METODE GENERALISASI SIMPSON-NEWTON UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR DENGAN KONVERGENSI KUBIK. Resdianti Marny 1 ABSTRACT

METODE GENERALISASI SIMPSON-NEWTON UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR

DENGAN KONVERGENSI KUBIK Resdianti Marny1∗

1 _{Mahasiswa Program Studi S1 Matematika}

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia

∗_{aptkeluarga.resi@gmail.com}

ABSTRACT

This article discusses Generalized Simpson-Newton method to solve nonlinear equa-tions. The method is derived by replacing the coefficients of Simpson-Newton method with four parameters in which the sum of parameters in the denomina-tor of Simpson-Newton method is the same as the parameter in the numeradenomina-tor of Simpson-Newton method. Analytically, it is shown that the method is of order three. Numerical experiments show that the proposed method can be used as an alternative for known iterative methods in solving nonlinear equations.

Keywords: Iterative method, Newton method, nonlinear equation, third order convergence, generalized Simpson-Newton method.

ABSTRAK

Artikel ini membahas generalisasi metode Simpson-Newton untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Metode iterasi ini diperoleh dengan mengganti koefisien pem-bilang dan penyebut pada metode Simpson-Newton dan mensyaratkan jumlah koefi-sien-koefisien pada penyebut sama dengan koefisien pada pembilang. Secara analitik ditunjukkan bahwa metode Generalisasi Simpson-Newton mempunyai kekonverge-nan orde tiga. Selanjutnya dari uji komputasi dan perbandingan dengan metode iterasi sekelas yang dikenal terlihat bahwa metode iterasi yang didiskusikan dapat dijadikan alternatif untuk menyelesaikan persamaan nonlinear.

Kata kunci: Metode iterasi, metode Newton, persamaan nonlinear, konvergensi orde ketiga, metode generalisasi Simpson-Newton.

1. PENDAHULUAN

Menyelesaikan persamaan nonlinear yang berbentuk f (x) = 0 merupakan per-masalahan yang paling penting dalam analisa numerik. Banyak metode numerik yang dapat digunakan untuk mencari solusi dari persamaan nonlinear, salah satunya adalah metode Newton [4, h. 67] dengan bentuk iterasi

xn₊₁ = xn−

f(xn)

f′_(xn), f ′_(x

n) 6= 0, n = 0, 1, 2, · · · , (1)

dan memiliki kekonvergenan berorde dua [1, h. 71]. Selain metode Newton, ter-dapat metode-metode lain yang ter-dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear, diantaranya metode Newton Titik Tengah, metode Newton Aritmatik, dan metode Simpson-Newton yang sama-sama memiliki orde konvergensi kubik [8, 9, 5].

Pada artikel ini dibahas metode Generalisasi Simpson-Newton untuk menye-lesaikan persamaan nonlinear. Metode ini merupakan modifikasi metode Newton menjadi metode Simpson-Newton dengan bentuk persamaan

xn₊₁ = xn− 6f (xn) f′_{(xn) + 4f}′ xn+ yn 2  + f′_(yn) , n = 0, 1, 2... (2)

Pembahasan ini berdasarkan pada artikel yang ditulis oleh Jayakumar [6] yang berjudul ”Generalized Simpson-Newton’s Method for Solving Nonlinear Equations with Cubic Convergence”. Kemudian dilanjutkan di bagian dua membuktikan anal-isa kekonvergenan, bagian tiga kasus khusus dan di bagian terakhir melakukan uji komputasi.

2. METODE GENERALISASI SIMPSON-NEWTON UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR

DENGAN KONVERGENSI KUBIK

Metode Generalisasi Simpson-Newton diperoleh dengan mengganti koefisien pada persamaan (2), dengan parameter m1, m2, m3 dan m = m1 + m2 + m3. Maka

diperoleh bentuk iterasi

yn= xn− f(xn) f′_(xn). (3) xn₊₁ = xn− mf(xn) m1f′(xn) + m₂f′  xn+ yn 2  + m3f′(yn) . (4)

Teorema 1 (Orde Konvergensi) Misalkan α ∈ D, adalah sebuah akar sederhana dari sebuah fungsi terdiferensial secukupnya f : D ⊆ R → R untuk interval buka D. Jika x0 cukup dekat ke α maka metode Generalisasi Simpson-Newton persamaan

(3) dan (4) memiliki orde konvergensi kubik, untuk m = 2m1+ m2.

Bukti: Misalkan α adalah sebuah akar sederhana dari persamaan f (x) = 0 maka f(α) = 0 dan f′_{(α) 6= 0. Asumsikan en = xn− α, kemudian dengan menggunakan}

ekspansi Taylor dari f (xn) disekitar xn= α sampai orde tiga dan mengabaikan orde

yang lebih tinggi diperoleh f(xn) = f (α) + (x − α) 1! f ′_{(α) +}(x − α) 2 2! f ′′_{(α) +}(x − α) 3 3! f ′′′_{(α) + O(e}4 n). (5)

Karena f (α) = 0 dan en= xn− α maka persamaan (5) menjadi

f(xn) = f′(α)  en+ 1 2! f′′_(α)e2 n f′_(α) + 1 3! f′′′_(α)e3 n f′_(α) + O(e 4 n)  . (6) Dengan menyatakan Ck= f(k)(α)

k!f′_(α) maka persamaan (6) menjadi

f(xn) = f′(α)(en+ C₂en2 + C3e33+ O(e4n)). (7)

Selanjutnya dengan cara yang sama ekspansi Taylor dari f′_(x

n) disekitar xn = α

setelah disederhanakan menjadi f′_(x

n) = f′(α)(1 + 2C₂en+ 3C₃e2n+ O(e3n)). (8)

Kemudian dari persamaan (7) dan (8) diperoleh f(xn)

f′_(xn) =

(en+ C₂e2n+ C3e33+ O(e4n))

1 + 2C2en+ 3C₃e2n+ O(e3n)

. (9)

Selanjutnya pandang kembali bentuk persamaan (9), dengan menggunakan deret geometri 1

1 + r = 1−r+r

2_−r3 _{untuk r = 2C}

2en+3e2n+O(e3n), setelah disederhanakan

persamaan (9) menjadi f(xn) f′_(xn) = en− C2e 2 n+ (−2C3+ 2C22)e3n+ O(e 4 n). (10)

Selanjutnya dihitung yn dengan menggunakan persamaan (10) sehingga diperoleh

yn= α + C₂e2n− (2C3+ 2C22)e3n+ O(e4n). (11)

Kemudian dengan menggunakan persamaan (11) dilakukan ekspansi Taylor dari f(yn) disekitar yn= α setelah disederhanakan diperoleh

Selanjutnya dengan cara yang sama ekspansi Taylor dari f′_(y

n) disekitar yn = α,

disederhanakan lagi maka diperoleh f′_(y n) = f′(α)(1 + 2C₂2e2n+ (4C2C3− 4C 3 2)e3n+ O(e 4 n)). (13) Selanjutnya dihitung yn+ xn

2 dengan menggunakan persamaan (11) dan persamaan (6) maka diperoleh yn+ xn 2 = α + 1 2en+ 1 2C2e 2 n+ 1 2(−2C3+ 2C 2 2)e3n+ O(e4n). (14) Kemudian diekspansi f′ yn+ xn 2 

dengan ekspansi Taylor disekitar yn+ xn

2 = α

sampai orde tiga dan mengabaikan orde yang lebih tinggi dan dengan menggunakan persamaan (11) diperoleh f′ yn+ xn 2  = f′_(α)  1 + C2en+  3C3 4 + C 2 2  e2n + 7 2C2C3+ 1 2C4− 2C 3 2  e3n+ O(e 4 n)  . (15)

Selanjutnya dihitung m1f′(xn) dengan menggunakan persamaan (8) diperoleh

m1f′(xn) = f′(α)(m₁ + 2m₁C₂en+ 3m₁C₃e2n). (16)

Kemudian dihitung m2f′

 yn+ xn

2 

dengan menggunakan persamaan (15) diper-oleh m2f′  yn+ xn 2  = f′_(α)  m2+ m2C2en+  3m2C3 4 + m2C 2 2  e2n + 7m2C2C3 2 + m2C4 2 − 2m2C 3 2  e3n+ O(e 4 n)  . (17) Selanjutnya dihitung m3f′(yn) dengan menggunakan persamaan (13) lalu diperoleh

m3f′(yn) =f′(α)(m₃+ 2m₃C₂2e2n+ (4m3C2C3− 4m3C23)e3n+ O(e4n)). (18) Kemudian dihitung m1f′(xn) + m₂f′  yn+ xn 2  + m3f′(yn) dengan menggunakan

persamaan (16), (17) dan (18) dan mengingat m = m1+ m2+ m3 sehingga diperoleh

m1f′(xn) + m₂f′  yn+ xn 2  + m3f′(yn) = f′_(α)  m+ (m2C2+ 2m1C2)en +  3m1C3+ m2C22+ 3m3C3 4 + 2m3C 2 2  e2n + 7m2C2C3 2 + 4m3C2C3− 4m3C 3 2 + m2C4 2 − 2m2C 3 2  e3n  . (19)

Selanjutnya dihitung mf (xn) dengan menggunakan persamaan (6) sehingga mf(xn) = f′(α)(men+ mC₂en2 + mC3e33+ O(e4n)). (20) Kemudian dihitung mf(xn) m1f′(xn) + m₂f′  yn+ xn 2  + m3f′(yn) dengan menggunakan

persamaan (19) dan (20) serta menggunakan deret geometri, sehingga setelah diseder-hanakan diperoleh mf(xn) m₁f′_{(xn) + m} 2f′  yn+ xn 2  + m3f′(yn) = en+  2m1C2 m + C2− m2C2 m  e2n+  − 3m2C3 4m − 2m2C22 m + 4m2C22m1 m2 − 2m3C22 m + 4m 2 1C22 m2 − 3m1C3 m − 2m1C22 m + m2₂C₂2 m2 + C3  e3n. (21)

Selanjutnya dengan mensubsitusikan dengan persamaan (21) ke persamaan (4) dan mengingat en₊₁ = xn₊₁− α maka diperoleh

en₊₁ =  2m1C2 m − C2+ m₂C₂ m  e2n+  3m2C3 4m + 2m2C22 m − 4m2C22m1 m2 +2m3C 2 2 m − 4m2 1C22 m2 + 3m1C3 m + 2m1C22 m − m2₂C₂2 m2 − C3  e3n. (22)

Jika m = 2m1+m2 disubtitusikan ke dalam persamaan (22) dari definisi orde

kekon-vergenan [9] maka metode Generalisasi Simpson-Newton memiliki orde konvergensi kubik.

3. BEBERAPA KASUS KHUSUS

Pada bagian ini dibahas kasus khusus dari metode Generalisasi Simpson-Newton yang terdapat pada metode iterasi berorde tiga pada persamaan (4).

Kasus 1. Jika diambil m1 = m2 = m3 = 1 dan m = 3 maka diperoleh metode

Generalisasi Simpson-Newton 1 (GSN 1) dengan bentuk persamaan xn₊₁ = xn− 3f (x) f′_{(x) + f}′ xn+ yn 2  + f′_(yn) . (23)

Kasus 2. Jika diambil m1+ m2+ m3 = 2m1 + m2 dan m3 = m1 maka diperoleh

metode Generalisasi Simpson-Newton 2 (GSN 2) dengan bentuk persamaan xn₊₁ = xn− (2m1+ m2)f (xn) m1f′(xn) + m₂f′  xn+ yn 2  + m1f′(yn) . (24)

4. UJI KOMPUTASI

Pada bagian ini, dilakukan uji komputasi dengan menggunakan metode Newton (MN), metode Newton Titik Tengah (MNTT), metode Newton Aritmatik (MNA), metode Simpson-Newton (MSN), metode Generalisasi Simpson-Newton 1 (GSN 1) dan metode Generalisasi Simpson-Newton 2 (GSN 2 ). Di bawah ini adalah beber-apa contoh fungsi dan dua nilai tebakan awal yang digunakan untuk membandingkan metode-metode tersebut. f₁(x) = ex + x − 20 x₀ = 10.0 dan x0 = 5.0 f2(x) = x3− x2− 2 x0 = 1.5 dan x0 = 3.0 f3(x) = x2− e x − 3x + 2 x0 = 3.0 dan x0 = 5.0 f₄(x) = xex − 1 x₀ = 3.0 dan x0 = 4.5 f5(x) = x3− 10 x0 = 3.0 dan x0 = −2.0.

Dalam menenemukan solusi numerik dari beberapa contoh fungsi di atas, diguna-kan program Maple 13, dengan menggunadiguna-kan toleransi 1.0 × 10−14 _{dan tebakan awal}

yang sama untuk masing-masing fungsi yang telah diberikan. Selain itu, dalam men-emukan solusi numerik juga ditentukan kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang sama untuk setiap metode yang dibandingkan, yaitu jika memenuhi salah satu dari kriteria

|xn₊₁− xn| ≤ tol, |f (xn₊₁)| ≤ tol dan jika maksimum iterasi dilebihi.

Hasil perbandingan komputasi dapat dilihat pada Tabel 1.

Tabel 1: Perbandingan Hasil Komputasi untuk MN, MNTT, MNA, MSN, GSN 1, dan GSN 2 fi x₀ Metode n COC xn |xn− α| f1 10.0 MN 12 2.0000 2.8424389537844471 8.98e − 20 MNTT 8 2.9944 2.8424389537844471 1.04e − 39 MNA 8 2.9992 2.8424389537844471 1.80e − 19 MSN 8 3.0000 2.8424389537844471 4.12e − 31 GSN 1 8 2.9998 2.8424389537844471 1.56e − 24 GSN 2 8 2.9998 2.8424389537844471 4.32e − 27 5.0 MN 7 2.0000 2.8424389537844471 1.40e − 20 MNTT 5 2.7704 2.8424389537844471 1.11e − 40 MNA 5 3.0000 2.8424389537844471 6.43e − 32 MSN 5 2.9996 2.8424389537844471 1.32e − 38 GSN 1 5 3.0000 2.8424389537844471 5.16e − 35 GSN 2 5 3.0000 2.8424389537844471 1.85e − 36

fi x₀ Metode n COC xn |xn− α| f2 1.5 MN 5 2.0000 1.0000000000000001 6.17e − 17 MNTT 4 3.0000 1.0000000000000000 5.60e − 43 MNA 4 3.0000 1.0000000000000000 6.37e − 40 MSN 4 3.0000 1.0000000000000000 6.88e − 42 GSN 1 4 3.0000 1.0000000000000000 7.13e − 41 GSN 2 4 3.0000 1.0000000000000000 2.72e − 41 3.0 MN 7 2.0000 1.0000000000000000 1.33e − 20 MNTT 5 3.0000 1.0000000000000000 2.70e − 40 MNA 5 3.0000 1.0000000000000000 3.07e − 35 MSN 5 3.0000 1.0000000000000000 1.74e − 38 GSN 1 5 3.0000 1.0000000000000000 8.35e − 37 GSN 2 5 3.0000 1.0000000000000000 1.69e − 37 f₃ 3.0 MN 6 2.0000 0.2575302854398608 6.02e − 26 MNTT 4 2.9938 0.2575302854398608 1.28e − 25 MNA 4 3.0018 0.2575302854398608 7.42e − 17 MSN 4 3.0001 0.2575302854398608 5.22e − 37 GSN 1 4 2.9997 0.2575302854398608 3.44e − 21 GSN 2 4 2.9995 0.2575302854398608 2.63e − 24 5.0 MN 8 2.0000 0.2575302854398608 4.65e − 28 MNTT 5 2.9850 0.2575302854398608 7.28e − 23 MNA 6 3.0000 0.2575302854398608 3.77e − 32 MSN 5 2.9919 0.2575302854398608 1.40e − 20 GSN 1 6 2.8785 0.2575302854398608 3.99e − 41 GSN 2 5 2.9932 0.2575302854398612 4.38e − 16 f4 3.0 MN 8 2.0000 0.5671432904097850 1.13e − 15 MNTT 5 2.9976 0.5671432904097840 9.31e − 17 MNA 6 3.0000 0.5671432904097839 3.78e − 34 MSN 6 2.8147 0.5671432904097839 1.61e − 41 GSN 1 6 3.0000 0.5671432904097839 2.31e − 38 GSN 2 6 2.9969 0.5671432904097839 2.31e − 38 4.5 MN 10 2.0000 0.5671432904097839 4.59e − 17 MNTT 7 2.9120 0.5671432904097839 1.86e − 41 MNA 7 2.9998 0.5671432904097839 2.17e − 25 MSN 7 3.0000 0.5671432904097839 1.76e − 35 GSN 1 7 3.0000 0.5671432904097839 6.05e − 30 GSN 2 7 3.0000 0.5671432904097839 3.83e − 32

fi x₀ Metode n COC xn |xn− α| f5 3.0 MN 5 2.0000 2.1544346900318838 7.76e − 17 MNTT 4 2.6884 2.1544346900318837 3.45e − 40 MNA 4 2.9784 2.1544346900318837 9.75e − 40 MSN 4 2.8037 2.1544346900318837 3.50e − 40 GSN 1 4 2.9100 2.1544346900318837 4.08e − 40 GSN 2 4 2.8674 2.1544346900318837 3.68e − 40 −2.0 MN 11 2.0000 2.1544346900318837 1.10e − 18 MNTT 4 3.0006 2.1544346900318837 2.39e − 22 MNA 7 3.0002 2.1544346900318837 2.31e − 25 MSN 5 3.0001 2.1544346900318837 1.19e − 30 GSN 1 6 3.0001 2.1544346900318837 1.76e − 37 GSN 2 5 3.0017 2.1544346900318837 4.16e − 19

Keterangan untuk Tabel adalah, fi menyatakan fungsi ke-i, x₀ menyatakan

tebakan awal, n menyatakan jumlah iterasi, COC menyatakan orde konvergensi dari metode secara komputasi, xnmenyatakan akar dari fungsi, |xn− α| menyatakan

kesalahan.

Berdasarkan Tabel jumlah iterasi dari metode Newton (MN), metode New-ton Titik Tengah (MNTT), metode NewNew-ton Aritmatik (MNA), metode Simpson-Newton (MSN), dan metode iterasi yang baru metode Generalisasi Simpson-Simpson-Newton 1 (GSN 1), juga metode Generalisasi Simpson-Newton 2 (GSN 2) tidak terlihat perbedaan yang signifikan. Hal ini terjadi karena orde kekonvergenan dari masing-masing metode hampir sama, yaitu metode Newton (MN) memiliki orde konver-gensi kuadratik sedangkan metode Newton Titik Tengah (MNTT), metode Newton Aritmatik (MNA), metode Simpson-Newton (MSN), metode Generalisasi Simpson Newton 1 (GSN 1), dan metode Generalisasi Simpson-Newton 2 (GSN 2) memi-liki orde konvergensi kubik. Sehingga dapat disimpulkan bahwa setidaknya metode Generalisasi Simpson-Newton memiliki hasil yang sama dengan metode pembanding lainnya. Oleh karena itu metode baru ini dapat dijadikan metode alternatif untuk menyelesaikan persamaan nonlinear.

UCAPAN TERIMA KASIH

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Imran M., M.Sc. selaku Pembimb-ing 1 dan Drs. Aziskhan, M.Si selaku PembimbPembimb-ing 2 yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam penulisan artikel ini.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Atkinson, K.E. 1993. Elementary Numerical Analysis, 2nd

Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York.

[2] Bartle, R.G. & Sherbert, R.D. 2011. Introduction to Real Analysis, 4th

Ed. John Wiley & Sons, Inc., New York.

[3] Burden, R.L. & Faires, J. D. 2011. Numerical Analysis, 9th

Ed. Brooks Cole, Boston, Massachusetts.

[4] Faires, J.D. 2011 Numerical Analysis, 9nd

Ed. Brooks/Cole, Belmont.

[5] Hasanov, V.I., Ivanov. I.G. & Nedjibov,G. 2002. A new Modification of new-ton’s Method. Applied Mathematics and Engineering, 27: 278-286.

[6] Jayakumar, J. 2013. Generalized Simpson-Newton’s Method for Solving Non-linear Equations with Cubic Convergence. IOSR Journal of Mathematics, 7: 58-61.

[7] Mathews, J. H. & Fink, K. D. 1999. Numerical Methods Using MATLAB, 3nd

Ed. Prentice Hall, New Jersey.

[8] Ozban, A.Y. 2004. Some new Variants of Newton’s method. Applied Mathe-matics Letters, 17: 667-682.

[9] Weerakoon, S. & Fernando, T.G.I. 2000. A Variant of Newton’s Method with Accelerated Third Order Convergence. Applied Mathematics Letters, 13: 87-93.