INTEGRAL TERTENTU. 5.1 Pengertian Integral Tertentu

INTEGRAL TERTENTU

5.1 Pengertian Integral Tertentu Definisi 5.1.1

Partisi P pada interval [a,b] adalah suatu subset berhingga P = {x0, x1, x2, …, xn} dari [a,b] dengan a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b.

Jika P = {x0, x1, x2, …, xn} partisi pada [a,b] maka Norm P, ditulis P , didefinisikan sebagai P = max{xi – xi-1⏐1 = 1, 2, 3, …, n}.

a = x0 x1 x2 … xn = b. Contoh 1:

Pada interval [–3, 3], suatu partisi P = {–3, –_{1 , –2}1 2 1 _, 3 1_{, 2, 3}mempunyai norm:} P = max{–_{1 – (–3), –2}1 2 1 _{– (–} 2 1 1 ),₃1 _{– (–} 2 1 _{), 2 –} 3 1_{, 3 – 2}} = max{₂3_{, 1,} 6 5_, 3 5_{, 1}} = ₃5 .

Jika f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], P = {x0, x1, x2, …, xn} suatu partisi pada [a,b], wi ∈ [xi-1, xi], dan Δxi = xi – xi-1, maka disebut Jumlah Riemann f pada [a,b].

∑

= Δ n i i i x w f 1 ) ( w1 w2 w3 w4 wi wn x0 = a x1 x2 x3 x4 xi-1 xi xn-1 b = xn-1 y = f(x)

5

Contoh 2:

Fungsi f pada [–3, 3] didefinisikan dengan f(x) = x2 – 1 dan P = {–3, –_{1 , –2}1 2 1 _,

3

1_{, 2, 3} partisi}

pada [–3, 3]. Dipilih titik-titik: w1 = –2, w2 = –2 1 _{, w} 3 = 0, w4 = 2 1 1 , w5 = 3 2 2 . w1 = –2 ⎯→ f(w1) = 3 Δx1 = 2 3 ⎯→ f(w 1).Δx1 = 2 9 w2 = –2 1 ⎯→ f(w 2) = –4 3 Δx 2 = 1 ⎯→ f(w2).Δx2 = –4 3 w3 = 0 ⎯→ f(w3) = –1 Δx3 = 6 5 ⎯→ f(w 3).Δx3 = –6 5 w4 = 2 1 1 ⎯→ f(w4) = 4 5 Δx 4 = 3 5 ⎯→ f(w 4).Δx4 = 12 25 w5 = 3 2 2 ⎯→ f(w5) = 9 55 Δx 5 = 1 ⎯→ f(w5).Δx5 = 9 55

Jumlah Riemann fungsi f tersebut pada interval [–3, 3] bersesuaian dengan partisi P di atas

adalah

∑

= = Δ 5 1 ) ( i i i x w f 9 100 . Jika P = {–3, –_{1 , –1, –2}1 2 1 _, 3 1_{, 2, 2} 2

1 _{, 3} partisi pada [–3, 3] dan w}

1 = –2, w2 = –1, w3 –= 2 1 _, w4 = 0, w5 = 2 1 1 , w6 = 3 1_{, serta w} 7 =

2 ₄3 _{tentukan jumlah Riemann fungsi f pada [–3, 3]}

bersesuaian dengan partisi P ini.

2

Definisi 5.1.2

1. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] maka: f w x L

n i i i P

∑

Δ = = → 1 0 ( )

lim jika dan hanya jika untuk setiap bilangan positif ε terdapat bilangan positif δ sehingga untuk setiap partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b] dengan P < δ, berlaku

∑

= − Δ n i i i x L w f 1 ) ( < ε. 2. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan

∑

= → Δ n i i i P f w x 1 0 ( )

lim ini ada, maka limit tersebut dinamakan integral tertentu (Integral Riemann) fungsi f pada [a,b]. Selanjutnya f dikatakan integrable pada [a,b] dan integralnya ditulis

∫

.

b a dx x f( ) Jadi

∫

= b a dx x f( )

∑

= → Δ n i i i P f w x 1 0 ( ) lim

3. Jika f integrable pada [a,b] maka: a.

∫

= –

a b dx x f( )

∫

b a dx x f( ) b. Jika a = b maka

∫

= = 0 b a dx x f( )

∫

a a dx x f( )

Dari definisi 5.1.2 bagian 2 dapat dipahami bahwa jika , maka = 0 ) (x > f

∫

b a dx x f( )

∑

= → Δ n i i i P f w x 1 0 ( )

lim secara geometris menyatakan luas daerah di bawah kurva , di atas sumbu X, di antara garis x = a dan x = b.

) (x f y= Contoh 3: Jika f(x) = x + 3, tentukan

∫

. − + 3 2 ) 3 (x dx Penyelesaian: -3 -2 -1 0 1 2 3 Y f(x) = x + 3 3 Buat partisi pada [–2, 3] dengan menggunakan n

interval bagian yang sama panjang. Jadi panjang setiap interval bagian adalah Δx =

n 5

.

Dalam setiap interval bagian [xi-1,xi] partisi tersebut diambil wi = xi.

Akan dicari nilai

∑

= → Δ n i i i P f w x 1 0 ( ) lim . X x0 = –2 x1 = –2 + Δx = –2 + n 5 x2 = –2 + 2Δx = –2 + 2( n 5 ) x3 = –2 + 3Δx = –2 + 3( n 5 ) . : xi = –2 + i.Δx = –2 + i( n 5 ) . : xn = –2 + n.Δx = –2 + n( n 5 ) = 3

Karena untuk setiap i = 1, 2, 3, …, n dipilih wi = xi maka wi = –2 + i( n 5 )= –2 + n i 5 , sehingga

f(wi) = wi + 3 = (–2 + n i 5 ) + 3 = 1 + n i 5

Jadi jumlah Riemann fungsi f pada [–2, 3] bersesuaian dengan partisi P tersebut adalah

∑

= Δ n i i i x w f 1 ) ( =

∑

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n i n n i 1 5 5 1 =

∑

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n i n i n 1 5 1 5 =

∑

∑

= = + n i n i n i n n 1 1 5 5 1 5 =

∑

∑

= = + n i n i i n n 1 2 1 25 1 5 = 5( ) 25{₂1 ( 1)} 2 + + n n n n n = 5 + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n 1 1 2 25

Jika P → 0 maka n → ∞, sehingga:

∑

= → Δ n i i i P f w x 1 0 ( ) lim = _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + ∞ → _n n 1 1 2 25 5 lim = ₁₇ 1₂ Jadi

∫

= − + 3 2 ) 3 (x dx _{17 . 2}1 Contoh 4: Tentukan

∫

. b a dx Penyelesaian:

Dalam hal ini f(x) = 1 untuk setiap x ∈ [a,b]. Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b] dan sembarang titik wi ∈ [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, …, n, maka

∑

= Δ n i i i x w f 1 ) ( =

∑

dan Δxi = xi – xi-1 = Δ n i i x 1 . 1 =

∑

= − − n i i i x x 1 1) ( = (x1 – x0) + (x2 – x1) + (x3 – x2) + … + (xn – xn-1) = xn – x0 = b – a Jadi

∑

= → Δ n i i i P f w x 1 0 ( ) lim = lim( ) 0 b a P→ − = b – a Dengan demikian

∫

= b – a. b a dx

Teorema 5.1.3 (Teorema Fundamental Kalkulus)

Jika f integrable pada [a,b] dan F suatu anti turunan dari f pada [a,b] (atau F’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [a,b]), maka :

∫

= F(b) – F(a)

b

a

dx x f( )

F(b) – F(a) biasa ditulis

[

F(x)

]

b_a Bukti:

Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b]. Karena F’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [a,b] maka F’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, …, n. Berdasarkan teorema nilai rata-rata maka terdapat wi ∈ [xi-1, xi] sehingga

F(xi) – F (xi-1) = F’(wi) (xi – xi-1) = f(wi) (xi – xi-1) i = 1, 2, 3, …, n Diperoleh:

∑

= Δ n i i i x w f 1 ) ( =

∑

= − − n i i i i x x w f 1 1) )( ( =

∑

= − − n i i i F x x F 1 1)} ( ) ( { = {F(x1) – F(x0)} + {F(x2) – F(x1)} + {F(x3) – F(x2)} + … + {F(xn) – F(xn-1)} = F(xn) – F(x0) = F(b) – F(a)

∑

= → Δ n i i i P f w x 1 0 ( ) lim = lim{ ( ) ( )} 0 F b F a P→ − = F(b) – F(a). Jadi

∫

= F(b) – F(a) b a dx x f( ) Contoh 5

∫

− + 3 2 ) 3 (x dx =

[

₂1 2 ₃

]

3₂ − + x x = { (3)2 3(3)} {₂1( 2)2 3( 2)} 2 1 + − − + − ₌ 2 1 17 . Contoh 6

Tentukan integral berikut. 1.

∫

− 2 2 3 dx x 2.

∫

− π π dx x sin Teorema 5.1.4

Jika f integrable pada [a,b] dan c ∈ (a,b) maka

∫

= +

b a dx x f( )

∫

c a dx x f( )

∫

b c dx x f( ) Teorema 5.1.5 1.

∫

=

∫

k konstanta b a b a dx x f k dx x kf( ) ( ) 2.

∫

+ =

∫

+

∫

b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f( ) ( )} ( ) ( ) {

3. Jika f(x) ≥ 0 untuk setiap x ∈ [a,b] maka

_∫

≥ 0.

b

a

dx x f( )

4. Jika f(x) ≤ g(x) untuk setiap x ∈ [a,b] maka

_∫

≤

b a dx x f( )

∫

b a dx x g( )

5.2 Aplikasi Integral 5.2.1 Luas Daerah

Berdasarkan pengertian integral tertentu (Integral Riemann) pada definisi 5.1.2 dan uraian di atas dapat dipahami bahwa jika , maka secara geometris menyatakan luas daerah di antara kurva

0 ) (x > f ) (x

∫

b a dx x f( ) f

y= dan sumbu X serta dibatasi oleh garis-garis x = a dan x = b. Jadi

∫

= b a dx x f A ( ) Contoh 7

Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, sumbu X, garis x = –2 dan garis x = 3. Penyelesaian: A =

∫

= − + 3 2 ) 3 (x dx

[

₂1 2 ₃

]

3₂ − + x x = { (3)2 3(3)} {₂1( 2)2 3( 2)} 2 1 + − − + − ₌ 2 1 17 . Contoh 8

Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva , sumbu X, garis x = –2 dan garis x = 2.

3

x y=

Y

y= f(x)

y=g(x)

a b X

Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva y= f(x) dan serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di atas, maka luas daerahnya adalah sebagai berikut

) (x g y=

{

}

∫

−

=

b a

dx

x

g

x

f

A

(

)

(

)

b Contoh 9

Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y=x4 dan y=2x−x2. Penyelesaian:

Menentukan batas-batas dicari dengan menentukan akar-akar persamaan yang dapat kita temukan akar-akarnya adalah x = 0 dan x = 1.

2 4 2x x x = −

sehingga luasnya adalah A =

∫

− − = 1 0 4 2 ) 2 ( x x x dx 1 0 5 3 2 5 1 3 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ _{− −} x x x = 15 7 5 1 3 1 1− − = . 2 2x x y= − Y 4 x y= X 0

Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva x=

ϕ

( y) dan x=

ψ

( y) serta garis-garis y = c dan y = d seperti gambar di bawah ini, maka luas daerahnya adalah sebagai berikut

{

}

∫

−

=

d c

dy

y

y

A

ψ

(

)

ϕ

(

)

Y d x = ϕ(y) x = ψ (y) c X 0 Contoh 10

Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y2 =4x dan 4x− y3 =4. Penyelesaian:

4 3 4x− y=

Menentukan batas-batas dengan mencari akar-akar persamaan yang diperoleh y = –1 dan y = 4. 4 3 2 = y+ y x y2 =4 ekuivalen dengan 2 4 1 y

x= dan 4x− y3 =4 ekuivalen dengan (3 4) 4 1 ₊ = y x Y 0 x y2 =4 X

sehingga luasnya adalah A =

∫

− ⎭⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{+ −} 4 1 2 4 1 ) 4 3 ( 4 1 dy y y =

∫

{

− − + 4 1 2 4 3 4 1 dy y y

}

= 24 125 .

5.2.2 Volume Benda Putar a. Metode Cincin Y 0 y = f(x) a x_i−1 wi x_i b X f(wi)

Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu X, garis-garis x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda putar yang terjadi dapat dicari sebagai berikut.

Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, …, n dipilih satu

titik wi ∈ [xi-1, xi], selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang f(wi) dan lebar

Δxi = xi – xi-1. Jika persegi panjang ini diputar terhadap sumbu X, maka diperoleh silinder

hampiran dengan volume

{

i

}

i i f w x V = Δ Δ 2 ) (

π

f(xi) Δxi

Akibatnya diperoleh jumlahan Riemann

{

}

∑

∑

= = Δ = Δ n i i i n i i f w x V 1 2 1 ) (

π

{

}

∑

= → Δ = n i i i P X f w x V 1 2 0 ( ) lim

π

= =

∫

{

}

b a dx x f( ) 2

π

_∫

b

{

}

a dx x f( ) 2

π

Jadi Jadi

{

}

∫

= b a X f x dx V =

π

∫

{

( )

}

2 b a X f x dx V

π

( ) 2

Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh dua kurva

Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh dua kurva yy ff (x(x))

π

= dan

serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah

) (x g y=

{

} {

}

[

]

∫

− = b a X f x g x dx V

π

( ) 2 ( ) 2 0 a b X Y y = f(x) y = g(x)

Dengan cara sama, jika daerah yang dibatasi kurva x = ϕ(y), sumbu Y, garis-garis y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda putar yang terjadi adalah.

{

}

∫

= d c Y y dy V

π

ϕ

( ) 2

Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva x=

ψ

( y) dan x=

ϕ

( y)

serta garis-garis y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah

{

} {

}

[

]

∫

− = d c Y y y dy V

π

ψ

( ) 2

ϕ

( ) 2 Contoh 11

Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva

x

y= , sumbu X dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu X.

Penyelesaian: x y= Y X 0 4

{ }

∫

= 4 0 2 dx x V_X

π

=

π

π

8

π

2 1 4 0 2 4 0 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ =

∫

xdx x Contoh 12

Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva , sumbu Y dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu Y.

3 x y= Penyelesaian: 3 _y x= Y X 0 3

Karena y=x3 maka _x=3 _{y, sehingga}

{ }

π

π

π

π

5 9 9 5 3 ₃5 3 3 0 3 0 2 3 3 2 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = =

_∫

y dy

_∫

y dy y V_Y

Contoh 13

nda putar yang terjadi apabila dae

Tentukan volume be rah tertutup yang dibatasi oleh dua kurva diputar mengelilingi sumbu X.

Penyel

Dapat dicari bahwa perpotongan kedua kurva adalah di (0, 0) dan (2, 4). Jika aka 2 x y= dan y2 =8x esaian: x y2 =8 x y= 8

m . Perhatikan gambar berikut.

{ }

{ }

[

]

π

[

]

π

π

π

8 8 4 1 48 2 5 2 2 4 2 2 2 2 = ⎤ ⎡ ₋ = − = − =

_∫

x x dx

_∫

x x dx x x V

entukan pula apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu Y.

benda pejal (ruang antara tabung besar dan kecil) adalah 5 5 ₀ 0 0 ⎢⎣ ⎥⎦ X T

b. Metode Kulit Tabung

Perhatikan gambar di samping. Volume h ) r r V =(

π

₂2 −

π

₁2 h r r ) ( ₂2 − ₁2 =

π

h r r r r )( ) ( ₂ + _{1 2} − ₁ =

π

h r r r r_{2 1} − ⎞ ⎛ + =

π

( ) 2 2 ⎟ _{2 1} ⎠ ⎜ ⎝

Rumusan ini dapat ditulis sebagai

V=2

π

rhΔr dengan 2 1 2 r r r = + dan Δr=r₂ −r₁

Misalkan diketahui daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X serta garis-garis x = a dan x = b. Apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putarnya, maka volume benda putar yang terjadi dapat dicari sebagai berikut.

titik

Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, …, n dipilih satu 2 1 − + = i i i x x

w ∈ [xi-1, xi], selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang f(wi) dan

dan lebar Δxi = xi – xi-1. Jika persegi panjang ini diputar terhadap sumbu Y, maka diperoleh

tabung hampiran dengan volume

i i i i w f w x V = Δ Δ 2

π

( ) Akibatnya diperoleh jumlahan Riemann

Apabila

∑

∑

n Δ = n

π

Δ = = i i i i i i w f w x V 1 1 ) ( 2

P → 0 maka diperoleh volume benda putar yang dim ksud, yaitu a

∑

= → Δ = f n i i i i P Y w w x V 1 0 ( ) lim 2

π

= Jadi a kurva

∫

b a dx x f x ( ) 2

π

∫

= Y x f x dx V 2

π

( ) b a

Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh du y= f (x) dan serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di bawah ini diputa

sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah

]

serta garis-garis y = c dan y = d i

sumbu putarnya, maka volume

) (x g y= r mengelilingi

[

∫

− = b Y x f x g x dx V 2

π

( ) ( ) a

oleh kurva x = ψ(x), sumbu Y Dengan cara sama, misalkan diketahui daerah dibatasi

Y

. Apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X sebaga benda putar yang terjadi adalah

∫

= d c X y y dy V 2

π

ψ

( ) y = f(x) y = g(x) 0 a b Δxi X c d Y X 0 y = ψ (x)

Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva x=

ψ

( y) dan x=

ϕ

( y)

serta garis-garis y = c dan y = d seperti gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah

Tentukan volum dibatasi oleh kurva

[

]

∫

− = d c X y y y dy V 2

π

ψ

( )

ϕ

( ) c d Y 0 x = X ϕ(y) x Contoh 14

e benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang

x

y= 1 , sumbu X, dan garis x = 1 diputar mengelilingi sumbu Y.

Penyelesaian:

π

π

π

π

3 28 3 2 2 2 1 2 4 1 2 3 4 1 2 1 4 1 = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = =

_∫

dx

_∫

x dx x x x V_Y Contoh 15

Diketahui suatu daerah tertutup dibatasi oleh kurva garis x t

Dalam hal ini >0

r

y= , sumbu X, dan garis x = t.

r dan t >0. Jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X, tentukan olume benda yang terjadi dengan dua cara.

v

aian:

Dengan metode cincin Penyeles Cara I

∫

_⎭⎬⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = t X x dx t r V 0 2

π

X x t r y= Y 0 t r

∫

= t x dx t r 0 2 2 2

π

t x t r 0 3 2 2 3 1 ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ =

π

t r2 3 1

_π

= Cara II

Dengan metode kulit tabung. Karena x t r y= y r t x= , maka

∫

− = r X y dy r t t y V 0 ) ( 2

π

∫

− = r y dy r y t 0 2 ) 1 ( 2

π

r y r y t 0 3 2 3 1 2 1 2 _⎢⎣⎡ − _⎥⎦⎤ =

π

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ = 2 2 3 1 2 1 2

π

t r r t r2 3 1

_π

= 5.2.3 P n parameter x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b. Panjang kurva tersebut dapat dicari sebagai berikut.

X

anjang Kurva

Misalkan suatu kurva mulus diberikan oleh persamaa

y r t x= Y 0 t r x = t y t−_rt

Dibuat partisi P = {t0, t1, t2, …, tn} pada [a,b] dengan a = t0 < t1 < t2 < … < tn = b, maka

kurva akan terbagi menjadi n bagian oleh titik-titik Q0, Q1, Q2, …, Qn-1, Qn. Perhatikan gambar

berikut.

Pada bagian ke i, panjang busur Qi-1Qi , yaitu Δs_i dapat didekati oleh . Dengan Pythagoras

kita peroleh i w Δ i w Δ = (Δx_i)2+(Δy_i)2

[

] [

]

2 1 2 1) ( ) ( ) ( ) ( − ₋ + − ₋ = f t_i f t_i g t_i g t_i

Selanjutnya berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata pada Derivatif tentu terdapat t ∈(t_i−1,t_i) dan demikian sehingga ) , ( ˆ _{ti 1 ti} t ∈ ₋ ) )( ( ' ) ( ) (t_i − f t_i−1 = f t_i t_i −t_i−1 f ) )( ˆ ( ' ) ( ) (t_i −g t_i−1 = g t_i t_i −t_i−1 g atau i i i i f t f t t t f( )− ( ₋₁)= '( )Δ i i i i g t g t t t g( )− ( ₋₁)= '(ˆ)Δ dengan Δt_i =t_i −t_i−1. Oleh karena itu diperoleh

[

]

2

[

]

2 ) ˆ ( ' ) ( ' _{i i i i} i f t t g t t w = Δ + Δ Δ

[

f ti

]

+

[

g ti

]

Δti = 2 2 ) ˆ ( ' ) ( '

dan panjang polygon dari segmen garis

[

]

[

]

∑

∑

= = Δ + = Δ n i i i i n i i f t g t t w 1 2 2 1 ) ˆ ( ' ) ( '

Apabila P → 0 maka diperoleh panjang kurva seluruhnya adalah

[

]

[

]

_∫

[

] [

]

∑

+ Δ = + = = → b a n i i i i P f t g t t f t g t dt L 2 2 1 2 2 0 ) '( ) '( ) ˆ ( ' ) ( ' lim Jadi

[

] [

]

∫

+ =b a dt t g t f L '( ) 2 '( ) 2 atau

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = b a dt dt dy dt dx L 2 2

Jika persamaan kurvanya adalah y = f(x) dengan a ≤ x ≤ b, maka

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =b a dx dx dy L 2 1

dan jika persamaan kurvanya adalah x = ψ(y) dengan c ≤ y ≤ d, maka

∫

+⎜⎜_⎝⎛ ⎟⎟_⎠⎞ =d c dy dy dx L 2 1 Contoh 16

Hitunglah keliling lingkaran x2 +y2 =r2. Penyelesaian:

Lingkaran tersebut dapat ditulis dalam persamaan parameter sebagai x = r cos t, y = r sin t dengan 0≤ t≤2

π

, sehingga r t

dt dx sin − = dan r t dt dy cos = . Akibatnya t dt rdt

[ ]

rt r π 2 0 2 =

∫

r t r L π

π

π 2 cos sin 2₀ 2 0 2 2 2 + = = =

_∫

Contoh 17

Penyelesaian:

Persamaan ruas garis PQ adalah 1 5 12 + = x y , sehingga 5 12 = dx dy

. Oleh karena itu

13 5 13 5 13 5 12 1 5 0 5 0 5 0 2 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

_∫

dx

_∫

dx x L Contoh 18

Menggunakan integral hitunglah panjang kurva 2 3 x y= dari (1, 1) dan (4, 8). Penyelesaian: 2 3 x y= , maka 2 1 2 3 x dx dy = . Oleh karenanya 63 , 7 8 13 10 27 8 4 9 1 27 8 4 9 1 2 3 1 2 3 2 3 4 1 2 3 4 1 4 1 2 2 1 ≈ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + =

_∫

x dx

_∫

x dx x L

Diferensial Panjang Busur

Misalkan f suatu fungsi yang dapat didiferensialkan pada [a, b]. Untuk setiap x∈(a,b)

didefinisikan s(x) sebagai

∫

+ = x a du u f x s( ) 1 [ '( )]2

maka s(x) adalah panjang kurva y = f(u) dari titik (a, f(a)) ke titik (x, f(x)), sehingga 2 2 1 )] ( ' [ 1 ) ( ' ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = = dx dy x f dx ds x s • • Y s(x) (x, f(x)) (a, f(a))

Oleh karenanya diferensial panjang kurva ds dapat ditulis sebagai dx dx dy ds 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

Selanjutnya hal ini dapat ditulis dalam bentuk-bentuk

dy dy dx ds 2 1 _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = atau dt dt dy dt dx ds 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

Untuk keperluan mengingat, dapat pula ditulis dalam bentuk: 2 2 2 ) ( ) ( ) (ds = dx + dy

5.2.4 Luas Permukaan Benda Putar

Kita mulai dengan mencari rumus untuk luas permukaan (selimut) kerucut terpancung. Misalkan jari-jari lingkaran alas kerucut terpancung adalah r1 dan jari-jari lingkaran atasnya r2 sedangkan panjang ruas garis pada pembangun kerucut antara dua lingkaran itu (rusuk kerucut terpancung) l, maka luas selimut kerucut terpancung itu adalah

l r r A ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = 2 2

π

1 2

Apabila sebuah kurva pada suatu bidang diputar mengelilingi sebuah garis pada bidang itu, maka hasilnya berupa permukaan benda putar dengan luas permukaan dapat dicari sebagai berikut.

Pemutaran terhadap sumbu X

Misalkan suatu kurva mulus pada kuadran pertama diberikan oleh persamaan parameter x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b. Dibuat partisi P = {t0, t1, t2, …, tn} pada [a,b] dengan

a = t0 < t1 < t2 < … < tn = b, maka kurva terbagi menjadi n bagian. Misalkan panjang kurva bagian ke i dan ordinat sebuah titik pada bagian ini. Apabila kurva itu diputar mengelilingi sumbu X, maka ia akan membentuk suatu permukaan dan bagian ini akan membentuk permukaan bagian. Luas permukaan bagian ini dapat dihampiri oleh luas kerucut terpancung, yaitu i s Δ i y i s Δ i i s yΔ

π

2 .

Apabila kita jumlahkan luas-luas ini dan kemudian mengambil limitnya dengan membuat

0 →

P , kita akan memperoleh hasil yang kita definisikan sebagai luas permukaan benda putar tersebut. Jadi luasnya adalah

∫

∑

Δ = = = → * * * 1 0 2 2 lim y s yds A n i i i P

π

π

Dengan menggunakan rumus A tersebut di atas, kita harus memberi arti yang tepat pada y, ds, dan batas-batas pengintegralan * dan **.

Misalkan apabila permukaan itu terbentuk oleh kurva y= f(x), a ≤ x ≤ b, yang diputar

mengelilingi sumbu X, maka kita peroleh untuk luasnya:

dx x f x f ds y A b a

∫

∫

= + = 2 * * * )] ( ' [ 1 ) ( 2 2

π

π

Contoh 19

Tentukan luas permukaan benda putar apabila kurva y= x, 0 ≤ x ≤ 4, diputar mengelilingi

Penyelesaian: Misalkan f(x) = x maka x x f 2 1 ) ( ' = , sehingga 18 , 36 ) 1 17 ( 6 ) 1 4 ( 3 2 4 1 1 4 2 1 1 2 2 3 4 0 2 3 4 0 4 0 2 ≈ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =

π

_∫

dx

π

_∫

x dx

π

x

π

x x A

Apabila persamaan kurva yang bersangkutan diketahui dalam bentuk persamaan parameter x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b, maka rumus untuk luas permukaan menjadi:

dt t g t f t g ds y A b a

∫

∫

= + = 2 2 * * * )] ( ' [ )] ( ' [ ) ( 2 2

π

π

Contoh 20

Tentukan luas permukaan benda yang terbentuk apabila suatu busur dari sikloid

π

2 0 ), cos 1 ( ), sin ( − = − ≤ ≤ =a t t y a t t

x diputar mengelilingi sumbu X.

Penyelesaian:

Y

0 2 X

Misalkan f(t)=a(t−sint)dan g(t)=a(1−cost), maka f '(t)=a(1−cost) dan , sehingga: t a t g'( )= sin dt t a t a t a A=

∫

− − + π

π

2 0 2 2 2 2 sin ) cos 1 ( ) cos 1 ( 2 dt t t a

∫

− − =

π

2π 0 2 cos 2 2 ) cos 1 ( 2 dt t a

∫

− =

π

2π 0 2 3 2 ) cos 1 ( 2 2

dt t a

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

π

2π 0 3 2 2 sin 8 dt t t a

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

π

2π 0 2 2 2 sin 2 cos 1 8 Dengan substitusi ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 cos t u maka du t ⎟dt ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = 2 sin 2 1 Untuk t = 0 → u = 1 Untuk t = 2π → u = –1 Jadi 2 1 1 3 2 1 1 2 2 3 64 3 1 16 ) 1 ( 16 a u du a u u a A=−

π

− =−

π

_⎢⎣⎡ − _⎥⎦⎤ =

π

− −

∫

Pemutaran terhadap sumbu Y

Analog:

Apabila sebuah kurva pada suatu bidang diputar mengelilingi sumbu Y, maka hasilnya berupa permukaan benda putar dengan luas permukaannya adalah:

∫

=** * 2 xds A

π

Contoh 21

Tentukan luas permukaan benda yang terbentuk apabila kurva x= a2 −y2, −a≤ y≤a

diputar mengelilingi sumbu Y. Penyelesaian: Misalkan x=g(y)= a2 −y2 maka 2 2 ) ( ' y a y y g − − = _a − a X X 0 sehingga

∫

∫

− − + − = = a a dy y a y y a ds x A _{2 2} 2 2 2 * * * 1 2 2

π

π

[ ]

∫

− − = = = a a a a a y a dy a 2 4 2 2

π

π

π

Dengan demikian luas permukaan bola dengan jari-jari a adalah 4πa2 .

5.2.5 Usaha atau Kerja

Dalam fisika kita tahu bahwa apabila ada gaya F yang konstan menggerakkan suatu benda sehingga bergerak sejauh d sepanjang suatu garis dengan arah gaya dan gerakan benda sama, maka kerja W yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah

W = F . d

Apabila satuan untuk F adalah pond an satuan jarak adalah kaki maka satuan kerja adalah kaki pond. Apabila gaya diukur dengan satuan dyne dan jarak dengan satuan sentimeter maka satuan kerja adalah dyne cm atau erg. Apabila gaya diukur dengan satuan Newton dan jarak dengan satuan meter maka satuan kerja adalah Newton meter atau joule.

Pada kenyataannya biasanya gaya itu tidak konstan. Misalkan sebuah benda digerakkan sepanjang sumbu X dari titik x = a ke titik x = b. Misalkan gaya yang menggerakkan benda tersebut pada jarak x adalah F(x) dengan F suatu fungsi kontinu. Untuk menentukan kerja yang dilakukan gaya tersebut dapat dicari sebagai berikut.

Interval [a,b] dibagi dengan menggunakan partisi P = {x0, x1, x2, …, xn}. Pada setiap interval bagian [xi-1, xi] gaya F dapat dihampiri oleh gaya konstan F(wi), dengan wi ∈ [xi-1, xi] untuk setiap i = 1, 2, …, n. Jika Δxi = xi – xi-1, maka kerja yang dilakuka gaya F pada interval bagian [xi-1, xi] adalah

ΔWi = F(wi) Δxi.

Jika dijumlahkan kemudian dicari limitnya untuk P →0 maka diperoleh kerja yang dilakukan gaya F pada interval [a, b], yaitu

∫

∑

Δ = = = → b a n i i i P F w x F x dx W lim ( ) ( ) 1 0 Jadi

∫

=b a dx x F W ( )

a. Aplikasi pada Pegas

Dengan menggunakan hokum Hooke yang berlaku dalam fisika, gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik (atau menekan) pegas sejauh x satuan dari keadaan alami adalah

F(x) = k.x

Di sini, k adalah konstanta dan disebut konstanta pegas yang nilainya positif dan tergantung pada sifat fisis pegas. Semakin keras pegas, maka semakin besar nilai k.

Contoh 22

Apabila panjang alami sebuah pegas adalah 10 inci. Untuk menarik dan menahan pegas sejauh 2 inci diperlukan gaya 3 pon. Tentukan kerja yang dilakukan gaya untuk menarik pegas itu sehingga panjang pegas 15 inci.

Penyelesaian:

Menurut hokum Hooke gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh x inci adalah F(x) = k.x. Dari sini dapat dicari nilai konstanta k. Diketahui bahwa F(2) = 3, sehingga 3 = k.2 atau

2 3 =

k . Oleh karena itu F x x

2 3 )

( = .

Apabila pegas dalam keadaan alami sepanjang 10 inci menyatakan x = 0, maka pegas dengan panjang 15 inci menyatakan bahwa x = 5, sehingga

75 , 18 4 75 2 3 5 0 = = =

_∫

xdx W

Jadi, kerja untuk menarik pegas itu adalah 18,75 inci pond.

b. Aplikasi pada Pemompaan Cairan

Dengan menggunakan prinsip-prinsip yang sama dapat dihitung kerja yang dilakukan pada pemompaan cairan.

Contoh 23

Sebuah tangki berbentuk kerucut lingkaran tegak penuh dengan air. Apabila tinggi tangki 10 kaki dan jari-jari lingkaran atasnya 4 kaki,

a. tentukan kerja untuk memompa air sehingga sampai tepi tangki

b. tentukan kerja untuk memompa air sehingga mencapai 10 kaki di atas tepi tangki.

10 – y y Y Y Δy 10 – y y Δy (4, 10) y 10 4 x y=₁₀4

Penyelesaian:

a. Letakkan tangki dalam system koordinat seperti tampak dlam gambar. Buatlah sketsa yang berdimensi tiga dan juga sketsa penampang dimensi dua. Misalkan air dimasukkan ke dalam kerucut-kerucut terpancung (horizontal),

Air ini harus diangkat sehingga mencapai tepi tangki. Perhatikan sebuah kerucut terpancung ke i dengan tinggi yang berjarak y dari puncak kerucut (puncak kerucut berada di bawah), memiliki jari-jari y Δ y 10 4

, maka ia mempunyai volume hampiran V y⎟ Δy

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Δ 2 10 4

π

dan

beratnya (gaya berat) F y⎟ Δy

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = 2 10 4

π

δ

, dengan δ = 62,4 adalah kepadatan air dalam satuan pon/kaki kubik. Gaya yang diperlukan untuk mengangkat air tersebut adalah sama dengan beratnya dan harus diangkat sejauh 10 – y. Jadi kerja ΔW adalah

) 10 ( 10 4 2 y y y W ⎟ Δ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = Δ

δ

π

Karenanya, apabila dijumlahkan kemudian dicari limitnya diperoleh

138 , 26 4 1 3 10 25 4 ) 10 ( 25 4 10 0 4 3 10 0 3 2 _≈ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ = − =

_∫

y y dy y y W

δ

π

δ

π

Jadi kerja untuk memompa air sehingga sampai ke tepi tangki adalah 26,138 kaki pond.

b. Seperti dalam a, sekarang air dalam kerucut terpancung harus diangkat 20 – y, sehingga 69 , 130 4 1 3 20 25 4 ) 20 ( 25 4 ) 20 ( 10 4 10 0 4 3 10 0 3 2 10 0 2 ≈ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ₋ = − = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

_∫

y y dy

_∫

y y dy y y W

δ

π

δ

π

δ

π