METODE ITERASI MENGGUNAKAN KONSTRUKSI GEOMETRI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR
Nurdiana Adicitra
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293
ABSTRACT
This final project discusses an iterative method that uses geometric construction to solve a nonlinear equation. The method is obtained by consructing the curve of a third degree monic polynomial function that approximates the curve of the nonlinear equation. The convergence analysis shows that the iterative method has third-order of convergence. Some numerical examples are given to demonstrate the performance of the new iterative method by comparing with some well-known iterative methods.
Keywords: Iterative method, geometric construction, nonlinear equation, order convergence, Taylor’s polynomial
ABSTRAK
Artikel ini membahas metode iterasi yang menggunakan konstruksi geometri un- tuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Metode ini diperoleh dengan membangun sebuah kurva dari fungsi polinomial monik berderajat tiga yang mendekati kurva persamaan nonlinear. Analisis konvergensi menunjukkan bahwa metode tersebut memiliki orde konvergensi tiga. Beberapa contoh numerik diberikan untuk me- nunjukkan kinerja metode iterasi baru dengan membandingkannya menggunakan beberapa metode iterasi yang sudah banyak dikenal.
Kata kunci: Metode iterasi, konstruksi geometri, persamaan nonlinear, orde kon- vergensi, polinomial Taylor
1. PENDAHULUAN
Salah satu permasalahan yang paling penting dan mendasar dalam disiplin ilmu matematika adalah mencari akar dari sebuah persamaan nonlinear
f(x) = 0. (1)
Untuk mencari akar dari persamaan (1) dapat menggunakan metode analitik atau metode numerik.
Jika persamaan (1) memiliki akar yang merupakan bilangan real, maka akar tersebut dapat berupa akar sederhana atau akar ganda. Dimisalkan persamaan (1) memiliki akar α yang memenuhi f(α) = 0 dan f′(α) ̸= 0, maka akar α dikatakan akar sederhana.
Metode analitik digunakan untuk mencari akar sebenarnya dari persamaan (1), sehingga dapat dikatakan bahwa metode analitik merupakan metode yang tidak memiliki nilai error. Jika metode analitik tidak berhasil dalam mencari akar sebe- narnya, maka metode numerik dapat digunakan untuk mencari akar pendekatan dari persamaan (1). Karena yang dihasilkan berupa akar pendekatan, maka metode numerik memiliki nilai error terhadap akar sebenarnya, dimana nilaierror tersebut harus lebih kecil dari toleransi yang diberikan.
Metode numerik merupakan metode yang menggunakan perhitungan secara ber- ulang-ulang (iterasi) untuk mencari akar pendekatan yang diinginkan dari sebuah persamaan. Salah satu metode iterasi yang paling banyak digunakan adalah metode Newton. Metode ini memiliki orde konvergensi dua [2, h. 101]. Metode Newton dapat diperoleh dengan melakukan konstruksi geometri menggunakan pendekatan garis singgung yang berbentuk fungsi linear [6, h. 53].
Banyak penelitian yang membahas mengenai metode iterasi orde tiga menggu- nakan konstruksi geometri. Diantaranya, Amat et al. [1] yang memperoleh metode Euler dan Chebyshev menggunakan persamaan parabola, metode Halley menggu- nakan persamaan hiperbola, serta dua famili dari metode iterasi orde tiga yang menggunakan persamaan hiperbola dan fungsi berderajat tiga. Kemudian, Sharma [7] yang memperoleh famili dari metode iterasi orde tiga menggunakan fungsi ber- derajat dua, serta Chun [4] yang juga memperoleh famili dari metode iterasi orde tiga menggunakan fungsi berderajat tiga.
Pada artikel ini, penulis membahas tentang salah satu bentuk metode iterasi yang diperoleh dengan melakukan konstruksi geometri pada fungsi polinomial monik ber- derajat tiga yang mendekati fungsif pada persamaan (1) di sekitar x=xn. Peneli- tian ini merupakan kajian ulang dari artikel yang dibuat oleh Srisarakham [9]. Untuk menjelaskan hal ini, pada bagian dua diberikan penurunan metode iterasi menggu- nakan konstruksi geometri. Kemudian, dilanjutkan dengan analisis kekonvergenan metode pada bagian tiga dan diakhiri dengan perbandingan komputasi pada bagian empat. Seluruh perhitungan komputasi dilakukan menggunakan program Maple 13.
2. METODE ITERASI MENGGUNAKAN KONSTRUKSI GEOMETRI
Misalkan persamaan (1) memiliki akar sederhana dari persamaan (1) dengan fungsi f yang kontinu dan memiliki turunan pertama dan kedua yang juga kontinu di x=xn. Misalkan fungsi polinomial monik berorde tiga dari variabelxyakniP3(x) = x3 +ax2 +bx+c adalah kurva yang memotong dan mencocokkan kurva y = f(x) di sekitar x=xn, maka fungsiP3 tersebut dapat ditulis menjadi
P3(x) = (x−xn)3+a(x−xn)2+b(x−xn) +c, (2) yang memenuhi kondisi: 1)P3(xn) =f(xn), 2)P3′(xn) = f′(xn), 3)P3′′(xn) = f′′(xn).
Kurva P3 tersebut diilustrasikan pada Gambar 1.
KurvaP3
Fungsi nonlineary=f(x)
α xn
Gambar 1: Kurva P3 memotong dan mecocokkan kurva y=f(x) di sekitar x=xn
Dari kondisi 1) diperoleh
(xn−xn)3+a(xn−xn)2+b(xn−xn) +c=f(xn),
c=f(xn). (3) Dari kondisi 2) diperoleh
3(xn−xn)2+ 2a(xn−xn) +b=f′(xn),
b=f′(xn). (4) Dari kondisi 3) diperoleh
6(xn−xn) + 2a=f′′(xn), 2a=f′′(xn),
a=1
2f′′(xn). (5)
Dapat dilihat dari hasil kondisi interpolasi di atas bahwa nilai koefisien pada
fungsi polinomial P3 yang diperoleh ditentukan oleh fungsi f, sehingga kurva y = P3(x) mendekati kurva y=f(x) di sekitar x=xn.
Dengan mensubstitusi persamaan (3), (4) dan (5) ke persamaan (2) diperoleh P3(x) = (x−xn)3+ 1
2f′′(xn)(x−xn)2+f′(xn)(x−xn) +f(xn). (6) Pada saat persamaan (6) melalui sumbu x maka P3(x) = 0, sehingga diperoleh
0 = (x−xn)3+1
2f′′(xn)(x−xn)2+f′(xn)(x−xn) +f(xn), atau
(x−xn)((x−xn)2+ 1
2f′′(xn)(x−xn) +f′(xn)) =−f(xn). (7) Kemudian, menyederhanakan persamaan (7) sehingga diperoleh persamaan im- plisit
x−xn = −f(xn) (x−xn)2+ 1
2f′′(xn)(x−xn) +f′(xn) ,
atau
x=xn− f(xn)
(x−xn)2+ 1
2f′′(xn)(x−xn) +f′(xn) .
Dengan menotasikan x=xn+1 diperoleh
xn+1 =xn− f(xn) (xn+1−xn)2+1
2f′′(xn)(xn+1−xn) +f′(xn)
. (8)
Selanjutnya, mengganti nilai xn+1 di ruas kanan pada persamaan implisit (8) dengan metode Newton sebagai prediktor sehingga diperoleh
yn = xn− f(xn) f′(xn),
xn+1 = xn− f(xn) (yn−xn)2+ f′′(xn)
2 (yn−xn) +f′(xn)
, n = 0,1,2, . . . ,
(9)
dengan f′(xn)̸= 0 dan (yn−xn)2+ f′′(xn)
2 (yn−xn) +f′(xn)̸= 0.
Persamaan (9) merupakan metode Srisarakham yang memerlukan tiga evaluasi fungsi pada setiap iterasinya yaitu f(xn),f′(xn) danf′′(xn). Di bawah ini diberikan analisis konvergensi dari persamaan (9) untuk mengetahui orde kekonvergenan dari metode Srisarakham.
3. ANALISIS KONVERGENSI
Pada bagian ini dibahas analisis konvergensi untuk melihat orde kekonvergenan dari metode Srisarakham.
Teorema 1 Misalkan pada sebuah interval terbukaI, terdapatα yang merupakan akar sederhana dari persamaan (1) dengan fungsi f yang memetakan interval ter- buka I subset R ke R yang dapat diturunkan secukupnya. Jika tebakan awal x0 berada cukup dekat dengan α, maka metode Srisarakham konvergen dengan orde konvergensi tiga dan memenuhi persamaan error [8]
en+1 = ( 1
f′(α) +c22−c3 )
e3n+O(e4n), (10) dengan cm =f(m)(α)/(m!f′(α)) dan m= 2,3.
Bukti. Misalkan α merupakan akar sederhana dari persamaan (1) dengan fungsi f, maka f(α) = 0 dan f′(α) ̸= 0. Dengan melakukan ekspansi Taylor [3, h.189]
berderajat 3 dari f(x) di sekitar x=α diperoleh f(x) =f(α) +f′(α)(x−α) + f′′(α)
2! (x−α)2+ f′′′(α)
3! (x−α)3+O(x−α)4. (11) Kemudian dengan mensubstitusikan x =xn ke persamaan (11) sehingga diper- oleh
f(xn) =f(α) +f′(α)(xn−α) + f′′(α)
2! (xn−α)2+f′′′(α)
3! (xn−α)3
+O(xn−α)4. (12)
Karenaf(α) = 0 dan dengan memisalkanen =xn−α, persamaan (12) menjadi f(xn) =f′(α)en+ f′′(α)
2! e2n+ f′′′(α)
3! e3n+O(e4n). (13) Dengan memisalkan cm = f(m)(α)/(m!f′(α)), untuk m = 2,3, persamaan (13) menjadi
f(xn) = (en+c2e2n+c3e3n)f′(α) +O(e4n). (14) Selanjutnya dengan melakukan ekspansi Taylor berderajat 4 darif′(x) di sekitar x=α diperoleh
f′(x) =f′(α) +f′′(α)(x−α) +f′′′(α)
2! (x−α)2+f(4)(α)
3! (x−α)3+O(x−α)4. (15) Kemudian dengan mensubstitusikan x =xn ke persamaan (15) sehingga diper-
oleh
f′(xn) = f′(α) +f′′(α)(xn−α) + f′′′(α)
2! (xn−α)2+f(4)(α)
3! (xn−α)3
+O(xn−α)4. (16)
Karenaf(α) = 0 dan dengan memisalkanen =xn−α, persamaan (16) menjadi f′(xn) =f′(α) +f′′(α)en+f′′′(α)
2! e2n+ f(4)(α)
3! e3n+Oe4n. (17) Dengan memisalkan cm = f(m)(α)/(m!f′(α)), untuk m = 2,3, persamaan (17) menjadi
f′(xn) = (1 + 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n)f′(α) +O(e4n). (18) Selanjutnya dengan melakukan ekspansi Taylor berderajat 5 dari f′′(x) dan dengan cara yang sama untuk memperoleh f(x) dan f′(xn), diperoleh f′′(xn) se- bagai berikut:
f′′(xn) = (2c2+ 6c3en+ 12c4e2n+ 20c5e3n)f′(α) +O(e4n). (19) Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (14) dan (18), diperoleh nilai f(xn)/f′(xn) sebagai berikut:
f(xn)
f′(xn) = (en+c2e2n+c3e3n)f′(α) +O(e4n) (1 + 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n)f′(α) +O(e4n),
atau f(xn)
f′(xn) = en+c2e2n+c3e3n+O(e4n)
1 + 2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n+O(e4n). (20) Untuk menyelesaikan persamaan (20) digunakan persamaan deret geometri [10, h. 750] sehingga diperoleh
f(xn)
f′(xn) = (en+c2e2n+c3e3n+O(e4n))(1−(2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n +O(e4n)) + (2c2en+ 3c3e2n+ 4c4e3n+O(e4n))2−(2c2en
+ 3c3e2n+ 4c4e3n+O(e4n))3). (21) Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (21) dan nilai xn =en+α ke yn pada persamaan (9) sehingga diperoleh
yn=α+c2e2n+ (2c3−2c22)e3n+O(e4n). (22) Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (22) dan xn = en+α, diperoleh nilai yn−xn sebagai berikut:
yn−xn =−en+c2e2n+ (2c3 −2c22)e3n+O(e4n). (23)
Kemudian dengan menggunakan persamaan (18), (19) dan (23), diperoleh nilai (yn−xn)2 + ((f′′(xn)/2)(yn−xn)) +f′(xn) sebagai berikut:
(yn−xn)2+f′′(xn)
2 (yn−xn) +f′(xn)
=f′(α) +f′(α)c2en+ (1 +f′(α)c22)e2n+ (5f′(α)c2c3−2c2 −2f′(α)c4
−2f′(α)c32)e3n+O(e4n). (24) Kemudian dengan menggunakan persamaan (14) dan (24), diperoleh nilai f(xn)/(yn−xn)2+ ((f′′(xn)/2)(yn−xn)) +f′(xn) sebagai berikut:
f(xn) (yn−xn)2+ f′′(xn)
2 (yn−xn) +f′(xn)
= en+c2e2n+c3e3n+O(e4n) 1 +c2en+
(
c22+ 1 f′(α)
) e2n+
(
5c2c3 − 2c2
f′(α) −2c4−2c32 )
e3n+O(e4n)
. (25)
Untuk menyelesaikan persamaan (25) digunakan persamaan deret geometri se- hingga diperoleh
f(xn) (yn−xn)2+f′′(xn)
2 (yn−xn) +f′(xn)
= (en+c2e2n+c3e3n+O(e4n)) (
1− (
c2en+ (
c22+ 1 f′(α)
) e2n+
(
5c2c3− 2c2 f′(α)
−2c4−2c32 )
e3n+O(e4n) )
+ (
c2en+ (
c22+ 1 f′(α)
) e2n+
(
5c2c3− 2c2 f′(α)
−2c4−2c32 )
e3n+O(e4n) )2
− (
c2en+ (
c22+ 1 f′(α)
) e2n+
(
5c2c3− 2c2 f′(α)
−2c4−2c32 )
e3n+O(e4n) )3)
, atau
f(xn) (yn−xn)2 +f′′(xn)
2 (yn−xn) +f′(xn)
= (en+c2e2n+c3e3n+O(e4n)) (
1−c2en− e2n f′(α)+
(
3c32 + 4c2
f′(α)−5c2c3 + 2c4
)
e3n+O(e4n) )
. (26)
Dengan menyederhanakan persamaan (26) diperoleh f(xn)
(yn−xn)2+f′(xn) + f′′(xn)
2 (yn−xn)
=en+ (
− 1
f′(α) −c22+c3 )
e3n
+O(e4n). (27)
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (27) dan nilai xn = en+α ke xn+1 pada persamaan (9) sehingga diperoleh
xn+1 =α+ ( 1
f′(α)+c22−c3 )
e3n+O(e4n). (28) Karenaen+1 =xn+1−α maka persamaan (28) menjadi
en+1 = ( 1
f′(α) +c22−c3 )
e3n+O(e4n).
Dari persamaan error (10) dapat dilihat bahwa metode iterasi Srisarakham memiliki orde konvergensi tiga, sehingga teorema terbukti. 2 Metode Srisarakham memiliki tiga evaluasi fungsi pada setiap iterasinya, serta orde konvergensi tiga yang telah diuji melalui analisis konvergensi menggunakan ekspansi Taylor dan deret geometri untuk memudahkan perhitungannya. Sehingga metode Srisarakham memiliki indeks efisiensi [5, h. 261] yang sama seperti metode Halley [11, h.86] dan Chebyshev [11, h.89] yaitu 31/3 ≈1.442.
4. PERBANDINGAN KOMPUTASI
Pada bagian ini dilakukan perbandingan komputasi berupa banyaknya iterasi yang dibutuhkan, akar pendekatan, nilai fungsi dan selisih akar pendekatan dari metode iterasi yang akan dibandingkan. Metode yang digunakan adalah metode Newton (MN), metode Halley (MH), metode Chebyshev (MC) dan metode Srisarakham (MS). Berikut beberapa contoh fungsi nonlinear yang memiliki pembuat nol seder- hana untuk melakukan perbandingan komputasi:
f1(x) =x3 + 4x−10, α∈[1,2],
f2(x) =x(√
x+ (sin(x))2)− 1
x, α∈[0,1],
f3(x) = ln(x) +x, α∈[0,1],
f4(x) = e132x3−x2+92 −(x+ 1)2, α∈[1,2], f5(x) = ex
x2+ 5 −20x(sin(x) cos(x) + 1), α∈[10,11].
Untuk mencapai solusi numerik dibutuhkan kriteria pemberhentian jalannya program komputasi dengan memenuhi salah satu syarat berikut:
(a) Jika nilai fungsi sudah lebih kecil dari nilai toleransi.
(b) Jika selisih akar pendekatan sudah lebih kecil dari nilai toleransi.
(c) Jika banyak iterasi mencapai maksimum iterasi.
Dalam hal ini, nilai toleransi yang diberikan adalah 1.0e−14 dan maksimum ite- rasi yang digunakan adalah 100 iterasi. Hasil perbandingan komputasi ditunjukkan oleh Tabel 1.
Tabel 1: Perbandingan hasil komputasi dari beberapa metode iterasi fi x0
Me- n+ 1 xn+1 |f(xn+1)| |xn+1−xn| ACOC tode
f1 1.3
MN 5 1.556773264394211 9.01e−30 1.39e−15 2.000 MH 3 1.556773264394211 6.00e−30 1.86e−10 2.989 MC 3 1.556773264394211 1.33e−22 3.59e−08 3.063 MS 3 1.556773264394211 5.33e−25 6.51e−09 3.042 3.1
MN 6 1.556773264394211 7.29e−24 1.25e−12 2.000 MH 4 1.556773264394211 1.74e−33 1.23e−11 3.001 MC 4 1.556773264394211 8.10e−23 3.04e−08 2.956 MS 4 1.556773264394211 5.16e−27 1.39e−09 2.974 6.6
MN 8 1.556773264394211 2.59e−24 7.45e−13 2.000 MH 5 1.556773264394211 1.84e−31 5.82e−11 3.001 MC 5 1.556773264394211 2.90e−17 2.16e−06 2.918 MS 5 1.556773264394211 5.67e−23 3.08e−08 2.960
f2
0.6
MN 4 0.829208263882550 1.40e−20 1.83e−10 2.021 MH 3 0.829208263882550 1.90e−19 5.20e−07 3.352 MC 3 0.829208263882550 4.29e−21 1.49e−07 3.203 MS 3 0.829208263882550 5.99e−23 5.54e−08 3.742 2.7
MN gagal − − − −
MH gagal − − − −
MC gagal − − − −
MS 13 0.829208263882550 5.76e−37 1.18e−12 3.074 6.9
MN gagal − − − −
MH 6 0.829208263882550 1.84e−34 5.14e−12 2.744
MC gagal − − − −
MS 6 0.829208263882550 4.40e−27 2.32e−09 3.291
f3
0.33
MN 5 0.567143290409784 1.49e−25 3.10e−13 2.000 MH 3 0.567143290409784 5.98e−20 3.97e−07 2.232 MC 3 0.567143290409784 3.98e−32 7.98e−11 3.264 MS 3 0.567143290409784 1.04e−25 1.30e−08 3.838 1.7
MN 6 0.567143290409784 3.36e−23 4.65e−12 2.001 MH 4 0.567143290409784 3.36e−34 7.07e−12 3.042 MC 3 0.567143290409784 8.17e−19 2.19e−06 3.340 MS 4 0.567143290409784 3.71e−15 4.28e−05 3.919
fi x0 Me-
n+ 1 xn+1 |f(xn+1)| |xn+1−xn| ACOC tode
f3 6.4
MN gagal − − − −
MH gagal − − − −
MC gagal − − − −
MS 23 0.567143290409784 3.61e−24 4.24e−08 3.730
f4
2.1
MN 5 1.834746449911072 1.39e−22 2.97e−12 2.000 MH 3 1.834746449911072 2.58e−33 1.07e−11 2.797 MC 3 1.834746449911072 7.99e−19 3.94e−07 2.971 MS 3 1.834746449911072 4.02e−29 3.31e−10 3.138 0.5
MN 6 1.834746449911072 2.25e−22 3.78e−12 2.000 MH 5 1.834746449911072 1.25e−45 8.41e−16 3.029 MC 5 1.834746449911072 1.30e−25 2.15e−09 3.002 MS 4 1.834746449911072 1.17e−15 1.02e−05 3.598 6.3
MN 6∗ 6.422641969060814 8.73e−19 2.74e−11 2.001 MH 3∗ 6.422641969060814 3.63e−15 1.41e−06 3.054 MC 5∗ 6.422641969060814 2.73e−43 3.52e−16 3.004 MS 3∗ 6.422641969060814 3.73e−15 1.42e−06 3.055
f5
10.3
MN 5 10.447529781481720 2.25e−23 2.75e−13 2.000 MH 3 10.447529781481720 1.83e−19 8.48e−08 3.129 MC 4 10.447529781481720 3.65e−46 8.55e−17 3.006 MS 3 10.447529781481720 1.92e−19 8.60e−08 3.129 8.6
MN 9 10.447529781481720 1.82e−29 2.47e−16 2.000 MH 5 10.447529781481720 2.46e−17 4.34e−07 3.178 MC 7 10.447529781481720 1.44e−32 2.91e−12 2.973 MS 5 10.447529781481720 6.40e−16 1.29e−06 3.223 3.8
MN 62 10.447529781481720 2.39e−19 2.83e−11 2.000 MH 7∗ 0.010000303317096 1.57e−29 9.19e−11 2.985 MC 40 10.447529781481720 7.67e−24 2.36e−09 2.927 MS 27 10.447529781481720 6.82e−22 1.31e−08 2.929
Pada Tabel 1, fi, untuk i = 1,2, . . . ,5, menyatakan fungsi yang digunakan, x0 menyatakan tebakan awal, n + 1 menyatakan banyak iterasi yang digunakan untuk mencapai akar pendekatan yang diinginkan, sedangkan tanda ∗ (bintang) menyatakan banyak iterasi yang digunakan untuk mencapai akar pendekatan yang lain. Selanjutnya, xn+1 menyatakan nilai akar pendekatan, |f(xn+1)| menyatakan absolut nilai fungsi akar pendekatan dan |xn+1−xn| menyatakan absolut selisih akar pendekatan.
Tebakan awal yang berbeda-beda dipilih dengan mempertimbangkan letak akar sebenarnya dari kelima persamaan nonlinear yang diuji, yaitu sangat dekat dengan akar sebenarnya, cukup dekat dengan akar sebenanya dan cukup jauh dari akar sebenarnya. Tebakan awal tersebut mempengaruhi banyak iterasi yang digunakan oleh setiap metode. Semakin dekat tebakan awal dengan akar sebenarnya, maka se-
makin sedikit iterasi yang digunakan. Keadaan tersebut disebabkan karena keempat metode iterasi memiliki metode iterasi Newton di dalamnya.
Dapat dilihat dari Tabel 1 bahwa metode MN lebih lambat dalam melakukan perhitungan komputasi untuk mencapai akar pendekatan dibanding ketiga metode lainnya. Hal ini dikarenakan metode MN hanya memiliki kekonvergenan orde dua sedangkan metode lainnya memiliki kekonvergenaan orde yang lebih tinggi, yaitu kekonvergenan orde tiga.
Secara keseluruhan, dapat disimpulkan bahwa hampir semua hasil komputasi yang dilakukan oleh metode pembanding berhasil dalam menemukan akar pen- dekatan yang diinginkan dari setiap fungsi yang diuji. Pada fungsi kedua untuk tebakan awal x0 = 6.9 hanya metode MH dan MS yang dapat melanjutkan per- hitungan komputasi. Lalu, pada fungsi kedua untuk tebakan awal x0 = 2.7 dan fungsi ketiga untuk tebakan awal x0 = 6.4 hanya metode MS yang dapat melan- jutkan perhitungan komputasi. Selain itu, semua metode berhasil konvergen ke akar pendekatan yang diinginkan maupun ke akar pendekatan lain. Sehingga dapat disimpulkan, metode MS dapat dijadikan metode alternatif untuk menyelesaikan persamaan nonlinear.
Ucapan terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Supriadi Putra, M.Si yang telah membimbing dan memberikan arahan dalam penulisan kertas kerja ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] S. Amat, S. Busquier, dan J. M. Gutierrez,Geometric constructions of iterative functions to solve nonlinear equations, Journal of Computational and Applied Mathematics, 157 (2003), 197–205.
[2] K. Atkinson dan W. Han,Elementary Numerical Analysis, Third Edition, John Wiley & Sons, New York, 2010.
[3] R. G. Bartle dan D. R. Sherbert, Introduction to Real Analysis, Fourth Edition, John Wiley & Sons, New York, 2010.
[4] C. Chun, Some variants of Chebyshev–Halley methods free from second deriva- tive, Applied Mathematics and Computation, 191 (2007), 193–198.
[5] W. Gautschi,Numerical Analysis, Second Edition, Birkhauser, New York, 2012.
[6] A. M. Ostrowski,Solution of Equations in Euclidean and Banach Space, Third edition, Academic Press, New York, 1973.
[7] J. R. Sharma, A family of third-order methods to solve nonlinear equations by quadratic curves approximation, Applied Mathematics and Computation, 184 (2007), 210–215.
[8] J. R. Sharma dan R. K Guha, Some modified Newton’s methods with fourth- order convergence, Applied Science Research, 1 (2011), 240–247.
[9] N. Srisarakham,Geometric construction of third order iterative method for solv- ing nonlinear equations, International Journal of Mathematics and Computer Science, 17 (2022), 659–665.
[10] J. Stewart, Calculus, Eighth Edition, Cengage Learning, Boston, 2016.
[11] R. Wait, The Numerical Solution of Algebraic Equation, John Wiley & Sons, Chicester, 1979.
