METODE ANALISIS HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL LINEAR
Azharra Fortuna Darno 1∗, Syamsudhuha2, Aziskhan2 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
2 Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
ABSTRACT
This article discusses the application of homotopy analysis method to solve linear Volterra and Fredholm integral equations of the first and second kind. To see the advantages, this method is applied to the four examples of linear Volterra and Fred-holm integral equation. The results show that the convergence of the method is very fast to approximate the exact solution.
Keywords: Homotopy analysis method, Volterra integral equation, Fredholm integral equation.
ABSTRAK
Artikel ini membahas penerapan metode analisis homotopi untuk menyelesaian per-samaan integral Volterra dan Fredholm linear jenis pertama dan kedua. Untuk melihat kelebihannya, metode ini diterapkan untuk empat contoh persamaan inte-gral Volterra dan Fredholm linear yang berbeda. Dari hasil yang didapat terlihat bahwa konvergensi metode ini sangat cepat ke solusi eksak.
Kata kunci: Metode analisis homotopi, persamaan integral Volterra, persamaan in-tegral Fredholm.
1. PENDAHULUAN
Dalam ilmu matematika sering kali ditemukan berbagai macam permasalahan dalam penyelesaian sebuah persamaan matematika. Salah satu permasalahan yang muncul adalah berbentuk persamaan integral. Persamaan integral adalah salah satu alat matematika yang paling berguna pada masalah matematika murni dan terapan. Secara umum, terdapat dua jenis persamaan integral [5, h. 33] yaitu persamaan integral Volterra yang batas integrasi nya berupa variabel dan persamaan integral Fredholm yang batas integrasinya berupa konstanta. Persamaan integral yang akan di bahas dalam penelitian ini adalah persamaan integral Volterra dan Fredholm linear jenis pertama dan kedua.
Tidak semua permasalahan yang dimodelkan ke bentuk persamaan integral da-pat diselesaikan dengan mudah, bahkan terdada-pat suatu persamaan integral yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Saat ini banyak metode analitik yang digu-nakan untuk menyelesaikan persamaan integral linear kurang memuaskan. Karena penyelesaiannya tidak dapat memberikan jaminan kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaiannya. Sehingga perlu diperkenalkan suatu teknik analisis baru yaitu Metode Analisis Homotopi (MAH). Beberapa tahun terakhir, metode analisis homotopi sangat populer di kalangan ilmuwan sebagai solusi pemecahan masalah untuk memecahkan persamaan integral [3].
Dalam menyelesaikan persamaan integral linear, banyak metode yang bisa digu-nakan. Beberapa metode yang biasa digunakan seperti : adomian decomposition method, modified decomposition method, variational iteration method, successive approximations method, dan sebagainya yang telah dijelaskan pada. Pada peneli-tian ini penulis akan menggunakan metode analisis homotopi untuk menyelesaikan persamaan integral linear.
Artikel ini merupakan review dari artikel yang ditulis oleh A. Adawi dan F. Awawdeh [1] yang berjudul ”A Numerical Method for Solving Linear Integral Equa-tions”. Pembahasan dimulai di bagian dua dengan menjelaskan metode analisis homotopi. Selanjutnya di bagian tiga dibahas tentang metode analisis homotopi untuk menyelesaikan persamaan integral linear, kemudian di bagian empat menye-lesaikan persamaan integral Volterra dan Fredholm linear dari beberapa contoh soal.
2. METODE ANALISIS HOMOTOPI
Pada bagian ini dibahas bentuk umum metode analisis homotopi. Metode analisis homotopi [4, h. 301] adalah teknik semi analitik untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear dan nonlinear. Metode ini menggunakan konsep homotopi dari topologi untuk menghasilkan solusi konvergen.
Misalkan diberikan persamaan diferensial
N[y(x)] = 0, (1)
dimana N adalah operator nonlinear, y(x) adalah fungsi yang tidak diketahui dan
x variabel bebas.
Kemudian diberikan bentuk homotopi seperti berikut ˆ
H[ϕ(x;q);y0(x), S(x), h, q] = (1−q)L[ϕ(x;q)−y0(x)]−qhS(x)N[ϕ(x;q)], (2) dengan y0(x) menunjukkan pendekatan awal dari solusi eksak y(x), h ̸= 0 adalah parameter tambahan,S(x)̸= 0 adalah fungsi tambahan,Loperator linear tambahan dengan L[r(x)] = 0 bila r(x) = 0. Kemudian menggunakan q ∈ [0,1] sebagai parameter embedding.
Misalkan
ˆ
diperoleh persamaan deformasi orde nol sebagai berikut
(1−q)L[ϕ(x;q)−y0(x)] =qhS(x)N[ϕ(x;q)]. (3) Berdasarkan persamaan (3), ketika q= 0 diperoleh
L[ϕ(x; 0)−y0(x)] = ˆH[ϕ(x; 0), y0(x), S(x), h,0],
ϕ(x; 0) =y0(x), (4)
dan ketika q= 1, persamaan (3) menjadi
−hS(x)N[ϕ(x; 1)] = ˆH[ϕ(x; 1), y0(x), S(x), h,1],
ϕ(x; 1) =y(x). (5)
Peningkatan nilai parameter q dari 0 ke 1 merupakan peningkatan dari pendekatan awaly0(x) ke penyelesaian eksaky(x). Dalam kajian topologi, hal ini dikenal dengan deformasi.
Ekspansi Taylor [2, h. 184] dari fungsi ϕ(x;q) menjadi suatu deret pangkat terhadap q ϕ(x;q) =y0(x) + ∞ ∑ m=1 ym(x)qm, (6) dengan ym(x) = 1 m! ∂mϕ(x;q) ∂qm q=0 . (7)
Jika tebakan awaly0(x), parameter linear tambahanL, parameter tambahan hyang bukan nol, dan fungsi tambahan S(x) dipilih dengan benar, sehingga deret pangkat (6) dari ϕ(x;q) konvergen pada q = 1. Dengan menggunakan persamaan (7), maka asumsi penyelesaian dari deret (6) adalah
ym(x) =ϕ(x; 1) =y0(x) + ∞
∑
m=1
ym(x). Lebih singkatnya, definisikan vektor
− →y
m(x) = (y0(x), y1(x), y2(x),· · · , ym(x)).
Selanjutnya jika kedua ruas pada persamaan (3) diturunkan terhadap q hingga m
kali dan mengevaluasi pada q= 0 kemudian dibagi oleh m!, maka diperoleh bentuk persamaan deformasi orde ke-m berikut
L[ym(x)−Xmym−1(x)] =hS(x)Rm(−→ym−1(x)), (8) ym(0) =0, dengan Rm(−→ym−1(x)) = 1 (m−1)! ∂m−1N[ϕ(x;q)] ∂qm−1 q=0 , (9)
dan
Xm =
{
0, m≤1 1, m >1.
ϕ(x; 1) =y(x) pada saat q= 1, maka berdasarkan persamaan (6) diperoleh
y(x) = y0(x) + ∞
∑
m=1
ym(x), (10)
sehingga persamaan (10) merupakan penyelesaian masalah nonlinear yang diberikan pada persamaan (1).
3. METODE ANALISIS HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA DAN FREDHOLM LINEAR
JENIS PERTAMA DAN KEDUA
Pada bagian ini dibahas metode analisis homotopi untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra dan Fredholm linear jenis pertama dan kedua. Diberikan bentuk persamaan integral Volterra dan Fredholm linear jenis pertama sebagai berikut
g(x) =λ ∫
a
K(x, t)y(t)dt, (11) dimana batas atas dapat berupa variabel atau konstanta, λ adalah bilangan kom-pleks, kernel K(x, t) dan g(x) adalah fungsi yang diketahui, sedangkan y(t) akan ditentukan. Misalkan
N[y] =g(x)−λ ∫
a
K(x, t)y(t)dt, (12) dari persamaan (9) dan (12) diperoleh
R(−→ym−1(x)) = (1−Xm)g(x)−λ
∫
a
K(x, t)ym−1(t)dt.
Persamaan deformasi orde ke−m (8) tereduksi menjadi
L[ym(x)−Xmym−1] =hS(x)[(1−Xm)g(x)−λ
∫
a
K(x, t)ym−1(t)dt]. (13)
Kemudian misalkan Ly = y, y(x) sebagai pendekatan orde nol untuk fungsi yang diinginkan, tebakan awal y0(x) =g(x), parameter tambahan h yang bukan nol dan fungsi tambahanS(x), dapat dipilihh= 1 danS(x) = 1. Kemudian disubstitusikan ke (13) untuk mendapatkan rumus iterasi sederhana untuk ym(x)
y0 =g(x),
ym(x) =ym−1(x)−λ
∫
a
sehingga didapat solusi y(x) dari (11) adalah y(x) = ∞ ∑ m=0 ym(x).
Jika dilakukan iterasi sampai n kali maka didapat solusi numerik atau solusi ham-piran untuk y(x) yang dinyatakan sebagai berikut
ˆ yn(x) = n ∑ m=0 ym(x).
Diberikan bentuk persamaan integral Volterra dan Fredholm linear jenis kedua
y(x) =g(x) +λ ∫
a
K(x, t)y(t)dt, (15) dimana batas atas dapat berupa variabel atau tetap, λ adalah bilangan kompleks,
kernel K(x, t) dan g(x) adalah fungsi yang diketahui, sedangkan y(t) akan diten-tukan. Misalkan
N[y] =y(x)−g(x)−λ ∫
a
K(x, t)y(t)dt, (16) dari (9) dan (16) diperoleh
R(−→ym−1(x)) =ym−1−λ
∫
a
K(x, t)ym−1(t)dt−(1−Xm)g(x). Sejalan dengan ini persamaan deformasi orde ke-m (8) memiliki bentuk
L[ym(x)−Xmym−1(x)] =hS(x)[ym−1(x)−λ
∫
a
K(x, t)ym−1(t)dt
−(1−Xm)g(x)]. (17) Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa metode aproksimasi digunakan untuk memecah-kan persamaan (15), diperoleh dengan pendekatan metode analisis homotopi. Ambil tebakan awal y0(x) = g(x), operator linear tambahan Ly=y, parameter tambahan
h yang bukan nol dan fungsi tambahan S(x), dapat dipilih h = −1 dan S(x) = 1. Kemudian disubstitusikan ke (17) y0(x) =g(x), ym(x) =λ ∫ a K(x, t)ym−1(t)dt, sehingga diperoleh y(x) = ∞ ∑ m=0 ym(x).
Jika dilakukan iterasi sampai n kali maka didapat solusi numerik atau solusi ham-piran untuk y(x) yang dinyatakan sebagai berikut
ˆ yn(x) = n ∑ m=0 ym(x). 4. CONTOH NUMERIK
Pada bagian ini diaplikasikan metode analisis homotopi pada dua buah contoh untuk memperlihatkan efisiensi solusi numerik metode analisis homotopi.
Contoh 1
Diberikan bentuk persamaan integral Volterra linear jenis kedua berikut
y(x) = (1 +x) +
∫ x 0
(x−t)y(t)dt.
Diketahui solusi eksaknya y(x) = ex. Pilih y0(x) = 1 +x. Solusi.
Dengan menggunakan metode analisis homotopi, maka diperoleh
y0(x) = 1 +x y1(x) = 1 2x 2 +1 6x 3 y2(x) = 1 24x 4 + 1 120x 5 y3(x) = 1 720x 6 + 1 5040x 7 , .. . = ... sehingga y(x) =y0(x) +y1(x) +y2(x) +y3(x) +· · · . =1 +x+ 1 2!x 2+ 1 3!x 3+ 1 4!x 4+ 1 5!x 5+ 1 6!x 6+ 1 7!x 7+· · · .
Tabel 1: Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik Contoh 1 x yeksak yˆ3(x) Eror 0 1.00000000000000 1.00000000000000 0.00000000000000 0.1 1.10517091807565 1.10517091807540 0.00000000000025 0.2 1.22140275816017 1.22140275809524 0.00000000006493 0.3 1.34985880757600 1.34985880589286 0.00000000168315 0.4 1.49182469764127 1.49182468063492 0.00000001700635 0.5 1.64872127070013 1.64872116815476 0.00000010254537 0.6 1.82211880039051 1.82211835428571 0.00000044610479 0.7 2.01375270747048 2.01375115819444 0.00000154927603 0.8 2.22554092849247 2.22553636571429 0.00000456277818 0.9 2.45960311115695 2.45959126267857 0.00001184847838 1 2.71828182845905 2.71825396825397 0.00002786020508 Contoh 2
Diberikan bentuk persamaan integral Fredholm linear jenis pertama berikut 1 2(e−1)e x = ∫ 1 2 0 ex+ty(t)dt.
Diketahui solusi eksaknya y(x) = ex. Pilih y0(x) = 12(e−1)ex. Solusi.
Dengan menggunakan metode analisis homotopi, maka diperoleh
y0(x) = 1 2(e−1)e x y2(x) = 1 2(e−1)e x+11 8 e x+1− 5 8e x− 7 8e x+2+1 8e x+3 y3(x) = 1 2(e−1)e x+23 8 e x+1− 19 16e x− 9 4e x+2+5 8e x+3− 1 16e x+4, .. . = ... sehingga y(x) =y0(x) +y1(x) +y2(x) +y3(x) +· · · . =1 2(e−1)e x+ 1 2(e−1)e x+11 8 e x+1−5 8e x− 7 8e x+2+1 8e x+3+1 2(e−1)e x + 23 8 e x+1− 19 16e x− 9 4e x+2+5 8e x+3− 1 16e x+4+· · · .
Tabel 2: Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik Contoh 2 x yeksak yˆ3(x) Eror 0 1.000000000000 0.999992188954 0.000007811046 0.1 1.105170918076 1.105162285535 0.000008632541 0.2 1.221402758160 1.221393217727 0.000009540433 0.3 1.349858807576 1.349848263767 0.000010543809 0.4 1.491824697641 1.491813044930 0.000011652711 0.5 1.648721270700 1.648708392463 0.000012878238 0.6 1.822118800391 1.822104567737 0.000014232654 0.7 2.013752707470 2.013736977956 0.000015729515 0.8 2.225540928492 2.225523544690 0.000017383802 0.9 2.459603111157 2.459583899084 0.000019212073 1 2.718281828459 2.718260595835 0.000021232624 y(x) yˆ3(x)
Contoh 3
Selesaikan persamaan integral Fredholm linear jenis kedua berikut
y(x) = cos(x) + 1 2 ∫ π 2 0 sin(x)y(t)dt.
Diketahui solusi eksaknya y(x) = cos(x) + sin(x). Pilih y0(x) = cos(x). Solusi.
Dengan menggunakan metode analisis homotopi, maka diperoleh
y0(x) = cos(x) y1(x) = 1 2sin(x) y3(x) = 1 8sin(x), .. . = ... sehingga y(x) =y0(x) +y1(x) +y2(x) +y3(x) +· · ·+y6(x) +· · · . = cos(x) + 1 2sin(x) + 1 4sin(x) + 1 8sin(x) +· · · .
Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik Contoh 3 ditunjukkan pada Tabel 3. Tabel 3: Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik Contoh 3
x yeksak yˆ3(x) Eror 0 1.00000000000000 1.00000000000000 0.00000000000000 0.1 1.09483758192485 1.08235840484400 0.01247917708085 0.2 1.17873590863630 1.15390224228692 0.02483366634938 0.3 1.25085669578695 1.21391666995428 0.03694002583267 0.4 1.31047933631154 1.26180204352295 0.04867729278858 0.5 1.35700810049458 1.29707990816905 0.05992819232553 0.6 1.38997808830471 1.31939777913033 0.07058030917438 0.7 1.40905987452218 1.32853266361747 0.08052721090471 0.8 1.41406280024669 1.32439328888425 0.08966951136244 0.9 1.40493687789815 1.30702101419471 0.09791586370344 1 1.38177329067604 1.27658941757505 0.10518387310099
y(x) yˆ3(x)
Gambar 2: Solusi eksak y(x) dan solusi numerik ˆy3(x).
Dari contoh yang telah dikerjakan terlihat bahwa solusi numerik konvergen ke solusi eksak. Dan hal ini memperlihatkan bahwa metode analisis homotopi sangat baik dalam menyelesaikan persamaan integral Volterra dan Fredholm linear jenis pertama dan kedua.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Adawi, A. & F. Awawdeh. 2009. A Numerical Method for Solving Linear Inte-gral Equations. International Journal of Contemporary Mathematics Sciences, 10: 485–496.
[2] Bartle, R. G. & D. R. Shebert. 1999. Introduction to Real Analysis, 3rd Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York.
[3] Liao, S. J. 2004. On the Homotopy Analysis Method for Nonlinear Problems.
Applied Mathematics and Computation,147: 499–513.
[4] Sieradski, A. J. 1992. An Introduction to Topology and Homotopy. PWS Kent Publishing Company, Boston.
[5] Wazwaz, A. M. 2011. Linear and Nonlinear Integral Equation. Methods and Applications. Springer, Berlin.
