PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN
INTEGRAL FUZZY VOLTERRA
QURROTUL A’YUN
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
ABSTRAK
QURROTUL A’YUN. Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Persamaan Integral Fuzzy Volterra. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI.
Banyak fenomena yang terjadi alam dapat dijelaskan dengan model matematika. Salah satu model matematika tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan integral fuzzy Volterra. Persamaan integral fuzzy Volterra yang dihasilkan biasanya dalam bentuk taklinear. Secara analitik masalah taklinear ini sulit diselesaikan. Dalam tulisan ini, persamaan integral fuzzy Volterra diselesaikan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi yang dapat dinyatakan dalam suatu deret pangkat terhadap suatu parameter 𝑝dan memenuhi suatu fungsi homotopi yang didefinisikan. Diberikan dua studi kasus yaitu kernel dari fungsi linear dan trigonometri. Berdasarkan dua kasus tersebut diperoleh bahwa semakin tinggi orde penyelesaian yang digunakan semakin mendekati penyelesaian sesungguhnya.
ABSTRACT
QURROTUL A’YUN. The Use of Homotopy Perturbation Method to Solve fuzzy Volterra integral equations. Supervised by JAHARUDDIN and SISWANDI.
Most phenomena in nature can be explained in mathematical models, such as fuzzy Volterra integral equation. The fuzzy Volterra integral equation is a nonlinear integral problem, which is usually difficult to solve by an analytical solution. In this paper, fuzzy Volterra integral equation is solved using perturbation homotopy method, which can be written as a power series in 𝑝 and satisfies a certain homotopy function. This manuscript discuss two case studies, i.e. the case of linear and trigonometric kernel functions. The result shows that the greater approximation order being used, the wider convergence solution area will be.
Keywords: homotopy perturbation method, fuzzy Volterra integral equation, and nonlinear problem
PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN
INTEGRAL FUZZY VOLTERRA
QURROTUL A’YUN
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
Judul Skripsi : Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan
Persamaan Integral Fuzzy Volterra
Nama
: Qurrotul A’yun
NIM
: G54070009
Menyetujui
Pembimbing I
Dr. Jaharuddin, MS
NIP. 19651102 199302 1 001
Pembimbing II
Drs. Siswandi, M.Si.
NIP. 19650820 199003 1001
Mengetahui
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS
NIP. 19650505 198903 2 004
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada ALLAH SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluarga tercinta : Muchtar (ayah), Bidayah (umi), dan adik Moqoddas Al-Aslami dan Mawaddah Addini atas semua doa, dukungan, semangat, pengorbanan, nasihat, pendidikan, perhatian, cinta dan kasih sayangnya.
2. Dr. Jaharuddin, M.S. dan Drs. Siswandi, M.Si. masing-masing sebagai dosen pembimbing I dan dosen pembimbing II atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini.
3. Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku dosen penguji.
4. Semua dosen Departemen Matematika, atas semua ilmu yang telah diberikan.
5. Keluarga besar dan staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Bu Ade, Pak Bono, Mas Hery, Mas Deni.
6. Kakak Math 43 atas saran dan semua ilmunya.
7. Teman-teman Math 44 : Ucu, Istiti, Wewe, Devi, Deva, Nunuy, Resa, Anis, Sari, Ruru, Siska, Lingga, Lugina, Diana, Yanti, Lilis, Ririh, Eka, Aswin, Wahyu, Aqil, Aze, Tanto, Rachma, Melon, Lili, Tita, Cicit, Selvi, Tendi, Ali, Lina, Ayum, Sri, Yuli, Zae, Dian, Vianey, Pepi, Igoy, Copa, Ayung, Endro, Dora, Ima, Fajar, Fani “kodok”, Masayu, Dika, Fani, Ikhsan, Della, Pandi, Abe, Tyas, Arina, Imam, Nadiroh, Rofi, Indin, Iyam, Olih, Ipul, Nurus, Lukman, Puyink, dan Na’im.
8. Teman-teman Math 45 : bolo, Isna, rischa, Gita, Mega, Santi, Agustina, Yunda, Aci dan lain-lain.
9. Anak-anak Kosan RZ : Caca, Laras, Ika, Ka Lana, Ka Minal, Ka Nurma, Ka Eli, Ka Dwi, Ka Surya, Ka Ana, dan Ka Erika.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Agustus 2011
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 26 September 1990 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan Muchtar dan Bidayah.
Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di TK Islam Madarijut Thalibin lulus pada tahun 1995, MI Madarijut Thalibin lulus pada tahun 2001, MTsN 4 Jakarta lulus pada tahun 2004, MAN 13 Jakarta lulus pada tahun 2007 dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf Sosinkom (Sosial Informasi dan Komunikasi). Selain itu penulis juga pernah menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Kalkulus II dan Kalkulus III.
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR GAMBAR ... ix DAFTAR TABEL ... ix DAFTAR LAMPIRAN ... ix I PENDAHULUAN ... 1 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Tujuan ... 1 1.3 Sistematika Penulisan ... 1 II LANDASAN TEORI ... 22.1 Himpunan Fuzzy dan Bilangan Fuzzy ... 2
2.2 Persamaan Integral Fuzzy ... 3
2.3 Metode Perturbasi Homotopi ... 3
III PEMBAHASAN ... 6 3.1 Analisis Metode ... 6 3.2 Aplikasi Metode ... 8 V SIMPULAN ... 14 DAFTAR PUSTAKA ... 15 LAMPIRAN ... 16
ix
DAFTAR GAMBARHalaman
1 Grafik Perbandingan penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan metode
perturbasi homotopi persamaan (2.16). ... 5
2 Grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian persamaan (3.18) ... 11
3 Grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian persamaan (3.31) ... 13
DAFTAR TABEL Halaman 1 Galat antara penyelesaian eksak dan metode pertubasi homotopi hingga orde 3 dengan 𝑥 =1 2 ... 11
2 Galat antara penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi suntuk 𝑥 =𝜋 4 ... 13 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Penurunan Persamaan (2.7) ... 17 2 Penyelesaian Persamaan (2.16) ... 18 3 Penurunan Persamaan (3.9) ... 20
4 Program Maple untuk Gambar 2 ... 25
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persamaan integral sering muncul dalam permasalahan di bidang matematika terapan, fisika, teknik, biologi dan lain sebagainya. Model seperti laju pertumbuhan penduduk, laju kelahiran, transfer radiasi dan proses penyaringan asap rokok merupakan model yang disajikan dalam bentuk persamaan integral. Persamaan integral merupakan suatu bentuk persamaan dimana variabel yang ingin
diketahui terdapat dalam integrand
persamaan integral tersebut. Jerri (1985)
mengklasifikasikan persamaan integral
berdasarkan batas pengintegralan pada
integral yang muncul menjadi dua bagian yaitu persamaan integral Volterra dan persamaan integral Fredholm. Golberg (1978) telah memberikan beberapa metode numerik untuk menyelesaikan persamaan integral, khususnya untuk menyelesaikan persamaan
integral Fredholm diantaranya metode
pendekatan kernel, kuadratur, galerkin, semianalitik dan proyeksi.
Pembahasan mengenai persamaan integral Volterra telah banyak dilakukan. Babolian dan Davari (2006) menyelesaikan persamaan
integral Volterra dengan menggunakan
dekomposisi Adomian. Beberapa penelitian difokuskan untuk memperoleh penyelesaian dari persamaan yang dimodelkan dalam persamaan taklinear. Dalam beberapa tahun terakhir, para peneliti memfokuskan pada penyelesaian persamaan integral Volterra secara numerik, seperti penggunaan metode implicity Linear collocation.
Teori himpunan fuzzy merupakan cara yang sering digunakan untuk pemodelan ketidakpastian dan untuk suatu proses yang samar-samar atau informasi subjektif dalam suatu model matematika. Konsep ini pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh (1965).
Terapan dari himpunan fuzzy dalam
kehidupan nyata antara lain mencakup kendali proses, klasifikasi dan pencocokan pola, manajemen dan pengambilan keputusan, riset operasi, teknik, dan ekonomi.
Konsep pengintegrasian fungsi fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Dubois dan Prade (1982). Pembahasan mengenai metode numerik untuk menyelesaikan persamaan integral fuzzy telah banyak dilakukaan
akhir-akhir ini terutama yang berkaitan dengan kontrol fuzzy. Dalam karya ilmiah ini akan digunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua. Metode perturbasi homotopi [He,2000] merupakan suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah tak linear. Dalam metode ini, akan didefinisikan suatu operator taklinear yang didasarkan pada bentuk tak linear dari masalah taklinear tersebut. penyelesaian
masalah taklinear dengan menggunakan
metode perturbasi homotopi dimisalkan dalam bentuk deret yang umum, sehingga tidak perlu dimisalkan dalam bentuk deret pangkat (polinomial) seperti yang dilakukan pada
metode dekomposisi Adomian. Metode
perturbasi homotopi merupakan suatu metode perpaduan dari metode homotopi dengan metode perturbasi.
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas
penyelesaian persamaan integral fuzzy
Volterra tipe kedua dengan menggunakan metode perturbasi homotopi..
1.2Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah :
a. Menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.
b. Membandingkan penyelesaian eksak
dengan hampiran penyelesaian yang
diperoleh.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakan pendahuluan yang berisi latar belakang dan tujuan penulisan. Bab kedua berupa landasan teori yang berisi beberapa istilah dan konsep dari metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua
pada pembahasan. Bab ketiga berupa
pembahasan yang berisi analisis metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua. Dalam bab ini juga disajikan hasil numerik untuk membandingkan penyelesaian eksak dengan hampiran penyelesaian yang diperoleh. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan.
II LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yangdigunakan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi himpunan fuzzy yang disarikan dari [Kusumadewi, 2004], bilangan fuzzy, persamaan integral
fuzzy Volterra yang disarikan dari
[T.Allahviranloo, 2010 ] dan metode perturbasi homotopi yang disarikan dari [He, 2000].
2.1 Himpunan Fuzzy dan Bilangan Fuzzy Himpunan fuzzy merupakan perluasan
konsep dari himpunan klasik yang
menggunakan nilai keanggotaan {0,1}
menjadi [0,1]. Pada himpunan klasik, nilai keanggotaan suatu item 𝑥 dalam suatu himpunan 𝐴, yang sering ditulis 𝐴[𝑥], memiliki dua kemungkinan yaitu, 1 yang berarti bahwa suatu item menjadi anggota dalam suatu himpunan dan 0 yang berarti bahwa suatu item tidak menjadi anggota dalam suatu himpunan. Sedangkan pada himpunan fuzzy nilai keanggotaan terletak pada rentang 0 sampai 1. Nilai 0 menunjukkan salah, nilai 1 menunjukkan benar, dan masih ada nilai-nilai yang terletak antara benar dan
salah. Himpunan fuzzy dapat juga
didefinisikan sebagai sekumpulan objek 𝑥 di mana masing-masing objek memiliki nilai
keanggotaan atau disebut juga nilai
kebenaran. Jika 𝑋 adalah sekumpulan objek dan 𝑥 adalah anggota dari 𝑋, maka himpunan
fuzzy 𝐴 yang memiliki domain 𝑋
didefinisikan sebagai
𝐴 = 𝑥, 𝜇𝐴 𝑥 𝑥 ∈ 𝑋 ,
dengan 𝜇𝐴 𝑥 merupakan nilai keanggotaan 𝑥
pada himpunan fuzzy 𝐴 yang bernilai [0,1]. Suatu bilangan fuzzy 𝑢 ∈ ℜ didefinisikan
sebagai pasangan (𝑢, 𝑢) dari fungsi
(𝑢(𝑟), 𝑢(𝑟)) yang memenuhi sifat – sifat berikut :
1. Fungsi 𝑢 merupakan fungsi yang monoton naik, terbatas, dan kontinu kiri pada [0,1]. 2. Fungsi 𝑢 merupakan fungsi yang monoton
turun, terbatas, dan kontinu kanan pada
[0,1].
3. 𝑢 𝑟 ≤ 𝑢 𝑟 dengan 0 ≤ 𝑟 ≤ 1.
Untuk lebih memahami bilangan fuzzy, berikut ini diberikan salah satu contoh bilangan fuzzy yaitu bilangan fuzzy segitiga
dengan parameter 𝑢 = (𝑚, 𝛼, 𝛽) yang
didefinisikan dengan 𝑢 = 𝑥−𝑚 𝛼 + 1, 𝑚 − 𝛼 ≤ 𝑥 ≤ 𝑚, 𝑚 −𝑥 𝛽 + 1, 𝑚 ≤ 𝑥 ≤ 𝑚 + 𝛽, 0, 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
dan diperoleh bentuk parametrik sebagai berikut:
𝑢 𝑟 = 𝑚 − 1 − 𝑟 𝛼,
𝑢 𝑟 = 𝑚 + 1 − 𝑟 𝛽.
Berikut ini operasi penjumlahan dan perkalian skalar pada himpunan bilangan fuzzy. Untuk sembarang bilangan fuzzy
𝑢 = (𝑢, 𝑢) dan 𝑣 = (𝑣, 𝑣) didefinisikan penjumlahan (𝑢 + 𝑣) sebagai berikut:
𝑢 + 𝑣 𝑟 = 𝑢 𝑟 + 𝑣(𝑟),
𝑢 + 𝑣 𝑟 = 𝑢 𝑟 + 𝑣 𝑟 (2.1) dan untuk bilangan real 𝑘 > 0 didefinisikan perkalian skalar sembarang bilangan fuzzy sebagai berikut:
𝑘𝑢 𝑟 = 𝑘𝑢 𝑟 , 𝑘𝑢 𝑟 , 𝑘 ≥ 0; 𝑘𝑢 𝑟 , 𝑘𝑢 𝑟 , 𝑘 < 0.
(2.2)
Selanjutnya, untuk sembarang bilangan
fuzzy 𝑢 = (𝑢, 𝑢) dan 𝑣 = (𝑣, 𝑣)
didefinisikan fungsi jarak antara 𝑢 dan 𝑣
sebagai berikut 𝐷 𝑢, 𝑣 = max sup 0≤r≤1 𝑢 𝑟 − 𝑣 𝑟 , sup0≤r≤1 𝑢 𝑟 − 𝑣 𝑟 . (2.3) Misalkan 𝐷: 𝐸1→ [0,1] memenuhi 𝐷 𝑢, 𝑢 = 0, 𝐷 𝑢, 𝑣 > 0 ∀𝑢 ≠ 𝑣 , 𝐷 𝑢, 𝑣 = 𝐷(𝑣, 𝑢), dan 𝐷 𝑢, 𝑣 ≤ 𝐷 𝑢, 𝑤 + 𝐷(𝑤, 𝑣), maka 𝐷 merupakan metrik untuk 𝐸1 dan
(𝐸1 , D) merupakan suatu ruang metrik karena
himpunan 𝐸1 dilengkapi dengan suatu metrik
𝐷.
Berikut ini akan didefinisikan konsep
integral dari fungsi fuzzy dengan
menggunakan konsep integral Rieman. Misalkan 𝑓: 𝑎, 𝑏 → 𝐸1. untuk setiap partisi 𝑝 = {𝑡0, 𝑡1, … , 𝑡𝑛} dengan =
3
dan untuk sembarang 𝜀𝑖 dengan 𝑡𝑖−1 ≤𝜀𝑖 ≤ 𝑡𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, misalkan
𝑅𝑝 = 𝑛𝑖=1𝑓 𝜀𝑖 𝑡𝑖− 𝑡𝑖−1 (2.4)
Integral 𝑓(𝑥) pada [𝑎, 𝑏] didefinisikan sebagai berikut :
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim→0𝑅𝑝 𝑏
𝑎 ,
(2.5)
asalkan limit tersebut ada terhadap metrik D. Jika 𝑓 𝑥 kontinu terhadap metrik 𝐷, maka integral tentu dari 𝑓(𝑥) tersebut ada, kemudian didefinisikan
𝑓 𝑥, 𝑟 𝑑𝑥𝑎𝑏 = 𝑓𝑎𝑏 𝑥, 𝑟 𝑑𝑥 𝑓 𝑥, 𝑟 𝑑𝑥𝑎𝑏 = 𝑓 𝑥, 𝑟 𝑑𝑥𝑎𝑏
(2.6)
2.2 Persamaan Integral Fuzzy Volterra Persamaan integral Volterra tipe kedua dapat dinyatakan dalam bentuk berikut:
𝑢 𝑥
= 𝑓 𝑥 + 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
𝑎
, (2.7)
dengan 𝑘 𝑥, 𝑡 didefinisikan sebagai fungsi kernel pada daerah persegi 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 dan
𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑥. Fungsi 𝑓(𝑥) merupakan fungsi dari 𝑥 dengan 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
Persamaan integral Volterra tipe kedua pada persamaan (2.7) banyak muncul pada masalah osilasi dalam fisika. Masalah osilasi dinyatakan dalam persamaan differensial biasa orde dua berikut
𝑢"(𝑥) + 𝐴(𝑥)𝑢′ + 𝐵(𝑥)𝑢 = 𝑔(𝑥),
penyelesaian persamaan differensial biasa tersebut berupa suatu persamaan integral Volterra tipe kedua.
(Lampiran 1)
Pada persamaan integral Volterra tipe kedua jika 𝑓(𝑥) berupa fungsi fuzzy yaitu fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑟), maka persamaan tersebut akan memiliki penyelesaian dalam
bentuk fuzzy. Misalkan 𝑓 𝑥, 𝑟 =
𝑓 𝑥, 𝑟 , 𝑓(𝑥, 𝑟) dan
𝑢 𝑥, 𝑟 = (𝑢 𝑥, 𝑟 , 𝑢(𝑥, 𝑟)), 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 yang masing-masing merupakan bentuk parametrik dari fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑢(𝑥) untuk 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 ,
maka bentuk persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua adalah:
𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 + 𝑘1 𝑥, 𝑡, 𝑢 𝑡, 𝑟 , 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡, 𝑥 𝑎 𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 + 𝑘2 𝑥, 𝑡, 𝑢 𝑡, 𝑟 , 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑎 (2.8) dengan 𝑘1 𝑥, 𝑡, 𝑢 𝑡, 𝑟 , 𝑢 𝑡, 𝑟 = 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑥, 𝑟 , 𝑘 𝑥, 𝑡 ≥ 0; 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑥, 𝑟 , 𝑘 𝑥, 𝑡 < 0 (2.9) dan 𝑘2 𝑥, 𝑡, 𝑢 𝑡, 𝑟 , 𝑢 𝑡, 𝑟 = 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑥, 𝑟 , 𝑘 𝑥, 𝑡 ≥ 0;𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑥, 𝑟 , 𝑘 𝑥, 𝑡 < 0, (2.10)
untuk setiap 0 ≤ 𝑟 ≤ 1 dan 𝑡 ≥ 𝑎. 2.3 Metode Perturbasi Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan alur pada pustaka [He, 2000]. Misalkan secara umum diberikan suatu persamaan integral sebagai berikut:
𝐴 𝑢 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ Ω (2.11)
dengan 𝐴 merupakan suatu operator yang
melibatkan persamaan integral, 𝑢 merupakan fungsi yang akan ditentukan dan 𝑓(𝑥)
merupakan fungsi yang diketahui. Selanjutnya didefinisikan pula suatu operator linear 𝐿 yang memenuhi
𝐿 𝑦 = 0, bila 𝑦 = 0. (2.12)
Misalkan 𝑢0(𝑥) pendekatan awal dari
penyelesaian persamaan (2.11) dan 𝑝 ∈ [0,1]
suatu parameter. Didefinisikan fungsi real
𝑈 𝑥, 0 : Ω × [0,1] → ℜ dan suatu fungsi 𝐻
sebagai berikut:
𝐻 𝑈, 𝑝 = 1 − 𝑝 [𝐿 𝑈 − 𝐿[𝑢0]]
+ 𝑝 𝐴 𝑈
− 𝑓 𝑥 (2.13)
Berdasarkan persamaan (2.13), maka untuk
𝑝 = 0 dan 𝑝 = 1 masing-masing memberikan persamaan berikut:
4
dan𝐻 𝑈(𝑥, 1),1 = 𝐴[𝑈 𝑥, 1 ] − 𝑓(𝑥)
Sehingga menurut persamaan (2.11) dan persamaan (2.12) diperoleh bahwa fungsi
𝑈 𝑥, 0 = 𝑢0(𝑥)
dan
𝑈 𝑥, 1 = 𝑢(𝑥)
masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan
𝐻 𝑈(𝑥, 0),0 = 0
dan
𝐻 𝑈(𝑥, 1),1 = 0.
Dengan demikian peningkatan nilai 𝑝 dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai 𝐻(𝑈, 𝑝)
dari 𝐿[𝑈 − 𝑢0] ke 𝐴[𝑈] − 𝑓(𝑥). Dalam
topologi, proses ini disebut deformasi. Proses deformasi yang ditinjau meliputi deformasi orde nol dan orde tinggi. Pada deformasi orde nol memberikan penyelesaian awal 𝑢0,
sedangkan deformasi orde tinggi memberikan penyelesaian 𝑢1, 𝑢2, ⋯ , 𝑢𝑖.
Dalam metode perturbasi homotopi, Penyelesaian fungsi 𝐻 𝑈, 𝑝 = 0 diasumsikan dapat ditulis dalam bentuk deret Taylor fungsi
𝑈(𝑥, 𝑝) terhadap 𝑝 sebagai berikut:
𝑈 𝑥, 𝑝 = 𝑢0 𝑥 + 𝑢𝑖 𝑥 ∞
𝑖=1
𝑝𝑖.
(2.14) Berdasarkan persamaan (2.14) untuk 𝑝 = 1, maka akan diperoleh
𝑈 𝑥, 1 = 𝑢0 𝑥 + 𝑢𝑖(𝑥) ∞
𝑖=1
Karena 𝑢 𝑥 = 𝑈(𝑥, 1), maka diperoleh
𝑢(𝑥) = 𝑢0 𝑥 + 𝑢𝑖(𝑥). (2.15) ∞
𝑖=1
Hasil ini menunjukkan hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (2.11) dengan pendekatan awal 𝑢0(𝑥) dan 𝑢𝑖(𝑥),
𝑖 = 1,2, … yang akan ditentukan. Untuk menentukan 𝑢𝑖(𝑥), 𝑖 = 1,2, … diperoleh
dengan menggunakan metode perturbasi, dimana persamaan (2.14) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.13) dan diperoleh 𝑢𝑖.
Secara umum 𝑢𝑖 diperoleh dengan
menyamakan koefisien perpangkatan 𝑝, dan
𝑢0(𝑥) merupakan pendekatan awal dari
penyelesaian 𝑢(𝑥).
Selanjutnya, untuk lebih memahami metode ini, misalkan diberikan sebuah persamaan integral Volterra tipe kedua sebagai berikut: 𝑢 𝑥 = ex+1 2𝑥 e 2x− 1 − 𝑥𝑢2(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 0 . (2.16) dengan 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥+1 2𝑥(𝑒 2𝑥− 1) dan 𝑘 𝑥, 𝑡 = 𝑥.
Penyelesaian eksak persamaan (2.16) adalah
𝑢 𝑥 = 𝑒𝑥.
Berikut ini akan dicari penyelesaian dari
persamaan (2.16) dengan menggunakan
metode perturbasi homotopi. Selanjutnya didefinisikan operator 𝐿 sebagai berikut
𝐿[𝑈] = 𝑈
dan
𝐴 𝑈 = 𝑈 − 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑈(𝑡)𝑑𝑡
𝑥
0
sehingga berdasarkan persamaan (2.13)
diperoleh persamaan fungsi 𝐻 sebagai berikut:
𝐻 𝑈, 𝑝 = 1 − 𝑝 𝑈 𝑥, 𝑝 − 𝑢0 𝑥 +𝑝 𝑈 𝑥, 𝑝 − 𝑓(𝑥) − 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 0 , atau 𝐻 𝑈, 𝑝 = 1 − 𝑝 𝑈 𝑥. 𝑝 − 𝑢0 𝑥 +𝑝 𝑈 𝑥, 𝑝 − 𝑥𝑈2 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 0 − 𝑒𝑥 −1 2𝑥 𝑒 2𝑥− 1 . (2.17)
dengan 𝑈(𝑥, 𝑝) merupakan peyelesaian dari
5
𝑈 𝑥, 𝑝 = 1 − 𝑝 𝑢0 𝑥 − 𝑝 −𝑒𝑥−1 2𝑥 𝑒 2𝑥− 1 + 𝑥𝑈2 𝑡, 𝑝 𝑥 0 𝑑𝑡 . (2.18)Misalkan penyelesaian persamaan (2.18) dinyatakan dalam bentuk:
𝑈 𝑥, 𝑝 = 𝑢0+ 𝑝𝑢1+ 𝑝2𝑢2+ ⋯. (2.19)
Jika persamaan (2.19) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.18), maka koefisien
𝑝0, 𝑝1, 𝑝2, ⋯ masing-masing memberikan sebagai berikut 𝑢0 𝑥 = 𝑢0 𝑥 , 𝑢1 𝑥 = −𝑥 𝑢02 𝑡 𝑑𝑡, 𝑥 0 𝑢2 𝑥 = −𝑥 2𝑢0 𝑡 𝑢1 𝑡 𝑑𝑡, 𝑥 0
dan seterusnya diperoleh 𝑢3 𝑥 , 𝑢4 𝑥 , dan
⋯.
(Lampiran 2)
Karena dipilih pendekatan awal sebagai berikut: 𝑢0 𝑥 = ex+ 1 2𝑥 e 2x− 1 , maka diperoleh: 𝑢1 𝑥 = 1465 1152𝑥 − 3 8e 2xx −1 3e 3xx2+1 9e 3xx +exx2− exx − 1 16e 4xx3+ 1 32e 4xx2 − 1 128e 4xx +1 4e 2xx3−1 4e 2xx2− 1 12x 4
dan seterusnya diperoleh pula 𝑢2(𝑥), 𝑢3(𝑥),
𝑢4(𝑥), ⋯.
Berdasarkan persamaan (2.15), maka
hampiran penyelesaian dari persamaan (2.16) adalah 𝑢 𝑥 ≈ ex+1 2𝑥 e 2x− 1 +1465 1152𝑥 − 3 8e 2xx −1 3e 3xx2+1 9e 3xx + exx2 + ⋯
Perbandingan penyelesaian eksak persamaan (2.16) dan penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi diberikan pada Gambar 1. Pada Gambar 1 terlihat bahwa penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi terlihat sangat dekat untuk nilai 𝑥 tertentu.
Gambar 1 Perbandingan penyelesaian eksak
dan penyelesaian dengan menggunakan
III PEMBAHASAN Pada bagian ini akan dibahas kegunaan
metode perturbasi homotopi untuk
menyelesaikan suatu masalah taklinear.
Metode ini akan digunakan untuk
menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua. Agar validitas metode ini terjamin, maka akan diberikan suatu contoh kasus dari persamaan integral fuzzy Volterra dan membandingkan penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian yang diperoleh dengan metode perturbasi homotopi.
3.1Analisis Metode
Dalam karya ilmiah ini akan digunakan
metode perturbasi homotopi untuk
menyelesaikan persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua. Bentuk umum dari persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua diberikan pada persamaan (2.8). Perluasan dari konsep dasar metode perturbasi homotopi yang telah diuraikan di landasan teori memerlukan fungsi 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) yang tidak hanya bergantung pada parameter 𝑥 dan 𝑝, tetapi juga bergantung pada parameter 𝑟
dengan 0 ≤ 𝑟 ≤ 1. Misalkan fungsi 𝐻
dinyatakan sebagai berikut
𝐻 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝 = 1 − 𝑝 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 − 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 − 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 𝑐 𝑎 atau 𝐻 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝 = 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑈0 𝑥, 𝑟 − 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 − 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 𝑐 𝑎 dan 𝐻 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝 = 1 − 𝑝 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 − 𝑈 0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 − 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 − 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 atau 𝐻 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝 = 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 − 𝑈 0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑈0 𝑥, 𝑟 − 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 − 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 (3.1) Selanjutnya, berdasarkan persamaan (3.1)
untuk nilai 𝑝 = 0 diperoleh
𝐻 𝑈 𝑥, 0, 𝑟 , 0 = 𝑈 𝑥, 0, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟
dan
𝐻 𝑈 𝑥, 0, 𝑟 , 𝑝 = 𝑈 𝑥, 0, 𝑟 − 𝑈 0 𝑥, 𝑟 .
(3.2)
Kemudian untuk nilai 𝑝 = 1 diperoleh persamaan berikut 𝐻 𝑈 𝑥, 1, 𝑟 , 1 = 𝑈 𝑥, 1, 𝑟 − 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 − 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 dan
7 𝐻 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝 = 𝑈 𝑥, 1, 𝑟 − 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 − 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 (3.3) Misalkan fungsi 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) dan 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟)
masing-masing merupakan penyelesaian dari
𝐻 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝 = 0 dan 𝐻 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝 = 0. Berdasarkan persamaan (3.1), maka akan diperoleh 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 dan 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 . (3.4) Fungsi 𝑈( 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝) dan 𝑈( 𝑥, 𝑝, 𝑟 , 𝑝)
tidak hanya bergantung pada parameter 𝑥 dan
𝑝, tetapi juga bergantung pada parameter 𝑟. Berdasarkan persamaan (3.4), maka untuk
𝑝 = 0 diperoleh masing-masing penyelesaian dari persamaan 𝐻 𝑈 𝑥, 0, 𝑟 , 0 = 0 dan
𝐻 𝑈 𝑥, 0, 𝑟 , 0 = 0 sebagai berikut
𝑈 𝑥, 0, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟
dan
𝑈 𝑥, 0, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 .
Selanjutnya, untuk 𝑝 = 1 diperoleh
penyelesaian persamaan berikut
𝑈 𝑥, 1, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 dan 𝑈 𝑥, 1, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 1, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 (3.5) Berdasarkan metode perturbasi homotopi,
fungsi 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) dan 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) dapat
diasumsikan dalam bentuk deret pangkat dalam 𝑝 berikut 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 = 𝑝𝑖𝑢 𝑖 𝑥, 𝑟 , ∞ 𝑖=0 dan 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 = 𝑝𝑖𝑢 𝑖(𝑥, 𝑟) ∞ 𝑖=0 . (3.6)
Berdasarkan persamaan (3.6) dan
persamaan (3.4), maka akan diperoleh koefisien dari perpangkatan 𝑝. Koefisien 𝑝0
memberikan
𝑢0 𝑥, 𝑟 = 𝑈0(𝑥, 𝑟)
dan
𝑢0 𝑥, 𝑟 = 𝑈0(𝑥, 𝑟).
(3.7) Selanjutnya, koefisien untuk 𝑝1 memberikan
𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 dan 𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 . (3.8)
8
Secara umum, koefisien 𝑝𝑖+1 untuk 𝑖 ≥ 1
memberikan 𝑢𝑖+1 𝑥, 𝑟 = 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 dan 𝑢𝑖+1 𝑥, 𝑟 = 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 . 𝑥 𝑐 (3.9) (Lampiran 3)
Dengan membuat nilai 𝑝 = 1, maka akan diperoleh 𝑢 𝑥, 𝑟 = lim 𝑝→1𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 = 𝑢𝑖 𝑥, 𝑟 ∞ 𝑖=0 dan 𝑢 𝑥, 𝑟 = lim 𝑝→1𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 = 𝑢𝑖 𝑥, 𝑟 ∞ 𝑖=0 . (3.10) Dengan demikian apabila diberikan suatu persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua seperti pada persamaan (2.8), maka dengan menggunakan metode perturbasi homotopi
akan diperoleh hampiran penyelesaian
persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua sebagai berikut 𝑢 𝑥, 𝑟 ≈ 𝑢𝑖 𝑥, 𝑟 ∞ 𝑖=0 dan 𝑢 𝑥, 𝑟 ≈ 𝑢𝑖 𝑥, 𝑟 , ∞ 𝑖=0 (3.11) dengan 𝑢𝑖(𝑥, 𝑟) dan 𝑢𝑖(𝑥, 𝑟) diperoleh dari
persamaan (3.8) dan persamaan (3.9) serta
𝑢0(𝑥, 𝑟) dan 𝑢0(𝑥, 𝑟) merupakan pendekatan
awal yang dipilih.
3.2 Aplikasi Metode
Tinjau persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua yang diberikan pada persamaan (2.8). Berdasarkan persamaan (2.9) dan persamaan (2.10), maka persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua dapat ditulis sebagai berikut: 𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 dan 𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 , 𝑥 𝑐 (3.12) dengan 𝑘(𝑥, 𝑡) merupakan fungsi kernel. Nilai
𝑐 ditentukan berdasarkan nilai 𝑘(𝑥, 𝑡)
taknegatif untuk 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑐 dan 𝑘(𝑥, 𝑡)
takpositif untuk 𝑐 ≤ 𝑡 ≤ 𝑥.
Untuk lebih memahami penggunaan
metode perturbasi homotopi pada persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua, maka berikut ini diberikan dua ilustrasi persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua dengan fungsi kernel yang berbeda. Pada kasus pertama fungsi kernel yang diberikan berupa fungsi linear dan pada kasus kedua diberikan fungsi kernel berupa fungsi trigonometri. Kasus I: kernel berupa fungsi linear Misal
𝑘 𝑥, 𝑡
= 𝑥2 1 − 2𝑡 , (3.13)
dengan
0 ≤ 𝑥 ≤ 1 dan 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑥 serta 𝑎 = 0, 𝑏 = 1,
dan diberikan fungsi 𝑓(𝑥, 𝑟) dan 𝑓 𝑥, 𝑟
sebagai berikut: 𝑓 𝑥, 𝑟 = 𝑟𝑥 − 𝑥2 2 3𝑟𝑥 3−4 3𝑥 3−1 2𝑟𝑥 2 + 𝑥2+ 1 12𝑟 − 1 12 (3.14) dan 𝑓 𝑥, 𝑟 = 2 − 𝑟 𝑥 +𝑥2 2 3𝑟𝑥 3−1 2𝑟𝑥 2+ 1 12𝑟 − 1 12 (3.15)
Penyelesaian eksak untuk kasus 1 ini adalah:
9
dan
𝑢 𝑥, 𝑟 = 2 − 𝑟 𝑥. (3.17) Pada contoh ini, diperoleh nilai 𝑘(𝑥, 𝑡)
taknegatif untuk 0 ≤ 𝑡 ≤1 2 dan 𝑘(𝑥, 𝑡) takpositif untuk 1 2≤ 𝑡 ≤ 𝑥, sehingga diperoleh 𝑐 =1 2.
Berdasarkan persamaan (3.12), maka akan memberikan bentuk persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua dari persamaan (3.14) dan persamaan (3.15) sebagai berikut
𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 1 2 0 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 1 2 dan 𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 1 2 0 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 1 2 (3.18) Berdasarkan pendekatan metode homotopi yang telah diuraikan di awal, maka berdasarkan persamaan (3.4) akan diperoleh
penyelesaian persamaan homotopi dari
persamaan (3.18) sebagai berikut 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝[ 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 1 2 0 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑥 1 2 ] dan 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝[𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 1 2 0 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈(𝑡, 𝑝, 𝑟)𝑑𝑡]. 𝑥 1 2 (3.19)
Untuk memperoleh hampiran penyelesaian dari persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua, maka akan ditentukan terlebih dahulu koefisien dari perpangkatan 𝑝. Berdasarkan persamaan (3.7) -(3.9), diperoleh koefisien 𝑝0,
dan 𝑝1 masing-masing memberikan
𝑢0 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 , 𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 1 2 0 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 1 2 .
Secara umum diperoleh
𝑢𝑖+1 𝑥, 𝑟 = 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 1 2 0 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 1 2 .
Selain itu, koefisien 𝑝0, dan 𝑝1 masing-masing memberikan 𝑢0 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 , 𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 1 2 0 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 1 2 .
Secara umum diperoleh
𝑢𝑖+1 𝑥, 𝑟 = 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 1 2 0 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 1 2
Selanjutnya, pilih pendekatan awal
𝑈0 𝑥, 𝑟 = 0 dan 𝑈0 𝑥, 𝑟 = 0, maka akan
10
Berdasarkan uraian di atas, maka diperoleh
2 3 3 2 2 1 2 4 1 ( , ) [ ] 3 3 2 u x r rxx rx x rx x , (3.20) 2 3 2 1 2 1 1 1 ( , ) (2 ) [ ] 3 2 12 12 u x r r xx rx rx r , (3.21) 2 2 4 5 5 6 6 7 8 9 4 2
23
23
49
25
5
4
( , )
280
280
2
36
36
24
24
10
18
21
x
rx
rx
x
rx
x
rx
rx
rx
rx
u
x r
x
, (3.22) 2 2 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 2 23 23 25 5 5 8 4 ( , ) 280 280 2 36 36 24 24 5 10 9 18 21 21 x rx rx x rx x rx x rx x rx x rx u x r , (3.23) 2 2 5 5 6 6 7 8 3 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13149773
149773
23
23
23
23
( , )
127733760
127733760
840
840
560
560
10
216
61
103
7
43
43
47
47
216
72
504
480
480
405
810
315
630
16
8
,
231
231
x
rx
x
rx
x
rx
rx
x
u
x r
rx
x
rx
x
rx
x
rx
x
rx
x
rx
(3.24), 2 2 5 5 6 6 7 7 3 8 8 9 9 10 10 11 12 13 149773 149773 23 23 23 23 ( ) 127733760 127733760 840 840 560 560 5 10 121 61 199 103 43 47 8 . 216 216 504 504 96 480 810 630 231 x rx x rx x rx x rx u x x rx x rx x rx rx rx rx (3. 25),Dengan demikian, penyelesaian persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua yang dinyatakan oleh persamaan (3.18) hingga orde tiga berbentuk 𝑢 𝑥, 𝑟 ≈ 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑢2 𝑥, 𝑟 + 𝑢3 𝑥, 𝑟 , dan 𝑢 𝑥, 𝑟 ≈ 𝑢 0 𝑥, 𝑟 + 𝑢 1 𝑥, 𝑟 + 𝑢 2 𝑥, 𝑟 + 𝑢 3 𝑥, 𝑟 .
Dengan menggunakan software MAPLE
diperoleh grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian persamaan (3.18) seperti yang diberikan pada Gambar 2.
Gambar 2 Grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian persamaan (3.18)
11
Gambar 2 merupakan grafik 𝑢 terhadap
𝑟 dengan nilai 0 ≤ 𝑟 ≤ 1. Berikut ini akan diberikan Tabel 1 yang merupakan selisih antara penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi dengan orde tiga.
Tabel 1 Galat antara penyelesaian eksak dan metode perturbasi homotopi hingga orde 3 dengan 𝑥 =1 2. r 𝑢 𝑒𝑘𝑠 1 2; 𝑟 − 𝑢𝑝𝑚 𝑥, 𝑟 𝑢𝑒𝑘𝑠 1 2; 𝑟 − 𝑢𝑝𝑚 𝑥, 𝑟 0.0 1.9699e-006 2.5140e-002 0.1 1.7457e-006 2.2898e-002 0.2 1.5215e-006 2.0656e-003 0.3 1.2973e-006 1.8414e-003 0.4 1.0731e-006 1.6172e-003 0.5 8.4893e-007 1.3930e-003 0.6 6.2474e-007 1.1688e-003 0.7 4.0054e-007 9.4464e-003 0.8 1.7634e-007 7.2404e-003 0.9 4.7853e-008 4.9625e-003 1.0 2.7205e-007 2.7205e-004
Kasus II: kernel berupa fungsi trigonometri Misal 𝑘 𝑥, 𝑡 = 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 𝑥 , (3.26) dengan 0 ≤ 𝑥 ≤𝜋 2 dan 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑥 serta 𝑎 = 0, 𝑏 = 𝜋 2,
dan diberikan fungsi 𝑓(𝑥, 𝑟) dan 𝑓(𝑥, 𝑟)
sebagai berikut: 𝑓 𝑥, 𝑟 = 2𝑥 𝑟5+ 2𝑟 [3 − 3 cos 𝑥 − 𝑥2] (3.27) dan 𝑓 𝑥, 𝑟 = 6𝑥 2 − 𝑟3 [3 − 3 cos 𝑥 − 𝑥2] (3.28) Penyelesaian eksak yang diberikan untuk kasus ini adalah sebagai berikut:
𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑥3 𝑟5+ 2𝑟 (3.29)
dan
𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑥3 6 − 3𝑟3 (3.30)
Pada contoh ini, nilai 𝑘(𝑥, 𝑡) selalu bernilai taknegatif untuk 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑥 , Sehingga diperoleh nilai 𝑐 = 𝑥.
Berdasarkan persamaan (3.12) akan
memberikan bentuk persamaan integral fuzzy
Volterra tipe kedua dari persamaan (3.27) dan persamaan (3.28) sebagai berikut
𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 0 dan 𝑢 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 0 . (3.31) Berdasarkan pendekatan metode homotopi
yang telah diuraikan di awal, maka
berdasarkan persamaan (3.4) diperoleh
penyelesaian persamaan homotopi dari
persamaan (3.31) sebagai berikut 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈(𝑡, 𝑝, 𝑟)𝑑𝑡 𝑥 0 dan 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈(𝑡, 𝑝, 𝑟)𝑑𝑡 𝑥 0 . (3.32) Untuk memperoleh hampiran penyelesaian dari persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua yang dinyatakan pada persamaan (3.31), maka akan ditentukan terlebih dahulu koefisien dari perpangkatan 𝑝.
Berdasarkan persamaan (3.7)-(3.6), maka diperoleh koefisien 𝑝0, dan 𝑝1,
masing-masing memberikan 𝑢0 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 , 𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 0 .
Secara umum diperoleh
𝑢𝑖+1 𝑥, 𝑟 = 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥
0
12
Selain itu, koefisien 𝑝0, dan 𝑝1
masing-masing memberikan 𝑢0 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 , 𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 0 .
Secara umum diperoleh
𝑢𝑖+1 𝑥, 𝑟 = 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥
0
.
Selanjutnya, dipilih pendekatan awal
𝑈0 𝑥, 𝑟 = 0 dan 𝑈0 𝑥, 𝑟 = 0, sehingga
diperoleh 𝑢0 𝑥, 𝑟 = 0 dan 𝑢0 𝑥, 𝑟 = 0.
Berdasarkan uraian di atas, maka diperoleh
5 2 1
( , )
2(2
) (3
3
[ ])
u x r
r
r
x
x
Cos x
, (3.33) 3 2 1( , )
6(2
) (3
3
[ ])
u x r
r x
x
Cos x
, (3.34) 4 2 2 23
( , )
(2
) (4( 3
)
(12
)
[ ]
[ ])
2
u
x r
r
r
x
x
x Cos x
xSin x
, (3.35) 3 2 2 29
( , )
( 2
) (4( 3
) (12
)
[ ]
[ ])
2
u x r
r x
x
x Cos x
xSin x
, (3.36) 4 2 2 4 2 31
( , )
(2
) (288( 3
) 3(288 25
)
[ ]
(69 10
)
[ ])
16
u x r
r
r x
x
x
x cos x
x
x sin x
(3.37) 3 2 2 4 2 33
( , )
( 2
) (288( 3
) 3(288 25
)
[ ]
(69 10 )
[ ])
16
u x r
r x
x
x
x cos x
x
x sin x
(3.38)Dengan demikian penyelesaian persamaan integral fuzzy volterra tipe kedua yang dinyatakan oleh persamaan (3.31) hingga orde tiga berbentuk 𝑢 𝑥, 𝑟 ≈ 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑢2 𝑥, 𝑟 + 𝑢3 𝑥, 𝑟 , dan 𝑢 𝑥, 𝑟 ≈ 𝑢 0 𝑥, 𝑟 + 𝑢 1 𝑥, 𝑟 + 𝑢 2 𝑥, 𝑟 + 𝑢 3 𝑥, 𝑟 .
Dengan menggunakan Software MAPLE
diperoleh grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian persamaan integral fuzzy Volterra tipe kedua pada contoh ini seperti diberikan pada Gambar 3.
Gambar 3 Grafik penyelesaian eksak dan hampiran penyelesaian.persamaan (3.31)
13
Gambar 3 merupakan grafik 𝑢 terhadap 𝑟
dengan nilai 0 ≤ 𝑟 ≤ 1. Selisih dari
penyelesaian eksak dan hampiran
penyelesaian yang merupakan tingkat
kesalahan metode perturbasi homotopi yang diberikan pada Table 2.
Tabel 2. Galat antara penyelesaian eksak dan penyelesaian dengan metode Perturbasi homotopi untuk 𝑥 =𝜋 4.
r
𝑢 𝑒𝑘𝑠 1 2; 𝑟 − 𝑢𝑝𝑚 𝑥, 𝑟 𝑢𝑒𝑘𝑠 1 2; 𝑟 − 𝑢𝑝𝑚 𝑥, 𝑟 0.0 0 4.4552e-003 0.1 1.1518e-004 3.4535e-003 0.2 2.3053e-004 3.4414e-003 0.3 3.4692e-004 3.4086e-003 0.4 4.6659e-004 3.3447e-003 0.5 5.9387e-004 3.2393e-003 0.6 7.3582e-004 3.0821e-003 0.7 9.0300e-004 2.8626e-003 0.8 1.1101e-003 2.5707e-003 0.9 1.3766e-003 2.1958e-003 1.0 1.7276e-003 1.7276e-003IV SIMPULAN
Metode perturbasi homotopi merupakan salah satu metode analitik yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan suatu
masalah taklinear. Dalam metode ini terdapat suatu parameter dan suatu fungsi yang dapat dipilih sembarang. Pemilihan kedua parameter ini dapat mengakibatkan perluasan daerah
kekonvergenan (daerah dimana nilai
penyelesaian hampiran mendekati nilai
penyelesaian eksak).
Salah satu aplikasi dari penggunaan
metode perturbasi homotopi adalah
penerapannya untuk menyelesaikan
persamaan integral fuzzy Volterra. Persamaan integral ini menggunakan konsep bilangan fuzzy sehingga persamaan tersebut dinyatakan dalam bentuk parametrik dengan parameter 0 dan 1.
Dengan menggunakan program MAPLE diperoleh grafik penyelesaian eksak dan
hampiran penyelesaian dari persamaan
integral fuzzy Volterra. Grafik yang diperoleh
menunjukkan bahwa penyelesaian yang
diperoleh dengan metode perturbasi homotopi sangat dekat dengan penyelesaian eksak untuk nilai variabel bebas tertentu.
DAFTAR PUSTAKA
Allahviranloo T, Khezerloo M, GhanbariM, Khezerloo S. 2010.The Homotopy perturbation method for fuzzy Volterra integral equations. International journal of computational cognition, vol. 8, No.2. Babolian,E, A. Davari. 2005. Numerical
implementation of Adomian
decomposition method for linear voltera integral equations of the second kind,
Appli. Math. Comput. 165, 223-227. Dubois D, Prade H. 1982. Towards fuzzy
differential calculus:Part 3,
differentiation, Fuzzy Sets and System. 8:225-233.
Golberg M A. 1978. Solution Methods for Integral Equations: A Survey of
Numerical Methods for Integral Equation. Plennum Press, New York, 1-58.
He, J.H., 2000. A coupling method of homotopy technique and perturbation
technique for nonlinear problems.
International Journal Nonlinear Mechanic., Vol.35, No.1:37-43.
Jerri A J. 1985. Introduction to Integral Equation with Applications, Marcel Dekker Inc., New York.
Kusumadewi, S. 2002. Analisis dan Desain Sistem Fuzzy, Graha Ilmu.
17
Lampiran 1 Penurunan Persamaan (2.7)
Tinjau persamaan differensial biasa orde dua𝑢" + 𝐴(𝑥)𝑢′ + 𝐵(𝑥)𝑢 = 𝑔(𝑥).
dengan kondisi awal berikut
𝑢 𝑎 = 𝑢0, 𝑢′ 𝑎 = 𝑢′0.
Jika persamaan differensial biasa di atas diintegralkan terhadap 𝑡, maka diperoleh
𝑢′ 𝑥 = − 𝐴 𝑡 𝑢′ 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 𝑎 − 𝐵 𝑡 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 𝑎 + 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 𝑎 + 𝑢′0, atau 𝑢′ 𝑥 = −𝐴𝑢 𝑥 − 𝐵 − 𝐴′ 𝑡 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 𝑎 + 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 𝑎 + 𝐴 𝑎 𝑢0+ 𝑢′0.
Jika persamaan differensial di atas diintegralkan untuk yang kedua kalinya, maka diperoleh
𝑢 𝑥 = − 𝐴𝑢𝑑𝑥 𝑥 𝑎 − 𝑑𝑢 𝑥 𝑎 𝐵 𝑡 − 𝐴′ 𝑡 𝑢 𝑦 𝑎 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑑𝑢 𝑥 𝑎 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 𝑦 𝑎 + 𝐴 𝑎 𝑢0+ 𝑢′0 𝑥 − 𝑎 + 𝑢0. Karena 𝑑𝑢 𝑥 𝑎 𝑓(𝑡) 𝑦 𝑎 = 𝑥 − 𝑡 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 𝑎
maka persamaan untuk 𝑢 𝑥 menjadi
𝑢 𝑥 = − 𝐴 𝑡 + 𝑥 − 𝑡 𝐵 𝑡 − 𝐴′ 𝑡 𝑢 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 𝑎 + 𝑥 − 𝑡 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 𝑎 + 𝐴 𝑎 𝑢0+ 𝑢′0 𝑥 − 𝑎 + 𝑢0. Misalkan 𝑘 𝑥, 𝑡 = 𝑡 − 𝑥 𝐵 𝑡 − 𝐴′ 𝑡 − 𝐴 𝑡 , 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑡 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 𝑎 𝐴 𝑎 𝑢0+ 𝑢′0 𝑥 − 𝑎 + 𝑢0.
Persamaan untuk 𝑢(𝑥) menjadi
𝑢 𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 𝑡 𝑑𝑡
𝑥
18
Lampiran 2 Penyelesaian Persamaan (2.16)
Tinjau persamaan (2.16) sebagai berikut:
𝑢 𝑥 = ex+1 2𝑥 e 2x− 1 − 𝑥𝑢2(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 0 .
Persamaan tersebut merupakan persamaan integral volterra tipe kedua dengan
𝑓 𝑥 = ex+1
2𝑥 e
2x− 1
dan
𝑘 𝑥, 𝑡 = 𝑥. Berdasarkan persamaan (2.18) diperoleh
𝑈 𝑥, 𝑝 = 1 − 𝑝 𝑢0 𝑥 − 𝑝 −ex− 1 2𝑥 e 2x− 1 + 𝑥𝑈2(𝑡, 𝑝)𝑑𝑡 𝑥 0 .
Misalkan penyelesaian persamaan integral tersebut dinyatakan sebagai berikut:
𝑈 𝑥, 𝑝 = 𝑢0 𝑥 + 𝑝𝑢1 𝑥 + 𝑝2𝑢2 𝑥 + ⋯ + 𝑝𝑖𝑢𝑖(𝑥).
Jika persamaan (2.19) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.18), maka diperoleh
𝑢0 𝑥 + 𝑝𝑢1 𝑥 + ⋯ = 1 − 𝑝 𝑢0 𝑥 − 𝑝 −ex−1 2𝑥 e 2x− 1 + 𝑥 𝑢 0 𝑡 + 𝑝𝑢1 𝑡 + ⋯ 2𝑑𝑡 𝑥 0 . Koefisien 𝑝1 memberikan 𝑢1 𝑥 = −𝑢0 𝑥 − −ex− 1 2𝑥 e 2x− 1 + 𝑥𝑢 02 𝑡 𝑑𝑡 𝑥 0 . Koefisien 𝑝2 memberikan 𝑢2 𝑥 = − 2𝑥𝑢0 𝑡 𝑢1(𝑡)𝑑𝑡 𝑥 0 .
Misalkan dipilih pendekatan 𝑢0 𝑥 = ex+ 1 2𝑥 e 2x− 1 , maka diperoleh 𝑢1 𝑥 = 1465 1152𝑥 − 3 8e 2xx −1 3e 3xx2+1 9e 3xx + exx2− exx − 1 16e 4xx3+ 1 32e 4xx2 − 1 128e 4xx +1 4e 2xx3−1 4e 2xx2− 1 12x 4. 𝑢2 𝑥 = − 2𝑥−(ex+ 1 2𝑥 e 2x− 1 )1465 1152𝑥 − 3 8e 2xx −1 3e 3xx2+1 9e 3xx + exx2− exx 𝑥 0 − 1 16e 4xx3+ 1 32e 4xx2− 1 128e 4xx +1 4e 2xx3−1 4e 2xx2− 1 12x 4𝑑𝑡.
19
Dengan demikian penyelesaian persamaan (2.16) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi adalah 𝑢 𝑥 = 𝑢0 𝑥 + 𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑥 + ⋯ atau 𝑢 𝑥 = −(ex+1 2𝑥 e 2x− 1 ) +1465 1152𝑥 − 3 8e 2xx −1 3e 3xx2+1 9e 3xx + exx2− exx − 1 16e 4xx3+ 1 32e 4xx2− 1 128e 4xx +1 4e 2xx3−1 4e 2xx2− 1 12x 4.20
Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.9)
Berdasarkan persamaan (3.4) berikut:
𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝[𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈 𝑡, 𝑝, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈(𝑡, 𝑝, 𝑟)𝑑𝑡] 𝑥 𝑐 dan 𝑈(𝑥, 𝑝, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝[𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈(𝑡, 𝑝, 𝑟)𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑈(𝑡, 𝑝, 𝑟)𝑑𝑡] 𝑥 𝑐 Misalkan 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 = 𝑝𝑖𝑢 𝑖(𝑥, 𝑟) ∞ 𝑖=0 𝑈 𝑥, 𝑝, 𝑟 = 𝑝𝑖𝑢 𝑖(𝑥, 𝑟) ∞ 𝑖=0
Jika persamaan (3.6) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.4), maka diperoleh Untuk 𝑖 = 1 diperoleh 𝑢0(𝑥, 𝑟) + 𝑝𝑢1(𝑥, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0(𝑡, 𝑟) + 𝑝𝑢1(𝑡, 𝑟) 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 . 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑝𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑝 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 + 𝑝2 𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑐 𝑎 𝑢1(𝑡, 𝑟))𝑑𝑡 + 𝑝2 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡. 𝑥 𝑐 Koefisien 𝑝1 memberikan 𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐
21
Kemudian 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 . 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑝𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 𝑐 𝑎 + 𝑝2 𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑐 𝑎 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝2 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑥 𝑐 𝑑𝑡. Koefisien 𝑝1 memberikan 𝑢1 𝑥, 𝑟 = 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 . 𝑐 𝑎 Untuk 𝑖 = 2 diperoleh 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2𝑢2(𝑥, 𝑟) = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2𝑢2(𝑡, 𝑟) 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2𝑢2(𝑡, 𝑟) 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 . 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2𝑢2 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑝𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 𝑐 𝑎 + 𝑝2 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝2 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 𝑐 𝑎 + 𝑝3 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢 2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑝3 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢 2(𝑡, 𝑟)𝑑𝑡 𝑥 𝑐 .22
Koefisien 𝑝2 memberikan 𝑢2 𝑥, 𝑟 = 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡. 𝑥 𝑐 Kemudian 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2𝑢2 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 . 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2𝑢2 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑝𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝2 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑐 𝑎 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑝3 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢 2 𝑡, 𝑟 𝑐 𝑎 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝2 𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑥 𝑐 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 + 𝑝3 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢 2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 . Koefisien 𝑝2 memberikan 𝑢2 𝑥, 𝑟 = 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑐 𝑎 𝑑𝑡 + 𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑥 𝑐 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡. Untuk 𝑖 = 3 diperoleh 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2𝑢2 𝑥, 𝑟 + 𝑝3𝑢3 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2𝑢2 𝑡, 𝑟 + 𝑝3𝑢3 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2𝑢2 𝑡, 𝑟 + 𝑝3𝑢3 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 .23
𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2𝑢2 𝑥, 𝑟 + 𝑝3𝑢3 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑝𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝2 𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑐 𝑎 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝3 𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑐 𝑎 𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑝4 𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑐 𝑎 𝑢3 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝2 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 + 𝑝3 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢 2 𝑡, 𝑟 𝑥 𝑐 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 + 𝑝4 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢 3 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 . Koefisien 𝑝3 memberikan 𝑢3 𝑥, 𝑟 = 𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑐 𝑎 𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑥 𝑐 𝑑𝑡. Kemudian 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2𝑢2 𝑥, 𝑟 + 𝑝3𝑢3 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2𝑢2 𝑡, 𝑟 + 𝑝3𝑢3 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑡, 𝑟 + 𝑝2𝑢2 𝑡, 𝑟 + 𝑝3𝑢3 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 . 𝑢0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑢1 𝑥, 𝑟 + 𝑝2𝑢2 𝑥, 𝑟 + 𝑝3𝑢3 𝑥, 𝑟 = 𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝𝑓 𝑥, 𝑟 − 𝑝𝑈0 𝑥, 𝑟 + 𝑝 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝2 𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑐 𝑎 𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑐 𝑎 + 𝑝3 𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑐 𝑎 𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝4 𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑐 𝑎 𝑢3 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝 𝑘 𝑥, 𝑡 𝑢0 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑝2 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢1 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 𝑥 𝑐 + 𝑝3 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢 2 𝑡, 𝑟 𝑥 𝑐 𝑑𝑡 + 𝑝4 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢 3 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 𝑥 𝑐 . Koefisien 𝑝3 memberikan 𝑢3 𝑥, 𝑟 = 𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑐 𝑎 𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢2 𝑡, 𝑟 𝑥 𝑐 𝑑𝑡.24
Secara umum, untuk 𝑖 ≥ 1 diperoleh𝑢𝑖+1 𝑥, 𝑟 = 𝑘(𝑥, 𝑡) 𝑐 𝑎 𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑑𝑡 + 𝑘(𝑥, 𝑡)𝑢𝑖 𝑡, 𝑟 𝑥 𝑐 𝑑𝑡