Uraian Tabel N(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01

. n tn Xn Zn Kn (n+2)h+2/Zn Jn exp(Znh) 1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn) Nn+1 0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156 1 1 34.65 0.367879441 12.74702264 5.136563657 -12.74702264 0.96388051 -150.2619307 33.14738427 2 2 36.92257963 0.135335283 4.996927772 14.3781122 -4.996927772 0.986557638 -501.3389289 36.277243 3 3 38.89075799 0.049787068 1.936256827 39.67107385 -1.936256827 0.995033666 -1511.725526 38.62033969 4 4 39.98028037 0.018315639 0.732264378 108.5963001 -0.732264378 0.998170112 -4309.7263 39.87053901 5 5 40.38367733 0.006737947 0.272103077 296.1263182 -0.272103077 0.999326432 -11926.36274 40.3401552

n tn Xn Zn Kn (n+2)h+2/Zn Jn exp(Znh) 1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn) Nn+1 0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156 1 1 34.3 0.367879441 12.61826483 5.136563657 -12.61826483 0.96388051 -148.7441334 32.81256221 2 2 35.67029577 0.135335283 4.827449581 14.3781122 -4.827449581 0.986557638 -484.3352781 35.04684669 3 3 36.61060712 0.049787068 1.8227348 39.67107385 -1.8227348 0.995033666 -1423.093613 36.35604335 4 4 36.82145401 0.018315639 0.674408455 108.5963001 -0.674408455 0.998170112 -3969.216505 36.72038327 5 5 36.55110771 0.006737947 0.246279427 296.1263182 -0.246279427 0.999326432 -10794.50407 36.511716 n tn Xn Zn Kn (n+2)h+2/Zn Jn exp(Znh) 1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn) Nn+1 0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156 1 1 33.95 0.367879441 12.48950703 5.136563657 -12.48950703 0.96388051 -147.2263362 32.47774015 2 2 35.44582713 0.135335283 4.797071055 14.3781122 -4.797071055 0.986557638 -481.2874178 34.82630134 3 3 36.58103818 0.049787068 1.821262649 39.67107385 -1.821262649 0.995033666 -1421.944236 36.32668001 4 4 36.84613967 0.018315639 0.674860589 108.5963001 -0.674860589 0.998170112 -3971.877529 36.74500117 5 5 36.46603643 0.006737947 0.245706221 296.1263182 -0.245706221 0.999326432 -10769.38028 36.4267364 n tn Xn Zn Kn (n+2)h+2/Zn Jn exp(Znh) 1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn) Nn+1 0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156 1 1 33.6 0.367879441 12.36074922 5.136563657 -12.36074922 0.96388051 -145.7085389 32.14291808 2 2 34.71875256 0.135335283 4.698672212 14.3781122 -4.698672212 0.986557638 -471.4151177 34.11193465 3 3 35.46128941 0.049787068 1.76551364 39.67107385 -1.76551364 0.995033666 -1378.4184 35.21471717 4 4 35.35004648 0.018315639 0.647458686 108.5963001 -0.647458686 0.998170112 -3810.604218 35.25301459 5 5 34.62470288 0.006737947 0.233299413 296.1263182 -0.233299413 0.999326432 -10225.58602 34.58738729

n tn Xn Zn Kn (n+2)h+2/Zn Jn exp(Znh) 1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn) Nn+1 0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156 1 1 33.25 0.367879441 12.23199142 5.136563657 -12.23199142 0.96388051 -144.1907416 31.80809602 2 2 33.99921244 0.135335283 4.601293046 14.3781122 -4.601293046 0.986557638 -461.6451212 33.40497073 3 3 34.36462743 0.049787068 1.710914055 39.67107385 -1.710914055 0.995033666 -1335.78997 34.12568058 4 4 33.89998282 0.018315639 0.620899844 108.5963001 -0.620899844 0.998170112 -3654.292721 33.80693119 5 5 32.85851383 0.006737947 0.221398925 296.1263182 -0.221398925 0.999326432 -9703.98391 32.82310168 n tn Xn Zn Kn (n+2)h+2/Zn Jn exp(Znh) 1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn) Nn+1 0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156 1 1 32.9 0.367879441 12.10323361 5.136563657 -12.10323361 0.96388051 -142.6729443 31.47327396 2 2 33.28720678 0.135335283 4.504933557 14.3781122 -4.504933557 0.986557638 -451.9774284 32.70540957 3 3 33.29081173 0.049787068 1.65745192 39.67107385 -1.65745192 0.995033666 -1294.049601 33.05933142 4 4 32.49499477 0.018315639 0.59516659 108.5963001 -0.59516659 0.998170112 -3502.840207 32.40579967 5 5 31.16514546 0.006737947 0.209989098 296.1263182 -0.209989098 0.999326432 -9203.887664 31.13155828 n tn Xn Zn Kn (n+2)h+2/Zn Jn exp(Znh) 1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn) Nn+1 0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156 1 1 32.55 0.367879441 11.97447581 5.136563657 -11.97447581 0.96388051 -141.155147 31.13845189 2 2 32.58273556 0.135335283 4.409593746 14.3781122 -4.409593746 0.986557638 -442.4120392 32.01325117 3 3 32.23960184 0.049787068 1.605115261 39.67107385 -1.605115261 0.995033666 -1253.187944 32.01543088 4 4 31.13413837 0.018315639 0.570241635 108.5963001 -0.570241635 0.998170112 -3356.144922 31.04867867 5 5 29.54232237 0.006737947 0.199054602 296.1263182 -0.199054602 0.999326432 -8724.625298 29.51048414

n tn Xn Zn Kn (n+2)h+2/Zn Jn exp(Znh) 1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn) Nn+1 0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156 1 1 32.2 0.367879441 11.84571801 5.136563657 -11.84571801 0.96388051 -139.6373498 30.80362983 2 2 31.8857988 0.135335283 4.315273611 14.3781122 -4.315273611 0.986557638 -432.9489536 31.32849554 3 3 31.21075726 0.049787068 1.553892105 39.67107385 -1.553892105 0.995033666 -1213.19565 30.99374015 4 4 29.81647966 0.018315639 0.546107874 108.5963001 -0.546107874 0.998170112 -3214.106189 29.73463679 5 5 27.98781709 0.006737947 0.188580428 296.1263182 -0.188580428 0.999326432 -8265.538975 27.95765417 n tn Xn Zn Kn (n+2)h+2/Zn Jn exp(Znh) 1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn) Nn+1 0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156 1 1 31.85 0.367879441 11.7169602 5.136563657 -11.7169602 0.96388051 -138.1195525 30.46880777 2 2 31.19639648 0.135335283 4.221973154 14.3781122 -4.221973154 0.986557638 -423.5881716 30.65114267 3 3 30.2040375 0.049787068 1.50377048 39.67107385 -1.50377048 0.995033666 -1174.063372 29.9940204 4 4 28.54109468 0.018315639 0.522748384 108.5963001 -0.522748384 0.998170112 -3076.624407 28.4627526 5 5 26.49944949 0.006737947 0.178551886 296.1263182 -0.178551886 0.999326432 -7825.984852 26.47089061 n tn Xn Zn Kn (n+2)h+2/Zn Jn exp(Znh) 1/Zn(Kn+(nh+2/Zn)Jn) Nn+1 0 0 35 1 35 -0.2 -35 0.904837418 42 31.00317156 1 1 31.5 0.367879441 11.5882024 5.136563657 -11.5882024 0.96388051 -136.6017552 30.1339857 2 2 30.51452862 0.135335283 4.129692374 14.3781122 -4.129692374 0.986557638 -414.3296933 29.98119256 3 3 29.21920209 0.049787068 1.454738412 39.67107385 -1.454738412 0.995033666 -1135.781762 29.01603282 4 4 27.30706944 0.018315639 0.500146423 108.5963001 -0.500146423 0.998170112 -2943.601052 27.23211462 5 5 25.07508636 0.006737947 0.168954603 296.1263182 -0.168954603 0.999326432 -7405.332933 25.04806254

RENI NURAENI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

RENI NURAENI. Metode Linearisasi Persamaan Integral Taklinear dalam Model Pemanenan. Dibimbing oleh HADI SUMARNO danJAHARUDDIN

Mayoritas penduduk di negara maritim memperoleh pendapatan dari sektor perikanan. Secara tidak langsung, hal tersebut dapat menyebabkan tereksploitasinya biologis perairan.

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk mengembangkan model jumlah kelahiran dan model jumlah populasi yang melibatkan persamaan integral tak linear. Setelah itu, model tersebut digunakan untuk mempelajari pola pertumbuhan populasi ikan sebelum dan setelah pemanenan. Untuk menyelesaikan persamaan integral tak linear dalam model tersebut digunakan metode linearisasi. Metode tersebut menggunakan pendekatan deret taylor. Selanjutnya, dengan model tersebut diberikan ilustrasi yang terdiri dari dua kasus. Kasus pertama diasumsikan bahwa tingkat kelahiran dan kematian individu adalah konstan. Kasus kedua diasumsikan bahwa tingkat kelahiran dan tingkat kematian individu hanya tergantung pada waktu. Waktu pemanenan terbaik dipilih berdasarkan nilai dari rasio pemanenan yang akan menyebabkan populasi setelah pemanenan relatif konstan.

RENI NURAENI. Linearization Method of Nonlinear Integral Equation in Harvesting Model. Supervised by HADI SUMARNO and JAHARUDDIN

Most of citizens in maritime countries live from fishery sector. Indirectly, it exploits the biological population in ocean as well as in freshwater.

The aim of this study is to develop models of number of birth and number of population, which involve nonlinear integral equation. The models are used to study the pattern of population growth of fish, before and after harvesting. To solve the nonlinear integral equation in the model, a linearization method is used. The method implements truncation of taylor series. Two cases are given for illustration. First case assumes that fertility and mortality rate are constant. Second case assumes that fertility and mortality rate are time dependent. The best harvesting time is determined based on the value of harvesting ratio, such that the population after harvesting will be relatively constant.

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Eksploitasi terhadap populasi biologis dan ekosistem di perairan sering terjadi saat ini. Salah satunya di dunia perikanan, baik di wilayah daratan maupun perairan. Hal ini disebabkan adanya sifat egosentris dan ketidakfahaman manusia itu sendiri. Banyak sektor perikanan mengalami kerugian yang disebabkan kurangnya manajemen dalam pengelolaannya. Sehingga berpengaruh pula pada sektor lain, diantaranya sektor ekonomi. Perekonomian akan semakin terpuruk apabila sektor-sektor penunjangnya mengalami degradasi dan berpengaruh pula pada kesejahteraan para peternak ikan yang akan semakin menurun. Untuk mencegah hal tersebut para pengusaha ikan harus dapat mempertimbangkan seberapa banyak komposisi yang harus dipelihara dan yang harus dipanen. Pada proses pemanenan ikan juga harus diperhatikan berapa tingkat kelahiran dan tingkat kematiannya. Hal tersebut dilakukan agar dapat memaksimalkan keuntungan pada saat pemanenan ikan. Berdasarkan hal tersebut dapat dibuat suatu model yang dapat mengaplikasikan perkembangan atau pertumbuhan populasi ikan.

Dengan adanya model tersebut, maka dapat dilakukan simulasi untuk menentukan berapa bagian yang seharusnya dipanen, agar jumlah individu setelah pemanenan tidak terlalu menurun bahkan punah.

Namun demikian, seringkali tidak mudah untuk mendapatkan solusi dari model pertumbuhan tersebut, terutama jika melibatkan persamaan integral tak linear,

sehingga pada model pertumbuhan ini digunakan metode linearisasi dalam penyelesaiannya.

Tujuan

Berdasarkan uraian di atas, tujuan dari penulisan ini adalah :

1. Merumuskan model pertumbuhan

populasi ikan dan mengkaji kasus tingkat pemanenan yang mungkin.

2. Menggunakan metode linearisasi

pada model yang berupa persamaan integral taklinear.

Sistematika Penulisan

Karya ilmiah ini terdiri atas lima bab. Bab pertama merupakan uraian mengenai latar belakang permasalahan dan tujuan penulisan. Bab kedua berupa landasan teori, berisi beberapa istilah dan metode linearisasi untuk menyelesaikan persamaan integral tak linear yang digunakan dalam pembahasan. Bab ketiga berupa model pemanenan, berisi persamaan jumlah kelahiran, jumlah keseluruhan individu sebelum pemanenan dan setelah pemanenan yang ditinjau pada semua umur. Bab keempat berupa pembahasan mengenai ilustrasi model pemanenan dan aplikasi dari persamaan yang didapat dengan asumsi tingkat kelahiran dan kematiannya konstan dan hanya tergantung pada waktu. Selain itu, diperlihatkan pula beberapa grafik persamaan tersebut. Bab terakhir pada tulisan ini berisi kesimpulan dari keseluruhan penulisan.

LANDASAN TEORI

Untuk memahami pembahasan yang akan

diberikan pada bagian selanjutnya, maka berikut ini akan diberikan beberapa istilah, yaitu :

1. Perikanan ( Fishery ) adalah semua

yang berhubungan dengan pengelolaan dan pemanfaatan sumberdaya ikan dan lingkungannya mulai dari pra produksi, produksi, pengolahan, sampai pemasaran yang dilaksanakan dalam suatu sistem bisnis perikanan.

(Soewardi, K. 2007)

2. Tingkat Kelahiran ( Fertility Rates ) adalah jumlah dari individu baru yang rata-rata akan dimiliki induk individu semasa hidupnya.

(http://id.wikipedia.org/wiki/Tingkat kelahiran , 10 April 2008)

3. Tingkat Kematian ( Mortality Rates ) adalah jumlah dari individu yang rata-rata akan mengalami kematian pada waktu tertentu.

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Dengan adanya model tersebut, maka dapat dilakukan simulasi untuk menentukan berapa bagian yang seharusnya dipanen, agar jumlah individu setelah pemanenan tidak terlalu menurun bahkan punah.

Namun demikian, seringkali tidak mudah untuk mendapatkan solusi dari model pertumbuhan tersebut, terutama jika melibatkan persamaan integral tak linear,

sehingga pada model pertumbuhan ini digunakan metode linearisasi dalam penyelesaiannya.

Tujuan

Berdasarkan uraian di atas, tujuan dari penulisan ini adalah :

1. Merumuskan model pertumbuhan

populasi ikan dan mengkaji kasus tingkat pemanenan yang mungkin.

2. Menggunakan metode linearisasi

pada model yang berupa persamaan integral taklinear.

Sistematika Penulisan

LANDASAN TEORI

Untuk memahami pembahasan yang akan

diberikan pada bagian selanjutnya, maka berikut ini akan diberikan beberapa istilah, yaitu :

1. Perikanan ( Fishery ) adalah semua

(Soewardi, K. 2007)

2. Tingkat Kelahiran ( Fertility Rates ) adalah jumlah dari individu baru yang rata-rata akan dimiliki induk individu semasa hidupnya.

(http://id.wikipedia.org/wiki/Tingkat kelahiran , 10 April 2008)

3. Tingkat Kematian ( Mortality Rates ) adalah jumlah dari individu yang rata-rata akan mengalami kematian pada waktu tertentu.

(http://id.wikipedia.org/wiki/Tingkat kematian, 10 April 2008)

4. Ekosistem adalah komunitas dan

lingkungan abiotik yang berfungsi bersama.

(Suyasa,1997)

5. Populasi adalah kumpulan individu-

individu yang sejenis. (Suyasa,1997)

Selanjutnya, untuk memahami konsep matematika yang muncul pada bagian berikutnya, maka berikut ini akan diberikan uraian metode yang digunakan. Metode tersebut adalah metode linearisasi untuk menyelesaikan persamaan integral tak linear.

Pelinearan Persamaan Integral Tak Linear Tinjau persamaan integral berikut :

, , ,

dimana adalah fungsi yang tidak

diketahui, adalah konstanta real, dan

, , berturut-turut merupakan fungsi

pada dan . Fungsi , , adalah

fungsi tak linear yang memiliki turunan

dengan pendekatan nilai K di ( , ,

dinyatakan dalam deret Taylor berikut :

, , , , , , , ,

, , . .. Jika persamaan (2) disubstitusikan ke

dalam persamaan (1), maka diperoleh , dengan _, , dan (4) , ,

, , , , , , . Persamaan (3) dapat ditulis

, atau

Jika kedua ruas persamaan (7) diturunkan terhadap , maka diperoleh

. Persamaan (8) merupakan persamaan

diferensial biasa yang linear, dengan solusi dalam bentuk

exp exp

exp 9

Persamaan (9) dapat dituliskan sebagai berikut

exp exp

exp

Persamaan (10) dan persamaan (4)

digunakan untuk menyelesaikan persamaan

(1) dengan asumsi . Dengan asumsi

ini, solusi persamaan (1) di , untuk

exp exp

∆ ∆

exp ∆ ,

dengan ∆ dan .

Untuk ∆ dengan , , , …

dan , maka persamaan (11)

menjadi exp exp exp .

Penurunan lengkap dapat dilihat pada pustaka [Darania,2005].

MODEL PEMANENAN

Untuk memahami masalah pemanenan, akan dibahas terlebih dahulu masalah kelahiran. Setelah itu, menentukan berapa jumlah populasi yang ada dengan menggunakan persamaan jumlah kelahiran yang telah didapat terlebih dahulu, baik sebelum proses pemanenan maupun setelah pemanenan.

Jumlah Kelahiran (

Jumlah kelahiran individu pada waktu t, t

∈

[t0,∞) dengan asumsi kompetisi diabaikan dapat dirumuskan sebagai berikut :

, dengan T adalah umur maksimal individu

dalam populasi, dan berturut-turut

adalah tingkat kelahiran dan kematian pada

umur , . Fungsi dan

diasumsikan selalu positif dan merupakan

fungsi kontinu pada

∈

, .

Berdasarkan persamaan (13), jumlah

kelahiran individu pada waktu sampai

adalah jumlah dari tingkat kematian individu dikalikan dengan tingkat kelahiran individu.

Untuk menuju ke proses pemanenan, perlu adanya identifikasi mengenai jumlah keseluruhan individu yang akan dipanen agar banyaknya bagian individu yang dipanen dapat ditentukan.

Jumlah Kelahiran yang Dipanen pada

Semua Umur

Bentuk pada persamaan akan

dimodifikasi untuk menentukan persamaan dengan asumsi pemanenan dilakukan pada semua umur. Misalkan rasio pemanenan dari individu pada semua umur dinyatakan

oleh konstanta dengan 0 . Rasio

pemanenan tersebut dipanen pada waktu . Kemudian diasumsikan pula bahwa

exp exp

∆ ∆

exp ∆ ,

dengan ∆ dan .

Untuk ∆ dengan , , , …

dan , maka persamaan (11)

menjadi exp exp exp .

Penurunan lengkap dapat dilihat pada pustaka [Darania,2005].

MODEL PEMANENAN

Jumlah Kelahiran (

Jumlah kelahiran individu pada waktu t, t

∈

[t0,∞) dengan asumsi kompetisi diabaikan dapat dirumuskan sebagai berikut :

, dengan T adalah umur maksimal individu

dalam populasi, dan berturut-turut

adalah tingkat kelahiran dan kematian pada

umur , . Fungsi dan

diasumsikan selalu positif dan merupakan

fungsi kontinu pada

∈

, .

Berdasarkan persamaan (13), jumlah

kelahiran individu pada waktu sampai

adalah jumlah dari tingkat kematian individu dikalikan dengan tingkat kelahiran individu.

Untuk menuju ke proses pemanenan, perlu adanya identifikasi mengenai jumlah keseluruhan individu yang akan dipanen agar banyaknya bagian individu yang dipanen dapat ditentukan.

Jumlah Kelahiran yang Dipanen pada

Semua Umur

Bentuk pada persamaan akan

dimodifikasi untuk menentukan persamaan dengan asumsi pemanenan dilakukan pada semua umur. Misalkan rasio pemanenan dari individu pada semua umur dinyatakan

oleh konstanta dengan 0 . Rasio

pemanenan tersebut dipanen pada waktu . Kemudian diasumsikan pula bahwa

secara alami. Sehingga persamaan menjadi

Dengan demikian, persamaan untuk menentukan kelahiran setelah pemanenan pada semua umur adalah

Jumlah Populasi ( )

Proses pemanenan dilakukan pada jumlah populasi yang ada. Jumlah total individu tersebut didapat dari perkalian antara tingkat kematian individu dikalikan dengan kelahiran individu. Sehingga N(t) dapat diformulasikan sebagai berikut

. Persamaan (16) menunjukkan bahwa tiap perubahan waktu individu yang ditanam akan ada proses kematian dan kelahiran. Bentuk

menunjukkan jumlah keseluruhan

individu pada waktu sampai setelah

mengalami kematian dan kelahiran.

Jumlah Populasi yang Dipanen pada

Semua Umur

Bentuk pada persamaan akan

dimodifikasi untuk menentukan persamaan

untuk dengan asumsi pemanenan

dilakukan pada semua umur. Misalkan rasio pemanenan dari individu pada semua umur

dinyatakan oleh konstanta dengan 0 . Rasio pemanenan tersebut dipanen pada waktu . Kemudian diasumsikan pula bahwa bagian dari populasi akan hidup

hingga mati secara alami. Sehingga yang

dipanen adalah

. dan nilai yang tidak dipanen adalah :

. Dengan demikian, persamaan untuk menentukan kelahiran setelah pemanenan pada semua umur adalah persamaan (18).

Untuk menentukan jumlah populasi yang memenuhi persamaan (18), maka

diperlukan nilai . Nilai dan

masing-masing ditentukan dari persamaan (15) dan (18) dengan cara linearisasi pada kedua persamaan tersebut.

PEMBAHASAN

Dalam pembahasan ini akan dikaji bentuk yaitu jumlah kelahiran individu dan

bentuk yaitu jumlah populasi. Dalam hal

ini akan di tinjau dua kasus, yaitu kasus dimana tingkat kelahiran dan kematian yang ditinjau konstan dan dimana tingkat kelahiran dan kematiannya hanya bergantung pada waktu . Selain itu, akan dibahas pula perilaku

fungsi dan terhadap perubahan

nilai , yaitu rasio pemanenan populasi ikan sesudah pemanenan.

Kasus 1

Pada kasus ini, diasumsikan tingkat kelahiran dan kematian pada populasi ikan adalah konstan, misalkan

. ,

. . 9 Berdasarkan persamaan (19), maka

diperoleh jumlah kelahiran dan jumlah

populasi baik sebelum maupun setelah

pemanenan. Berikut akan dibahas terlebih

dahulu bentuk dan sebelum

pemanenan.

Berdasarkan yang dinyatakan oleh

persamaan (13) dengan nilai-nilai pada persamaan (19) diperoleh

. .

. — . . . .

Misalkan pada selang waktu , ,

dan pada selang waktu , ,

maka dari persamaan (24), diperoleh

. . .

Selanjutnya, persamaan yang

dinyatakan oleh persamaan (16) dengan nilai- nilai pada persamaan (19) diperoleh

. _.

Misalkan pada selang waktu ,

dan pada selang waktu , ,

maka dari persamaan (27) diperoleh , _.

Linearisasi Model

Berdasarkan persamaan (12), dengan nilai linearisasi persamaan (13) dan (16) berturut-turut dinyatakan sebagai berikut

exp .

Dengan menggunakan bentuk linear yang diberikan oleh persamaan (24) dengan nilai

dan . (tanda negatif digunakan

agar nilai positif), maka dari persamaan

(21), (4) dan (5) diperoleh : = = . exp . = = = . exp . . = (26)

Sehingga dari persamaan (24) dengan nilai-nilai pada persamaan (26) akan diperoleh

, yaitu kelahiran sebelum pemanenan disajikan dalam Tabel 1. Berdasarkan Tabel 1,

dibuat Grafik sebelum pemanenan

seperti disajikan pada Gambar 1. Tabel 1 Jumlah Kelahiran sebelum

pemanenan pada kasus 1

tn X(tn+1) 0 51.72487411 1 53.44974822 2 55.17462233 3 56.89949643 4 58.62437054 5 60.34924465

Gambar1 Grafik sebelum pemanenan

pada kasus 1

Dengan asumsi bahwa tingkat kelahiran dan kematian populasi ikan adalah konstan, serta tingkat kelahiran lebih besar dari tingkat kematiannya, maka pada grafik yang diberikan dalam Gambar 1 diperoleh bahwa jumlah kelahiran populasi ikan tersebut adalah meningkat.

Dengan menggunakan bentuk linear yang diberikan oleh persamaan (25) dengan nilai

dan . (tanda negatif digunakan

agar nilai positif), maka dari persamaan

(23), (4) dan (5) diperoleh : = = exp . = = = exp . . Sehingga dari persamaan (25) dengan nilai-nilai pada persamaan (27) diperoleh

bentuk , yaitu jumlah populasi sebelum

pemanenan seperti disajikan dalam Tabel 2. Berdasarkan Tabel 2, dibuat Grafik sebelum pemanenan, dan disajikan pada Gambar 2.

Tabel 2 Jumlah Populasi sebelum

pemanenan pada kasus 1

tn N(tn+1) 0 51.12819066 1 52.85306477 2 54.57793888 3 56.30281299 4 58.0276871 5 59.75256121

Gambar 2 Grafik sebelum pemanenan

pada kasus 1

Grafik pada Gambar 2 memperlihatkan meningkatnya jumlah individu yang ada, sehingga dapat dilakukan proses pemanenan. Setelah itu, akan dilakukan proses pemanenan dengan berbagai nilai rasio pemanenan

pada semua umur.

x

t

_t N 50 52 54 56 58 60 62 0 5 10 50 52 54 56 58 60 62 0 5 10

Berdasarkan persamaan (12), dengan nilai , linearisasi persamaan (15) dan (18) berturut-turut dinyatakan sebagai berikut

exp

exp 9

Berdasarkan nilai yang dinyatakan

oleh persamaan (15) dan bentuk linearnya pada persamaan (28), dengan nilai-nilai pada persamaan (19) dan nilai

. , . , . , . dan . ,

maka diperoleh , yaitu kelahiran setelah

pemanenan yang disajikan oleh Tabel 3. Berdasarkan tabel 3 dibuat grafik setelah pemanenan yang disajikan pada Gambar 3.

Tabel 3 Nilai X(t) setelah pemanenan pada kasus 1 H tn 0.04 0.03 0.05 0 49.655879 50.173127 49.138630 1 49.325523 50.341061 48.320329 2 49.008381 50.503957 47.542943 3 48.703925 50.661967 46.80442 4 48.411647 50.815235 46.10283 5 48.131060 50.963906 45.43632

Gambar 3 Grafik setelah pemanenan pada kasus 1 dengan nilai . , . dan .

Grafik pada Gambar 3 memperlihatkan empat kurva dengan rasio pemanenan yang berbeda. Semakin besar nilai , maka jumlah kelahiran akan semakin kecil, karena individu yang ada akan semakin sedikit.

Berdasarkan nilai yang dinyatakan

oleh persamaan (18) dan bentuk linearnya pada persamaan (29), dengan nilai-nilai pada persamaan (23) dan nilai

. , . , . , . dan . ,

t

X 0 10 20 30 40 50 60 70 0 1 2 3 4 5 6 (H=0.04) (H=0.03) (H=0.05)

maka diperoleh , yaitu jumlah populasi setelah pemanenan yang disajikan oleh Tabel 4. Berdasarkan tabel 4 dibuat grafik setelah pemanenan yang disajikan pada Gambar 4.

Tabel 4 Nilai N(t) setelah pemanenan pada kasus 1 H tn 0.05 0.04 0.03 0 51.1281 51.1281 51.1281 1 50.2668 50.7840 51.3013 2 49.4485 50.4537 51.4692 3 48.6711 50.1365 51.6321 4 47.9326 49.8321 51.7901 5 47.2310 49.5398 51.9434

Gambar 4 Grafik setelah pemanenan pada kasus 1 dengan nilai . , . dan .

Dari grafik pada Gambar 4, dapat

ditentukan berapa bagian dari jumlah keseluruhan individu yang akan dipanen. Dari

Gambar 4 terlihat bahwa nilai . dapat

menghasilkan jumlah individu yang relatif konstan, sehingga pada kasus ini dipilih

. . Kasus 2

Pada kasus ini, diasumsikan tingkat kelahiran dan kematian pada populasi ikan hanya tergantung pada waktu . Misalkan

(30) Berdasarkan persamaan (30) diperoleh

jumlah kelahiran dan jumlah populasi

baik sebelum maupun setelah pemanenan. Berikut ini akan dibahas terlebih

dahulu dan sebelum pemanenan.

Berdasarkan yang dinyatakan oleh

persamaan (13) dengan nilai-nilai pada persamaan (30) diperoleh

Misalkan pada selang waktu ,

dan pada waktu , , maka dari

persamaan (31) diperoleh

. Berdasarkan bentuk linear yang diberikan oleh persamaan (24) dan pemilihan nilai

. (tanda negatif digunakan agar nilai

positif), maka diperoleh , yaitu

jumlah kelahiran sebelum pemanenan yang

disajikan dalam Tabel 5. Nilai tersebut

N t 0 10 20 30 40 50 60 70 0 1 2 3 4 5 6 (H=0.05) (H=0.04) (H=0.03)

didapatkan dengan proses yang sama pada kasus 1. Berdasarkan Tabel 5, dibuat Grafik sebelum pemanenan, yang disajikan pada Gambar 5.

Tabel 5 Kelahiran sebelum pemanenan pada kasus 2

tn Xn+1 0 35 1 37.67225756 2 40.08121 3 41.62028569 4 42.46487893 5 42.88974963

Gambar 5 Grafik sebelum pemanenan

pada kasus 2

Pada kasus ini, diasumsikan bahwa tingkat kelahiran dan kematian hanya tergantung pada waktu . Pada Gambar 5, memperlihatkan perilaku kurva yang nilainya meningkat secara eksponen.

Berdasarkan N(t) yang dinyatakan oleh persamaan (16) dengan nilai-nilai pada persamaan (30), diperoleh

Misalkan nilai pada selang waktu

, dan pada selang waktu

, , maka dari persamaan (33)

diperoleh

Berdasarkan bentuk linear yang diberikan oleh persamaan (25), dan memilih nilai

. (tanda negatif digunakan agar nilai

positif), maka diperoleh , yaitu

jumlah populasi sebelum pemanenan yang

disajikan dalam Tabel 6. Nilai tersebut

didapatkan dengan proses yang sama pada kasus 1. Berdasarkan Tabel 6, dibuat Grafik sebelum pemanenan, yang disajikan pada Gambar 6.

Tabel 6 N(t) sebelum pemanenan pada kasus 2 tn Nn+1 0 31.00317156 1 33.48220634 2 37.01381798 3 39.80251416 4 41.5060427 5 42.41911385

Gambar 6 Grafik sebelum pemanenan

pada kasus 2

Pada Gambar 6, grafik sebelum

pemanenan didapat kurva yang nilainya meningkat. Ini berarti populasi tersebut dapat dipanen.

Dalam proses pemanenan akan dikaji untuk berbagai nilai rasio pemanenan pada semua umur.

Berdasarkan nilai yang dinyatakan

oleh persamaan (15) dan persamaan (28), serta nilai-nilai pada persamaan (30) dengan nilai

. . dan . , maka

diperoleh yaitu kelahiran setelah

pemanenan yang disajikan oleh Tabel 7. Nilai tersebut didapatkan dengan proses yang sama pada kasus 1. Berdasarkan Tabel 7-

X

t

N

32 34 36 38 40 42 44 0 2 4 6 30 32 34 36 38 40 42 44 0 2 4 6

dibuat Grafik setelah pemanenan, yang disajikan pada Gambar 7.

Tabel 7 X(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01 – 0.10

Gambar 7 Grafik setelah pemanenan dengan nilai . – .

Grafik pada Gambar 7 memperlihatkan kurva dengan rasio pemanenan yang berbeda. Semakin besar nilai , maka jumlah kelahiran akan semakin kecil, karena individu yang ada semakin sedikit.

Berdasarkan nilai yang dinyatakan

oleh persamaan (18) dan persamaan (29), serta nilai-nilai pada persamaan (30), dengan

nilai . . dan . maka

diperoleh yaitu jumlah populasi setelah

pemanenan yang disajikan oleh Tabel 8. Nilai tersebut didapatkan dengan proses yang sama pada kasus 1. Berdasarkan Tabel 8

digunakan Grafik setelah pemanenan.

Tabel 8 N(t) setelah pemanenan pada kasus 2 dengan nilai H=0.01 – 0.10 H tn 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0 31.01 31.01 31.01 31.01 31.01 31.01 31.01 31.01 31.01 31.01 1 33.15 32.82 32.48 32.14 31.81 31.47 31.14 30.80 30.47 30.13 2 36.28 35.05 34.83 34.12 33.41 32.71 32.01 31.33 30.65 29.98 3 38.63 36.36 36.33 35.21 34.13 33.06 32.02 30.99 29.99 29.02 4 39.87 36.72 36.74 35.25 33.81 32.41 31.05 29.73 28.46 27.23 5 40.34 36.51 36.43 34.59 32.82 31.13 29.51 27.96 26.47 25.05 H tn 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0 34.65 34.3 33.95 33.6 33.25 32.9 32.55 32.2 31.85 31.5 1 36.92 35.67 35.44 34.72 33.99 33.29 32.58 31.88 31.19 30.51 2 38.89 36.61 36.58 35.46 34.37 33.29 32.24 31.21 30.20 29.21 3 39.98 36.82 36.84 35.35 33.89 32.49 31.13 29.82 28.54 27.30 4 40.38 36.55 36.46 34.62 32.86 31.16 29.54 27.99 26.49 25.07 5 40.38 36.03 35.73 33.57 31.53 29.59 27.75 26.01 24.35 22.79 X t 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 1 2 3 4 5 6 H=0.01 H=0.02 H=0.03 H=0.04 H=0.05 H=0.06 H=0.07 H=0.08 H=0.09

Gambar 8 Grafik N(t) setelah pemanenan pada kasus 2 dengan nilai H=0.01 – 0.10

Dari Grafik pada Gambar 8, dapat

ditentukan besarnya bagian dari jumlah keseluruhan individu yang akan dipanen. Dari

Gambar 8 terlihat bahwa nilai . dan

. dapat menghasilkan jumlah

individu yang relatif konstan, sehingga pada

kasus ini dipilih . atau . .

KESIMPULAN

Pola pertumbuhan populasi dipengaruhi oleh tingkat kelahiran dan tingkat kematian individu. Model pertumbuhan dengan persamaan integral tak linear dapat digunakan untuk menentukan jumlah kelahiran dan jumlah populasi ikan dengan berbagai alternatif rasio pemanenan.

Dari model yang digunakan, jika tingkat kelahiran dan kematian individu konstan dan tingkat kelahiran lebih besar dari tingkat kematian individu, maka diperoleh grafik jumlah populasi berbentuk linear yang terus meningkat, baik sebelum maupun setelah

pemanenan. Jika tingkat kelahiran dan kematian individu hanya tergantung pada waktu, maka grafik jumlah populasi berbentuk tidak linear. Pada berbagai variasi pemanenan dengan berbagai nilai rasio pemanenan, diperoleh kurva yang nilainya meningkat pada waktu tertentu dan kemudian menurun.

Dengan metode linearisasi, diperoleh solusi yang dapat memperlihatkan berapa banyak bagian dari jumlah keseluruhan individu yang dapat dipanen. Sehingga, jumlah individu yang tidak dipanen tidak

Dalam dokumen Metode Linearisasi Persamaan Integral Taklinear dalam Model Pemanenan (Halaman 34-68)

Uraian Tabel N(t) setelah pemanenan dengan nilai H=0.01 – 0.10

RENI NURAENI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

PENDAHULUAN

LANDASAN TEORI

PENDAHULUAN

LANDASAN TEORI

MODEL PEMANENAN

∈

∈

MODEL PEMANENAN

∈

∈

PEMBAHASAN

x

t

t

X

t

t

N

KESIMPULAN