke garis gaya

F

Jika:

r

= adalah vektor yang menghubungkan titik Q ke titik

sembarang pada garis gaya

F

Maka d =

r

sin

ș

; θ = sudut antara

r

dengan

F

dan

r

F

ș

sin

r

F

m

=

=

×

Jika

m

=

M

, maka

M

=

F

×

r

= vektor momen dari gaya

F

terhadap titik Q

Contoh :

Tentukan vektor momen dari gaya F terhadap titik O Jawab:

F

= (4 – 2) i + (–2 –1) j + 0k = 2i – 3j + 0k

r

= (2 – 0) i + (1 – 0) j + 0k = 2i + j + 0k

'

y

r

F

'

'

'

x

0

(2,1)

(4,-2)

d

Q

d

Q

F

L

r

ș

ș

(17)

8k

6)

k(2

j(0)

i(0)

0

1

2

0

3

-2

k

j

i

M

=

=

+

+

=

8

64

M

=

=

c. Hasil Kali Skalar Tripel (Triple Scalar Product) Jika:

A

= Ax i + Ay j + Az k

B

= Bx i + By j + Bz k

C

= Cx i + Cy j + Cz k

k

B

B

A

A

j

B

B

A

A

i

B

B

A

A

C

A

y x y x z x z x z y z y

+

=

×

z y x y x y z x z x x z y z y

C

B

B

A

A

C

B

B

A

A

C

B

B

A

A

C

B

A

× $

=

+

= z y x z y x z y x

C

C

C

B

B

B

A

A

A

→ disebut hasil kali skalar triple, karena hasilnya merupakan skalar. Dalam hasil kali skalar tripel berlaku sifat:

1.

A

×

B

$

C

=

( )

B

×

C

$

A

=

( )

C

×

A

$

B

sehingga:

( )

A

×

B

$

C

=

A

$

( )

B

×

C

Nilai hasil kali ini hanya bergantung pada urutan siklus dari vektornya letak tanda

×

dan

$

nya tidak mempengaruhi hasilnya.

Jika urutan vektornya ditukar maka tandanya akan berubah. Sehingga:

C

A

B

C

A

B

C

B

A

×

$

=

×

$

=

$

×

2. Hasil kali skalar tripel:

A

× $

B

C

=

0

bila dan hanya bila

A

,

B

dan

C

(18)

Bukti:

a.

A

× $

B

C

=

0

A

,

B

dan

C

sebidang

Jika

A

× $

B

C

=

0

maka

A

×

B

C

atau

salah satu dari

A

,

B

atau

C

vektor nol

Berarti:

i. Apabila salah satu dari

A

,

B

atau

C

vektor nol, maka pasti

C

dan

B

,

A

sebidang

ii. Apabila

A

×

B

C

maka

C

bisa diletakkan sebidang dengan

B

dan

A

sehingga

A

,

B

dan

C

sebidang

b. Jika

A

,

B

dan

C

sebidang ⇒

A

× $

B

C

=

0

Jika

A

,

B

dan

C

sebidang, maka

A

×

B

C

sehingga

A

× $

B

C

=

0

• Arti Geometris Dari

A

×

B

$

C

Diberikan vektor

A

,

B

dan

C

A

=

OA

B

=

OB

C

=

OC

C B O A

B

A

P

=

×

B

A

×

= luas jajaran genjang OADB

C

B

(19)

ș

cos

C

= tinggi

C

di atas bidang OADB

Jadi

A

×

B

$

C

= volume bidang 6 (paralel epipedum) OADB – CEFG

yang disusun oleh

A

,

B

dan

C

Catatan:

Luas jajaran genjang OABC =

'

AA

OB

=

OB

OA

sin

ș

=

OB

×

OA

Contoh : Buktikan bahwa

( ) ( ) ( )

A

+ $

B

A

+

C

×

A

+

B

=

0

Bukti: Misalkan

A

+

B

=

u

v

C

A

+

=

Maka :

u

$

v

×

u

= volume paralel epipedum dengan sisi-sisi u, v, u

Karena kedua sisinya merupakan vektor yang sama maka ketiga vektor tersebut sebidang sehingga :

u

$

v

×

u

= 0

d. Hasil Kali Vektor Tripel (Triple Vector Product) Hasil kali vektor tripel adalah :

( )

A

×

B

×

C

( )

B

C

A

×

×

Tanda kurung diperlukan di sini karena nilai akan berubah jika letak kurangnya ditukar. Misalkan : (i × i) × j = 0 × j = 0 i × (i × j) = i × k = –j

A'

B

C

A

0 θ

)

(20)

Sifat Hasil Kali Vektor Triple : 1.

A

×

( )

B

×

C

( )

A

×

B

×

C

2.

A

×

( )

B

×

C

=

( )

A

$

C

B

( )

A

$

B

C

( )

A

×

B

×

C

=

( ) ( )

A

$

C

B

B

$

C

A

Contoh : 1. Jika:

A

= 2i + 2j – k

B

= i + j + k

C

= 3i + j – 2k Hitung :

( )

A

×

B

×

C

;

A

×

( )

B

×

C

Jawab: a.

k

j

i

k

j

i

k

j

i

B

x

A

4

3

)

2

2

(

)

1

2

(

)

1

2

(

1

1

1

2

2

2

=

+

+

=

=

k

j

i

k

j

i

k

j

i

C

x

B

x

A

10

10

10

)

9

1

(

)

12

2

(

)

4

6

(

2

1

3

4

3

1

)

(

+

=

+

+

+

+

=

=

b.

k

j

i

k

j

i

k

j

i

C

B

4

5

)

3

1

(

)

3

2

(

)

1

2

(

2

1

3

1

1

1

+

+

=

+

+

=

=

×

k

j

i

k

j

i

k

j

i

C

B

A

8

9

13

)

2

10

(

)

1

8

(

)

5

8

(

4

5

1

1

2

2

+

=

+

+

+

=

=

×

$

2. Buktikan :

A

×

[

A

×

(

A

×

B

)]

=

(

A

$

A

)(

B

×

A

)

Bukti : Misalkan

A

×

B

=

C

Maka

A

×

( )

B

×

C

=

( ) ( )

A

$

C

A

A

$

A

C

=

(

A

$

C

×

B

) ( )( )

A

A

$

A

A

×

B

(21)

=

0

( ) ( )( )

A

− $

A

A

A

×

B

=

− $

( )( )

A

A

A

×

B

=

( )( )

A

$

A

B

×

A

1.5. Penggunaan Vektor Dalam Geometri a. Persamaan Garis

Dalam R3:

Andaikan l sebuah garis yang melalui titik P1(x1,y1,z1) dan sejajar dengan sebuah vektor

v

= Ai + Bj + Ck. Maka l merupakan tempat kedudukan

semua titik P(x,y,z) sedemikian hingga

P

1

P

sejajar dengan

v

Jadi titik P (x,y,z) terletak pada garis l bila dan hanya bila

P

1

P

=

t

v

dengan t adalah suatu skalar. Atau: (x – x1)i + (y – y1) j + (z – z1) k = t (Ai + Bj + Ck) = t Ai + tBj + tCk Ini berarti :

=

=

=

tC

z

z

tB

y

y

tA

x

x

1 1 1

Persamaan parameter garis yang melalui titik (x1,y1,z1) dan paralel dengan vektor

v

.

tC

z

z

tB

y

y

tA

x

x

+

=

+

=

+

=

1 1 1 "

)

,

,

(

x

y

z

P

)

,

,

(

x

1

y

1

z

1

P

Ck

Bj

Ai

V

=

+

+

(22)

Atau:

Persamaan standard garis yang melalui titik (x1, y1, z1) dan paralel dengan

v

=

Ai

+

Bj

+

Ck

Dalam hal ini

v

= Ai + Bj + Ck disebut vektor arah garis l dan A, B, C

merupakan bilangan arah garis.

Jika salah satu dari A, B dan C nol Mis. A = 0 maka x – x1 = 0

x = x1

Persamaan standardnya ditulis :

C

z

z

B

y

y

1

1

=

; dan x = x 1 Contoh :

Tentukan persamaan garis melalui A ( 5,4,1) dan B (3, 1, 6) ⇒

Vektor arah garis

v

=

AB

= –2i – 3j + 5k

Misalkan titik sembarang pada garis adalah P(x1,y1,z1) dan titik tertentu yang terletak pada garis diambil titik A(5,4,1) maka

Persamaan standard garis:

5

1

z

3

4

y

2

5

x

=

=

Atau:

3

4

y

2

5

x

=

⇒ 3x – 2y – 7 = 0 ∴Persamaan standard garis:

5

1

z

3

4

y

=

⇒ 5y – 3z – 17 = 0

0

17

3

5

0

7

2

3

=

=

z

y

y

x

Persamaan parameter garis:

t

z

t

y

t

x

5

1

3

4

2

5

+

=

=

=

t =

C

x

x

B

x

x

A

x

x

1

=

2

=

3

(23)

Dalam R2 :

Jika suatu garis mempunyai gradien (bilangan/tangen arah) = m maka vektor arah garis : l = i + mj

b. Persamaan Bidang

Vektor

N

⊥ bidang W sehingga

N

disebut Vektor Normal dari bidang w Jika

N

= Ai + Bj + Ck

PQ

= (x – x1) i + (y – y1) j + (z – z1) k →

PQ

terletak pada bidang W

Sehingga

PQ

N

N

$

PQ

=

0

Atau:

→ Persamaan bidang melalui titik (x1, y1, z1) dengan normal bidang

N

=

Ai + Bj + Ck

Contoh :

1. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik-titik P(3,2,1) ; Q(4,1,5) ; R(2,4,3).

vektor

PQ

dan

PR

terletak

pada

bidang

k

2

j

2

i

PR

k

4

j

i

PQ

⎪⎭

+

+

=

+

=

k

j

6

i

10

2

2

1

4

1

1

k

j

i

PR

PQ

N

=

+

+

=

×

=

∴ Persamaan bidang: A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0 –10 (x – 3) – 6 (y – 2) + 1( z – 1) = 0 –10x – 6y + z + 41 = 0 A(x – x1) + B(y – y1) + C(z – z1) = 0

)

,

,

(

x

1

y

1

z

1

P

)

,

,

(

x

y

z

Q

N

W

)

(24)

Š Persamaan bidang dapat juga ditulis sebagai:

dengan

N

= Ai + Bj + Ck

2. Tentukan persamaan bidang yang melalui titik T (4,1,-2); tegak lurus pada bidang

u

= 2x + 3y + z = 8 dan

tegak lurus pada bidang

v

= x – y + 3z = 0

u

= 2x + 3y + z = 8 →

N

U= 2i + 3 j + k

v

= x – y + 3z = 0 →

N

V = i – j + 3k

Dicari bidang w yang ⊥ bidang

u

dan

v

, berarti

N

w ⊥

N

udan

N

V Atau

k

5

j

5

i

10

3

1

1

1

3

2

k

j

i

v

N

N

N

w u

=

+

+

=

×

=

Persamaan bidang w: 10(x – 4) – 5(y – 1) – 5(z + 2) = 0 10x – 5y – 5z – 45 = 0 2x – y – z = 9

c. Menentukan jarak titik terhadap suatu bidang

Diberikan sebuah titik P(r,s,t) yang berada di luar bidang V dengan V = Ax + By + Cz + D = 0 → Normal bidang

N

v= Ai + Bj + Ck Jika A ≠ 0 ⇒ Titik

⎛−

;

0

,

0

A

D

Q

terletak pada bidang tersebut.

tk

sj

i

A

D

r

QP

k

+

+

⎛ +

=

=

Ax + By + Cz + D = 0

(25)

P(r,s,t)

N

lj

k

d

Q(-D/A,0,0)

θ = sudut antara

N

dan

k

sehingga

d

=

k

cos

ș

N

k

N

d

d

N

k

N

k

N

$

=

cos

ș

=

=

$

sehingga: 2 2 2

C

B

A

Ct

Bs

A

D

r

A

d

+

+

+

+

⎛ +

=

atau

Jarak titik P(r,s,t) ke bidang Ax + By + Cz + D = 0

Contoh :

Tentukan jarak P(5,5,4) ke bidang ABC jika A = (2,4,2) B = (6,4,3) C = (0,5,1) ⇒

AC

= -2i + j + k

AB

= 4i + k Normal bidang

N

=

AB

×

AC

k

4

j

2

1

1

1

2

1

0

4

k

j

i

=

+

+

=

∴ Persamaan bidang ABC

2 2 2

C

B

A

D

Ct

Bs

Ar

d

+

+

+

+

+

=

(26)

–(x – 0) + 2 (y – 5) + 4 (z – 1) = 0 –x + 2y + 4z – 14 = 0

Jarak titik P(5,5,4) ke bidang –x + 2y + 4z – 14 = 0

21

14

6

!

10

5

16

4

1

14

)

4

(

4

)

5

(

2

)

5

(

1

d

d

=

+

+

+

+

+

+

=

=

=

21

7

d. Persamaan Garis sebagai Perpotongan Dua Bidang Diberikan bidang v dengan normal

N

v

Diberikan bidang w dengan normal

N

w

(w

v)

N

v

"

N

w

Jika bidang v dan w berpotongan pada satu garis maka vektor arah garis tersebut akan ⊥ dengan

N

v maupun

N

w

Sehingga jika vektor arah garis tersebut

"

maka

"

=

N

v

×

N

w

Contoh :

Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan bidang 2x + y – 2z = 5 dan 3x – 6y – 2z = 7

v = 2x + y – 2z =5 → Nv = 2i + j – k w = 3x + 6y – 2z =5 → Nw = 3i + 6j – 2k Vektor arah garis:

k

15

j

2

i

14

2

6

3

2

1

2

k

j

i

w

N

v

N

L

=

=

×

=

(27)

Ditentukan salah satu titik yang terletak pada perpotongan bidang. (i) 2x + y + 2z = 5 (ii) 3x – 6y – 2z =7 –––––––––––– – –x + 7y = –2 Misalkan diambil : y = 0 → –x = –2 x = 2 (i). 2(2) + 0 – 2z = 5 –2z = 5 – 4 z = – ½

Titik (2,0,-½ ) terletak pada garis potong 2 bidang.

Sehingga persamaan garis perpotongan kedua bidang :

15

z

z

0

y

14

2

x

12

=

=

e. Sudut Antara Garis dan Bidang Jika:

"

"

=

ai

+

bj

+

ck

vektor

arah

garis

0

D

Ck

By

Ax

v

bidang

normal

Ck

Bj

Ai

N

=

+

+

=

+

+

+

=

"

N

v) lj

φ

)

c

b

a

)(

C

B

A

(

Cc

Bb

Aa

N

N

ș

cos

2 2 2 2 2 2

+

+

+

+

+

+

=

=

"

"

$

sin φ = sin (90 – θ)

(28)

=

)

c

b

a

)(

C

B

A

(

Cc

Bb

Aa

ș

cos

2 2 2 2 2 2

+

+

+

+

+

+

=

Sehingga sudut antara garis

"

dengan vektor arah

"

=

ai

+

bj

+

ck

dengan

bidang v dengan normal bidang

N

v

=

Ai

+

Bj

+

Ck

adalah

)

c

b

a

)(

C

B

A

(

Cc

Bb

Aa

arcsin

2 2 2 2 2 2

+

+

+

+

+

+

=

φ

(29)

BAB II

F

F

U

U

N

N

G

G

S

S

I

I

V

V

E

E

K

K

T

T

O

O

R

R

2.1 Fungsi Vektor

Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau A(t), yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t.

Dalam R2, fungsi vektor A (t) biasa ditulis dengan, A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j

Dalam R3, fungsi vektor A(t) ditulis dengan, A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3(t) k

Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3 dikaitkan dengan suatu vektor A, maka A bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor sebagai berikut:

A(x,y,z) = A1(x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + A3 (x,y,z) k

Contoh fungsi vektor, misalnya persamaan dari gerakan bebas suatu partikel dalam ruang.

Jika setiap titik dalam suatu ruang (R3) dikaitkan dengan suatu vektor, maka ruang tersebut disebut medan vektor. Contoh medan vektor, misalnya aliran fluida (gas, panas, air dan sebagainya) dalam suatu ruangan.

Sembarang fungsi yang tidak dikaitkan dengan vektor disebut fungsi

skalar, dan suatu ruang yang setiap titiknya tidak dikaitkan dengan suatu

vektor disebut medan skalar.

Contoh medan skalar, misalnya temperatur sembarang titik dalam suatu ruang atau batang besi, pada suatu saat.

POKOK BAHASAN : ) Fungsi Vektor ) Kurva Vektor

(30)

2.2 Kurva Vektor

Sebuah kurva berarah C dalam sistem koordinat kartesius, bisa disajikan dalam bentuk fungsi vektor:

r(t) = [x(t), y(t), z(t)] = x(t)i + y(t)j + z(t)k

Pengambilan nilai t = to akan menunjuk suatu titik pada kurva yang posisinya ditentukan oleh vektor r(to), dengan koordinat x(to), y(to) dan z(to).

Bentuk penyajian kurva vektor seperti di atas disebut dengan penyajian parametric dari kurva C, dengan t sebagai parameternya. Dalam mekanika, parameter t ini biasanya menyatakan waktu dalam satuan detik.

CONTOH: – Penyajian kurva berarah sebagai fungsi vektor a. Persamaan Kurva Vektor yang berupa Garis Lurus

Dengan persamaan parameter garis lurus

Sembarang garis lurus l yang melalui titik A(a1, a2, a3) dalam ruang bisa disajikan dalam bentuk fungsi vektor:

Š r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k ; untuk t = 0 → t = t

dan 3 3 2 2 1 1

tb

a

)

t

(

y

tb

a

)

t

(

y

tb

a

)

t

(

x

+

=

+

=

+

=

dengan

a = a1i + a2j + a3k → vektor posisi titik A(a1, a2, a3) yang terletak pada garis l. b = b1i + b2j + b3k → vektor arah garis l

Jadi, persamaan di atas menyatakan persamaan suatu garis yang melalui titik A dengan vektor posisi r = a dan arahnya sesuai dengan arah vektor b. Jika vektor b adalah vektor satuan, maka komponen-komponennya akan merupakan cosinus arah dari arah

l. Dalam hal ini, | t | merupakan jarak setiap titik pada garis l

(31)

Contoh:

1. Kurva vektor yang berupa suatu garis lurus dalam bidang, yang melalui titik A(3,2) dengan gradien 1,

a = 3i + 2j b = i + j (garidien 1) sehingga: x(t) = 3 + t y(t) = 2 + t dan r(t) = x(t) I + y (t)j = (3+t)i + (2 + t)j

Atau bisa juga ditentukan sebagai berikut:

Persamaan garis yang melalui titik (3,2) dengan gradien 1 adalah :

y – 2 = 1(x – 3) → y = x – 1 Jika, x(t) = t

untuk t = 2 → t = t y(t) = t – 1

Maka r(t) = x(t)I + y(t)j = ti + (t – 1)j

2. Kurva yang berupa garis lurus melalui titik A(1,0,2) menuju titik B(3,-4,1)

Titik awal (1,0,3) ––→ a = i + 0j + 2j

Vektor arah garis b = (3 – 1)I + (– 4 – 0)j + (1 – 2)k = 2i – 4j – k x(t) = 1 + 2t y(t) = 0 – 4t z(t) = z – t r(t) = (1 + 2t) i – 4tj + (2 – t)k t = 0 → t = 1 b. Parabola (1). Parabola y = x2 ; -2 ≤ x ≤ 2

(32)

-2 2 y x 2

x

y

=

x(t) = t (x = t) y(t) = t2 (karena y = x2) Sehingga : r(t) = ti + t2j , dengan t = -2 → t = 2 (2). Parabola : y = x2 , z = 2 ; 0 ≤ x ≤ 2 ; di R3 x(t) = t ; t = 0 → t = 2 y(t) = t2 z(t) = 2 r(t) = ti + t2j + 2k c. Ellips/Lingkaran

Persamaan umum Ellips dalam koordinat kartesius:

c

z

,

1

b

y

a

x

2 2 2 2

=

=

+

di R3 2 z

(33)

z

y

x

1

1

dibawa ke bentuk parameter, dengan : x (t) = a cos t

y (t) = b sin t z (t) = c

sehingga bentuk fungsi vektornya menjadi: r(t) = a cos t i + b sin j + c k

Jika a = b = r, persamaan ellips diatas menjadi persamaan lingkaran:

1

r

y

r

x

2 2 2 2

=

+

atau x2+ y2= r2; z=c di R3 dan persamaan fungsi vektornya :

r(t) = r cos t i + r sin t j + c k

d. Helix Putar

Helix putar adalah suatu kurva yang berbentuk seperti spiral yang terletak pada silinder. Persamaan helix putar yang terletak pada silinder x2 + y2 = a2, dalam bentuk fungsi vektor adalah:

r(t) = cos i + a sin t j + ct k (c ≠0) Jika c > 0 → bentuk helix mengikuti sekrup putar kanan Jika c < 0 → bentuk helix mengikuti sekrup putar kiri Misalnya:

Persamaan helix r(t) = cos t i + sin t j + t k adalah persamaan dari helix putar kanan yang terletak pada silinder x2 + y2= 1 dan berjarak vertikal 2π, artinya jika dihubungkan dengan garis vertikal (sejajar

(34)

dengan sumbu z) maka jarak dua titik pada helix akan merupakan kelipatan 2π.

Z

Y

X

a. Helix putar kanan b. Helix putar kiri

Z

Y

(35)

Bab III

D

D

I

I

F

F

E

E

R

R

E

E

N

N

S

S

I

I

A

A

L

L

V

V

E

E

K

K

T

T

O

O

R

R

3.1 Derivatif Atau Turunan Aljabar Dari Fungsi Vektor

Fungsi vektor A(t) dikatakan diferensiabel di titik t jika nilai limit berikut:

(t)

A'

dt

d

ǻt

A(t)

ǻt)

A(t

0

ǻt

lim

+

=

=

ada

Dalam hal ini, vektor A’(t) disebut derivatif (turunan) dari vektor A(t) Jadi, jika A(t) = A1 (t) i + A2 (t) j + A3(t)k,

Maka

k

j

i

k

j

i

(t)

A'

(t)

A'

(t)

A'

dt

dA

dt

dA

dt

dA

(t)

A'

3 2  3 2 

+

+

=

+

+

=

Rumus-rumus untuk derivatif Fungsi Vektor:

skalar

atau

konstanta

(c

cA'

(cA)'

=

=

)

B'

A'

B)'

(A

+

=

+

B'

A

B

A'

B)'

(A

$

=

$

+

$

B'

A

B

A'

B)'

(A

×

=

×

+

×

)

C'

B

(A

C)

B'

A

(

C)

B

(A'

C)'

B

(A

=

+

+

Derivatif Parsial Fungsi Vektor

Untuk fungsi vektor yang komponen-komponennya terdiri dari dua variabel atau lebih, misalnya:

A(x,y,z) = A1(x,y,z)i + A2 (x,y,z) j + A3(x,y,z)k

maka, bisa ditentukan derivatif parsial dari A(x,y,z) terhadap x, y atau z sebagai berikut:

k

j

i

x

A

x

A

x

A

x

A

 2 3

+

+

=

k

j

i

y

A

y

A

y

A

y

A

 2 3

+

+

=

POKOK BAHASAN :

) Derivatif atau turunan dari fungsi vektor ) Interpretasi dari derifatif vektor

) Gradien, divergendi dan curl

(36)

k

j

i

z

A

z

A

z

A

z

A

 2 3

+

+

=

CONTOH:

Diberikan fungsi vektor:

φ (x,y) = a cos x i + a sin x j + y k

x

∂φ

= a sin x i + a cos x j

y

∂φ

= k

• Jika φ = fungsi skalar

A, B = fungsi vektor ; maka:

a.

A

dt

d

dt

dA

)

A

(

dt

d

φ

+

φ

=

φ

(A dan φ merupakan fungsi t)

b.

B

x

A

x

B

A

)

B

A

(

t

$

$

$

+

=

(A dan B merupakan fungsi x,

y dan z) c.

B

x

A

x

B

A

)

B

A

(

x

×

+

×

=

×

(A dan B merupakan fungsi x,

y, dan z) 3.2 Interpretasi Dari Derivatif Vektor

a. Interpretasi geometris

Jika C adalah kurva yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, maka:

1. Derivatif dari kurva C di P, atau

k

j

i

dt

z(t)

d

dt

y(t)

d

dt

x(t)

d

dt

r(t)

d

(t)

r'

=

=

=

+

merupakan vektor singgung (tangent vector) dari kurva C di P. 2. u =

r'

r'

………..

(37)

)

(

'

t

0

r

)

(

:

r

t

C

P

0

t

t

====

3.

=

b a

r'

$

r'

dt

i

panjang kurva C, ≤ t ≤ b (length of a

curve)

4.

=

t

a

r'

r'

dt

s(t)

$

panjang busur a ≤ t (arc length of a

curve)

CONTOH:

Diberikan fungsi vektor dari kurva yang berbentuk lingkaran sebagai berikut: r(t) = 2 cos t i + 2 sin t j 0 ≤ t 2 , maka:

a) vektor singgung dari kurva di t =

2

π

adalah

2

ʌ

t

t

cos

2

sin t

-2

(t)

r'

=

i

+

j

=

= -2i b)

i

i

i

i

=

=

=

2

2

-2

2

-u

c) Panjang busur lingkaran (keliling lingkaran):

=

+

2ʌ o 2 2ʌ o

dt

4cost

t

sin

dt

r'

r'

$

=

=

2ʌ o 2ʌ o

dt

4

dt

4

(38)

=

2t

2ʌo

=

b. Interpretasi dalam mekanika

Jika C adalah lintasan suatu benda yang dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor maka: ƒ

dt

t

dr

r

v

=

'

=

(

)

→ merupakan vektor kecepatan di suatu

titik t. ƒ

dt

ds

r'

r'

v

=

$

=

→ laju (speed) atau besarnya kecepatan

di sautu titik t.

ƒ a(t) = v'(t) = r''(t) vektor percepatan CONTOH :

1. Gerak Rotasi

Jika C : r(t) = R cos ωt i + R sin ωt j

⇒ persamaan gerak sebuah partikel P yang bergerak melingkar berlawanan dengan arah jarum jam.

• Vektor kecepatan di sembarang titik pada lintasan tersebut. v(t) = r'(t) = Rω sin ωt i + Rω cos ωt j

• Kecepatan sudut (kecepatan angular)

Ȧ

R

Ȧt

cos

Ȧ

R

Ȧt

sin

Ȧ

R

R

v

2 2 2 2 2 2

=

=

+

+

=

• Vektor percepatan = a = v' = –R ω2t i – R ω2 sin ωt j = - 2 r(t) Jadi,

| a | = | -ω r(t)| = ω2 R → percepatan centripetal (dengan arah menuju pusat lingkaran)

2. Tentukan persamaan lintasan partikel yang bergerak dengan vektor percepatan a = 2 i – 2 k, jika posisi awalnya dititik (-1,1,2) dan vektor kecepatan awalnya v(0) = j

(39)

+

+

=

+

+

+

+

=

dt

i

dt

j

dt

k

t

c

i

c

j

t

c

k

t

v

(

)

2

0

2

(

2



)

2

(

2

3

)

+

+

+

+

=

t

c

dt

i

c

dt

j

c

dt

k

t

r

(

)

(

2



)

2

(

2

3

)

k

c

t

c

t

j

c

t

c

i

c

t

c

t

)

(

)

(

)

(

3 6 2 5 2 4  2

+

+

+

+

+

+

+

=

Kecepatan awal :

v

(

0

)

=

(

0

+

c



)

i

+

c

2

j

+

(

0

+

c

3

)

k

=

j

c



=

0

,

c

2

=



,

c

3

=

0

k

t

j

i

t

t

v

(

)

=

2

+

2

Posisi awal :

r

(

0

)

=

i

+

j

+

2

k

r

(

0

)

=

(

0

2

+

c



.

0

+

c

4

)

i

+

(

c

2

.

0

+

c

5

)

j

+

(

0

2

+

c

3

.

0

+

c

6

)

k

=

c

4

.

i

+

c

5

.

j

+

c

6

.

k

=

i

+

j

+

2

k

c

4

=



,

c

5

=



,

c

6

=

2

k

t

j

t

i

t

t

r

(

)

=

(

2



)

+

(

+



)

+

(

2

+

2

)

3.3 Gradien, Divergensi Dan Curl

Didefinisikan suatu operator vektor ∇ (dibaca del atau nabla) sebagai berikut:

k

j

i

k

j

i

z

y

x

z

y

x

+

+

=

+

+

=

Jika φ = φ (x,y,z) adalah fungsi skalar, dan

A = (x,y,z) = A1 (x,y,z) i + A2 (x,y,z) j + A3(x,y,z)k

adalah fungsi vektor yang mempunyai turunan pertama yang kontinu di suatu daerah.

Maka :

1. GRADIEN dari φ (x,y,z) didefinisikan dengan

grad

φ

=

φ

=

⎟⎟

⎜⎜⎝

+

+

z

k

y

j

x

i

=

z

)

,

,

(

y

)

,

,

(

x

)

,

,

(

φ

+

φ

+

φ

x

y

z

k

z

y

x

j

z

y

x

i

=

x

y

z

i

x

y

z

j

x

y

z

k

z

)

,

,

(

y

)

,

,

(

x

)

,

,

(

φ

+

φ

+

φ

Figur

Memperbarui...

Referensi

Memperbarui...

Related subjects :