METODE ANALISIS HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL NONLINEAR DALAM BENTUK URYSOHN. Azzumar ABSTRACT

METODE ANALISIS HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL NONLINEAR

DALAM BENTUK URYSOHN

Azzumar

Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293

azzumar93@yahoo.com

ABSTRACT

This article discusses an application of the homotopy analysis method to solve a nonlinear Fredholm integral equation of a second kind in the form Urysohn. Then the method is applied to three examples. The results show that the convergence of the homotopy analysis method to the exact solutions is very fast.

Keywords: Homotopy analysis method, nonlinear Fredholm integral equation, Urysohn integral equation

ABSTRAK

Artikel ini membahas metode analisis homotopi untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm nonlinear jenis kedua dalam bentuk Urysohn. Kemudian motode ini diterapkan ke beberapa contoh persamaan integral Fredholm yang dibahas dan dari hasil penerapan dapat dilihat bahwa kekonvergenan motode analisis homotopi sangat cepat menuju solusi eksak.

Kata kunci: Metode analisis homotopi, persamaan integral Fredholm non- linear, persamaan integral Urysohn

1. PENDAHULUAN

Persamaan integral merupakan suatu bagian dari matematika yang digunakan untuk memperoleh aproksimasi dari sebuah pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Wazwaz [6, h.34] bahwa terdapat dua jenis persamaan integral yaitu persamaan integral Volterra dan persamaan integral Fredholm. Persamaan integral yang dibahas dalam penelitian ini adalah persamaan integral Fredholm nonlinear jenis kedua dalam bentuk Urysohn.

Terdapat beberapa metode analitik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan integral linear dan nonlinear yang penyelesaiannya tidak dapat memberikan jaminan kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaian, sehingga perlu untuk memperkenalkan suatu teknik analisis baru yaitu Metode Analisis Homotopi (MAH) seperti yang dijelaskan di dalam Sieradski [5, h.264].

Metode analisis homotopi adalah suatu pendekatan analitik yang secara umum digunakan untuk mendapatkan solusi dari beberapa permasalahan diantaranya persamaan nonlinear. Keunggulan dari metode analisis homotopi mampu menjamin kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaian dan tetap valid walaupun masalah nonlinear tersebut tidak mengandung parameter.

Artikel ini merupakan review dari artikel yang ditulis oleh Esmailzadeh et. al. [3] yang berjudul ”A numerical method for solving nonlinear integral equations in the Urysohn form”. Pembahasan dimulai di bagian dua dengan menjelaskan metode analisis homotopi. Selanjutnya di bagian tiga dibahas tentang metode analisis homotopi untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm nonlinear jenis kedua dalam bentuk Urysohn, kemudian dibagian empat menyelesaikan persamaan integral Fredholm nonlinear jenis kedua dalam bentuk Urysohn dari beberapa contoh.

2. METODE ANALISIS HOMOTOPI

Liao [4, h.95] menjelaskan bahwa metode analisis homotopi adalah tehnik semi analitik untuk menyelesaikan persamaan diferensial linear dan nonlinear.

Metode ini menggunakan konsep homotopi dari topologi untuk menghasilkan solusi konvergen.

Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut:

N [u(x)] = 0, (1)

dengan N adalah operator, u(x) adalah fungsi yang tidak diketahui dan x variabel independen.

Misalkan u₀(x) menunjukkan tebakan awal dari solusi eksak u(x),

h̸= 0 adalah parameter tambahan, H(x) ̸= 0 adalah fungsi tambahan, dan L operator linear tambahan yang memenuhi

L[r(x)] = 0, ketika r(x) = 0, (2) kemudian dengan menambahkan q ∈ [0, 1] sebagai parameter homotopi yang didefinisikan sebagai suatu fungsi ϕ(x; q) dan bentuk homotopi yang dijelaskan oleh Adawi dan Awawdeh [1] diberikan sebagai berikut:

(1−q)L[ϕ(x; q)−u0(x)]−qhH(x)N[ϕ(x; q)] = ˆH[ϕ(x; q); u₀(x), H(x), h, q]. (3) Diberikan kebebasan memilih tebakan awal untuk u₀(x), operator linear tambahan L, parameter tambahan h yang bukan nol dan fungsi tambahan

H(x). Kemudian dibentuk homotopi dari persamaan (3) menjadi nol yang dijelaskan oleh Jafarian et al. [3] yaitu dengan memisalkan

H[ϕ(x; q); uˆ ₀, H(x), h, q] = 0. (4) Dengan mensubstitusikan persamaan (4) ke dalam persamaan (3) diperoleh persamaan deformasi orde nol sebagai berikut:

(1− q)L[ϕ(x; q) − u0(x)] = qhH(x)N [ϕ(x; q)], (5) jika q = 0, maka persamaan (5) menjadi L[ϕ(x; 0) − u0(x)] = 0, sehingga menurut persamaan (2) diperoleh

ϕ(x; 0) = u₀(x). (6)

Jika q = 1, h̸= 0 dan H ̸= 0, maka persamaan deformasi orde nol (5) menjadi hN [ϕ(x; 1)] = 0 sehingga berdasarkan persamaan (1) diperoleh

ϕ(x; 1) = u(x). (7)

Menurut persaman (6) dan persamaan (7), parameter embedding q meningkat dari 0 ke 1, sehingga ϕ(x; q) berubah bentuk secara kontinu dari pendekatan awal u0(x) ke solusi eksak u(x). Perubahan itulah yang disebut sebagai deformasi dalam homotopi. Dengan Ekspansi Taylor yang dijelaskan oleh Bartle et al. [2, h.184], ϕ(x; q) dapat diperluas dalam deret pangkat q sebagai berikut:

ϕ(x; q) = ϕ(x, 0) +

∑∞ m=1

1 m!

∂^mϕ(x; q)

∂q^m 

q=0

. (8)

Dengan mensubstitusikan persamaan (6) ke dalam persamaan (8), diperoleh

ϕ(x; q) = u₀(x) +

∑∞ m=1

u_m(x)q^m, (9)

dengan

u_m(x) = 1 m!

∂^mϕ(x; q)

∂q^m 

q=0

. (10)

Jika tebakan awal u0(x), parameter linear tambahan L, parameter tambahan h yang bukan nol dan fungsi tambahan H(x) dipilih dengan benar, maka deret pangkat pada persamaan (9) dari ϕ(x; q) konvergen saat q = 1 sehingga asumsi penyelesaian dari deret adalah

u(x) = ϕ(x; 1) = u₀(x) +

∑∞ m=1

u_m(x).

Berdasarkan persamaan (10), persamaan yang menentukan u_m(x) dapat diperoleh dari persamaan deformasi orde nol pada persamaan (5). Sedangkan untuk memperoleh persamaan deformasi orde ke−m diturunkan persamaan deformasi orde nol persamaan (5) sebanyak m kali terhadap q, kemudian dibagi dengan m! dan pilih q = 0, sehingga diperoleh

L[um(x)− χmum−1(x)] =hH(x)Rm(^→u_m−1 (x)), um(0) = 0, (11) dengan

Rm(^→u_m−1 (x)) = 1 (m− 1)!

∂^m−1N [ϕ(x; q)]

∂q^m−1 

q=0

, (12)

dan

χ_m {

0, m≤ 1, 1, m > 1.

Perhatikan bahwa persamaan deformasi orde tinggi pada persamaan (11) yang ditentukan oleh operator linear L, dan Rm(^→u_m−1 (x)) dapat dinyatakan dengan persamaan (12) untuk setiap operator nonlinear N .

Pada saat q = 1, ϕ(x; 1) = u(x). Berdasarkan persamaan (9) diperoleh

u(x) = u₀(x) +

∑∞ m=1

u_m(x), (13)

sehingga persamaan (13) merupakan penyelesaian masalah nonlinear yang diberikan pada persamaan (1).

3. METODE ANALISIS HOMOTOPI UNTUK

MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL FREDHOLM NONLINEAR DALAM BENTUK URYSOHN

Pada bagian ini dibahas metode analisis homotopi untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm nonlinear jenis kedua dalam bentuk Urysohn.

Esmailzadeh et al. [3] menjelaskan salah satu jenis persamaan nonlinear adalah persamaan integral nonlinear jenis kedua dalam bentuk Urysohn yang bentuk umumnya sebagai berikut:

u(x) = f (x) + λ

∫ _b

a

K(x, t, u(t))dt, a≤ x ≤ b,

karena K(x, t, u(t)) = K(x, t, F (u(t))), dengan mengasumsikan F (u(t)) = [u(t)]^p diperoleh

u(x) = f (x) + λ

∫ b a

K(x, t)[u(t)]^pdt, a ≤ x ≤ b,

dengan K(x, t) adalah kernel, u(x) adalah fungsi tidak diketahui yang terdapat di dalam dan di luar tanda integral, [u(t)]^p merupakan fungsi nonlinear dari u(x). Misalkan

N [u] = u(x)− f(x) − λ

∫ _b

a

K(x, t)[u(t)]^pdt, a ≤ x ≤ b, (14) dengan mensubstitusikan persamaan (14) ke dalam persamaan(12) diperoleh R_m(^→u_m−1 (x)) = 1

(m− 1)!

∂^m−1

∂q^m−1 (

u(x)− f(x) −

∫ b a

K(x, t)[u(t)]^pdt )

,

R_m(^→u_m−1 (x)) = 1 (m− 1)!

∂^m−1

∂q^m−1 (∑_∞

m=0

u_m(x)− u0(x)− (1 − χm)f (x)

−

∫ _b

a

K(x, t)

∑∞ m=0

u_m(t)^pdt )

,

R_m(^→u_m−1 (x)) = 1 (m− 1)!

∂^m−1

∂q^m−1 (∑_∞

m=1

u_m−1(x)− (1 − χm)f (x)

−

∫ b a

K(x, t)

∑∞ m=1

Rm−1(ϕ^p)dt )

,

R_m(^→u_m−1 (x)) = 1 (m− 1)!

∂^m−1

∂q^m−1 (∑_∞

m=1

u_m−1(x) )

− (1 − χm)f (x)

−

∫ _b

a

K(x, t) 1 (m− 1)!

∂^m−1

∂q^m−1 (∑_∞

m=1

R_m−1(ϕ^p)dt )

,

sehingga

R_m(^→u_m−1 (x)) = u_m−1− (1 − χm)f (x)−

∫ _b

a

K(x, t)R_m−1(ϕ^p)dt, (15) dengan

R_m−1(ϕ^p) =

m∑−1 r1=0

u_m−r1

r1

∑

r2=0

u_r1−r2· · ·

rp−3

∑

r_p−2=0

u_{rp−3−rp−2}

rp−2

∑

r_p−1=0

u_{rp−2−rp−1}u_rp−1.

Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (15) ke dalam persamaan deformasi orde ke-m pada persamaan (11) sehingga diperoleh

L[u_m(x)− χmu_m−1] = hH(x)[u_m−1− (1 − χm)f (x)−

∫ _b

a

k(x, t)R_m−1(ϕ^p)dt].

(16) Dengan memisalkan Lu = u sebagai operator linear tambahan dan solusi

u₀(x) = f (x), parameter tambahan h dan fungsi tambahan H(x) yang bukan nol. Misalkan h = −1 dan H(x) = 1, kemudian subtitusikan ke dalam persamaan (16) untuk mendapatkan rumus iterasi sederhana u_m(x) sebagai berikut:

u₀(x) =f (x), u_m(x) =

∫ b a

k(x, t)R_m−1(ϕ^p)dt, m = 1, 2, 3, . . . , (17) sehingga diperoleh solusi deret homotopi u(x) dari persamaan (14) yaitu

u(x) =

∑∞ m=0

u_m(x).

Jika dilakukan iterasi sampai n kali, maka diperoleh solusi numerik atau solusi hampiran untuk u(x) yang dinyatakan sebagai berikut:

ˆ u(x) =

∑n m=0

u_m(x). (18)

4. CONTOH NUMERIK

Pada bagian ini metode analisis homotopi diaplikasikan pada beberapa contoh untuk menunjukkan efisiensi solusi numerik metode analisis homotopi.

Contoh 1 Selesaikan persamaan integral Fredholm nonlinear dalam bentuk Urysohn berikut:

u(x) =

√3 12 + 2

∫ 1

−1

xu²(t)dt, (19)

dengan solusi eksak u(x) = ^√₁₂³ + ⁶⁻²₁₆^√5x dan tebakan awalnya u₀(x) = ^√₁₂³. Solusi. Dengan menggunakan metode analisis homotopi pada persamaan (17) diperoleh

u₁(x) = 1 12x, u₂(x) = 0, u₃(x) = 1

108x, u₄(x) = 0, u₅(x) = 1

486x, ... =...,

sehingga berdasarkan persamaan (18), solusi dari persamaan (19) adalah

ˆ u(x) =

∑n m=0

u_m(x), ˆ

u(x) =u0(x) + u1(x) + u2(x) + u3(x) + u4(x) + u5(x) +· · · , ˆ

u(x) =

√3 12 + 1

12x + 0 + 1

108x + 0 + 1

486x +· · · .

Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik untuk Contoh 1 dapat dilihat pada Tabel 1.

Tabel 1: Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik Contoh 1 x u_eksak uˆ₅(x) Error

−1 0.04884606 0.04968736 −0.00084130

−0.8 0.06794436 0.06861742 −0.00067306

−0.6 0.08704266 0.08754744 −0.00050478

−0.4 0.10614096 0.10647748 −0.00033652

−0.2 0.12523926 0.12540775 −0.00016848 0 0.14433756 0.14433756 0.00000000 0.2 0.16343586 0.16326761 0.00016826 0.4 0.18253417 0.18219765 0.00033652 0.6 0.20163247 0.20112769 0.00050478 0.8 0.22073077 0.22005773 0.00067304 1 0.23982907 0.23955933 0.00026974

Pada Tabel 1 menunjukkan perbandingan solusi eksak dengan solusi nemerik dengan metode analisis homotopi atau disebut dengan error pada iterasi ke-5, berikut akan ditunjukkan error pada iterasi ke-11, 13 dan 15 dengan x = 1 yang mana memperlihatkan solusi nemerik yang mendekati solusi eksak.

Tabel 2: Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik Contoh 1 n u_eksak uˆ_n(x) Error

11 0.023982907 0.23979642 0.00003265 13 0.023982907 0.23981712 0.00001195 15 0.023982907 0.23982459 0.00000447

Tabel 1 menunjukkan error pada iterasi ke-5 dan Tabel 2 menunjukkan error pada iterasi ke-11, 13 dan 15 dengan x = 1 yang menunjukkan bahwa solusi numeriknya semakin mendekati solusi eksak.

Contoh 2 Selesaikan persamaan integral Fredholm nonlinear dalam bentuk Urysohn sebagai berikut:

u(x) = sin(πx) + 1 5

∫ 1 0

cos(πx) sin(πt)u³(t) dt, (20)

dengan solusi eksak u₍x) = sin(πx) + ^20−√₃³⁹¹cos(πx) dan tebakan awalnya u₀(x) = sin(πx).

Solusi. Dengan menggunakan metode analisis homotopi pada persamaan (17) diperoleh

u₁(x) = 3

40 cos(πx),

u₂(x) = 0.0002819517728 cos(πx), u₃(x) = 0.0001417469991 cos(πx), u₄(x) = 0.000001591316685 cos(πx), u5(x) = 5.411026238· 10⁻⁷ cos(πx), u₆(x) = 1.001170965· 10⁻⁸ cos(πx), u₇(x) = 2.590330540· 10⁻⁹ cos(πx), u₈(x) = 6.633267560· 10⁻¹¹ cos(πx),

... =...,

sehingga berdasarkan persamaan (18), solusi dari persamaan (20) adalah

ˆ u(x) =

∑n m=0

u_m(x), ˆ

u(x) = u0(x) + u1(x) + u2(x) + u3(x) + u4(x) + u5(x) + u6(x) + u7(x) + u₈(x) +· · · ,

ˆ

u(x) = sin(πx) + 3

40cos(πx) + 0.000281967728 cos(πx) + 0.000141746 cos(πx) + 1.591316685· 10⁻⁶cos(πx) + 5.401026238· 10⁻⁷cos(πx)

+ 1.001170965· 10⁻⁸cos(πx) + 2.590330540· 10⁻⁹cos(πx) + 6.633267560· 10⁻¹¹cos(πx) +· · · .

Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik Contoh 2 ditunjukkan pada Tabel 3.

Tabel 3: Perbandingan solusi eksak dan solusi numerik Contoh 2 x u_eksak uˆ₈(x) Error

0 0.07542668 0.07542585 0.00000083 0.1 0.38075203 0.38075124 0.00000079 0.2 0.64880672 0.64880604 0.00000068 0.3 0.85335168 0.85335119 0.00000049 0.4 0.97436464 0.97436438 0.00000026 0.5 1.00000000 1.00000000 0.00000000 0.6 0.92774838 0.92774864 −0.00000026 0.7 0.76468229 0.76468279 −0.00000050 0.8 0.52676377 0.52676445 −0.00000068 0.9 0.23728195 0.23728274 −0.00000079 1 −0.07542668 −0.07542585 −0.00000083

Pada Tabel 3 diatas menunjukkan perbandingan solusi eksak dengan solusi numerik ( metode analisis homotopi ) atau disebut error pada iterasi ke-8.

5. KESIMPULAN

Berdasarkan pembahasan yang telah dikemukakan sebelumnya, metode analisis homotopi telah berhasil diterapkan untuk mencari atau menemukan solusi dari persamaan integral Fredholm nonlinear jenis kedua dalam bentuk Urysohn. Dari beberapa contoh yang telah diselesaikan dalam artikel ini dapat dilihat bahwa metode analisis homotopi menunjukkan tingkat kekonvergenan yang sangat cepat terhadap solusi eksak.

Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Leli Deswita, M.Si. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] A. Adawi dan F. Awawdeh, A numerical method for solving nonlinear integral equations, International Mathematical Forum, 4 (2009), 805–817.

[2] R. G. Bartle dan D. R. Shebert, Introduction to Real Analysis, 3^rd Ed, John Wiley dan Sons, New York, 1999.

[3] Z. Esmailzadeh, A. Jafarian dan L. Khoshbakhti, A numerical method for solving nonlinear integral equations in the Urysohn form, Applied Mathematical Sciences, 7 (2013),1375–1385.

[4] S. Liao, Homotopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equations, Springer, Beijing, 2011.

[5] A. J. Sieradski, An Introduction to Topology and Homotopy, PWS- Kent Publishing Company, Boston, 1992.

[6] A. M. Wazwaz, Linear and Nonlinear Integral Equation: Methods and Applications, Higher Education Pres, Beijing, 2011.