BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Defenisi Medan
Bila bicara tentang partikel-partikel, maka akan selalu terkait dengan apa yang disebut dengan medan. Medan adalah sesuatu yang muncul merambah ruang waktu, tidak seperti partikel yang muncul di hanya satu titik pada suatu waktu, seperti hanlnya sebuah medan magnet. Medan biasanya direpresentasikan secara sistematis oleh medan skalar dan medan vektor.
2.1.1Medan Skalar
Medan skalar adalah sebuah fungsi (medan) yang menghasilkan nilai tunggal pada setiap titik dalam ruang. Namun nilai tunggal pada setiap titik tersebut tidak cukup untuk mengkarakterisasi besaran lainnya seperti kecepatan angin (selama arah pada setiap titik dalam ruang sangat perlu).
Contoh Medan Skalar : potensial listrik, temperatur, tekanan atmosfir, ketinggian, kedalaman dll.
2.1.2 Medan Vektor
2.2 Defenisi Medan Magnet
Medan magnet adalah suatu medan yang dibentuk dengan menggerakan muatan listrik (arus listrik) yang menyebabkan munculnya gaya di muatan listrik yang bergerak lainnya. Medan magnet adalah ruangan di sekitar kutub magnet, yang gaya tarik/tolaknya masih dirasakan oleh magnet lain. Sebuah medan magnet adalah medan vektor: yaitu berhubungan dengan setiap titik dalam ruang vektor yang dapat berubah menurut waktu. Arah dari medan ini adalah seimbang dengan arah jarum kompas yang diletakkan di dalam medan tersebut. Dalam fisika, Magnetisme adalah salah satu fenomena yang terjadi pada materi/benda yang dapat memberikan gaya menarik atau menolak terhadap benda lainnya. Beberapa benda yang memiliki sifat magnet adalah besi, dan beberapa baja, serta mineral Iodeston; namun, seluruh benda pasti terpengaruh oleh adanya gaya magnet ini walaupun kecil. Magnet selalu memiliki dua kutub yaitu: kutub Utara (North/ N) dan kutub Selatan (South/ S). Walaupun magnet itu dipotong-potong, potongan magnet kecil tersebut akan tetap memiliki dua kutub.
Medan magnetik didefinisikan sebagai daerah atau ruang di sekitar magnet yang masih dipengaruhi gaya magnetik. Kuat dan arah medan magnetik dapat juga dinyatakan oleh garis gaya magnetik. Jumlah garis gaya per satuan penampang melintang adalah ukuran “kuat medan magnetik”, dilambangkan dengan huruf
“B”dan satuannya “Wb/m2” atau “Tesla”. Dan Bumi adalah medan magnet alam. Kuat medan magnet di suatu titik di dalam medan magnet ialah besar gaya pada suatu satuan kuat kutub di titik itu di dalam medan magnet m adalah kuat kutub yang menimbulkan medan magnet dalam Ampere-meter. R jarak dari kutub magnet sampai titik yang bersangkutan dalam meter. dan H = kuat medan titik itu dalam : N
A m. atau dalam Weber
2.2.1 Medan Magnet Homogen dan Medan Magnet non-Homogen
Gambar 2.1 Medan Magnet Homogen dan non-Homogen
Gambar diatas memperlihatkan penampang sebuah kumparan eksitasi. Di sini terlihat bahwa garis-garis fluks magnetik di sebelah dalam kumparan terbagi merata pada seluruh penampang dalam kumparan.
Medan magnet di mana semua garis fluks magnetik sejajar dan berjarak sama dinamakan medan magnet homogen.
Akan tetapi garis-garis fluks magnetik di sebelah luar kumparan tidak sejajar lagi dan jaraknya tidak lagi sama besar. Jenis medan magnet semacam ini dinamakan non-homogen.
2.3 Medan Magnetik Bumi
Badai matahari membahayakan bagi makhluk hidup yang peka terhadapa medan magnetik bumi, misalnya burung-burung, lumba-lumba, dan paus, yang menggunakan medan magnetik bumi sebagai penentu arah. Bahaya yang lain dialami oleh astronot yang berada di luar angkasa saat badai matahari terjadi. Sedangkan kita yang berada di bumi adalah relatif aman karena terlindungi oleh medan magnetik bumi.
Gambar 2.2 Lapisan Medan Magnetik Bumi
Medan magnet bumi membentang hingga jauh di atas atmosfer dan membentuk sebuah perisai yang melindungi bumi. Perisai ini diberi nama Sabuk Van-Allen. Besarnya energi listrik yang diperlukan untuk menjaga keberadaan medan magnet seperti ini hampir mencapai satu miliar ampere. Ini setara dengan jumlah energi listrik yang pernah dibangkitkan umat manusia sepanjang sejarah.
Kebanyakan dari sinar-sinar mematikan yang berasal dari angkasa luar, dan meteor yang melintas di angkasa tidak mampu menembus sabuk Van Allen. Selain panas, sinar, dan radiasi, matahari menyemburkan ke arah bumi badai yang terdiri atas proton dan elektron yang bergerak dengan kecepatan sekitar 1,5 kilometer per detik. Badai matahari ini merupakan salah satu bahaya paling besar. Namun badai matahari ini tidak mampu menembus Sabuk Van-Allen yang membentuk medan magnet berjarak 40 ribu mil (64360 km) dari bumi ini. Saat menghujani medan magnet tersebut, badai matahari yang berupa hujan partikel itu memudar, dan dibelokkan mengelilingi medan magnet ini.
Gambar 2.3 Pergerakan partikel dalam medan magnetik
Garis-garis magnet bumi yang membentang jauh ke angkasa, menangkap partikel-partikel bermuatan yang bergerak melingkari garis-garis magnet. Untuk mengkaji bagaimana informasi partikel yang bergerak tersebut, diambil persamaan Dirac. Bila sebuah partikel bermuatan bergerak tegak lurus dengan medan magnet homogen yang mempengaruhi selama geraknya, maka muatan akan bergerak dengan lintasan berupa lingkaran seperti pada gambar 2.3. Berikut gambar dibawah ini mengilustrasikan bagaimana angin/badai matahari dibiaskan oleh medan magnetik bumi sehingga makhluk di bumi bisa selamat.
2.4 Penggambaran Suatu Partikel dalam Teori Medan Kuantum
Dalam Teori Medan Kuantum setiap partikel memiliki pasangannya atau anti-partikelnya yang disebut dengan antimateri. Antipartikel memiliki kesamaan dalam seluruh informasi sistem partikel tersebut kecuali muatannya yang berlawanan. Sehingga partikel dan antipartikel sering disebut sebagai pasangan anti partikel yang berlawanan. Dan jika ditinjau dalam ranah relativitas maka partikel tersebut bergerak mendekati cahaya sehingga memiliki energi kinetik sebagai tinjauan energi total sistem partikel.
Saat ini diketahui bahwa kecepatan cahaya adalah kecepatan yang paling cepat di alam semesta (mutlak), sehingga partikel- antipartikel memiliki kecepatan yang tinggi mendekati kecepatan cahaya. Diketahui dalam ilmu fisika bahwa suara adalah salah satu bentuk gelombang dan dalam fisika kuantum, semua sistem partikel memiliki sifat gelombang maupun sebaliknya. Maka partikel – antipartikel merupakan salah satu fenomena dari fisika.
Pada Teori Medan Kuantum, jika partikel bertemu dengan anti-partikelnya maka akan terjadi fenomena alam yaitu pemusnahan materi atau pemusnahan pasangan (pair annihilation), proses anihilasi dari musnahnya pasangan partikel ini akan menghasilkan suatu photon berenergi tinggi (cahaya dengan frekuensi tinggi). Contohnya adalah positron yang bertemu dengan elektron akan saling memusnahkan dan menghasilkan suatu cahaya/photon. Inilah partikel-partikel berlawanan yang saling berbenturan dengan kecepatan tinggi mendekati cahaya dan merupakan fenomena Fisika kuantum yaitu partikel-gelombang, sehingga bunga-bunga api (cahaya) yaitu photon yang dihasilkan/terpancar/terpercik dari proses pair anihilation. Pergerakan proses pemusnahan dan penciptaan partikel dari awal hingga akhir merupakan suatu kemungkinan dapat dapat diketahui dari solusi gelombangnya dan hal tersebut terjadi dalam ruang-waktu. Medan magnetik menyebabkan proses penciptaan dan pemusnahan partikel terjadi secara terus menerus dalam tingkat sub atom. Hal tersebut terjadi setiap saat dan disetiap tempat serta seimbang.
2.5 Energi Relativitas
Energi tidak dapat diciptakan atau dimusnakan, tetapi diubah ke bentuk yang lain. Pada awal abad ke-20, Einstein menyatakan bahwa massa dan energi adalah dua hal yang tidak bisa dipisahkan. Sebuah benda yang mempunyai massa akan mengandung sejumlah energi.
E = mc2
di mana E adalah energi, madalah massa, dan c adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa. Energi Relativitas adalah energi total ketika suatu benda dalam keadaan diam. Teori modern menyatakan bahwa baik massa maupun energi dapat dihancurkan, tetapi hanya pindah dari satu lokasi ke lokasi lain. Massa dan energi keduanya dilestarikan secara terpisah dalam relativitas khusus, dan tidak dapat dibuat atau dihancurkan. Dalam fisika, massa harus dibedakan dari materi , sebuah ide yang lebih kurang jelas dalam ilmu fisika. E = mc2, kadang-kadang digunakan sebagai penjelasan atas asal usul energi dalam proses nuklir, tetapi kesetaraan massa-energi tidak menjelaskan asal-usul energi tersebut. Sebaliknya, hubungan ini hanya menunjukkan bahwa sejumlah besar energi yang dilepaskan dalam reaksi tersebut dapat menunjukkan massa yang cukup bahwa massa-rugi dapat diukur, ketika energi yang dilepaskan (dan massa) telah dihapus dari sistem.
Jika objek bergerak cepat, massa relativistik lebih besar dari massa lain dengan jumlah yang sama dengan massa yang terkait dengan energi kinetik objek. Sebagai objek mendekati kecepatan cahaya, massa relativistik tumbuh jauh, karena energi kinetik tumbuh jauh dan energi ini dikaitkan dengan massa.
Relativistik adalah massa selalu sama dengan total (energi sisa energi ditambah kinetik) energi dibagi dengan c 2. Karena massa relativistik adalah persis sebanding dengan energi, massa relativistik dan energi relativistik hampir sinonim, satu-satunya perbedaan antara mereka adalah unit . Namun, sambungan atau relativitas energi total (E r)dengan atau invarian massa diam (m 0)membutuhkan
pertimbangan dari jumlah momentum sistem, dalam sistem dan frame referensi di
mana momentum memiliki nilai bukan nol.
adalah versi diperpanjang persamaan Einstein, yang disebut hubungan energi-momentum relativistik. : 𝐸𝑝 = (𝑚2 𝑐4 + 𝑐2𝒑2)12
Di sini (pc) 2 istilah merupakan kuadrat dari norma Euclidean (panjang vektor total) dari vektor berbagai momentum dalam sistem, yang mengurangi dengan kuadrat besar momentum sederhana, jika hanya satu partikel dianggap. Untuk foton dimana m= 0,persamaan tereduksi menjadi E = pc.
2.6 Persamaan Dirac
Dalam fisika, lebih khusus mekanika kuantum relativistik, persamaan Dirac adalah persamaan gelombang, yang dirumuskan oleh fisikawan Inggris Paul Dirac pada tahun 1928. Ini memberikan deskripsi dasar spin ½ partikel, seperti elektron, konsisten dengan kedua prinsip-prinsip mekanika kuantum dan teori relativitas khusus, dan adalah teori pertama sepenuhnya untunk memperhitungkan relativitas dalam konteks mekanika kuantum. Ini menyumbang rincian halus dari spektrum hidrogen dalam cara yang sama sekali ketat.
Persamaan ini juga tersirat adanya suatu bentuk baru dari materi, antimateri, penemuan sampai sekarang yang tak terduga dan tidak teramati dan benar-benar mendahului eksperimental. Hal ini juga memberikan pembenaran teoritis untuk pengenalan beberapa komponen fungsi gelombang dalam teori fenomenologis Pauli dari spin. Penjelasan Dirac sendiri tentang spin menghasilkan penyatuan mekanika kuantum dan relativitas, dan akhirnya penemuan positron merupakan salah satu kemenangan besar dalam fisika teori.
2.6.1 Hamiltonian Dirac
Hamiltonian sistem partikel dengan massa (𝑚) dan memiliki momentum (𝑝) secara relativistik klasik dipresentasikan dengan
𝐻2𝜓 𝑥 = 𝒑𝟐𝑐2 + 𝑚2𝑐4 𝜓 𝑥
𝐻 =𝑐 (𝒑+𝑚𝑐2) (2.2)
Dimana x merupakan koordinat ruang waktu, 𝑥= 𝑥0,𝑥1,𝑥2,𝑥3. Dengan momentum dalam ruang tiga dimensi 𝒑 = 𝑝1+ 𝑝2+ 𝑝3 , sehingga
𝑝 = 𝑚𝟐𝑐2+ 𝑝12+ 𝑝22+ 𝑝32
1 2
𝑝
= 𝑚𝑐,𝑝1,𝑝2,𝑝3 (2.3) Maka Hamiltonian pada persamaan (2.2) dapat ditulis
𝐻 = 𝑐 𝑚𝟐𝑐2+ 𝑝12+ 𝑝22+ 𝑝32
1 2
𝐻
= 𝑐 𝑝 (2.4)
Persamaan diatas adalah Hamiltonian sistem relativistik dengan diketahui bahwa energi total dan momentum adalah suatu operator yang bekerja pada suatu fungsi. Sehingga persamaan diatas harus dioperasikan dengan suatu fungsi yaitu fungsi gelombang 𝜓 𝑥 ,dan dengan defenisi
𝑝
4=
𝐻𝑐 (2.5)
𝑝
4 adalah momentum baru yang termodifikasi, sehingga persamaan (2.4) menjadi 𝑝4 𝜓 𝑥 = 𝑝 𝜓 𝑥𝑝4 − 𝑚𝟐𝑐2+ 𝑝12+ 𝑝22+ 𝑝32
1
2 𝜓 𝑥 = 0 (2.6)
2.4.2 Matrik Dirac
Tensor adalah geometri untuk memperluas pengertian skalar, vector dan matriks. Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan.
Matrik Dirac adalah massa partikel yang komponen energi dan momentumnya yang dituliskan dalam bentuk vektor dimensi empat dikalikan suatu matrik.
Salah satu sifat matrik Dirac antara lain
𝛼12 = 𝛼22 = 𝛼33 = 𝛽2 = 1
(2.7)
Dimana 𝛼 dan 𝛽 merupakan sinar yang dihasilkan karena adanya partikel dan antipartikel yang saling bertumbukan.
Dari persamaan kuantum relativistik Dirac yaitu
𝑖ħ𝜕𝑡𝜕 = 𝛽𝑚𝑐2 + (𝑖ħ𝑐(𝜶𝑘))
= 𝑖ħ𝑐 𝜶𝑘 + 𝛽𝑚𝑐2
(2.8)
Jika dioperasikan dengan fungsi gelombang 𝜓 𝑥 dan dengan sifat matrik Dirac serta didefenisikan matriks gama yaitu
𝛾𝑘 = −𝛽𝜶𝑘
= 0 − 𝛼𝜅 −𝛼𝜅 0
dan
𝛾0 = 𝛾4 = 𝛽
(2.9) Dimana gamma dalam hal ini yaitu sinar yang dihasilkan karena adanya partikel dan antipartikel yang saling bertumbukan.
Maka persamaan dapat ditulis menjadi
𝛾𝑘 𝜓(𝑥) + 𝑚𝑐ħ 𝜓(𝑥) 𝛾4 𝑖 𝑐
𝜕
Perubahan ini terjadi karena adanya penambahan sifat matriks Dirac dan
Karena matrik berorde empat maka fungsi gelombang 𝜓 𝑥 haruslah matrik kolom
4x1.
Matrik diatas sering disebut bispinor (spinor Dirac).
2.3Persamaan Dirac Dalam Pengaruh Medan Magnetik
Telah diketahui bahwa peralihan dari klasik ke kuantum dilakukan dengan merubah besaran momentum dan energi total menjadi suatu operator yang beroperasi pada suatu fungsi keadaan 𝜓 𝑥 .
𝐸𝑖ħ 𝜕
𝜕𝑡
𝑃𝑖ħ (2.14)
Peralihan dari klasik ke kuantum diatas adalah peralihan yang berlaku bagi partikel bebas. Untuk partikel bermuatan listrik yang berada dalam ruangan bermedan magnetik, haruslah dilakukan penyesuaian. Diketahui bahwa medan magnetik adalah curl dari suatu potensial vektor
𝐵 = Ā𝛼(𝑥) (2.15)
Dengan defenisi dari potensial vektor dalam bentuk vektor empat, dimana vektor empat merupakan vektor yang berdimensi empat,
Ā𝛼(𝑥) = ( 𝑐ф (𝑥0),Ā𝛼(𝑥)) (2.16) Dengan demikian momentum dari suatu partikel bermuatan yang berada dalam pengaruh medan magnetik berubah menjadi
𝑃𝑖ħ + 𝑞
𝑐Ā𝛼(𝑥) (2.17)
Dengan q adalah muatan dari partikel tersebut dan c adalah kecepatan cahaya. Dengan demikian persamaan Dirac yang merupakan dasar dari persamaan gerak partikel fermionik menjadi berubah bentuk untuk partikel bermuatan listrik didalam pengaruh medan magnetik. Dengan persamaan kuantum Dirac untuk partikel bebas
𝑖ħ𝜕
𝜕𝑡𝜓(𝑥) = {𝑐(𝑖ħ𝜶𝑘 + 𝑚𝑐𝛽)}𝜓(𝑥) (2.18) Dengan berubahnya momentum untuk partikel bermuatan dalam pengaruh medan magnetic, sehingga persamaan kuantum relativistic Dirac dalam pengaruh medan magnetic menjadi
