Pengertian Elastisitas dalam Fisika docx

Pengertian Elastisitas dalam Fisika

Istilah

elastisitas

mungkin sudah tidak asing lagi di telinga teman – teman. Dalam pelajaran

ekonomi teman – teman juga mengenal elstisitas, tetapi elastisitas salam fisika tentu berbeda

dengan elastisitas dalam ekonomi.

Dalam fisika sifat benda dibedakan menjadi dua, yaitu sifat plastis dan sifat elastis. Sifat

plastis yaitu sifat benda yang tidak bisa kembali kebentuk semula setelah gaya luar yang

diberikan pada benda tersebut dihilangkan. Sedangkan

Elastisitas

diartikan sebagai sifat

suatu bahan atau kemampuan suatu benda untuk kembali kebentuk semula setelah gaya luar

yang diberikan kepada benda itu dihilangkan.

Contoh elastisitas dalam kehidupan sehari – hari :

1. Anak-anak yang sedang bermain ketapel menaruh batu kecil pada karet ketapel dan

menarik karet tersebut sehingga bentuk karet berubah. Ketika anak tersebut melepaskan

tarikannya, karet melontarkan batu kedepan dan karet ketapel segera kembali kebentuk

awalnya.

2. Pegas yang ditarik kemudian dilepaskan maka pegas akan kembali ke bentuk semula.

Jika benda elastis diberi gaya dan gaya tersebut dihilangkan tetapi benda tidak dapat kembali

kebentuk semula, maka dikatakan benda tersebut telah melewati batas elastis. Batas elastis

diartikan sebagai jumlah maksimum tegangan yang dialami oleh suatu bahan untuk kembali

ke bentuk awalnya. Batas elastis bergantung pada jenis bahan yang

digunakan. Jika pada batas elastis benda terus menerus diberi gaya maka benda akan putus

atau patah. untuk lebih jelasnya perhatikan gambar di atas:

Tegangan, Regangan, dan Modulus Elastis

a. Tegangan

ketika sebuah benda diberi gaya pada salah satu ujungnya dan ujung yang lain ditahan. Maka

benda tersebut akan mengalami pertambahan panjang. Dalam fisika dikatakan benda

Tegangan = gaya / luas

σ = F/ A

Tegangan merupakan besaran skalar dan sesuai persamaan di atas memiliki satuanm Nm-2

Atau pascal (Pa)

b. Regangan

jika gaya yang diberikan pada kawat dihilangkan maka kawat akan kembali ke bentuk

semula. Perbandingan antara pertambahan panjang kawat pertambahan panjang ΔL dengan

panjang awal Lo disebut regangan.

Regangan = pertambahan panjang / panjang mula-mula

e = ΔL / Lo

Karena pertambahan panjang ΔL dan panjang awal L adalah besaran yang sama, maka sesuai

persamaan di atas regangan e tidak memiliki satuan atau dimensi.

c. Modulus Elastis

Modulus Elastisitas E Suatu bahan di definisikan sebagai perbandingan antara tegangan

dengan regangan yang dialami bahan.

KESETIMBANGAN Diposkan oleh Dhika

Dalam kehidupan sehari-hari, tidak semua benda yang dijumpai selalu bergerak. Sebelum bergerak, benda pasti diam, demikian juga setelah bergerak, mungkin benda akan berhenti. Di samping itu, ada juga benda yang selalu diam atau dirancang untuk tetap diam. Kalau bergerak dapat menyebabkan malapetaka. Salah satu contoh sederhana adalah jembatan dkk. Jembatan yang tidak dirancang dengan baik akan ikut bergerak alias roboh jika tidak mampu menahan beban kendaraan yang lewat di atas jembatan tersebut. Gedung yang tidak dirancang dengan baik juga akan langsung roboh jika diguncang gempa bumi berskala kecil atau besar.

Konsep keseimbangan benda tegar merupakan pengetahuan dasar yang sangat penting dan

mempunyai banyak penerapan dalam kehidupan sehari-hari, khususnya bidang teknik arsitek, teknik mesin atau teknik sipil.

Dalam pembahasan ini, kita tetap menganggap benda sebagai benda tegar. Benda tegar hanya merupakan bentuk ideal yang kita pakai untuk menggambarkan suatu benda. Suatu benda disebut sebagai benda tegar jika jarak antara setiap bagian benda itu selalu sama. Dalam hal ini, setiap benda bisa kita anggap tersusun dari partikel-partikel atau titik-titik, di mana jarak antara setiap titik yang tersebar di seluruh bagian benda selalu sama.

berat penumpang melebihi kapasitasnya. Dalam hal ini benda-benda itu mengalami perubahan bentuk. Jika bentuk benda berubah, maka jarak antara setiap bagian pada benda itu tentu saja berubah alias benda menjadi tidak tegar lagi. Untuk menghindari hal ini, maka kita perlu mempelajari faktor-faktor apa saja yang dibutuhkan agar sebuah benda tetap tegar.

Dalam merancang sesuatu, para ahli teknik biasanya memperhitungkan hal ini secara saksama. Para ahli perteknikan biasanya menganggap bentuk benda tetap tegar jika benda itu dikenai gaya atau torsi. Mereka juga memperhitungkan faktor elastisitas bahan (Ingat hukum hooke dan elastisitas) dan memperkirakan secara saksama gaya dan torsi maksimum agar benda tetap tegar. Demikian juga para ahli teknik pertubuhan (dokter). Pengetahuan dan pemahaman yang baik dan benar mengenai gaya pada otot dan sendi sangat membantu pasiennya untuk merayakan ulang tahun lagi,

mempunyai gigi yang rapi walaupun harus dipagari dengan kawat dulu, dan lain sebagainya.

SYARAT-SYARAT KESEIMBANGAN STATIS

A). Pengertian Statika

Sebelum melangkah lebih jauh, alangkah baiknya jika kita bahas statika terlebih dahulu. Statika ialah ilmu fisika yang mempelajari gaya yang bekerja pada sebuah benda yang diam (Benda berada dalam kesetimbangan statis). Misalnya batu yang diam di atas permukaan tanah, mobil yang sedang parkir di jalan atau garasi, kereta api di stasiun, pesawat di bandara dll.

Ketika sebuah benda diam, tidak berarti tidak ada gaya yang bekerja pada benda itu. Minimal ada gaya gravitasi bumi yang bekerja pada benda tersebut (arah gaya gravitasi menuju pusat bumi alias ke bawah). Hukum II Newton mengatakan bahwa jika terdapat gaya total yang bekerja pada sebuah

Misalnya terdapat sebuah benda yang terletak di atas permukaan meja. Benda ini sedang diam. Pada benda bekerja gaya berat (w) yang arahnya tegak lurus ke bawah alias menuju pusat bumi. Gaya berat adalah gaya gravitasi yang bekerja pada benda. Gaya yang mengimbangi gaya gravitasi adalah

gaya Normal (N). Arah gaya normal tegak lurus ke atas, berlawanan dengan arah gaya gravitasi. Besar gaya normal = besar gaya gravitasi, sehingga gaya total = 0. Ingat ya, kedua gaya ini bukan aksi reaksi karena gaya gravitasi dan gaya normal bekerja pada benda yang sama. Dua gaya disebut aksi reaksi jika bekerja pada benda yang berbeda.

Benda dalam ilustrasi di atas dikatakan berada dalam keseimbangan statis. Pemahaman dan perhitungan mengenai gaya-gaya yang bekerja pada benda yang berada dalam keadaan seimbang sangat penting, khususnya bagi para ahli perteknikan (arsitek dan insinyur). Dalam merancang sesuatu, baik gedung, jembatan, kendaraan, dll, para arsitek dan insinyur juga memperhitungkan secara saksama, apakah struktur suatu bangunan, kendaraan, dll, mampu menahan gaya-gaya tersebut. Benda sekuat apapun bisa mengalami perubahan bentuk (bengkok) atau bahkan bisa patah jika gaya yang bekerja pada benda terlalu besar.

B). Syarat-syarat keseimbangan

Sekarang mari kita melangkah lebih jauh. Kali ini kita mencoba melihat faktor-faktor apa saja yang membuat benda tetap dalam keadaan diam.

Dalam hukum II Newton, kita belajar bahwa jika terdapat gaya total yang bekerja pada sebuah benda (benda dianggap sebagai partikel tunggal), maka benda akan bergerak lurus, di mana arah gerakan

benda = arah gaya total. Kita bisa menyimpulkan bahwa untuk membuat sebuah benda diam, maka gaya total harus = 0. Gaya total = Jumlah semua gaya yang bekerja pada benda.

Secara matematis bisa kita tulis seperti ini : Persamaan Hukum II Newton :

Ketika sebuah benda diam, benda tidak punya percepatan (a). Karena percepatan (a) = 0, maka persamaan di atas berubah menjadi :

Contoh :

Amati gambar di bawah

Keterangan gambar : F = gaya tarik

Fg = gaya gesek N = gaya normal w = gaya berat m = massa

Benda ini dikatakan berada dalam keadaan diam, karena jumlah semua gaya yang bekerja pada-nya = 0. Sekarang coba kita tinjau setiap gaya yang bekerja pada benda.

Gaya yang bekerja pada komponen horisontal (sumbu x) :

Gaya tarik (F) dan gaya gesek (fg) mempunyai besar yang sama. Arah kedua gaya ini berlawanan. Arah gaya tarik ke kanan atau menuju sumbu x positif (bernilai positif), sebaliknya arah gaya gesekan ke kiri atau menuju sumbu x negatif (bernilai negatif). Karena besar kedua gaya sama (ditandai dengan panjang panah) dan arahnya berlawanan, maka jumlah kedua gaya ini = 0.

Gaya yang bekerja pada komponen vertikal (sumbu y) :

Pada komponen vertikal (sumbu y), terdapat gaya berat (w) dan gaya normal (N). Arah gaya berat tegak lurus menuju pusat bumi atau menuju sumbu y negatif (bernilai negatif), sedangkan arah gaya normal berlawanan dengan arah gaya berat atau menuju sumbu y positif (bernilai positif) . Karena besar kedua gaya ini sama sedangkan arahnya berlawanan maka kedua gaya saling melenyapkan. Benda pada contoh di atas berada dalam keadaan seimbang alias diam, karena gaya total atau jumlah semua gaya yang bekerja pada benda, baik pada sumbu horisontal maupun sumbu vertikal = 0.

Contoh 2 :

Amati gambar di bawah

gambar. Besar kedua gaya sama, tetapi berlawanan arah. Apakah benda akan tetap dalam keadaaan seimbang alias diam ? tentu saja tidak… benda akan berotasi.

Untuk membantumu memahami hal ini, coba letakkan sebuah buku di atas meja. Selanjutnya, berikan gaya pada kedua sisi buku itu, seperti yang ditunjukkan pada gambar. Ketika kita memberikan gaya pada kedua sisi buku, itu sama saja dengan kita memutar buku. Tentu saja buku akan berputar alias berotasi. Dalam hal ini buku tidak berada dalam keadaan seimbang lagi.

Berdasarkan contoh 2 ini, bisa dikatakan bahwa untuk membuat sebuah benda tetap diam, syarat 1 saja belum cukup. Kita masih membutuhkan syarat tambahan.

Catatan :

Pada contoh 2 di atas, sebenarnya pada benda itu dikerjakan torsi. Torsi = gaya (F) x lengan gaya (l). Panjang lengan gaya (l) diukur dari sumbu rotasi benda tersebut. Dalam hal ini, yang membuat benda berputar adalah torsi total. Jika kita menganggap tidak ada gaya gesekan pada benda di atas, maka torsi total adalah jumlah torsi yang ditimbulkan oleh kedua gaya itu. Arah rotasi benda searah dengan putaran jarum jam, sehingga kedua torsi bernilai negatif (tidak saling melenyapkan).

2). Syarat Kedua

Dalam dinamika rotasi, kita belajar bahwa jika terdapat torsi total yang bekerja pada sebuah benda (benda dianggap sebagai benda tegar), maka benda akan melakukan gerak rotasi. Dengan demikian, agar benda tidak berotasi, maka torsi total harus = 0. Torsi total = jumlah semua torsi yang bekerja pada benda. Secara matematis bisa ditulis sebagai berikut :

Persamaan Hukum II Newton untuk gerak rotasi :

Jadi, dari uraian di atas dapatlah kita nyatakan syarat keseimbangan statis benda tegar dengan kalimat berikut :

"Suatu benda tegar berada dalam keseimbangan statis bila mula-mula benda dalam keadaan

diam dan resultan gaya pada benda sama dengan nol, serta torsi terhadap titik sembarang yang

dipilih sebagai poros sama dengan nol".

Kesetimbangan pada sebuah partikel dapat dianggap sebagai suatu kesetimbangan pada suatu titik. Partikel dianggap sebagai suatu benda yang dapat diabaikan massanya, atau dianggap sebagai titik materi. Semua gaya yang bekerja pada benda dianggap bekerja pada titik tersebut. Syarat kesetimbangan statiknya adalah jika resultan gaya yang bekerja pada benda tersebut sama dengan nol. Secara matematis dituliskan sebagai :

= 0 dan = 0

Dengan = resultan gaya pada komponen sumbu X = resultan gaya pada komponen sumbu Y

Jika F1, F2, dan F3 setimbang, maka berlaku persamaan berikut :

Atau dengan kata lain dapat dikatakan bahwa hasil bagi setiap besarnya gaya dan sinus diseberangnya selalu bernilai sama.

JENIS-JENIS KESEIMBANGAN

tersebut. Dengan kata lain, jika gaya total dan torsi total = 0, maka benda berada dalam

keseimbangan translasi (statis). Keseimbangan translasi adalah keseimbangan yang dialami benda ketika bergerak dengan kecepatan linear konstan (v konstan) atau tidak mengalami perubahan linear (a = 0). Keseimbangan rotasi adalah keseimbangan yang dialami benda ketika bergerak dengan

kecepatan sudut konstan ( =konstan) atau tidak mengalami percepatan sudut (α = 0). Jika sebuah

benda yang berada dalam keadaan seimbang stabil dipengaruhi oleh gaya luar, maka benda tersebut mengalami gerak translasi (menggeser) dan gerak rotasi (menggelinding). Gerak translasi

(menggeser) disebabkan oleh gaya, sedangkan gerak rotasi (mengguling) disebabkan oleh momen gaya. Oleh karena itu, Anda dapat menyatakan syarat-syarat kapan suatu benda akan menggeser, menggulung, atau menggelinding (menggeser dan menggelinding).

Jika sebuah benda yang sedang diam mengalami gangguan (maksudnya terdapat gaya total atau torsi total yang bekerja pada benda tersebut), tentu saja benda akan bergerak (berpindah tempat). Setelah bergerak, akan ada tiga kemungkinan, yakni : (1) benda akan kembali ke posisinya semula, (2) benda berpindah lebih jauh lagi dari posisinya semula, (3) benda tetap berada pada posisinya yang baru.

1. Keseimbangan Stabil

Keseimbangan stabil adalah keseimbangan yang dialami benda di mana apabila dipengaruhi oleh

gaya atau gangguan kecil benda tersebut akan segera ke posisi keseimbangan semula. Gambar 6.14 menunjukkan sebuah kelereng yang ditempatkan dalam bidang cekung. Ketika diberi gangguan kecil dan kemudian dihilangkan, kelereng akan kembali ke posisi semula.

Keseimbangan stabil ditandai oleh adanya kenaikan titik benda jika dipengaruhi suatu gaya.

Keseimbangan labil adalah keseimbangan yang dialami benda yang apabila diberikan sedikit

gangguan benda tersebut tidak bisa kembali ke posisi keseimbangan semula. Pada Gambar 6.15 menunjukkan sebuah kelereng yang ditempatkan di atas bidang cembung. Ketika diberi gangguan kecil dan kemudian dihilangkan, kelereng tidak akan pernah kembali ke posisi awalnya.

Keseimbangan labil ditandai oleh adanya penurunan titik berat benda jika dipengaruhi suatu gaya.

3. Keseimbangan Indeferen

Keseimbangan indeferen atau netral adalah keseimbangan yang dialami benda

menunjukkan sebuah kelereng yang ditempatkan di atas sebuah bidang datar. Ketika diberi gangguan kecil dan kemudian dihilangkan, kelereng akan kembali diam pada kedudukan yang berbeda. Keseimbangan netral

ditandai oleh tidak adanya perubahan pasti titik berat jika dipengaruhi suatu gaya.



http://ichwanromo.wordpress.com/2010/01/22/kesetimbangan-benda-tegar/



http://www.gurumuda.com/keseimbangan-benda-tegar



Ruwanto, Bambang. 2007. Fisika 2 SMA/MA kelas XI

.

Jakarta : Yudhistir





Sumardi. Gar, dkk., 1994. Materi Pokok

Mekanika. Jambi:Universitas Jambi.



Sutrisno. 1986. Fisika Dasar Mekanika I.Bandung:ITB

Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar

 Menentukan koordinat titik berat suatu benda.

1.

1. Gerak Translasi dan Rotasi

Indikator :

 Pengaruh torsi diformulasikan pada kasus pengaruh torsi pada benda dalam kaitannya

dengan gerak rotasi benda tersebut

 Dibuat analogi hukum II Newton tentang gerak translasi dan gerak rotasi

Pernahkah Anda melihat permainan roller coaster di pekan raya? Kereta meluncur dan berputar menurut sumbu putaran tertentu. Pernahkah Anda melihat katrol? Sebuah alat yang dapat berputar dan memberikan keuntungan mekanik. Benda yang berotasi pasti ada momen gaya yang bekerja pada benda itu.

Gambar: Katrol

A. Momen Gaya

Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit. Pada katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban. Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah garis kerja terhadap titik tumpu. Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang  (baca: tau).

Gambar:

Menarik beban menggunakan katrol

 = F . d

Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule.

Momen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut momen gaya positif. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berlawanan arah putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.

Gambar:

Skema permainan jungkat jungkit

Titik 0 sebagai titik poros atau titik acuan. Momen gaya oleh F1 adalah 1 = + F1 . d1

Momen gaya oleh F2 adalah 2 = – F2 . d2

Pada sistem keseimbangan rotasi benda berlaku resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:

∑  = 0

Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol. ∑  = 0

F1 . d1 = F2 . d2

Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:

∑ F = 0

Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaan-kesamaan besaran yang dapat dibandingkan simbol besarannya.

Perbandingan dinamika translasi dan rotasi

Translasi Rotasi

Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasi

Energi potensial Ep = mgy

Dari gambar di atas, tentukan momen total terhadap poros O. Jarak OA = 4m dan OB = 8 m, gaya F1 = 10 N, dan F2 = 6 N.

Jawab

Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol, Untuk gaya F1

Arah momen gaya 1 searah perputaran jarum jam

Untuk gaya F2

Arah momen gaya 2 berlawanan arah perputaran jarum jam

Momen gaya total adalah  = 2 + 2

= 48 + 12 = 60 Nm

Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan arah. Kopel yang bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan momen kopel yang mengakibatkan benda berotasi. Momen kopel disimbolkan M

Gambar (a) menunjukkan sebuah kopel bekerja pada suatu benda. Untuk gambar (b) menunjukkan bahwa kopel bertanda positif jika putarannya searah

dengan perputaran jarum jam, tetapi jika perputaran kopel berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, maka kopel bertanda negatif seperti gambar (c).

Jika pada benda bekerja beberapa kopel maka resultan momen kopel total benda tersebut adalah M = M1 + M2 + M3 + … + Mn

N, seperti tampak pada gambar di samping. Tentukan besar dan arah momen kopel pada batang PQ tersebut.

Gaya F1 dan F3 yang berjarak d = 3m membentuk kopel yang arahnya searah perputaran jarum jam (+)

dan besarnya: M

1 = F x d = 5 x 3 = 15 N m

Gaya F2 dan F4 yang berjarak d = 3 m membentuk kopel yang arahnya berlawanan arah perputaran

jarum jam (-) dan besarnya:

M

Koordinat Titik Tangkap Gaya Resultan

Jika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang XY, maka setiap gaya tersebut dapat diuraikan atas komponennya pada sumbu-X dan sumbu-Y. Misalkan,

komponen-komponen gaya pada sumbu-X adalah F

1x, F2x, F3x,…,Fnx, yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-X adalahy1, y2, y3,…,yn.

Sedangkan komponen-_{komponen gaya pada sumbu-Y adalah}F

1 y, F 2y, F 3y, …,Fny, yang jaraknya

masing-masing terhadap sumbu-Y adalah x1, x2, x3,…,xn . Semua komponen gaya pada sumbu-X dapat

digantikan oleh sebuah gaya resultan F x yang jaraknya yo dari sumbu-X, demikian juga semua

komponen gaya pada sumbu-Y dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F y yang jaraknya xo dari

sumbu-Y.

Koordinat titik tangkap dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut.

xo = =

yo = =

Jadi koornitat titik tangkap (xo,yo)

Contoh

Y F2=5N

F3=7N

X

Dari gambar di samping, tentukan besar, arah, dan letak titik tangkap resultan.

-3 -1 0 2 3

F1=-3N F

4=-2N

Jawab

Semua gaya sejajar sumbu-Y, gaya ke atas positif dan ke bawah negatif, resultan gaya adalah: Fy = F1 + F2 + F3 + F4

= -3 + 5 + 7 – 2 = 7 N (arah ke atas)

Letak titik tangkap gaya resultan adalah:

xo =

xo =

xo =

1. Momen Inersia Benda Tegar

Benda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar tersebut memiliki percepatan sudut  yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi  didefinisikan

”Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar (torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut”.

Dirumuskan sebagai berikut.

=  Fi Ri Sin i atau  = (  mi R2i ) . 

mi Ri2 disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu

penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu.

Dirumuskan: I =  mi . Ri2

Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen) terhadap percepatan sudut.

Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi roda. a =  . R

 =

persamaan menjadi :  F . R = I .

Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogen.

Tabel berikut menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen.

Momen inersia berbagai benda yang umum dikenal

I = ½ M (R12 + R22) I = 1/3 MR2 I = MR2 I = 2/5 MR2 I = 2/3 MR2

Contoh:

1. Empat buah partikel seperti ditunjukkan pada gambar dihubungkan oleh sebuah batang kaku ringan yang massanya dapat diabaikan. Tentukan momen inersia sistem partikel terhadap proses:

1. sumbu AA1_,

2. s

A B

1 kg 2 kg 1 kg 3 kg

2 m 2 m 2 m

A1 _B1

umbu BB1_!

Penyelesaian:

1. I = Σ mi . Ri2

= m1 R12 + m2 . R22 + m3 R32 + m4 R42

= 1 . 02 _{+ 2 . 2}2 _{+ 1 . 4}2 _{+ 3 . 6}2

= 0 + 8 + 16 + 108 I = 132 kg m2

1. I = Σ mi Ri2

= m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42

= 1 . 42 _{+ 2 . 2}2 _{+ 1 . 0}2 _{+ 3 . 2}2

= 16 + 8 + 0 + 12 I = 36 kg m2

1. Empat buah partikel massanya 1kg, 2 kg, 2 kg, 3 kg seperti ditunjukkan pada gambar, dihubungkan oleh rangka melingkar ringan jari-jari 2 meter yang massanya dapat diabaikan.

1. Tentukan momen inersia sistem terhadap poros melalui pusat lingkaran dan tegak lurus pada bidang kertas!

1. Berapa besar momen gaya harus dikerjakan pada sistem untuk memberikan suatu percepatan  terhadap poros ini ( = 4 )?

2. Ulangi pertanyaan (a) dan (b) untuk poros AA1_!

Penyelesaian:

1. I = Σ mi Ri2 = m1 R12 + m2 R22 + m3 R32 + m4 R42

= 3 . 22 _{+ 2 . 2}2 _{+ 1 . 2}2 _{+ 2 . 2}2

= 12 + 8 + 4 + 8 = 32 kg m2

1. τ = I .  = 32 . 4 = 128 N.m

2. I = m2 R12 + m2 R22 + m2 R22 + m3 R32 + m4R42

1. Sebuah benda sistem yang terdiri atas dua bola dengan massa masing- masing 5 kg dihubungkan oleh sebuah batang kaku yang panjangnya 1 m. Bola dapat diperlakukan sebagai partikel dan massa batang 2 kg. Tentukan momen inersia sistem terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melalui

1.

1. pusat 0, O

2. salah satu bola!

L = 1 m

Penyelesaian:

1. I = Σ mi Ri2

I = mA . RA2 + mB . RB2 + 1/12 m . L2

I = 5 . (0,5)2 _{+ 5 . (0,5)}2 _{+ 1/12 . 2 . 1}2

I = 5 . 0,25 + 5 . 0,25 + 1/6 I = 2,5 + 1/6

b. I = Σ mi Ri2

I = mA.RA2 + Mb.RB2 + 1/3 .m.l2

I = 0 + 5 . 12 _{+ 1/3 . 2.1}2

I = 5 + 2/3 I = 5 kg m2

 Uji Kompetensi I

1. Seorang tukang cat (massa 55 kg) mengatur papan homogen yang beratnya

60 N dengan kuda-kuda di B dan C seperti pada gambar. Panjang AD = 4 m, AB = CD = 1 meter. Jarak kaleng cat (2 kg) dari A = 0,5 m. Secara perlahan ia mengecat sambil menggeser ke kanan. Pada jarak berapa meter dari C dia dapat menggeser sebelum papan terjungkit ?

A B C D

1. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :

a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.

b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.

1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg  = 3/4.

Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.

1. Batang AB yang mempunyai panjang 6 m mendapat gaya pada ujung-ujungnya seperti tampak pada gambar. Tentukan besar dan letak gaya resultannya.

1. Tentukan momen inersia batang yang berputar pada poros berjarak ¼ l dari ujung titik 0

O

-1/4 l +3/4 l

jika sumbu putarnya adalah (a) sumbu Y, (b) sumbu yang tegak lurus bidang XY melalui titik O.

Y M1

2 m

M3 O 3 m

M2

3 m

M4

1. Tentukan momen inersia bola pejal !

 massa bola m

 volume bola V = 4/3  R3

 massa keping = dm

1. Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan lengan momen dan momen gaya dari gaya F1 = 100

N dan gaya F2 = 200 N terhadap poros di titik A dan titik C, jika AD = L, AB = L/2, dan AC = 3L/4. D

C B F

2

A 30o F1

1. Pada sebuah batang horisontal AC yang panjangnya 10 m bekerja tiga buah gaya 3 N, 2 N dan 4 N seperti terlihat pada gambar ! Tentukan :

a. Resultan dari gaya-gaya tersebut.

b. Momen gaya yang bekerja pada sumbu-sumbu yang melalui A, B dan C c. Letak titik tangkap gaya Resultannya.

1. Batang AB yang panjangnya 5 meter dan beratnya boleh diabaikan, padanya bekerja 5 buah gaya seperti tampak pada gambar di bawah ini. Jika tg  = 3/4.

Tentukan besar dan letak dari gaya resultannya.

1.

1. Menghitung Gerak Translasi dan Rotasi

Indikator :

 Dinamika rotasi benda tegar dianalisis untuk berbagai kondisi

 Gerak menggelinding tanpa slip dianalisis

C. Momentum Sudut Gerak Rotasi Benda Tegar

Dalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka momentum sudut total L sejajar dengan kecepatan sudut , yang selalu searah sumbu rotasi. Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut . Sehingga dapat dirumuskan :

L = I . 

L = R  P

atau L = R  mV L = mR  V

Jadi momentum sudut adalah suatu vektor yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R dan v.

Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak lurus.

V =  R

Sehingga L = m R v L = m R R

L = m R2 _

Arah L dam  adalah sama, maka:

L = m R2 _

atau L = I 

karena  =

maka : L = m R2

L = I

Momentum sudut sebuah partikel, relatif terhadap titik tertentu adalah besaran vektor, dan secara vektor ditulis:

L = R  P = m (R  v)

Bila diturunkan, menjadi: karena  = F  R

maka  =

Apabila suatu sistem mula-mula mempunyai memontum sudut total L, dan sistem mempunyai

momentum sudut total akhir L’, setelah beberapa waktu, maka berlaku hukum kekekalan

lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan roknya berkibar-kibar dengan putaran yang cepat.

momentum sudut total awal = momentul sudut total akhir L = L’

L1 + L2 = L1’ + L2’

Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai berikut. I1 1 + I2 2 = I1’ 1’+ I2’ 2’

D. Energi Kinetik Rotasi

Misalkan sebuah sistem terdiri atas dua partikel yang massanya m1 dan m2 dan rotasi

bergerak dengan kecepatan linier v1 dan v2, maka energi kinetik partikel ke 1 adalah ½ m1v12. Oleh

karena itu, energi kinetik sistem dua partikel itu adalah (energi kinetik partikelke 2 adalah ½ m2v22 ) :

EK = ½ m1 v12 + ½ m2v22

Dalam sistem benda tegar energi kinetiknya: EK =  ½ mi vi2

Benda tegar yang berotasi terhadap suatu sumbu dengan kecepatan sudut , kecepatan tiap partikel

adalah vi =  . Ri , di mana Ri adalah jarak partikel ke sumbu rotasi.

jadi EK = ½ mivi2

=  ½ mi Ri2 2

= ½ ( mi Ri2) 2

EK = ½ I . 2

karena L = I . 

maka EK = ½ L . 

Masalah umum di mana benda tegar berotasi terhadap sebuah sumbu yang melalui pusat massanya dan pada saat yang sama bergerak translasi relatif terhadap seorang pengamat. Karena itu, energi kinetik total benda dapat dituliskan sebagai berikut.

EK = ½ mv2 + ½ I . 2

Dalam hal ini hukum kekekalan energi total atau energi mekanik adalah: E = EK + EP = konstan

½ mv2 _{+ ½ I }2 _{+ mgh = konstan}

Contoh Soal

Sebuah silinder pejal homogen dengan jari-jari R dan massa m, yang berada di puncak bidang miring, menggelinding menuruni bidang miring seperti tampak pada gambar. Buktikanlah kecepatan liniear pusat massa ketika tiba di dasar bidang miring adalah V =

1. dengan menggunakan hukum kekekalan energi,

2. dengan menggunakan hukum II dinamika rotasi!

Penyelesaian

Jawab: v1 = 0, 1 = 0

s h

a. Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2

(½ m v12 + ½ I 12) + mgh1 = ( ½ mv22 + ½ I 22) + mgh2

0 + 0 + mgh = ½ mv2 _{+ ½ . ½ mR}2 _{( )}2 _{+ 0}

gh = ½ v2 _{+ ¼. R}2 _{. v/r}

gh = ¾ v2

v2 _{= gh}

v = (terbukti)

1. Hukum II dinamika rotasi

m g . – ½ m . a = m . a

= a

a = .

v2 _{= vo}2 _{+ 2 a s}

v2 _{= 0}2 _{+ 2. . s}

v2 _{= gh}

v = (terbukti)

E. Menggelinding

Menggelinding adalah gabungan dari gerak translasi (titik pusat massa) dan gerak rotasi (penampang bentuk lingkaran).

F F f f

Penyelesaian kita tinjau dari masing-masing gerakan itu.

1. Bila gaya F berada tepat di sumbu:

- gerak translasi berlaku : F – f = m . a - gerak rotasi berlaku : f . R = I .  di mana ( = )

1. Bila gaya F berada di titik singgung :

- gerak translasi berlaku : F + f = m . a - gerak rotasi berlaku : (F – f) . R = I .  ( = )

Katrol

1. Sumbu dianggap licin tanpa gesekan

Massa = m Jari-jari = R

Gerak translasi beban : F = m . a

+ T1 – m1g = m1a ……….(i)

+ m2g – T2 = m2a ……….(ii)

Gerak rotasi katrol :

 = I . 

(T2 – T1) R = I ……….(iii)

1. Pada puncak bidang miring

Gerak translasi beban : F = m . a

+ T1 – m1g sin  – f = m1a …….(i)

+ m2g – T2 = m2a ………..(ii)

Gerak rotasi katrol :

 = I . 

(T2 – T1) R = I ………(iii)

1. S

atu ujung talinya terikat pada sumbu katrol

Gerak translasi beban : F = m . a

mg – T = m . a ………..(i) Gerak rotasi katrol :

 = I . 

T . R = I . ………..(ii)

1. 8.Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri atas katrol silinder yang masanya 4 kg (dianggap silinder pejal). Masa m1 dan m2 masing- masing 5 kg dan 3 kg. jari- jari katrol = 50

cm. Tentukan:

a. percepatan beban, b. tegangan tali!

Penyelesaian:

a. Tinjau benda m1

Σ F = m1 . a

w1 – T1 = m1 . a

5 . 10 – T1 =5 . a T1 = 50 – 5a Tinjau benda m2:

Σ F = m2 . a

T2 – W2 = m2 . a

T2 – 3.10 = 3 . a

T2 = 30 + 3a

Tinjau katrol

Σ τ = I . 

T1 . R – T2 . R = ½ m . R2 a/R

T1 – T2 = ½ . 4 . 2

50 – 5a – 30 – 3a = 2a 20 = 10 . a

a = 2 m/s2

1. T1 = 50 – 5 . 2 = 40 N

T2 = 30 + 3 . 2 = 36 N

Pesawat Atwood seperti pada gambar, terdiri dari katrol silinder yang licin tanpa gesekan Jika m1 = 50

kg dan m2 = 200 kg , g = 10 m/det2

Antara balok m1 dan bidang datar ada gaya gesek dengan μ = 0,1. massa katrol 10 kg. hitunglah:

1. percepatan sistem,

2. gaya tegang tali!

Penyelesaian:

a.

Tinjau m1:

Σ F = m . a T1 – f1 = m . a

Ti – k . N = m1 . a

Ti – 0,1 . m1 . g = m1 . a

T1 – 0,1 50 . 10 = 50 . a

T1 = 50 + 50a

Tinjau m2:

Σ F = m . a w2 – T2 = m2 . a

m2 . g – T2 = m2 . a

200 . 10 – T2 =200 . a

T2 = 2000 – 200 . a

Tinjau katrol: Σ τ = I . 

T2 . R – T1 . R = ½ m . r2 _{. a/R}

T2 – T1 = ½ m . a

1950 = 255 a

a = = 7,65 m/s2

b. T1 = 50 + 50 . 7,65 = 432,5 N

T2 = 2000 – 200 . 7,65 = 470 N

1. Dua buah benda yang massanya m1 dan m2 dihubungkan dengan seutas tali melalui sebuah

katrol bermassa M dan berjari-jari R seperti ditunjukkan pada gambar. Permukaan meja licin. Tentukan percepatan masing- masing benda bila:

1. katrol dapat dianggap licin sehingga tali meluncur pada katrol

2. katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali

3. katrol cukup kasar sehingga ikut berputar dengan tali!

Penyelesaian:

1. katrol licin (k = 0), T1 = T2 = T

Tinjau m1 : Σ F = m . a

T = m1 . a

T = 3 . a

Tinjau m2 : Σ F = m . a

w2 – T = m2 . a

m2 . g – T = m2 . a

5 . 10 – T = 5 . a T = 50 – 5a

1.

o T = T

a = = 6,25 2

1. katrol kasar

Katrol : Σ τ = I . 

T2 . R – T1 . R = ½ mk . R2 . a/r

50 – 5a – 3a = ½ . 1 . a 50 = ½ a + 8a = 8,5 a a = 50/8,5 = 5,88 2

1.

1. Bidang miring dengan sudut kemiringan  = 30º. Koefisien gesek 0,2. Ujung bidang miring diperlengkapi katrol dengan massa 600 gram. Jari- jari 10 cm (dianggal silinder pejal). Ujung tali di atas bidang miring diberi beban 4 kg. Ujung tali yang tergantung vertikal diberi beban dengan massa 10 kg. Tentukanlah percepatan dan tegangan tali sistem tersebut!

Penyelesaian:

Tinjau m1Σ F1 = m1 . a

T1 – fk – w1 sin 30 = m1 . a

T1 – k . N – m1 g sin 30 = m1 . a

T1 – k . m1 . g . cos 30 – m1 . g sin 30 = m1 . a

T1 – 0,2 . 4 . 10 . ½ – 4 . 10 . ½ = 4 . a

T1 – 4 – 20 = 4a

T1 = 26,928 + 4a

Tinjau m2Σ F = m . a

w2 – T2 = m2 . a

w2 . g – T2 = m2 . a

T2 = 100 – 10a

Tinjau katrol Σ τ = I . 

T2 . R – T1 . R = ½ m . R2 _{. a/R}

100 – 10a – 26,928 – 4a = ½ . 0,6 . a

100 – 26,928 = 0,3a + 10a + 4a

73,072 = 14,3 a

a = 5,1 m/s2

1.

1.

 T1 = 26,928 + 4 . 5,1

T1 = 47,328 N

T2 = 100 – 10 . 5,1

= 49 N

1.

1. Balok A ditarik oleh pemberat B dengan cara seperti pada gambar. Koefisien gesekan antara balok A dengan lantai = 0,5 . Jika massa A = m, massa B = 3m. Massa tali dan katrol diabaikan dan percepatan gravitasi g.

Tentukan:

1. gaya tarik oleh tali

2. percepatan B

Penyelesaian:

Waktu sama, jarak yang ditempuh A adalah 2x jarak tempuh B berarti sA = 2 sB atau aA = 2 aB

Tinjau benda A

3mg – 2T = 3m aB

aB =

Tinjau benda B

T – f = mA aA

T – 0,5 NB = m . aA

T – 0,5 m g = m aA

aA =

1. gaya tarik oleh tali

Substitusi

aA = 2 aB

= 2 ()

3 T m – 1,5 m2 _{g = 6 m}2 _{g – 4 T m}

: m T =

1. percepatan B

aB =

= = = aB = g

1.

1. Kesetimbangan Benda Tegar

Kesetimbangan adalah suatu kondisi benda dengan resultan gaya dan resultan momen gaya sama dengan nol.

1. Benda yang diam (statik), contoh : semua bangunan gedung, jembatan, pelabuhan, dan lain-lain.

2. Benda yang bergerak lurus beraturan (dinamik), contoh : gerak meteor di ruang hampa, gerak kereta api di luar kota, elektron mengelilingi inti atom, dan lain-lain.

Benda tegar adalah benda yang tidak berubah bentuknya karena pengaruh gaya dari luar. Kesetimbangan benda tegar dibedakan menjadi dua:

1. Kesetimbangan partikel

2. Kesetimbangan benda

1. Kesetimbangan Partikel

Partikel adalah benda yang ukurannya dapat diabaikan dan hanya mengalami gerak translasi (tidak mengalami gerak rotasi).

Syarat kesetimbangan partikel F = 0 Fx = 0 (sumbu X)

Perbandingan dinamika translasi dan rotasi

Translasi Rotasi

Momentum linier p = mv Momentum sudut* L = I

Gaya F = dp/dt Torsi



= dL/dt

Benda massa

Konstan F = m(dv/dt)

Benda momen

inersia konstan*



= I (d/dt)

Gaya tegak lurus

terhadap momentum F =  x p

Torsi tegak lurus

momentum sudut



=  L

Energi kinetik Ek = ½ mv2 Energi kinetik Ek = ½ I2