Metode Linearisasi Persamaan Integral Taklinear dalam Model Pemanenan

(1)

RENI NURAENI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

RENI NURAENI

G54104041

(3)

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh :

RENI NURAENI

G54104041

(4)

RENI NURAENI. Metode Linearisasi Persamaan Integral Taklinear dalam Model Pemanenan. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan JAHARUDDIN

Mayoritas penduduk di negara maritim memperoleh pendapatan dari sektor perikanan. Secara tidak langsung, hal tersebut dapat menyebabkan tereksploitasinya biologis perairan.

(5)

RENI NURAENI. Linearization Method of Nonlinear Integral Equation in Harvesting Model. Supervised by HADI SUMARNO and JAHARUDDIN

Most of citizens in maritime countries live from fishery sector. Indirectly, it exploits the biological population in ocean as well as in freshwater.

(6)

Menyetujui,

Pembimbing I

Dr.Ir. Hadi Sumarno, MS. NIP 131 430 804

Pembimbing II

Dr. Jaharuddin, M.Si. NIP 132 045 530

Mengetahui:

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Dr. drh. Hasim, DEA NIP. 131 578 806

(7)

kepada kita semua dalam menjalankan aktivitas sehari-hari. Amin.. Shalawat serta salam senantiasa tercurah kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan tak henti-hentinya kepada umatnya hingga akhir jaman.

Karya ilmiah ini merupakan permasalahan yang ditemukan dalam kehidupan bermasyarakat sehari-hari yang pengelolaannya belum bisa di sebut optimal. Pengaplikasiannya di Indonesia maupun di Negara lain menjadi suatu rutinitas khususnya di daerah yang berpotensial dalam bidang perikanan. Penulis melakukan pencarian referensi dalam bidang ini. Pada akhirnya penulis berhasil menyusun karya ilmiah ini sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana sains.

Berbagai permasalahan dan kendala muncul selama penulisan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Dr.Ir. Hadi Sumarno selaku Pembimbing I dan Dr. Jaharudin, M.Si. selaku Pembimbing II yang telah meluangkan waktu, tenaga dan pikirannya untuk membimbing, memberikan dorongan dan pengarahan kepada penulis hingga penulisan karya ilmiah ini selesai. Terima kasih juga kepada Drs. Ali Kusnanto,M.Si. selaku dosen penguji atas saran dan masukan yang telah diberikan.

2. Mamah, Bapak, mimih, Kakak tercinta dan kakak ipar atas segala usaha, doa restu dan kasih sayang yang telah diberikan hingga sekarang, serta dukungan semangat dengan sepenuh hati. Seluruh keluarga besar di Yogyakarta dan Maniis Purwakarta yang telah memberikan semangat dan dukungan hingga penulisan ini selesai.

3. Heri Sanjaya Putra yang telah memberikan motivasi, pengertian, kesabaran dan limpahan kisah kasih manis.

4. Seluruh dosen dan staf di Departemen Matematika, atas ilmu yang telah diberikan.

5. Kawan-kawan seperjuangan di HMI Cabang Bogor, KOHATI Cabang Bogor serta komisariat MIPA. Yakin usaha sampai.

6. Romce, Kecrit, Fitrong, More, Kesha, Dinste, Boytse, Penoy, GuRite, uwie, dodol, Windha, Lulu dan Ichu, atas perhatian, masukan, kritikan, bantuan, dorongan serta kebersamaan. 7. Pak jarwoto, ibu Sri dan keluarga besar dan Koi atas doa dan kebersamaan yang selalu menjadi

orang tua dan keluarga besar keduaku, serta mengenang teh Nio.

8. T-SHIRT (The Six Smart Girls) Che2, Kempez, Lie, Beduz, Milly, Ziviet and me atas kebersamaan kita, dan Esa sobat tercintaku yang tak cukup dengan kata terima kasih yang diberikan.

9. Teman-teman Matematika 41, Selamat Berjuang kawan, karena hidup adalah perjuangan. 10.Kakak kelas kamith, Blobo, matematika 40, 39, juga adik-adik kelas matematika 42, 43, dan

44 keep for fighting.

11.Para ITB’ers, JuPenty arigato gozaimasu dan TIN’ers and to aLL crew ITB. Tak lupa pula untuk sekretariat IPMM yang telah menjadi tempat kost keduaku.

12.Semua pihak yang telah membantu penulis yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Penulisan karya ilmiah ini tidak mungkin luput dari kekurangan, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak akan sangat membantu demi kesempurnaan penulisan ini. Harapan penulis semoga karya ilmiah ini akan memberikan manfaat bagi para pembacanya.

Bogor, Agustus 2008

(8)

pasangan bapak Toyiban dan Ibu Neneng Mulyati.

Awal pendidikan penulis dimulai dari Sekolah Dasar Negeri Citamiang 1 Kabupaten Purwakarta pada tahun 1992 – 1998. Kemudian melanjutkan pendidikan ke SLTP Negeri I Maniis Kabupaten Purwakarta pada tahun 1998 – 2001. Pada tahun 2001 penulis melanjutkan pendidikan ke SMU Negeri 1 Cianjur Jawa Barat hingga tahun 2004. Pada tahun 2004 penulis melanjutkan pendidikan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI dengan memilih Departemen Metematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

Selama mengikuti kegiatan perkuliahan penulis aktif dalam keanggotaan himpunan mahasiswa Departemen Matematika (GUMATIKA). Periode 2005 - 2006 penulis aktif sebagai staf bidang kesekretariatan GUMATIKA. Selama masa kepengurusan di GUMATIKA, penulis menjadi panitia berbagai kegiatan seperti Matematika Ria 2006, Musyawarah Wilayah III IKAHIMATIKA 2006. Penulis juga pernah mengikuti seminar LEMM ( Lets Make Money ) yang diadakan oleh BEM FMIPA IPB.

(9)

vi

Halaman

DAFTAR TABEL ... vii

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... ix

PENDAHULUAN ... 1

Latar Belakang ... 1

Tujuan ... 1

Sistematika Penulisan ... 1

LANDASAN TEORI ... 1

Pelinearan Persamaan Integral Tak Linear ... 2

MODEL PEMANENAN ... 4

Jumlah Kelahiran ( ) ... 4

Jumlah Kelahiran yang Dipanen pada Semua Umur ... 4

Jumlah Populasi ( ) ... 5

Jumlah Populasi yang Dipanen pada Semua Umur ... 5

PEMBAHASAN ... 6

Kasus 1 ... 6

Linearisasi Model ... 6

Kasus 2 ... 9

KESIMPULAN ... 12

(10)

vii

1 Jumlah Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 1 ... 6

2 Jumlah Populasi N(t) sebelum pemanenan pada kasus 1 ... 7

3 Nilai X(t) setelah pemanenan pada kasus 1 ... 7

4 Nilai N(t) setelah pemanenan pada kasus 1 ... 8

5 Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 2 ... 9

6 N(t) sebelum pemanenan pada kasus 2 ... 10

7 X(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01 – 0.10 ... 10

(11)

viii

1 Grafik X(t) sebelum pemanenan pada kasus 1... 6

2 Grafik N(t) sebelum pemanenan pada kasus 1... 7

3 Grafik X(t) setelah pemanenan pada kasus 1 dengan nilai H=0.03,0.04 dan 0.05 ... 8

4 Grafik N(t) setelah pemanenan pada kasus 1 dengan nilai H=0.03,0.04 dan 0.05 ... 8

5 Grafik X(t) sebelum pemanenan pada kasus 2... 9

6 Grafik N(t) sebelum pemanenan pada kasus 2... 10

7 Grafik X(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01 – 0.10 ... 11

(12)

ix

1 Uraian Tabel Jumlah Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 1 ... 15

2 Uraian Tabel Jumlah Individu N(t) sebelum pemanenan pada kasus 1 ... 15

3 Uraian Tabel X(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.03, 0.04, 0.05 ... 16

4 Uraian Tabel N(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.03,0.04 dan 0.05 ... 17

5 Uraian Tabel Jumlah Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 2 ... 18

6 Uraian Tabel N(t) sebelum pemanenan pada kasus 2 ... 18

7 Uraian Tabel X(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01 – 0.10 ... 19

(13)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Eksploitasi terhadap populasi biologis dan ekosistem di perairan sering terjadi saat ini. Salah satunya di dunia perikanan, baik di wilayah daratan maupun perairan. Hal ini disebabkan adanya sifat egosentris dan ketidakfahaman manusia itu sendiri. Banyak sektor perikanan mengalami kerugian yang disebabkan kurangnya manajemen dalam pengelolaannya. Sehingga berpengaruh pula pada sektor lain, diantaranya sektor ekonomi. Perekonomian akan semakin terpuruk apabila sektor-sektor penunjangnya mengalami degradasi dan berpengaruh pula pada kesejahteraan para peternak ikan yang akan semakin menurun. Untuk mencegah hal tersebut para pengusaha ikan harus dapat mempertimbangkan seberapa banyak komposisi yang harus dipelihara dan yang harus dipanen. Pada proses pemanenan ikan juga harus diperhatikan berapa tingkat kelahiran dan tingkat kematiannya. Hal tersebut dilakukan agar dapat memaksimalkan keuntungan pada saat pemanenan ikan. Berdasarkan hal tersebut dapat dibuat suatu model yang dapat mengaplikasikan perkembangan atau pertumbuhan populasi ikan.

Dengan adanya model tersebut, maka dapat dilakukan simulasi untuk menentukan berapa bagian yang seharusnya dipanen, agar jumlah individu setelah pemanenan tidak terlalu menurun bahkan punah.

Namun demikian, seringkali tidak mudah untuk mendapatkan solusi dari model pertumbuhan tersebut, terutama jika melibatkan persamaan integral tak linear,

sehingga pada model pertumbuhan ini digunakan metode linearisasi dalam penyelesaiannya.

Tujuan

Berdasarkan uraian di atas, tujuan dari penulisan ini adalah :

1. Merumuskan model pertumbuhan

populasi ikan dan mengkaji kasus tingkat pemanenan yang mungkin.

2. Menggunakan metode linearisasi

pada model yang berupa persamaan integral taklinear.

Sistematika Penulisan

Karya ilmiah ini terdiri atas lima bab. Bab pertama merupakan uraian mengenai latar belakang permasalahan dan tujuan penulisan. Bab kedua berupa landasan teori, berisi beberapa istilah dan metode linearisasi untuk menyelesaikan persamaan integral tak linear yang digunakan dalam pembahasan. Bab ketiga berupa model pemanenan, berisi persamaan jumlah kelahiran, jumlah keseluruhan individu sebelum pemanenan dan setelah pemanenan yang ditinjau pada semua umur. Bab keempat berupa pembahasan mengenai ilustrasi model pemanenan dan aplikasi dari persamaan yang didapat dengan asumsi tingkat kelahiran dan kematiannya konstan dan hanya tergantung pada waktu. Selain itu, diperlihatkan pula beberapa grafik persamaan tersebut. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan.

LANDASAN TEORI

Untuk memahami pembahasan yang akan

diberikan pada bagian selanjutnya, maka berikut ini akan diberikan beberapa istilah, yaitu :

1. Perikanan ( Fishery ) adalah semua

yang berhubungan dengan pengelolaan dan pemanfaatan sumberdaya ikan dan lingkungannya mulai dari pra produksi, produksi, pengolahan, sampai pemasaran yang dilaksanakan dalam suatu sistem bisnis perikanan.

(Soewardi, K. 2007)

2. Tingkat Kelahiran ( Fertility Rates ) adalah jumlah dari individu baru yang rata-rata akan dimiliki induk individu semasa hidupnya.

(http://id.wikipedia.org/wiki/Tingkat kelahiran , 10 April 2008)

(14)

(http://id.wikipedia.org/wiki/Tingkat kematian, 10 April 2008)

4. Ekosistem adalah komunitas dan

lingkungan abiotik yang berfungsi bersama.

(Suyasa,1997)

5. Populasi adalah kumpulan

individu-individu yang sejenis. (Suyasa,1997)

Selanjutnya, untuk memahami konsep matematika yang muncul pada bagian berikutnya, maka berikut ini akan diberikan uraian metode yang digunakan. Metode tersebut adalah metode linearisasi untuk menyelesaikan persamaan integral tak linear.

Pelinearan Persamaan Integral Tak Linear Tinjau persamaan integral berikut :

, , ,

dimana adalah fungsi yang tidak

diketahui, adalah konstanta real, dan

, , berturut-turut merupakan fungsi

pada dan . Fungsi , , adalah

fungsi tak linear yang memiliki turunan

dengan pendekatan nilai K di ( , ,

dinyatakan dalam deret Taylor berikut :

, , , , , , , ,

, , . ..

Jika persamaan (2) disubstitusikan ke dalam persamaan (1), maka diperoleh

,

dengan _, , dan

(4)

, ,

, , .

Persamaan (3) dapat ditulis

,

(15)

.

Jika kedua ruas persamaan (7) diturunkan terhadap , maka diperoleh

.

Persamaan (8) merupakan persamaan diferensial biasa yang linear, dengan solusi dalam bentuk

exp exp

exp 9

Persamaan (9) dapat dituliskan sebagai berikut

exp exp

exp

Persamaan (10) dan persamaan (4) digunakan untuk menyelesaikan persamaan

(1) dengan asumsi . Dengan asumsi

ini, solusi persamaan (1) di , untuk

(16)

exp exp

∆ ∆

exp ∆ ,

dengan ∆ dan .

Untuk ∆ dengan , , , …

dan , maka persamaan (11)

menjadi exp exp exp .

Penurunan lengkap dapat dilihat pada pustaka [Darania,2005].

MODEL PEMANENAN

Untuk memahami masalah pemanenan, akan dibahas terlebih dahulu masalah kelahiran. Setelah itu, menentukan berapa jumlah populasi yang ada dengan menggunakan persamaan jumlah kelahiran yang telah didapat terlebih dahulu, baik sebelum proses pemanenan maupun setelah pemanenan.

Jumlah Kelahiran (

Jumlah kelahiran individu pada waktu t, t

∈

[t0,∞) dengan asumsi kompetisi diabaikan dapat dirumuskan sebagai berikut :

,

dengan T adalah umur maksimal individu

dalam populasi, dan berturut-turut

adalah tingkat kelahiran dan kematian pada

umur , . Fungsi dan

diasumsikan selalu positif dan merupakan

fungsi kontinu pada

∈

, .

Berdasarkan persamaan (13), jumlah

kelahiran individu pada waktu sampai

adalah jumlah dari tingkat kematian individu dikalikan dengan tingkat kelahiran individu.

Untuk menuju ke proses pemanenan, perlu adanya identifikasi mengenai jumlah keseluruhan individu yang akan dipanen agar banyaknya bagian individu yang dipanen dapat ditentukan.

Jumlah Kelahiran yang Dipanen pada

Semua Umur

Bentuk pada persamaan akan

dimodifikasi untuk menentukan persamaan dengan asumsi pemanenan dilakukan pada semua umur. Misalkan rasio pemanenan dari individu pada semua umur dinyatakan

oleh konstanta dengan 0 . Rasio

pemanenan tersebut dipanen pada waktu . Kemudian diasumsikan pula bahwa

(17)

secara alami. Sehingga persamaan menjadi

.

Dengan demikian, persamaan untuk menentukan kelahiran setelah pemanenan pada semua umur adalah

.

Jumlah Populasi ( )

Proses pemanenan dilakukan pada jumlah populasi yang ada. Jumlah total individu tersebut didapat dari perkalian antara tingkat kematian individu dikalikan dengan kelahiran individu. Sehingga N(t) dapat diformulasikan sebagai berikut

.

Persamaan (16) menunjukkan bahwa tiap perubahan waktu individu yang ditanam akan ada proses kematian dan kelahiran. Bentuk

menunjukkan jumlah keseluruhan

individu pada waktu sampai setelah

mengalami kematian dan kelahiran.

Jumlah Populasi yang Dipanen pada

Semua Umur

dimodifikasi untuk menentukan persamaan

untuk dengan asumsi pemanenan

dilakukan pada semua umur. Misalkan rasio pemanenan dari individu pada semua umur

dinyatakan oleh konstanta dengan 0 . Rasio pemanenan tersebut dipanen pada waktu . Kemudian diasumsikan pula bahwa bagian dari populasi akan hidup

hingga mati secara alami. Sehingga yang

dipanen adalah

.

dan nilai yang tidak dipanen adalah :

.

Dengan demikian, persamaan untuk menentukan kelahiran setelah pemanenan pada semua umur adalah persamaan (18).

Untuk menentukan jumlah populasi yang memenuhi persamaan (18), maka

diperlukan nilai . Nilai dan

(18)

PEMBAHASAN

Dalam pembahasan ini akan dikaji bentuk yaitu jumlah kelahiran individu dan

bentuk yaitu jumlah populasi. Dalam hal

ini akan di tinjau dua kasus, yaitu kasus dimana tingkat kelahiran dan kematian yang ditinjau konstan dan dimana tingkat kelahiran dan kematiannya hanya bergantung pada waktu . Selain itu, akan dibahas pula perilaku

fungsi dan terhadap perubahan

nilai , yaitu rasio pemanenan populasi ikan sesudah pemanenan.

Kasus 1

Pada kasus ini, diasumsikan tingkat kelahiran dan kematian pada populasi ikan adalah konstan, misalkan

. ,

. . 9 Berdasarkan persamaan (19), maka

diperoleh jumlah kelahiran dan jumlah

populasi baik sebelum maupun setelah

pemanenan. Berikut akan dibahas terlebih

dahulu bentuk dan sebelum

pemanenan.

Berdasarkan yang dinyatakan oleh

persamaan (13) dengan nilai-nilai pada persamaan (19) diperoleh

. .

. — .

. . .

Misalkan pada selang waktu , ,

dan pada selang waktu , ,

maka dari persamaan (24), diperoleh

. . .

Selanjutnya, persamaan yang

dinyatakan oleh persamaan (16) dengan nilai-nilai pada persamaan (19) diperoleh

.

. _.

Misalkan pada selang waktu ,

maka dari persamaan (27) diperoleh

, _.

Linearisasi Model

Berdasarkan persamaan (12), dengan nilai linearisasi persamaan (13) dan (16) berturut-turut dinyatakan sebagai berikut

exp .

(19)

Dengan menggunakan bentuk linear yang diberikan oleh persamaan (24) dengan nilai

dan . (tanda negatif digunakan

agar nilai positif), maka dari persamaan

(21), (4) dan (5) diperoleh :

=

= . exp . =

=

= . exp . .

= (26)

Sehingga dari persamaan (24) dengan nilai-nilai pada persamaan (26) akan diperoleh

, yaitu kelahiran sebelum pemanenan disajikan dalam Tabel 1. Berdasarkan Tabel 1,

dibuat Grafik sebelum pemanenan

seperti disajikan pada Gambar 1.

Tabel 1 Jumlah Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 1

tn X(tn+1) 0 51.72487411 1 53.44974822 2 55.17462233 3 56.89949643 4 58.62437054 5 60.34924465

Gambar1 Grafik sebelum pemanenan

pada kasus 1

Dengan asumsi bahwa tingkat kelahiran dan kematian populasi ikan adalah konstan, serta tingkat kelahiran lebih besar dari tingkat kematiannya, maka pada grafik yang diberikan dalam Gambar 1 diperoleh bahwa jumlah kelahiran populasi ikan tersebut adalah meningkat.

=

= exp . =

=

= exp . .

Sehingga dari persamaan (25) dengan nilai-nilai pada persamaan (27) diperoleh

bentuk , yaitu jumlah populasi sebelum

pemanenan seperti disajikan dalam Tabel 2. Berdasarkan Tabel 2, dibuat Grafik sebelum pemanenan, dan disajikan pada Gambar 2.

Tabel 2 Jumlah Populasi sebelum

pemanenan pada kasus 1

tn N(tn+1) 0 51.12819066 1 52.85306477 2 54.57793888 3 56.30281299 4 58.0276871 5 59.75256121

Gambar 2 Grafik sebelum pemanenan

pada kasus 1

Grafik pada Gambar 2 memperlihatkan meningkatnya jumlah individu yang ada, sehingga dapat dilakukan proses pemanenan. Setelah itu, akan dilakukan proses pemanenan dengan berbagai nilai rasio pemanenan

pada semua umur.

x

t

_t N 50 52 54 56 58 60 62

0 5 10

50 52 54 56 58 60 62

(20)

Berdasarkan persamaan (12), dengan nilai , linearisasi persamaan (15) dan (18) berturut-turut dinyatakan sebagai berikut

exp

exp 9

Berdasarkan nilai yang dinyatakan

oleh persamaan (15) dan bentuk linearnya pada persamaan (28), dengan nilai-nilai pada persamaan (19) dan nilai

. , . , . , . dan . ,

maka diperoleh , yaitu kelahiran setelah

pemanenan yang disajikan oleh Tabel 3. Berdasarkan tabel 3 dibuat grafik setelah pemanenan yang disajikan pada Gambar 3.

Tabel 3 Nilai X(t) setelah pemanenan pada kasus 1

H

tn 0.04 0.03 0.05

0 49.655879 50.173127 49.138630

1 49.325523 50.341061 48.320329

2 49.008381 50.503957 47.542943

3 48.703925 50.661967 46.80442

4 48.411647 50.815235 46.10283

5 48.131060 50.963906 45.43632

Gambar 3 Grafik setelah pemanenan pada kasus 1 dengan nilai . , . dan .

Grafik pada Gambar 3 memperlihatkan empat kurva dengan rasio pemanenan yang berbeda. Semakin besar nilai , maka jumlah kelahiran akan semakin kecil, karena individu yang ada akan semakin sedikit.

. , . , . , . dan . ,

t

X

0 10 20 30 40 50 60 70

0 1 2 3 4 5 6

(H=0.04)

(H=0.03)

(21)

maka diperoleh , yaitu jumlah populasi setelah pemanenan yang disajikan oleh Tabel 4. Berdasarkan tabel 4 dibuat grafik setelah pemanenan yang disajikan pada Gambar 4.

Tabel 4 Nilai N(t) setelah pemanenan pada kasus 1

H

tn 0.05 0.04 0.03

0 51.1281 51.1281 51.1281

1 50.2668 50.7840 51.3013

2 49.4485 50.4537 51.4692

3 48.6711 50.1365 51.6321

4 47.9326 49.8321 51.7901

5 47.2310 49.5398 51.9434

Dari grafik pada Gambar 4, dapat

ditentukan berapa bagian dari jumlah keseluruhan individu yang akan dipanen. Dari

Gambar 4 terlihat bahwa nilai . dapat

menghasilkan jumlah individu yang relatif konstan, sehingga pada kasus ini dipilih

. .

Kasus 2

Pada kasus ini, diasumsikan tingkat kelahiran dan kematian pada populasi ikan hanya tergantung pada waktu . Misalkan

(30)

Berdasarkan persamaan (30) diperoleh

jumlah kelahiran dan jumlah populasi

baik sebelum maupun setelah pemanenan. Berikut ini akan dibahas terlebih

dahulu dan sebelum pemanenan.

.

dan pada waktu , , maka dari

persamaan (31) diperoleh

.

Berdasarkan bentuk linear yang diberikan oleh persamaan (24) dan pemilihan nilai

. (tanda negatif digunakan agar nilai

positif), maka diperoleh , yaitu

jumlah kelahiran sebelum pemanenan yang

disajikan dalam Tabel 5. Nilai tersebut

N t 0 10 20 30 40 50 60 70

0 1 2 3 4 5 6

(H=0.05)

(H=0.04)

(22)

didapatkan dengan proses yang sama pada kasus 1. Berdasarkan Tabel 5, dibuat Grafik sebelum pemanenan, yang disajikan pada Gambar 5.

Tabel 5 Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 2

tn Xn+1 0 35 1 37.67225756 2 40.08121 3 41.62028569 4 42.46487893 5 42.88974963

pada kasus 2

Pada kasus ini, diasumsikan bahwa tingkat kelahiran dan kematian hanya tergantung pada waktu . Pada Gambar 5, memperlihatkan perilaku kurva yang nilainya meningkat secara eksponen.

Berdasarkan N(t) yang dinyatakan oleh persamaan (16) dengan nilai-nilai pada persamaan (30), diperoleh

.

Misalkan nilai pada selang waktu

, dan pada selang waktu

, , maka dari persamaan (33)

diperoleh

.

Berdasarkan bentuk linear yang diberikan oleh persamaan (25), dan memilih nilai

. (tanda negatif digunakan agar nilai

positif), maka diperoleh , yaitu

jumlah populasi sebelum pemanenan yang

disajikan dalam Tabel 6. Nilai tersebut

didapatkan dengan proses yang sama pada kasus 1. Berdasarkan Tabel 6, dibuat Grafik sebelum pemanenan, yang disajikan pada Gambar 6.

Tabel 6 N(t) sebelum pemanenan pada kasus 2

tn Nn+1 0 31.00317156 1 33.48220634 2 37.01381798 3 39.80251416 4 41.5060427 5 42.41911385

pada kasus 2

Pada Gambar 6, grafik sebelum

pemanenan didapat kurva yang nilainya meningkat. Ini berarti populasi tersebut dapat dipanen.

Dalam proses pemanenan akan dikaji untuk berbagai nilai rasio pemanenan pada semua umur.

oleh persamaan (15) dan persamaan (28), serta nilai-nilai pada persamaan (30) dengan nilai

. . dan . , maka

diperoleh yaitu kelahiran setelah

pemanenan yang disajikan oleh Tabel 7. Nilai tersebut didapatkan dengan proses yang sama pada kasus 1. Berdasarkan Tabel 7-

X

t

N

32 34 36 38 40 42 44

0 2 4 6

30 32 34 36 38 40 42 44

(23)

dibuat Grafik setelah pemanenan, yang disajikan pada Gambar 7.

Tabel 7 X(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01 – 0.10

Gambar 7 Grafik setelah pemanenan dengan nilai . – .

Grafik pada Gambar 7 memperlihatkan kurva dengan rasio pemanenan yang berbeda. Semakin besar nilai , maka jumlah kelahiran akan semakin kecil, karena individu yang ada semakin sedikit.

oleh persamaan (18) dan persamaan (29), serta nilai-nilai pada persamaan (30), dengan

nilai . . dan . maka

diperoleh yaitu jumlah populasi setelah

pemanenan yang disajikan oleh Tabel 8. Nilai tersebut didapatkan dengan proses yang sama pada kasus 1. Berdasarkan Tabel 8

digunakan Grafik setelah pemanenan.

Tabel 8 N(t) setelah pemanenan pada kasus 2 dengan nilai H=0.01 – 0.10 H

tn 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

0 31.01 31.01 31.01 31.01 31.01 31.01 31.01 31.01 31.01 31.01

1 33.15 32.82 32.48 32.14 31.81 31.47 31.14 30.80 30.47 30.13

2 36.28 35.05 34.83 34.12 33.41 32.71 32.01 31.33 30.65 29.98

3 38.63 36.36 36.33 35.21 34.13 33.06 32.02 30.99 29.99 29.02

4 39.87 36.72 36.74 35.25 33.81 32.41 31.05 29.73 28.46 27.23

5 40.34 36.51 36.43 34.59 32.82 31.13 29.51 27.96 26.47 25.05 H

tn 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

0 34.65 34.3 33.95 33.6 33.25 32.9 32.55 32.2 31.85 31.5

1 36.92 35.67 35.44 34.72 33.99 33.29 32.58 31.88 31.19 30.51

2 38.89 36.61 36.58 35.46 34.37 33.29 32.24 31.21 30.20 29.21

3 39.98 36.82 36.84 35.35 33.89 32.49 31.13 29.82 28.54 27.30

4 40.38 36.55 36.46 34.62 32.86 31.16 29.54 27.99 26.49 25.07

5 40.38 36.03 35.73 33.57 31.53 29.59 27.75 26.01 24.35 22.79

X t 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0 1 2 3 4 5 6

(24)

Gambar 8 Grafik N(t) setelah pemanenan pada kasus 2 dengan nilai H=0.01 – 0.10

Dari Grafik pada Gambar 8, dapat

ditentukan besarnya bagian dari jumlah keseluruhan individu yang akan dipanen. Dari

Gambar 8 terlihat bahwa nilai . dan

. dapat menghasilkan jumlah

individu yang relatif konstan, sehingga pada

kasus ini dipilih . atau . .

KESIMPULAN

Pola pertumbuhan populasi dipengaruhi oleh tingkat kelahiran dan tingkat kematian individu. Model pertumbuhan dengan persamaan integral tak linear dapat digunakan untuk menentukan jumlah kelahiran dan jumlah populasi ikan dengan berbagai alternatif rasio pemanenan.

Dari model yang digunakan, jika tingkat kelahiran dan kematian individu konstan dan tingkat kelahiran lebih besar dari tingkat kematian individu, maka diperoleh grafik jumlah populasi berbentuk linear yang terus meningkat, baik sebelum maupun setelah

pemanenan. Jika tingkat kelahiran dan kematian individu hanya tergantung pada waktu, maka grafik jumlah populasi berbentuk tidak linear. Pada berbagai variasi pemanenan dengan berbagai nilai rasio pemanenan, diperoleh kurva yang nilainya meningkat pada waktu tertentu dan kemudian menurun.

Dengan metode linearisasi, diperoleh solusi yang dapat memperlihatkan berapa banyak bagian dari jumlah keseluruhan individu yang dapat dipanen. Sehingga, jumlah individu yang tidak dipanen tidak

mengalami penurunan atau kepunahan.

t

N

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

0 1 2 3 4 5 6

(25)

DAFTAR PUSTAKA

Darania, A.Ebadian and Oskoi. 2005.

Linearization Method For Solving Nonlinear Integral Equation. Mathematical Problems in Engineering. 2006 : 1-10.

Farlow, Stanley. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Applications.University of Maine. Maine.

Hritonenko, N dan Yatsenko, Y. 2006.

Optimization of Harvesting Return from Age-Structured Population. Journal of Bioeconomics.8:167-179.

Integral_equation._http://en.wikipedia.org/w iki/Integral_equation. 25April 2008.

Polyanin, AD dan Zhurov, A.I. 2007. A

solution method for some classes of nonlinear integral, integro-functional, and

integro-differential equations,. Website EqWorld — The World of Mathematical Equations,_http://eqworld.ipmnet.ru/en/m ethods/ie/ie-meth3.htm. 25 April 2008.

Rockafeller, Tyrell. 1970. Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton.

Soewardi, K. 2007. Pengelolaan Keragaman

Genetik Sumberdaya Perikanan dan Kelautan. Intramedia, Bogor.

Suyasa, I N. 1997. Ekologi Perairan. Sekolah Tinggi Perikanan Jakarta. Jakarta.

(26)

(27)

Lampiran 1 Uraian Tabel Jumlah Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 1

. . .

. 9

n tn Xn 1/Zn Kn exp(Znh) 1/Zn*Kn exp(Znh)*(1/Zn*Kn) X(tn+1)

0 0 50 -2.9484797 -16.9579 1.034497482 50 51.72487411 51.72487411

1 1 51.72487411 -2.9484797 -17.5429 1.034497482 51.7249 53.50925203 53.44974822

2 2 53.44974822 -2.9484797 -18.1279 1.034497482 53.4497 55.29362995 55.17462233

3 3 55.17462233 -2.9484797 -18.7129 1.034497482 55.1746 57.07800788 56.89949643

4 4 56.89949643 -2.9484797 -19.2979 1.034497482 56.8995 58.8623858 58.62437054

5 5 58.62437054 -2.9484797 -19.8829 1.034497482 58.6244 60.64676372 60.34924465

Lampiran 2 Uraian Tabel Jumlah Individu N(t) sebelum pemanenan pada kasus 1

. . .

n tn Xn 1/Zn Kn exp(Znh) 1/Zn*Kn exp(Znh)*(1/Zn*Kn) N(tn+1)

0 0 50 -4.48168907 -11.15650801 1.022563813 50 51.12819066 51.12819066

1 1 51.72487411 -4.48168907 -11.54137944 1.022563813 51.72487411 52.89198451 52.85306477

2 2 53.44974822 -4.48168907 -11.92625088 1.022563813 53.44974822 54.65577835 54.57793888

3 3 55.17462233 -4.48168907 -12.31112232 1.022563813 55.17462233 56.4195722 56.30281299

4 4 56.89949643 -4.48168907 -12.69599375 1.022563813 56.89949643 58.18336605 58.0276871

5 5 58.62437054 -4.48168907 -13.08086519 1.022563813 58.62437054 59.94715989 59.75256121

Lampiran 3 Uraian Tabel X(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.03, 0.04, 0.05

(28)

n tn Xn 1/Zn Kn exp(Znh) 1/Zn*Kn exp(Znh)*(1/Zn*Kn) X(tn+1) (1-H) X(tn+1)*(1-H)

0 0 50 -2.948479652 -16.95789217 1.034497482 50 51.72487411 51.72487411 0.97 50.17312789

1 1 50.17312789 -2.948479652 -17.01660985 1.034497482 50.17312789 51.90397447 51.89800199 0.97 50.34106193

2 2 50.34106193 -2.948479652 -17.073566 1.034497482 50.34106193 52.07770182 52.06593604 0.97 50.50395796

3 3 50.50395796 -2.948479652 -17.12881347 1.034497482 50.50395796 52.24621735 52.22883207 0.97 50.66196711

4 4 50.66196711 -2.948479652 -17.18240351 1.034497482 50.66196711 52.40967742 52.38684122 0.97 50.81523598

5 5 50.81523598 -2.948479652 -17.23438585 1.034497482 50.81523598 52.56823368 52.54011009 0.97 50.96390679

0 0 50 -2.948479652 -16.95789217 1.034497482 50 51.72487411 51.72487411 0.96 49.65587914

1 1 49.65587914 -2.948479652 -16.84118088 1.034497482 49.65587914 51.36888195 51.38075325 0.96 49.32552312

2 2 49.32552312 -2.948479652 -16.72913805 1.034497482 49.32552312 51.02712948 51.05039723 0.96 49.00838134

3 3 49.00838134 -2.948479652 -16.62157693 1.034497482 49.00838134 50.6990471 50.73325545 0.96 48.70392523

4 4 48.70392523 -2.948479652 -16.51831825 1.034497482 48.70392523 50.38408803 50.42879934 0.96 48.41164737

5 5 48.41164737 -2.948479652 -16.41918992 1.034497482 48.41164737 50.08172731 50.13652148 0.96 48.13106062

0 0 50 -2.948479652 -16.95789217 1.034497482 50 51.72487411 51.72487411 0.95 49.1386304

1 1 49.1386304 -2.948479652 -16.66575192 1.034497482 49.1386304 50.83378943 50.86350451 0.95 48.32032929

2 2 48.32032929 -2.948479652 -16.38821867 1.034497482 48.32032929 49.98725898 50.0452034 0.95 47.54294323

3 3 47.54294323 -2.948479652 -16.12456209 1.034497482 47.54294323 49.18305506 49.26781733 0.95 46.80442647

4 4 46.80442647 -2.948479652 -15.87408834 1.034497482 46.80442647 48.41906134 48.52930058 0.95 46.10283555

(29)

Lampiran 4 Uraian Tabel N(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.03,0.04 dan 0.05

. . .

0 0 50 -4.48168907 -11.15650801 1.022563813 50 51.12819066 51.12819066

1 1 50.17312789 -4.48168907 -11.19513806 1.022563813 50.17312789 51.30522497 51.30131855

2 2 50.34106193 -4.48168907 -11.23260921 1.022563813 50.34106193 51.47694825 51.4692526

3 3 50.50395796 -4.48168907 -11.26895623 1.022563813 50.50395796 51.64351984 51.63214862

4 4 50.66196711 -4.48168907 -11.30421283 1.022563813 50.66196711 51.80509427 51.79015777

5 5 50.81523598 -4.48168907 -11.33841174 1.022563813 50.81523598 51.96182147 51.94342664

0 0 50 -4.48168907 -11.15650801 1.022563813 50 51.12819066 51.12819066

1 1 49.65587914 -4.48168907 -11.07972427 1.022563813 49.65587914 50.77630513 50.78406981

2 2 49.32552312 -4.48168907 -11.00601187 1.022563813 49.32552312 50.43849501 50.45371378

3 3 49.00838134 -4.48168907 -10.93524798 1.022563813 49.00838134 50.11419731 50.136572

4 4 48.70392523 -4.48168907 -10.86731464 1.022563813 48.70392523 49.80287151 49.83211589

5 5 48.41164737 -4.48168907 -10.80209863 1.022563813 48.41164737 49.50399874 49.53983803

0 0 50 -4.48168907 -11.15650801 1.022563813 50 51.12819066 51.12819066

1 1 49.1386304 -4.48168907 -10.96431047 1.022563813 49.1386304 50.24738528 50.26682106

2 2 48.32032929 -4.48168907 -10.78172281 1.022563813 48.32032929 49.41062017 49.44851995

3 3 47.54294323 -4.48168907 -10.60826454 1.022563813 47.54294323 48.61569332 48.67113389

4 4 46.80442647 -4.48168907 -10.44347917 1.022563813 46.80442647 47.8605128 47.93261713

(30)

Lampiran 5 Uraian Tabel Jumlah Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 2

.

n tn Xn Zn Kn (n+2)h+2/Zn Jn exp(Znh) 1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn) Xn+1

0 0 35 0 0 -0.2 -70 1 0 35

1 1 35 -0.735758882 -25.75156088 -3.018281828 0 1.076350216 35 37.67225756

2 2 37.67225756 -0.541341133 -20.39354259 -4.094528049 10.19677129 1.055626166 111.0300894 40.08121

3 3 40.08121 -0.29872241 -11.97315566 -7.195178974 7.982103771 1.030322893 226.998035 41.62028569

4 4 41.62028569 -0.146525111 -6.098416986 -14.24953751 4.573812739 1.014760385 480.1796094 42.46487893

5 5 42.46487893 -0.06737947 -2.861261035 -30.38263182 2.289008828 1.006760698 1067.826324 42.88974963

Lampiran 6 Uraian Tabel N(t) sebelum pemanenan pada kasus 2

.

n tn Xn Zn Kn (n+2)h+2/Zn Jn exp(Znh) 1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn) Nn+1

0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156

1 1 35 0.367879441 12.87578044 5.136563657 -12.87578044 0.96388051 -151.779728 33.48220634

2 2 37.67225756 0.135335283 5.098385647 14.3781122 -5.098385647 0.986557638 -511.5181398 37.01381798

3 3 40.08121 0.049787068 1.995525943 39.67107385 -1.995525943 0.995033666 -1557.999674 39.80251416

4 4 41.62028569 0.018315639 0.762302123 108.5963001 -0.762302123 0.998170112 -4486.512805 41.5060427

(31)

Lampiran 7 Uraian Tabel X(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01 – 0.10

.

n tn Xn Zn Kn (n+2)h+2/Zn Jn exp(Znh) 1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn) Xn+1 (1-H) X(n+1)*(1-H)

0 0 35 0 0 -0.2 -70 1 0 35 0.99 34.65

1 1 34.65 -0.735758 -25.494045 -3.0182818 0 1.076350216 34.65 37.29553498 0.99 36.92257963 2 2 36.92257963 -0.541341 -19.987711 -4.0945280 9.993855544 1.055626166 108.8205906 39.28359393 0.99 38.89075799

3 3 38.89075799 -0.298722 -11.61754 -7.1951789 7.745027307 1.030322893 220.2559664 40.38412159 0.99 39.98028037 4 4 39.98028037 -0.146525 -5.8581150 -14.249537 4.393586268 1.014760385 461.2586169 40.79159326 0.99 40.38367733 5 5 40.38367733 -0.067379 -2.7210307 -30.382631 2.17682462 1.006760698 1015.492209 40.78772514 0.99 40.37984789

0 0 35 0 0 0 -70 1 0 35 0.98 34.3

1 1 34.3 -0.7357588 -25.2365296 -3.01828182 -25.2365296 1.076350216 -62.36706672 36.39826099 0.98 35.67029577

2 2 35.670295 -0.5413411 -19.3097983 -4.09452804 -9.65489916 1.055626166 -33.78918794 37.35776237 0.98 36.61060712

3 3 36.610607 -0.2987224 -10.936408 -7.19517897 -3.64546959 1.030322893 -48.75530927 37.57291226 0.98 36.82145401

4 4 36.821454 -0.1465251 -5.39526764 -14.2495375 -1.34881691 1.014760385 -92.5096458 37.29704869 0.98 36.55110771

5 5 36.551107 -0.0673794 -2.46279426 -30.3826318 -0.49255885 1.006760698 -184.0906176 36.76857095 0.98 36.03319953

0 0 35 0 0 0 -70 1 0 35 0.97 33.95

1 1 33.95 -0.735758 -24.979014 -3.01828182 0 1.076350216 33.95 36.54208983 0.97 35.44582713

2 2 35.445827 -0.541341 -19.188284 -4.09452804 9.59414211 1.055626166 104.4682111 37.71241049 0.97 36.58103818

3 3 36.581038 -0.298722 -10.927575 -7.19517897 7.285050595 1.030322893 207.1749776 37.985711 0.97 36.84613967

4 4 36.846139 -0.146525 -5.398884 -14.2495375 4.049163532 1.014760385 425.0995557 37.59385199 0.97 36.46603643

(32)

0 0 35 0 0 0 -70 1 0 35 0.96 33.6

1 1 33.6 -0.73575 -24.72149 -3.0182818 0 1.076350216 33.6 36.16536725 0.96 34.71875256

2 2 34.718752 -0.54134 -18.79468 -4.0945280 9.397344424 1.055626166 102.3253304 36.93884314 0.96 35.46128941

3 3 35.461289 -0.29872 -10.59308 -7.1951789 7.062054562 1.030322893 200.8333335 36.82296508 0.96 35.35004648

4 4 35.350046 -0.14652 -5.179669 -14.249537 3.884752116 1.014760385 407.8388994 36.06739884 0.96 34.62470288

5 5 34.624702 -0.06737 -2.332994 -30.382631 1.866395303 1.006760698 870.6764301 34.97113085 0.96 33.57228562

0 0 35 0 0 0 -70 1 0 35 0.95 33.25

1 1 33.25 -0.73575 -24.463982 -3.0182818 0 1.076350216 33.25 35.78864468 0.95 33.99921244

2 2 33.99921244 -0.54134 -18.405172 -4.0945280 9.202586092 1.055626166 100.2046557 36.17329203 0.95 34.36462743

3 3 34.36462743 -0.29872 -10.265484 -7.1951789 6.843656221 1.030322893 194.6224403 35.68419245 0.95 33.89998282

4 4 33.89998282 -0.14652 -4.967198 -14.249537 3.725399062 1.014760385 391.109293 34.58790929 0.95 32.85851383

5 5 32.85851383 -0.06737 -2.2139892 -30.382631 1.771191397 1.006760698 826.2636538 33.18727067 0.95 31.52790714

0 0 35 0 0 -0.2 -70 1 0 35 0.94 32.9

1 1 32.9 -0.73575 -24.2064 -3.018281828 0 1.076350216 32.9 35.4119221 0.94 33.287206

2 2 33.287206 -0.54134 -18.0197 -4.094528049 9.00986711 1.055626166 98.10618702 35.41575716 0.94 33.290811

3 3 33.290811 -0.29872 -9.94471 -7.195178974 6.62980767 1.030322893 188.5409359 34.56914337 0.94 32.494994

4 4 32.494994 -0.14652 -4.76133 -14.24953751 3.57099953 1.014760385 374.8997307 33.15441006 0.94 31.165145

(33)

0 0 35 0 0 -0.2 -70 1 0 35 0.93 32.55

1 1 32.55 -0.73575 -23.9489 -3.018281828 0 1.076350216 32.55 35.03519953 0.93 32.582735

2 2 32.58273 -0.54134 -17.6383 -4.094528049 8.819187491 1.055626166 96.02992434 34.66623853 0.93 32.239601 3 3 32.23960 -0.29872 -9.63069 -7.195178974 6.420461043 1.030322893 182.5874584 33.47756814 0.93 31.134138 4 4 31.13413 -0.14652 -4.56193 -14.24953751 3.421449813 1.014760385 359.199322 31.76593804 0.93 29.542322 5 5 29.54232 -0.06737 -1.99054 -30.38263182 1.592436819 1.006760698 742.8743538 29.83789998 0.93 27.74924698

0 0 35 0 0 -0.2 -70 1 0 35 0.92 32.2

1 1 32.2 -0.73575 -23.6914 -3.01828182 0 1.076350216 32.2 34.65847695 0.92 31.8857988

2 2 31.88579 -0.54134 -17.2610 -4.09452804 8.630547222 1.055626166 93.97586769 33.92473615 0.92 31.21075726

3 3 31.210757 -0.29872 -9.32335 -7.19517897 6.215568421 1.030322893 176.7606459 32.40921703 0.92 29.81647966

4 4 29.816479 -0.14652 -4.36886 -14.2495375 3.276647247 1.014760385 343.9972917 30.42154031 0.92 27.98781709

5 5 27.987817 -0.06737 -1.88580 -30.3826318 1.508643425 1.006760698 703.7845999 28.26784151 0.92 26.00641419

0 0 35 0 0 -0.2 -70 1 0 35 0.91 31.85

1 1 31.85 -0.735758 -23.43392 -3.0182818 0 1.076350216 31.85 34.28175438 0.91 31.19639

2 2 31.1963 -0.541341 -16.88789 -4.0945280 8.443946308 1.055626166 91.94401705 33.19125 0.91 30.2040

3 3 30.2040 -0.298722 -9.022622 -7.1951789 6.015081921 1.030322893 171.0591362 31.36384031 0.91 28.5410

4 4 28.5410 -0.146525 -4.181987 -14.249537 3.136490302 1.014760385 329.2829799 29.12027416 0.91 26.4994

(34)

0 0 35 0 0 -0.2 -70 1 0 35 0.9 31.5

1 1 31.5 -0.735758 -23.17640 -3.018281 0 1.07635021 31.5 33.9050318 0.9 30.51452862

2 2 30.51452 -0.541341 -16.51876 -4.094528 8.2593847 1.05562616 89.93437243 32.4657801 0.9 29.21920209

3 3 29.21920 -0.298722 -8.728430 -7.1951789 5.8189536 1.03032289 165.4815675 30.34118827 0.9 27.30706944

4 4 27.30706 -0.146525 -4.001171 -14.249537 3.0008785 1.01476038 315.0458417 27.86120706 0.9 25.07508636

5 5 25.07508 -0.067379 -1.689546 -30.382631 1.3516368 1.00676069 630.5407659 25.32596826 0.9 22.79337143

Lampiran 8 Uraian Tabel N(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01 – 0.10

.

0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156

1 1 34.65 0.367879441 12.74702264 5.136563657 -12.74702264 0.96388051 -150.2619307 33.14738427

2 2 36.92257963 0.135335283 4.996927772 14.3781122 -4.996927772 0.986557638 -501.3389289 36.277243 3 3 38.89075799 0.049787068 1.936256827 39.67107385 -1.936256827 0.995033666 -1511.725526 38.62033969

4 4 39.98028037 0.018315639 0.732264378 108.5963001 -0.732264378 0.998170112 -4309.7263 39.87053901

(35)

0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156

1 1 34.3 0.367879441 12.61826483 5.136563657 -12.61826483 0.96388051 -148.7441334 32.81256221

2 2 35.67029577 0.135335283 4.827449581 14.3781122 -4.827449581 0.986557638 -484.3352781 35.04684669

3 3 36.61060712 0.049787068 1.8227348 39.67107385 -1.8227348 0.995033666 -1423.093613 36.35604335

4 4 36.82145401 0.018315639 0.674408455 108.5963001 -0.674408455 0.998170112 -3969.216505 36.72038327

5 5 36.55110771 0.006737947 0.246279427 296.1263182 -0.246279427 0.999326432 -10794.50407 36.511716

0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156

1 1 33.95 0.367879441 12.48950703 5.136563657 -12.48950703 0.96388051 -147.2263362 32.47774015

2 2 35.44582713 0.135335283 4.797071055 14.3781122 -4.797071055 0.986557638 -481.2874178 34.82630134 3 3 36.58103818 0.049787068 1.821262649 39.67107385 -1.821262649 0.995033666 -1421.944236 36.32668001

4 4 36.84613967 0.018315639 0.674860589 108.5963001 -0.674860589 0.998170112 -3971.877529 36.74500117

5 5 36.46603643 0.006737947 0.245706221 296.1263182 -0.245706221 0.999326432 -10769.38028 36.4267364

0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156

1 1 33.6 0.367879441 12.36074922 5.136563657 -12.36074922 0.96388051 -145.7085389 32.14291808

2 2 34.71875256 0.135335283 4.698672212 14.3781122 -4.698672212 0.986557638 -471.4151177 34.11193465 3 3 35.46128941 0.049787068 1.76551364 39.67107385 -1.76551364 0.995033666 -1378.4184 35.21471717

4 4 35.35004648 0.018315639 0.647458686 108.5963001 -0.647458686 0.998170112 -3810.604218 35.25301459

(36)

0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156

1 1 33.25 0.367879441 12.23199142 5.136563657 -12.23199142 0.96388051 -144.1907416 31.80809602

2 2 33.99921244 0.135335283 4.601293046 14.3781122 -4.601293046 0.986557638 -461.6451212 33.40497073 3 3 34.36462743 0.049787068 1.710914055 39.67107385 -1.710914055 0.995033666 -1335.78997 34.12568058

4 4 33.89998282 0.018315639 0.620899844 108.5963001 -0.620899844 0.998170112 -3654.292721 33.80693119

5 5 32.85851383 0.006737947 0.221398925 296.1263182 -0.221398925 0.999326432 -9703.98391 32.82310168

0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156

1 1 32.9 0.367879441 12.10323361 5.136563657 -12.10323361 0.96388051 -142.6729443 31.47327396

2 2 33.28720678 0.135335283 4.504933557 14.3781122 -4.504933557 0.986557638 -451.9774284 32.70540957 3 3 33.29081173 0.049787068 1.65745192 39.67107385 -1.65745192 0.995033666 -1294.049601 33.05933142

4 4 32.49499477 0.018315639 0.59516659 108.5963001 -0.59516659 0.998170112 -3502.840207 32.40579967

5 5 31.16514546 0.006737947 0.209989098 296.1263182 -0.209989098 0.999326432 -9203.887664 31.13155828

0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156

1 1 32.55 0.367879441 11.97447581 5.136563657 -11.97447581 0.96388051 -141.155147 31.13845189

2 2 32.58273556 0.135335283 4.409593746 14.3781122 -4.409593746 0.986557638 -442.4120392 32.01325117

3 3 32.23960184 0.049787068 1.605115261 39.67107385 -1.605115261 0.995033666 -1253.187944 32.01543088

4 4 31.13413837 0.018315639 0.570241635 108.5963001 -0.570241635 0.998170112 -3356.144922 31.04867867

(37)

0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156

1 1 32.2 0.367879441 11.84571801 5.136563657 -11.84571801 0.96388051 -139.6373498 30.80362983

2 2 31.8857988 0.135335283 4.315273611 14.3781122 -4.315273611 0.986557638 -432.9489536 31.32849554

3 3 31.21075726 0.049787068 1.553892105 39.67107385 -1.553892105 0.995033666 -1213.19565 30.99374015

4 4 29.81647966 0.018315639 0.546107874 108.5963001 -0.546107874 0.998170112 -3214.106189 29.73463679

5 5 27.98781709 0.006737947 0.188580428 296.1263182 -0.188580428 0.999326432 -8265.538975 27.95765417

0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156

1 1 31.85 0.367879441 11.7169602 5.136563657 -11.7169602 0.96388051 -138.1195525 30.46880777

2 2 31.19639648 0.135335283 4.221973154 14.3781122 -4.221973154 0.986557638 -423.5881716 30.65114267

3 3 30.2040375 0.049787068 1.50377048 39.67107385 -1.50377048 0.995033666 -1174.063372 29.9940204

4 4 28.54109468 0.018315639 0.522748384 108.5963001 -0.522748384 0.998170112 -3076.624407 28.4627526

5 5 26.49944949 0.006737947 0.178551886 296.1263182 -0.178551886 0.999326432 -7825.984852 26.47089061

0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156

1 1 31.5 0.367879441 11.5882024 5.136563657 -11.5882024 0.96388051 -136.6017552 30.1339857

2 2 30.51452862 0.135335283 4.129692374 14.3781122 -4.129692374 0.986557638 -414.3296933 29.98119256

3 3 29.21920209 0.049787068 1.454738412 39.67107385 -1.454738412 0.995033666 -1135.781762 29.01603282

4 4 27.30706944 0.018315639 0.500146423 108.5963001 -0.500146423 0.998170112 -2943.601052 27.23211462

(38)

RENI NURAENI

(39)

RENI NURAENI. Metode Linearisasi Persamaan Integral Taklinear dalam Model Pemanenan. Dibimbing oleh HADI SUMARNO danJAHARUDDIN

Mayoritas penduduk di negara maritim memperoleh pendapatan dari sektor perikanan. Secara tidak langsung, hal tersebut dapat menyebabkan tereksploitasinya biologis perairan.

(40)

RENI NURAENI. Linearization Method of Nonlinear Integral Equation in Harvesting Model. Supervised by HADI SUMARNO and JAHARUDDIN

Most of citizens in maritime countries live from fishery sector. Indirectly, it exploits the biological population in ocean as well as in freshwater.

(41)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Tujuan

LANDASAN TEORI

(Soewardi, K. 2007)

(42)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Tujuan

LANDASAN TEORI

(Soewardi, K. 2007)

(43)

(http://id.wikipedia.org/wiki/Tingkat kematian, 10 April 2008)

4. Ekosistem adalah komunitas dan

lingkungan abiotik yang berfungsi bersama.

(Suyasa,1997)

5. Populasi adalah kumpulan

individu-individu yang sejenis. (Suyasa,1997)

Selanjutnya, untuk memahami konsep matematika yang muncul pada bagian berikutnya, maka berikut ini akan diberikan uraian metode yang digunakan. Metode tersebut adalah metode linearisasi untuk menyelesaikan persamaan integral tak linear.

Pelinearan Persamaan Integral Tak Linear Tinjau persamaan integral berikut :

, , ,

dimana adalah fungsi yang tidak

diketahui, adalah konstanta real, dan

, , berturut-turut merupakan fungsi

pada dan . Fungsi , , adalah

fungsi tak linear yang memiliki turunan

dengan pendekatan nilai K di ( , ,

dinyatakan dalam deret Taylor berikut :

, , , , , , , ,

, , . ..

Jika persamaan (2) disubstitusikan ke dalam persamaan (1), maka diperoleh

,

dengan _, , dan

(4)

, ,

, , .

Persamaan (3) dapat ditulis

,

(44)

.

Jika kedua ruas persamaan (7) diturunkan terhadap , maka diperoleh

.

Persamaan (8) merupakan persamaan diferensial biasa yang linear, dengan solusi dalam bentuk

exp exp

exp 9

Persamaan (9) dapat dituliskan sebagai berikut

exp exp

exp

Persamaan (10) dan persamaan (4) digunakan untuk menyelesaikan persamaan

(1) dengan asumsi . Dengan asumsi

ini, solusi persamaan (1) di , untuk

(45)

exp exp

∆ ∆

exp ∆ ,

dengan ∆ dan .

MODEL PEMANENAN

Jumlah Kelahiran (

∈

,

umur , . Fungsi dan

fungsi kontinu pada

∈

, .

Jumlah Kelahiran yang Dipanen pada

Semua Umur

(46)

exp exp

∆ ∆

exp ∆ ,

dengan ∆ dan .

MODEL PEMANENAN

Jumlah Kelahiran (

∈

,

umur , . Fungsi dan

fungsi kontinu pada

∈

, .

Jumlah Kelahiran yang Dipanen pada

Semua Umur

(47)

secara alami. Sehingga persamaan menjadi

.

Dengan demikian, persamaan untuk menentukan kelahiran setelah pemanenan pada semua umur adalah

.

Jumlah Populasi ( )

Proses pemanenan dilakukan pada jumlah populasi yang ada. Jumlah total individu tersebut didapat dari perkalian antara tingkat kematian individu dikalikan dengan kelahiran individu. Sehingga N(t) dapat diformulasikan sebagai berikut

.

Persamaan (16) menunjukkan bahwa tiap perubahan waktu individu yang ditanam akan ada proses kematian dan kelahiran. Bentuk

menunjukkan jumlah keseluruhan

individu pada waktu sampai setelah

mengalami kematian dan kelahiran.

Jumlah Populasi yang Dipanen pada

Semua Umur

dimodifikasi untuk menentukan persamaan

untuk dengan asumsi pemanenan

dilakukan pada semua umur. Misalkan rasio pemanenan dari individu pada semua umur

dinyatakan oleh konstanta dengan 0 . Rasio pemanenan tersebut dipanen pada waktu . Kemudian diasumsikan pula bahwa bagian dari populasi akan hidup

hingga mati secara alami. Sehingga yang

dipanen adalah

.

dan nilai yang tidak dipanen adalah :

.

Dengan demikian, persamaan untuk menentukan kelahiran setelah pemanenan pada semua umur adalah persamaan (18).

Untuk menentukan jumlah populasi yang memenuhi persamaan (18), maka

diperlukan nilai . Nilai dan

(48)

PEMBAHASAN

Dalam pembahasan ini akan dikaji bentuk yaitu jumlah kelahiran individu dan

bentuk yaitu jumlah populasi. Dalam hal

ini akan di tinjau dua kasus, yaitu kasus dimana tingkat kelahiran dan kematian yang ditinjau konstan dan dimana tingkat kelahiran dan kematiannya hanya bergantung pada waktu . Selain itu, akan dibahas pula perilaku

fungsi dan terhadap perubahan

nilai , yaitu rasio pemanenan populasi ikan sesudah pemanenan.

Kasus 1

Pada kasus ini, diasumsikan tingkat kelahiran dan kematian pada populasi ikan adalah konstan, misalkan

. ,

. . 9 Berdasarkan persamaan (19), maka

diperoleh jumlah kelahiran dan jumlah

populasi baik sebelum maupun setelah

pemanenan. Berikut akan dibahas terlebih

dahulu bentuk dan sebelum

pemanenan.

. .

. — .

. . .

Misalkan pada selang waktu , ,

maka dari persamaan (24), diperoleh

. . .

Selanjutnya, persamaan yang

dinyatakan oleh persamaan (16) dengan nilai-nilai pada persamaan (19) diperoleh

.

. _.

maka dari persamaan (27) diperoleh

, _.

Linearisasi Model

Berdasarkan persamaan (12), dengan nilai linearisasi persamaan (13) dan (16) berturut-turut dinyatakan sebagai berikut

exp .

(49)

=

= . exp . =

=

= . exp . .

= (26)

Sehingga dari persamaan (24) dengan nilai-nilai pada persamaan (26) akan diperoleh

, yaitu kelahiran sebelum pemanenan disajikan dalam Tabel 1. Berdasarkan Tabel 1,

dibuat Grafik sebelum pemanenan

seperti disajikan pada Gambar 1.

Tabel 1 Jumlah Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 1

tn X(tn+1) 0 51.72487411 1 53.44974822 2 55.17462233 3 56.89949643 4 58.62437054 5 60.34924465

Gambar1 Grafik sebelum pemanenan

pada kasus 1

Dengan asumsi bahwa tingkat kelahiran dan kematian populasi ikan adalah konstan, serta tingkat kelahiran lebih besar dari tingkat kematiannya, maka pada grafik yang diberikan dalam Gambar 1 diperoleh bahwa jumlah kelahiran populasi ikan tersebut adalah meningkat.

=

= exp . =

=

= exp . .

Sehingga dari persamaan (25) dengan nilai-nilai pada persamaan (27) diperoleh

bentuk , yaitu jumlah populasi sebelum

pemanenan seperti disajikan dalam Tabel 2. Berdasarkan Tabel 2, dibuat Grafik sebelum pemanenan, dan disajikan pada Gambar 2.

Tabel 2 Jumlah Populasi sebelum

pemanenan pada kasus 1

[image:49.612.114.311.305.602.2]

tn N(tn+1) 0 51.12819066 1 52.85306477 2 54.57793888 3 56.30281299 4 58.0276871 5 59.75256121

pada kasus 1

Grafik pada Gambar 2 memperlihatkan meningkatnya jumlah individu yang ada, sehingga dapat dilakukan proses pemanenan. Setelah itu, akan dilakukan proses pemanenan dengan berbagai nilai rasio pemanenan

pada semua umur.

x

t

_t N 50 52 54 56 58 60 62

0 5 10

50 52 54 56 58 60 62

[image:49.612.326.516.325.598.2]

(50)

Berdasarkan persamaan (12), dengan nilai , linearisasi persamaan (15) dan (18) berturut-turut dinyatakan sebagai berikut

exp

exp 9

. , . , . , . dan . ,

maka diperoleh , yaitu kelahiran setelah

[image:50.612.138.415.135.254.2]

pemanenan yang disajikan oleh Tabel 3. Berdasarkan tabel 3 dibuat grafik setelah pemanenan yang disajikan pada Gambar 3.

Tabel 3 Nilai X(t) setelah pemanenan pada kasus 1

H

tn 0.04 0.03 0.05

0 49.655879 50.173127 49.138630

1 49.325523 50.341061 48.320329

2 49.008381 50.503957 47.542943

3 48.703925 50.661967 46.80442

4 48.411647 50.815235 46.10283

[image:50.612.134.501.304.624.2]

5 48.131060 50.963906 45.43632

Grafik pada Gambar 3 memperlihatkan empat kurva dengan rasio pemanenan yang berbeda. Semakin besar nilai , maka jumlah kelahiran akan semakin kecil, karena individu yang ada akan semakin sedikit.

. , . , . , . dan . ,

t

X

0 10 20 30 40 50 60 70

0 1 2 3 4 5 6

(H=0.04)

(H=0.03)

(51)

[image:51.612.131.508.89.438.2]

maka diperoleh , yaitu jumlah populasi setelah pemanenan yang disajikan oleh Tabel 4. Berdasarkan tabel 4 dibuat g