Kajian Teoritik Persamaan Dirac Dalam Pengaruh Medan Magnetik Homogen

KAJIAN TEORITIK PERSAMAAN DIRAC DALAM PENGARUH

MEDAN MAGNETIK HOMOGEN

SKRIPSI

ELDA DESI D P 080801074

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

KAJIAN TEORITIK PERSAMAAN DIRAC DALAM

PENGARUH MEDAN MAGNETIK HOMOGEN

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

ELDA DESI D P 080801074

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

i

PERNYATAAN

KAJIAN TEORITIK PERSAMAAN DIRAC DALAM PENGARUH MEDAN MAGNETIK HOMOGEN

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Januari 2014

PERSETUJUAN

Judul : KAJIAN TEORITIK PERSAMAAN DIRAC

DALAM PENGARUH MEDAN MAGNETIK HOMOGEN

Kategori : SKRIPSI

Nama : ELDA DESI D P

NIM : 080801074

Program Studi : SARJANA (S1) FISIKA Departemen : FISIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Dilaksanakan di : Medan, 29 April 2015

Diketahui

Departemen Fisika FMIPA USU Pembimbing, Ketua,

iii

PENGHARGAAN

Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah di dalam nama Tuhan Yesus Kristus, karena berkat dan kasih karuniaNya serta bimbinganNya penulis dapat menyelesaikan Tugan Akhir dalam waktu yang ditetapkan.

Ucapan terimakasih penulis sampaikan kepada orang – orang yang menjadi bagian hidup penulis, Terimakasih yang sebesar – besarnya kepada Bapak Tua Raja Simbolon S.Si, M.Si sebagai dosen pembimbing yang memberikan waktu, tenaga, serta bimbingannya kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih juga kepada Drs. Achiruddin MS selaku Dosen Wali penulis selama mengikuti perkuliahan. Ucapan terimakasih juga ditunjukkan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Fisika Dr.Marhaposan Situmorang dan Drs. Syahrul Humaidi, M.Sc. Dekan FMIPA USU Dr. Sutarman, M.S. Terimakasih juga kepada staf pegawai B’Jo, K’Tini dan K’Yuspa serta semua Staf Pengajar dan Pegawai Departemen Fisika FMIPA USU.

Terima kasih yang mendalam penulis ucapkan kepada R.Panjaitan dan T. Sitinjak, orangtua yang membimbing membesarkan, dan setia mendoakan penulis sedari kecil, terimakasih atas cinta kasih, teladan, dan semangat untuk selalu memberi yang terbaik kepada penulis. Terima kasih atas dukungan, bantuan dan semangat yang kalian berikan kepada penulis selama ini semoga Tuhan Yesus Kristus membalasnya.

Serta tidak lupa pula penulis ucapkan terima kasih kepada sahabat terbaik penulis Nya Daniaty, Yuni, Nyta dan Theresia yang selalu memberikan semangat kepada penulis dalam mengerjakan skripsi, teman berbagi dan selalu mengingatkan penulis untuk mengerjakan skripsi. Bora, Elizabeth, Vina, Putri, Eben, Asman, Bhengan, Andes, Zemba, Perdana, Rolas, Zulkar, Metar, Martin, Hiras, Albert teman2 Fisika Stambuk 2008. Teman – teman, dan adik – adik pengurus Ikatan Mahasiswa Fisika tahun periode 2012 – 2013. Abang/ kakak senioran Fisika angkatan 2001–2007 yang sudah mau membagi pengalaman dan mengajari penulis, adik – adik junior mulai dari angkatan, 2009 Sabam dkk, 2010 Antoni dkk dan teristimewa adik junior stambuk 2011 semoga rajin kuliahnya supaya cepat wisuda.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang membangun demi penyempurnaan isi dan analisa yang disajikan. Akhir kata, semoga tulisan ini bermanfaat bagi pembaca.

Medan, April 2015

KAJIAN TEORITIK PERSAMAAN DIRAC DALAM PENGARUH MEDAN MAGNETIK HOMOGEN

ABSTRAK

Interaksi partikel Elementer selalu menunjukkan hal – hal baru jika dikaji dalam latar belakang (background) yang tidak biasa. Dalam penelitian ini dilakukan perlakuan khusus terhadap persamaan gerak partikel elementer yaitu persamaan Dirac yang dipengaruhi oleh medan magnet yang homogen. Hal ini dilakukan agar didapat solusi persamaan Dirac dalam pengaruh medan magnetik. Untuk tujuan tersebut, dilakukan dengan ditambahkannya pengaruh potensial magnetik terhadap momentum dan energi total suatu partikel bermuatan dalam kajian teoritis terhadap persamaan gerak yaitu persamaan Dirac. Dari penelitian ini didapat solusi persamaan Dirac yang baru. Sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat interaksi antara partikel elementer dengan medan magnetik eksternal yang merupakan latar (background).

v

THEORITICAL STUDIES OF DIRAC EQUATION IN THE BACKGROUND HOMOGEN MAGNETIC FIELD

ABSTRACT

Elementary particles interaction in certain external background always produce non trivial result. The researcher used special treatment toward elementary particle movement (Dirac equation) that is affected by homogen magnetic field. The researcher used this treatment to get solution of Dirac equation in influence of magnetic field. This is done by adding the influence of potential magnetic toward momentum and particle total energy as theoretical calculation toward Dirac equation. This research yield a solution of new Dirac equation. It can be concluded that there is interaction between elementary particle and external magnetic field as background.

DAFTAR ISI

Bab III Metodologi Penelitian dan Diagram Alir Penelitian 3.1 Metodologi Penelitian 18

3.2 Diagram Alir Penelitian 19

Bab IV Hasil dan Pembahasan 4.1 Solusi Persamaan Dirac Dalam Pengaruh Medan Magnetik Yang Seragam (Homogen) 20

4.1.1 Analisa Terhadap Solusi Persamaan Gelombang 20

4.1.2 Persamaan Dirac Dalam Pengaruh Medan Magnetik Seragam dengan menggunakan Defenisi Matrik Dirac 21

4.2 Penerapan U(P) (Spinor Dirac) Untuk Energi Dirac 23 4.2.1 Untuk Energi Negatif

vii

Bab V Kesimpulan dan Saran

5.1 Kesimpulan 28

5.2 Saran 29

Daftar Pustaka 30

Lampiran 31

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Medan Magnet Homogen dan Non Homogen 7

Gambar 2.2 Lapisan Medan Magnetik Bumi 8

Gambar 2.3 Pergerakan Partikel dalam Medan Magnetik 9

iv

KAJIAN TEORITIK PERSAMAAN DIRAC DALAM PENGARUH MEDAN MAGNETIK HOMOGEN

ABSTRAK

Interaksi partikel Elementer selalu menunjukkan hal – hal baru jika dikaji dalam latar belakang (background) yang tidak biasa. Dalam penelitian ini dilakukan perlakuan khusus terhadap persamaan gerak partikel elementer yaitu persamaan Dirac yang dipengaruhi oleh medan magnet yang homogen. Hal ini dilakukan agar didapat solusi persamaan Dirac dalam pengaruh medan magnetik. Untuk tujuan tersebut, dilakukan dengan ditambahkannya pengaruh potensial magnetik terhadap momentum dan energi total suatu partikel bermuatan dalam kajian teoritis terhadap persamaan gerak yaitu persamaan Dirac. Dari penelitian ini didapat solusi persamaan Dirac yang baru. Sehingga dapat disimpulkan bahwa terdapat interaksi antara partikel elementer dengan medan magnetik eksternal yang merupakan latar (background).

THEORITICAL STUDIES OF DIRAC EQUATION IN THE BACKGROUND HOMOGEN MAGNETIC FIELD

ABSTRACT

Elementary particles interaction in certain external background always produce non trivial result. The researcher used special treatment toward elementary particle movement (Dirac equation) that is affected by homogen magnetic field. The researcher used this treatment to get solution of Dirac equation in influence of magnetic field. This is done by adding the influence of potential magnetic toward momentum and particle total energy as theoretical calculation toward Dirac equation. This research yield a solution of new Dirac equation. It can be concluded that there is interaction between elementary particle and external magnetic field as background.

BAB I

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Medan magnetik sering ditemukan dalam berbagai skala kekuatan diberbagai tempat di jagat raya ini. Pusat galaksi, tata surya, matahari, planet-planet merupakan sumber medan magnetik. Seperti halnya matahari dan planet, bumi merupakan salah satu planet yang merupakan sumber magnetik yang sangat kuat. Medan magnetik bumi ini mengelilingi bumi dan membentuk magnetosphere yang menyelubungi bumi dan sering disebut dengan selimut Van Allen (Van Allen Belt). Selimut medan ini sangat penting bagi kelangsungan hidup di permukaan bumi, karena secara langsung selimut medan magnetik menghalau atau mencegah serbuan badai partikel elementer yang jika sampai di permukaan bumi maka akan terjadi reaksi inti di permukaan bumi dan tidak aka nada makhluk hidup yang dapat bertahan. Badai partikel elementer tersebut berasal dari reaksi inti bintang di alam raya yang tak terhingga jumlahnya.

Interaksi partikel elementer selalu menunjukkan hal-hal baru jika dikaji atau terjadi dalam background (latar belakang) yang tidak biasa. Studi propagasi partikel dalam suatu medan telah membuktikan bahwa terdapat hal-hal yang belum dimengerti pada permasalahan solar neutrino. Contoh yang khas dari permasalahan solar neutrino adalah hamburan neutrino-elektron (neutrino electron scattering) dalam pengaruh suatu medium atau background. Neutrino adalah salah satu partikel elementer dengan masa sangat kecil dan bermuatan netral. Neutrino di alam dihasilkan dalam jumlah yang melimpah melalui reaksi fusi nuklir pada matahari, bintang dan supernova.

mengenai interaksi neutrino dengan medan magnetik bumi. Dalam rangka untuk menentukan solusi baru yang lebih memadai bagi interaksi partikel dalam suatu background tertentu maka dilakukan perlakuan khusus seperti medan magnetik, terhadap persamaan gerak yang merupakan dasar dari penjelasan seluruh informasi partikel elementer yaitu persamaan Dirac. Persamaan Dirac adalah persamaan gerak yang menggambarkan seluruh tingkah laku partikel berspin setengah (partikel fermionik). Dengan persamaan Dirac, seluruh informasi partikel elementer bermassa dalam kecepatan tinggi dapat ditentukan. Oleh karena itu studi partikel elementer dalam pengaruh medan magnetik perlu dikembangkan sebagai salah satu upaya untuk menjawab berbagai permasalah yang muncul terkait partikel elementer. Penelitian-penelitian partikel elementer dalam sebuah akselerator partikel juga menggunakan suatu medan untuk mempercepat dan mengarahkan partikel yang bertabrakan tersebut. Oleh karena itu akan dijabarkan persamaan Dirac yang menjadi persamaan gerak dari partikel-partikel elementer, dalam pengaruh medan magnetik. Medan magnetik dalam hal ini adalah medan magnetik yang seragam untuk memudahkan perhitungan. Maka dari semua uraian, penulis tertarik untuk mengambil judul Kajian Teoritik Persamaan Dirac dalam Pengaruh Medan Magnetik Homogen.

1.2Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian latar belakang diatas, maka penulis merumuskan masalah yaitu sebagai berikut :

1. Bagaimana solusi persamaan medan Dirac jika berada dalam pengaruh medan magnetik yang seragam(homogen)?

2. Bagaimana bentuk penerapan Spinor Dirac untuk Energi Dirac ?

1.3Batasan Masalah

3

1.4Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penulis melakukan penelitian ini adalah :

1. Menentukan solusi persamaan medan Dirac jika berada dalam pengaruh medan magnetik yang seragam(homogen).

2. Menentukan bentuk penerapan Spinor Dirac untuk Energi Dirac.

1.5 Manfaat Penelitian

1. Bagi penulis, sebagai tambahan suatu gagasan dan konsep baru dalam pemecahan dan solusi dari persamaan Dirac dalam suatu latar belakang (Background) khususnya pengaruh medan magnetik yang seragam..

2.Dari solusi persamaan medan Dirac diharapkan menjadi pemicu timbulnya suatu pemecahan terhadap teka-teki interaksi partikel fermionik seperti teka-teki solar neutrino.

1.5Sistematika Penulisan

Untuk mempermudah pembahasan dan pemahaman pada skripsi ini, maka penulis membuat sistematika penulisann yang disusun dalam lima bab yaitu sebagai berikut :

Bab I Pendahuluan

Bab ini menjelaskan latar belakang penelitian, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian dan sistematika penulisan.

Bab II Tinjauan Pustaka

Bab ini menjelaskan tentang teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan tentang Kajian Teoritik Persamaan Dirac dalam Pengaruh Medan Magnetik Homogen.

Bab III Metodologi Penelitian dan Diagram Alir Penelitian

Bab IV Hasil dan Pembahasan

Bab ini akan membahas tentang hasil yang didapat dari penelitian dan pembahasan tentang hasil yang diperoleh dari penelitian tersebut.

Bab V Kesimpulan dan Saran

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Defenisi Medan

Bila bicara tentang partikel-partikel, maka akan selalu terkait dengan apa yang disebut dengan medan. Medan adalah sesuatu yang muncul merambah ruang waktu, tidak seperti partikel yang muncul di hanya satu titik pada suatu waktu, seperti hanlnya sebuah medan magnet. Medan biasanya direpresentasikan secara sistematis oleh medan skalar dan medan vektor.

2.1.1Medan Skalar

Medan skalar adalah sebuah fungsi (medan) yang menghasilkan nilai tunggal pada setiap titik dalam ruang. Namun nilai tunggal pada setiap titik tersebut tidak cukup untuk mengkarakterisasi besaran lainnya seperti kecepatan angin (selama arah pada setiap titik dalam ruang sangat perlu).

Contoh Medan Skalar : potensial listrik, temperatur, tekanan atmosfir, ketinggian, kedalaman dll.

2.1.2 Medan Vektor

2.2 Defenisi Medan Magnet

Medan magnet adalah suatu medan yang dibentuk dengan menggerakan muatan listrik (arus listrik) yang menyebabkan munculnya gaya di muatan listrik yang bergerak lainnya. Medan magnet adalah ruangan di sekitar kutub magnet, yang gaya tarik/tolaknya masih dirasakan oleh magnet lain. Sebuah medan magnet adalah medan vektor: yaitu berhubungan dengan setiap titik dalam ruang vektor yang dapat berubah menurut waktu. Arah dari medan ini adalah seimbang dengan arah jarum kompas yang diletakkan di dalam medan tersebut. Dalam fisika, Magnetisme adalah salah satu fenomena yang terjadi pada materi/benda yang dapat memberikan gaya menarik atau menolak terhadap benda lainnya. Beberapa benda yang memiliki sifat magnet adalah besi, dan beberapa baja, serta mineral Iodeston; namun, seluruh benda pasti terpengaruh oleh adanya gaya magnet ini walaupun kecil. Magnet selalu memiliki dua kutub yaitu: kutub Utara (North/ N) dan kutub Selatan (South/ S). Walaupun magnet itu dipotong-potong, potongan magnet kecil tersebut akan tetap memiliki dua kutub.

Medan magnetik didefinisikan sebagai daerah atau ruang di sekitar magnet yang masih dipengaruhi gaya magnetik. Kuat dan arah medan magnetik dapat juga dinyatakan oleh garis gaya magnetik. Jumlah garis gaya per satuan penampang melintang adalah ukuran “kuat medan magnetik”, dilambangkan dengan huruf “B”dan satuannya “Wb/m2” atau “Tesla”. Dan Bumi adalah medan magnet alam. Kuat medan magnet di suatu titik di dalam medan magnet ialah besar gaya pada suatu satuan kuat kutub di titik itu di dalam medan magnet m adalah kuat kutub yang menimbulkan medan magnet dalam Ampere-meter. R jarak dari kutub magnet sampai

titik yang bersangkutan dalam meter. dan H = kuat medan titik itu dalam : N

A m. atau

dalam Weber

7

2.2.1 Medan Magnet Homogen dan Medan Magnet non-Homogen

Gambar 2.1 Medan Magnet Homogen dan non-Homogen

Gambar diatas memperlihatkan penampang sebuah kumparan eksitasi. Di sini terlihat bahwa garis-garis fluks magnetik di sebelah dalam kumparan terbagi merata pada seluruh penampang dalam kumparan.

Medan magnet di mana semua garis fluks magnetik sejajar dan berjarak sama dinamakan medan magnet homogen.

Akan tetapi garis-garis fluks magnetik di sebelah luar kumparan tidak sejajar lagi dan jaraknya tidak lagi sama besar. Jenis medan magnet semacam ini dinamakan non-homogen.

2.3 Medan Magnetik Bumi

Badai matahari membahayakan bagi makhluk hidup yang peka terhadapa medan magnetik bumi, misalnya burung-burung, lumba-lumba, dan paus, yang menggunakan medan magnetik bumi sebagai penentu arah. Bahaya yang lain dialami oleh astronot yang berada di luar angkasa saat badai matahari terjadi. Sedangkan kita yang berada di bumi adalah relatif aman karena terlindungi oleh medan magnetik bumi.

Gambar 2.2 Lapisan Medan Magnetik Bumi

Medan magnet bumi membentang hingga jauh di atas atmosfer dan membentuk sebuah perisai yang melindungi bumi. Perisai ini diberi nama Sabuk Van-Allen. Besarnya energi listrik yang diperlukan untuk menjaga keberadaan medan magnet seperti ini hampir mencapai satu miliar ampere. Ini setara dengan jumlah energi listrik yang pernah dibangkitkan umat manusia sepanjang sejarah.

Kebanyakan dari sinar-sinar mematikan yang berasal dari angkasa luar, dan meteor yang melintas di angkasa tidak mampu menembus sabuk Van Allen. Selain panas, sinar, dan radiasi, matahari menyemburkan ke arah bumi badai yang terdiri atas proton dan elektron yang bergerak dengan kecepatan sekitar 1,5 kilometer per detik. Badai matahari ini merupakan salah satu bahaya paling besar. Namun badai matahari ini tidak mampu menembus Sabuk Van-Allen yang membentuk medan magnet berjarak 40 ribu mil (64360 km) dari bumi ini. Saat menghujani medan magnet tersebut, badai matahari yang berupa hujan partikel itu memudar, dan dibelokkan mengelilingi medan magnet ini.

9

Gambar 2.3 Pergerakan partikel dalam medan magnetik

Garis-garis magnet bumi yang membentang jauh ke angkasa, menangkap partikel-partikel bermuatan yang bergerak melingkari garis-garis magnet. Untuk mengkaji bagaimana informasi partikel yang bergerak tersebut, diambil persamaan Dirac. Bila sebuah partikel bermuatan bergerak tegak lurus dengan medan magnet homogen yang mempengaruhi selama geraknya, maka muatan akan bergerak dengan lintasan berupa lingkaran seperti pada gambar 2.3. Berikut gambar dibawah ini mengilustrasikan bagaimana angin/badai matahari dibiaskan oleh medan magnetik bumi sehingga makhluk di bumi bisa selamat.

2.4 Penggambaran Suatu Partikel dalam Teori Medan Kuantum

Dalam Teori Medan Kuantum setiap partikel memiliki pasangannya atau anti-partikelnya yang disebut dengan antimateri. Antipartikel memiliki kesamaan dalam seluruh informasi sistem partikel tersebut kecuali muatannya yang berlawanan. Sehingga partikel dan antipartikel sering disebut sebagai pasangan anti partikel yang berlawanan. Dan jika ditinjau dalam ranah relativitas maka partikel tersebut bergerak mendekati cahaya sehingga memiliki energi kinetik sebagai tinjauan energi total sistem partikel.

Saat ini diketahui bahwa kecepatan cahaya adalah kecepatan yang paling cepat di alam semesta (mutlak), sehingga partikel- antipartikel memiliki kecepatan yang tinggi mendekati kecepatan cahaya. Diketahui dalam ilmu fisika bahwa suara adalah salah satu bentuk gelombang dan dalam fisika kuantum, semua sistem partikel memiliki sifat gelombang maupun sebaliknya. Maka partikel – antipartikel merupakan salah satu fenomena dari fisika.

Pada Teori Medan Kuantum, jika partikel bertemu dengan anti-partikelnya maka akan terjadi fenomena alam yaitu pemusnahan materi atau pemusnahan pasangan (pair annihilation), proses anihilasi dari musnahnya pasangan partikel ini akan menghasilkan suatu photon berenergi tinggi (cahaya dengan frekuensi tinggi). Contohnya adalah positron yang bertemu dengan elektron akan saling memusnahkan dan menghasilkan suatu cahaya/photon. Inilah partikel-partikel berlawanan yang saling berbenturan dengan kecepatan tinggi mendekati cahaya dan merupakan fenomena Fisika kuantum yaitu partikel-gelombang, sehingga bunga-bunga api (cahaya) yaitu photon yang dihasilkan/terpancar/terpercik dari proses pair anihilation.

Pergerakan proses pemusnahan dan penciptaan partikel dari awal hingga akhir merupakan suatu kemungkinan dapat dapat diketahui dari solusi gelombangnya dan hal tersebut terjadi dalam ruang-waktu. Medan magnetik menyebabkan proses penciptaan dan pemusnahan partikel terjadi secara terus menerus dalam tingkat sub atom. Hal tersebut terjadi setiap saat dan disetiap tempat serta seimbang.

11

2.5 Energi Relativitas

Energi tidak dapat diciptakan atau dimusnakan, tetapi diubah ke bentuk yang lain. Pada awal abad ke-20, Einstein menyatakan bahwa massa dan energi adalah dua hal yang tidak bisa dipisahkan. Sebuah benda yang mempunyai massa akan mengandung sejumlah energi.

E = mc2

di mana E adalah energi, madalah massa, dan c adalah kecepatan cahaya dalam ruang hampa. Energi Relativitas adalah energi total ketika suatu benda dalam keadaan diam. Teori modern menyatakan bahwa baik massa maupun energi dapat dihancurkan, tetapi hanya pindah dari satu lokasi ke lokasi lain. Massa dan energi keduanya dilestarikan secara terpisah dalam relativitas khusus, dan tidak dapat dibuat atau dihancurkan. Dalam fisika, massa harus dibedakan dari materi , sebuah ide yang lebih kurang jelas dalam ilmu fisika. E = mc2, kadang-kadang digunakan sebagai penjelasan atas asal usul energi dalam proses nuklir, tetapi kesetaraan massa-energi tidak menjelaskan asal-usul energi tersebut. Sebaliknya, hubungan ini hanya menunjukkan bahwa sejumlah besar energi yang dilepaskan dalam reaksi tersebut dapat menunjukkan massa yang cukup bahwa massa-rugi dapat diukur, ketika energi yang dilepaskan (dan massa) telah dihapus dari sistem.

Jika objek bergerak cepat, massa relativistik lebih besar dari massa lain dengan jumlah yang sama dengan massa yang terkait dengan energi kinetik objek. Sebagai objek mendekati kecepatan cahaya, massa relativistik tumbuh jauh, karena energi kinetik tumbuh jauh dan energi ini dikaitkan dengan massa.

Relativistik adalah massa selalu sama dengan total (energi sisa energi ditambah kinetik) energi dibagi dengan c 2. Karena massa relativistik adalah persis sebanding dengan energi, massa relativistik dan energi relativistik hampir sinonim, satu-satunya perbedaan antara mereka adalah unit . Namun, sambungan atau relativitas energi total (E r)dengan atau invarian massa diam (m 0)membutuhkan

pertimbangan dari jumlah momentum sistem, dalam sistem dan frame referensi di

mana momentum memiliki nilai bukan nol.

adalah versi diperpanjang persamaan Einstein, yang disebut hubungan

energi-momentum relativistik. : � = (�2 �4 + �2�2)12

Di sini (pc) 2 istilah merupakan kuadrat dari norma Euclidean (panjang vektor total) dari vektor berbagai momentum dalam sistem, yang mengurangi dengan kuadrat besar momentum sederhana, jika hanya satu partikel dianggap. Untuk foton dimana m= 0,persamaan tereduksi menjadi E = pc.

2.6 Persamaan Dirac

Dalam fisika, lebih khusus mekanika kuantum relativistik, persamaan Dirac adalah persamaan gelombang, yang dirumuskan oleh fisikawan Inggris Paul Dirac pada tahun 1928. Ini memberikan deskripsi dasar spin ½ partikel, seperti elektron, konsisten dengan kedua prinsip-prinsip mekanika kuantum dan teori relativitas khusus, dan adalah teori pertama sepenuhnya untunk memperhitungkan relativitas dalam konteks mekanika kuantum. Ini menyumbang rincian halus dari spektrum hidrogen dalam cara yang sama sekali ketat.

Persamaan ini juga tersirat adanya suatu bentuk baru dari materi, antimateri, penemuan sampai sekarang yang tak terduga dan tidak teramati dan benar-benar mendahului eksperimental. Hal ini juga memberikan pembenaran teoritis untuk pengenalan beberapa komponen fungsi gelombang dalam teori fenomenologis Pauli dari spin. Penjelasan Dirac sendiri tentang spin menghasilkan penyatuan mekanika kuantum dan relativitas, dan akhirnya penemuan positron merupakan salah satu kemenangan besar dalam fisika teori.

2.6.1 Hamiltonian Dirac

Hamiltonian sistem partikel dengan massa (�) dan memiliki momentum ( ) secara relativistik klasik dipresentasikan dengan

2 _{= �}�_�2 _{+ �}2_�4 _(2.1)

13

Maka Hamiltonian pada persamaan (2.2) dapat ditulis

= � ���2+ ₁2+ ₂2+ ₃2 1 2

= � (2.4)

Persamaan diatas adalah Hamiltonian sistem relativistik dengan diketahui bahwa energi total dan momentum adalah suatu operator yang bekerja pada suatu fungsi. Sehingga persamaan diatas harus dioperasikan dengan suatu fungsi yaitu fungsi gelombang � ,dan dengan defenisi

₄

=

� (2.5)

₄ adalah momentum baru yang termodifikasi, sehingga persamaan (2.4) menjadi

₄ � = �

₄ − ���2+ 12+ 22+ 32 1

2 � = 0 (2.6)

2.4.2 Matrik Dirac

Tensor adalah geometri untuk memperluas pengertian skalar, vector dan matriks. Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan.

Matrik Dirac adalah massa partikel yang komponen energi dan momentumnya yang dituliskan dalam bentuk vektor dimensi empat dikalikan suatu matrik.

Salah satu sifat matrik Dirac antara lain

12 = 22 = 33 = 2 = 1

(2.7)

Dimana dan merupakan sinar yang dihasilkan karena adanya partikel dan antipartikel yang saling bertumbukan.

Dari persamaan kuantum relativistik Dirac yaitu

�ħ_�� = ��2 + (�ħ�(�_�))

Dimana gamma dalam hal ini yaitu sinar yang dihasilkan karena adanya partikel dan antipartikel yang saling bertumbukan.

Maka persamaan dapat ditulis menjadi

� �( ) + ��_ħ �( )  4

� �

�

15

Karena matrik berorde empat maka fungsi gelombang � haruslah matrik kolom 4x1.

Matrik diatas sering disebut bispinor (spinor Dirac).

Dengan menggunakan defenisi pada persamaan (2.10) didefenisikan konjugat hermit

2.3Persamaan Dirac Dalam Pengaruh Medan Magnetik

Telah diketahui bahwa peralihan dari klasik ke kuantum dilakukan dengan merubah besaran momentum dan energi total menjadi suatu operator yang beroperasi pada suatu fungsi keadaan � .

�_�ħ �

�

��ħ (2.14)

Peralihan dari klasik ke kuantum diatas adalah peralihan yang berlaku bagi partikel bebas. Untuk partikel bermuatan listrik yang berada dalam ruangan bermedan magnetik, haruslah dilakukan penyesuaian. Diketahui bahwa medan magnetik adalah curl dari suatu potensial vektor

= � ( ) (2.15)

Dengan defenisi dari potensial vektor dalam bentuk vektor empat, dimana vektor empat merupakan vektor yang berdimensi empat,

� ( ) = ( �ф ( 0),� ( )) (2.16) Dengan demikian momentum dari suatu partikel bermuatan yang berada dalam pengaruh medan magnetik berubah menjadi

��ħ +

�� ( ) (2.17)

Dengan q adalah muatan dari partikel tersebut dan c adalah kecepatan cahaya. Dengan demikian persamaan Dirac yang merupakan dasar dari persamaan gerak partikel fermionik menjadi berubah bentuk untuk partikel bermuatan listrik didalam pengaruh medan magnetik. Dengan persamaan kuantum Dirac untuk partikel bebas

�ħ�

� �( ) = {�(�ħ�� + �� )}�( ) (2.18)

Dengan berubahnya momentum untuk partikel bermuatan dalam pengaruh medan magnetic, sehingga persamaan kuantum relativistic Dirac dalam pengaruh medan magnetic menjadi

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN DAN DIAGRAM ALIR PENELITIAN

3.1 Metodologi Penelitian

3.2 Diagram Alir Penelitian

Persamaan Dirac

Vektor Potensial Āα(x) = B(x3)

B=Medan magnetic seragam

Persamaan Dirac dalam Pengaruh Medan Magnetik Seragam

Matrik Dirac

BAB IV

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1 Solusi Persamaan Dirac Dalam Pengaruh Medan Magnetik yang Seragam(Homogen)

4.1.1 Analisa Terhadap Solusi Persamaan Gelombang

Solusi gelombang bidang untuk partikel dengan momentum p dan energi E adalah

�( ) = (�) � �

ħ (4.1)

Dimana

= ( ₀,�) dan = ( ₀,�) (4.2)

Dan

= −�.� + _{0 0} (4.3)

Momentum ₀ = � , pada ₀ = yang merupakan ekspresi energi relativistik, yang

dinyatakan dengan

� = (�2 �4 + �2�2)12 (4.4)

Analisa satu persatu terhadap solusi persamaan gelombang yang dioperasikan pada persamaan 2.20 sehingga

�ħ �

� �( ) = (σk (�ħ� + � ( )) + ��

�ħ_�� � � _ħ� �

σk – �ħ� � � _ħ� � + ( ) � � _ħ��

��2 � � �

ħ� = 0 (4.5)

4.1.2 Persamaan Dirac Dalam pengaruh Medan Magnetik Seragam dengan Menggunakan Defenisi Matrik Dirac

Dengan menggunakan defenisi pada persamaan (4.3) dan defenisi pada persamaan (4.4) sehingga setelah dilakukan perhitungan persamaan (4.5) menjadi

−� − �� −��+ ( ) − ��2 � � _ħ� = 0 (4.6)

Fungsi eksponensial pada persamaan (4.6) diatas tidak mungkin bernilai nol, sehingga dapat ditulis menjadi

−� +�_� ��+ ( ) − ��2 � = 0 (4.7)

Persamaan diatas adalah persamaan Dirac stasioner yang terpengaruh medan magnetik. Sama halnya dengan fungsi gelombang ψ(x) maka (�) juga merupakan matrik kolom (4x1) dan dapat dibuat menjadi dua submatrik (2x1) yang disebut dua spinor.

(�) = (₍�_�)) =

Dengan menggunakan defenisi matrik Dirac sehingga persamaan Dirac menjadi

21

Dari persamaan (4.10) diatas dapat diuraikan berdasarkan masing-masing komponen matrik menjadi

Setelah bagian kuadratik diuraikan, sehingga persamaan (4.13) menjadi

(� �c2) (�)

=

�� ��

2

(�)

(� �c2)

(� 2�2�4)  �� 2− 2�� + 2 (�) = 0 (4.14)

Karena u(P) tidak mungkin nol, sehingga

� 2_�2_�4 − _(��)2 _{2�� +} 2 _{= 0}

Jika partikel dalam keadaan diam maka momentum dan vektor potensial dan medan magnetiknya menjadi nol, sehingga

� 2 _{= �}2_�4

� = ± ��2

Dapat disimpulkan bahwa tingkat energi partikel dalam pengaruh medan magnetik berbeda dengan tingkat energi partikel tanpa pengaruh medan magnetik. Hasil ini sesuai dengan ungkapan energi relativistik saat partikel dalam keadaan diam dan persamaan Dirac dipenuhi den gan harga E.

4.2 Penerapan U(P) (Spinor Dirac) Untuk Energi Dirac

Energi Dirac menggambarkan bahwa terdapat jarak atau rentang energi antara energi positif dan energi negatif dalam keadaan dasar dengan = 0. Sehingga dari energi negatif menuju energi positif diperlukan energi dua kali energi dasar dan sebaliknya. Energi positif yaitu jumlah energi yang dilakukan partikel, sedangkan energi negatif yaitu jumlah energi yang dilakukan antipartikel.

Partikel Dirac bebas terdiri dari dua bagian yaitu bagian positif dan bagian negatif.

 Bagian positif dimulai dari � = ��2 ketika = 0 hingga positif takberhingga +α. ( → ∞)

 Bagian negatif dimulai E=mc2 ketika P=0 hingga negatif takberhingga α. ( →∞)

 Diketahui bahwa ada jarak pemisah (Gap) energi dengan lebar 2��2 antara dua

bagian energi.

 Pada kondisi dasar, energi negatif merupakan kebalikan dari energi positif sehingga

jika

23

Penerapan U(P) untuk energi positif dan negatif dapat dijabarkan sebagai berikut:

4.2.1 Untuk energi negatif

(� ��2) (�) = �� (�� ) (�)

(4.16)

(�₊��2) (�) = �� (�� ) (�)

4.2.3 Dan untuk energi positif

(� + ��2) (�) = �� (�� ) (�)

(4.17)

(�+ + ��2) (�) = �� (�� ) (�)

Penjabaran untuk energi positif sebagai berikut

(�₊ + ��2) (�) = �� (�� ) (�)

(�) = �� �� 

�+ + ��2 (�)

(4.18)

Uraian untuk bagian pembilang di ruas kanan pada persamaan diatas sebagai berikut:

�_� �� = ��_�� �� ( ) (4.19)

( ) = ��( 0 ,�1 1 ,�2 2 ,�3 3 )

Jika persamaan (4.20) disubstitusikan kedalam persamaan (4.17) menjadi

(�) = 1

�++ ��2 �

3− 3 � 1− � 2

� 1+� 2 − � 3+ 3

25

4.2.3 Spinor- spinor Dirac

Diambil kemungkinan paling sederhana untuk spinor u(P), yaitu

dan didapat ₂(�) sebagai berikut:

Untuk menyederhanankan Spinor Dirac diatas, maka didefenisikan

 p+ = p1 + � ₂ (4.29)

 p = p1 � ₂

Sehingga spinor-spinor Dirac dapat ditulis menjadi

27

b. U2(P) = �

0 1

� −

�++ ��2

− � 3− 3

�++ ��2

c. V1(P) = �

− � 3− 3

�++ ��2

−� +

�++ ��2 1 0

(4.30)

d. V2(P) = �

−� +

�++ ��2

� 3− 3

�++ ��2 0 1

BAB V

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

1. Solusi persamaan dirac dalam pengaruh medan magnetik yang seragam menghasilkan suatu partikel yang berbeda dari partikel sebelumnya oleh medan magnetik yang searah sumbu z sehingga didapat solusi persamaan Dirac yang berbeda, dimana persamaan Dirac dengan medan magnetik menggunakan defenisi matrik Dirac menjadi:

� 2 _{= �}2_�4 _{+ (��)}2 _{+ 2�� +} 2

dimana dalam persamaan tersebut terjadi adanya penambahan momentum dan vektor potensial. Jika partikel dalam keadaan diam (tanpa medan magnetik) maka momentum dan vektor potensial menjadi nol,

� 2 _{= �}2_�4

sehingga hasilnya sesuai dengan ungkapan energy

relativistik saat partikel dalam keadaan diam dan

persamaan Dirac dipenuhi dengan harga E (Energi Relativitas).

2. Bentuk penerapan Spinor Dirac untuk Energi Dirac baik energi positif ataupun energi negatif dapat dilakukan dengan menggunakan defenisi matrik Dirac dan vektor potensialnya dan dengan medan magnetik yang seragam (homogen) dan bernilai konstan. Dimana bentuk spinor dirac

tanpa medan magnetik diantaranya

DAFTAR PUSTAKA

Bransden B dan Joachain C. 2000. Quantum Mechanics. Edisi Kedua Tottenham, England: Pearson prentice hall.

Bhattacharya,Kaushik. 2008. Solution of the Dirac equation in presence of an uniform magnetic field[arXiv:0705.4275v2 [hep-th] 13 Aug 2007]. Mexico city, Mexico : Universidad Nacional.

David J. Griffiths. 1999. Introduction to electrodynamics. Upper suddle River, New Jersey: Reed Collage Prentive Hall.

John David Jackson. 2001. Classical Electrodynamics, Third Edition. Berkeley, university of California: Hamilton Printing Compani.

Purwanto, Agus. 2006. Fisika Kuantum. Yogyakarta. Gava Media.

Thaller, Bernd. 1992. The Dirac Equation. Austria : Karl-Franzens Universitat Graz Heinrichstr.

LAMPIRAN 1

H = Hamiltonian, yaitu suatu persamaan gerak yang

(…)+ = (Degger) Operasi Hermitian …* = (Star) Operasi sekawan hermit

i = Bilangan imaginer

ħ = Konstanta Planck termodifikasi dengan nilai h/2π

k = Suatu matrik gamma/Dirac dalam 3 dimensi dengan nilai

k= -βαk

yang merupakan operasi diferensiasi terhadap ruang

B = Medan magnetik

�1 1 = Potensial vektor dalam koordinat x1 �2 2 = Potensial vektor dalam koordinat x2 �3 3 = Potensial vektor dalam koordinat x3

= Muatan partikel

(�) = Spinor Dirac

(�) = Salah satu Bispinor Dirac (�) = Salah satu Bispinor Dirac

� = Ekspresi energi relativistik

… = Operasi Normalisasi dengan rapat probabilitas = 1

N = Konstanta normalisasi