SOLUSI ANALITIK PERSAMAAN KOLMOGOROV PETROVSKY PISKUNOV DENGAN METODE ANALISIS HOMOTOPI (HOMOTHOPY
ANALYSIS METHOD)
(Skripsi)
Oleh
DWI OKTA ARIANTI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRAK
Di dalam matematika, banyak dijumpai kesulitan dalam penyelesaian masalah taklinear terutama secara analitik. Saat ini kebanyakan teknik adalah secara numerik untuk menyelesaikan masalah taklinear.
Penelitian ini bertujuan untuk memperkenalkan sebuah metode analitik baru yang cukup populer di kalangan ilmuwan yaitu Homothopy Analysis Method (HAM) dan menerapkannya pada persamaan tak linear yaitu persamaan Kolmogorov Petrovsky Piskunov serta memperlihatkan apakah solusi ini dapat mendekati solusi eksak pada persamaan tersebut. Metode homotopi ini memiliki keunggulan yakni tetap valid walaupun masalah taklinear tidak mengandung parameter dan metode ini juga mampu menjamin kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaiannya. Dari beberapa tahap yang telah dikerjakan penulis, diperoleh kesimpulan bahwa solusi dari metode HAM akan konvergen dan sama dengan solusi eksak jika
DAFTAR ISI
2.3 Persamaan Kolmogorov Petrovsky Piskunov ... 5
\KATA INSPIRASI
ﺪﺠ ﻮ ﱠﺪﺠ
“Man jadda wajada”
(Barang siapa yang bersungguh-sungguh maka dia akan dapat)
ﺮ ﺜ ﻼﺒ ﺮﺠﱠﱠﺷ ﻜ
ﻼﺒ ﻢ ﺍ
“Al ilmu bila amalin kassajarin bila samarin”
(Ilmu yang tidak diamalkan bagaikan pohon tak berbuah)
Keyakinan yang paling indah adalah tekad dan niat yang sungguh-sungguh .
(Dwi Okta Arianti)
Seorang wanita yang cakap dalam berbagai hal terkenal sebagai matematikawan, ahli bahasa, ahli filsafat, dan suka berjalan dalam keadaan tidur.
(Howard Eves)
Saya berjalan dengan lambat tetapi saya tidak pernah berjalan mundur.
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap Alhamdulillah serta puji dan syukur atas berkat dan
rahmat Allah SWT Kupersembahkan karya kecilku ini untuk :
Ayah, Ibu, Kakak dan adik-adikku serta keluarga dan orang-orang
terdekatku yang menjadi penyemangat hidupku, yang selalu tiada henti
mendoakanku, Dwisayang kalian.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Mutar Alam, Kecamatan Way Tenong, Lampung Barat pada tanggal 28 Oktober 1993, sebagai anak kedua dari empat bersaudara dari Bapak Juniardi dan Ibu Yusliana.
Pendidikan Sekolah Dasar (SD) diselesaikan di SD Negeri Tanjung Raya, Way Tenong pada tahun 2005, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri Fajar Bulan pada tahun 2008, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Way Tenong pada tahun 2011.
Pada saat menjadi siswa, penulis banyak mengikuti berbagai perlombaan diantaranya olimpiade matematika tingkat Kabupaten dan Provinsi, Juara III Lomba Cepat Tepat tingkat kabupaten dan Provinsi, Juara II Lomba tilawatil Quran tingkat Kabupaten, Juara II MC Bahasa Inggris tingkat Provinsi dan Nasional, Juara I Lomba Pidato Bahasa Inggris, Lomba Karya Ilmiah Remaja tingkat Kabupaten dan Provinsi, Lomba menulis cerpen tingkat Provinsi dan lain-lain.
1
1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Dalam bidang ilmu matematika seringkali ditemukan berbagai macam persoalan dalam penyelesaian sebuah persamaan matematika. Banyak masalah matematika yang dapat disajikan dalam bentuk model matematika. Ada dua metode yang dapat digunakan untuk menyelesaiakan persamaan-persamaan di dalam matematika yaitu metode numerik dan analitik. Saat ini banyak teknik analitik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan didalam matematika yang salah satunya adalah persamaan taklinear, kurang memuaskan karena penyelesaiannya tidak dapat memberikan jaminaan kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaiannya. Sehingga tampaknya perlu untuk memperkenalkan sebuah teknik analisis baru yaitu metode analisis homotopi.
2
diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Metode Analisis Homotopi adalah metode yang bebas , artinya tidak memperhatikan kecil atau besar suatu parameter, dengan begitu tidak berlaku suatu masalah taklinear tersebut mengandung parameter kecil atau besar. Metode Analisis Homotopi memberikan cara sederhana untuk memastikan kekonvergenan dari aproksimasi daerah penyelesaiannya. Oleh karena itu metode analisis homotopi bahkan berlaku untuk permasalahan taklinear. Berdasarkan latar belakang dan beberapa keunggulan metode analisis homotopi, penulis mencoba menerapkan metode analisis homotopi pada persamaan kolmogorov petrovsky piskunov.
1.2 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menyelesaikan persamaan KPP (Kolmogorov Petrovsky Piskunov) dengan metode HAM (homothopy analisis Method).
1.3 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat penelitian ini adalah sebagai berikut:
3
c. Menambah pengetahuan tentang persamaan Kolmogorov Petrovsky Piskunov
d. Menerapkan Metode Analisis Homotopi pada persamaan Kolmogorov Petrovsky Piskunov
4
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Persamaan Diferensial (Bronson dan Costa, 2007)
Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang memuat turunan terhadap satu atau lebih dari variabel-variabel bebas (independent variables) Berdasarkan jumlah variabel bebasnya persamaan differensial
dibagi dalam dua kelas, yaitu persamaan differensial biasa (PDB) dan persamaan differensial parsial (PDP). Jika turunan fungsi itu hanya tergantung pada satu variabel bebas, maka disebut persamaan differensial biasa (ordinary differential equation). Bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut persamaan differensial parsial.
2.2 Gambaran Dasar Metode Analisis Homotopi (HAM) (Gupta dan Summit, 2011)
5
Pada tahun 1992 Shijun Liao dalam disertasi Phd-nya dari Shanghai Jiaotong University merancang pertama kali Metode Analisis Homotopi (HAM) dan dimodifikasi lebih lanjut pada tahun 1997 untuk memperkenalkan parameter tambahan tak nol atau disebut parameter konvergensi-kontrol yang dilambangkan dengan dengan membangun homotopi pada sistem diferensial dalam bentuk umum.
untuk menunjukan gambaran dasar HAM dengan mengikuti persamaan diferensial
N[u(x,t)]=0
dimana N adalah operator nonlinear, x dan t menunjukan variabel bebas dan adalah fungsi yang tidak diketahui. Untuk penyederhanaannya, kita tidak perlu memperhatikan batas atau kondisi awal.
2.3 Persamaan Kolmogorov Petrovsky Piskunov (Boris dan Olga, 2005)
Kita ingat bahwa batas dimensi untuk persamaan kolmogorov petrovsky piskunov klasik ( atau persamaan reaksi-difusi taklinear )
Ut = Uxx+ f(u)
di mana terlihat pada konteks dengan model turunan atas penyebaran sebuah populasi. Dalam prakteknya berlaku pada biologi dan model kimia. Pada umumnya sesuatu memerlukan bentuk khusus untuk ketaklinearan : f(0)=f(1)=0, f(u)>0 untuk 0<u<1 ( dan saat kondisi (u)<0 ). Ada perbedaan pembatas pada tipe lain untuk persamaan reaksi-difusi. Kita (2.1)
6
tidak akan membatasi bentuk khusus dari f(u), tetapi memperhatikan bahwa kondisi diatas memenuhi jarak yang pasti dari parameter-parameternya.
Teorema 1 Dimensi orde pertama ( ) untuk persamaan kolmogorov petrovsky piskunov adalah untuk suatu ( ) = dengan ( )
sebarang
atau
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dimana a adalah sebarang fungsi dan .
Teorema 2 Orde kedua untuk bentuk salah satunya adalah :
( )
Dengan ( ) dan sebarang,
atau
( )
7
Teorema 3 Orde ketiga dari KPP untuk bentuk
( ) ( ) ( ) salah satunya adalah :
2.4 Gambaran Tentang Homotopi (Liao, 2012)
8
penghubung antara benda yang berbeda di matematika yang memiliki karakteristik yang sama di beberapa aspek.
C[a,b] di notasikan sebagai himpunan fungsi real kontinu dalam interval a x b. secara umum, jika suatu fungsi f C[a,b] dapat dideformasikan secara kontinu ke fungsi kontinu g C[a,b] lain maka dapat terbentuk suatu homotopi
: f(x)
[ ] [ ] [ ]
Definisi 1
Suatu homotopi dua fungsi yang kontinu f(x) dan g(x) dari suatu ruang topologi X ke ruang topologi Y dinotasikan sebagai fungsi kontinu [ ] dari produk ruang X dengan interval [0,1] ke Y
sedemikian sehingga jika
Definisi 2
Parameter benaman [ ] di dalam suatu fungsi atau persamaan homotopi disebut parameter homotopi.
9
Definisi 3
Diberikan suatu persamaan Ɛ1 , yang mempunyai paling sedikit satu solusi
u. ambil Ɛ0 sebagai persamaan awal yang solusinya diketahui u0. Jika itu
persamaan homotopi ini disebut persamaan deformasi orde-nol.
Definisi 4
Diberikan suatu persamaan taklinear dinotasikan dengan Ɛ1 yang
mempunyai paling sedikit satu solusi u(x,t) dimana x dan t merupakan
variable bebas. Ambil parameter homotopi [ ] dan Ɛ(q) persamaan
deformasi orde-nol yang menghubungkan persamaan asli ke persamaan
awal Ɛ0 dengan aproksimasi awal yang diketahui (x,t). Asumsikan
bahwa persamaan deformasi orde-nol Ɛ(q) memiliki solusi dan analitik di
q=1, sehingga diperoleh homotopi deret Maclaurin :
∑ [ ]
dan deret homotopi:
10
2.5 Parameter Kontrol Kekonvergenan (Liao, 2012)
12
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2013/2014 yang bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Adapun metodologi penelitian yang digunakan dalam menyelesaikan karya tulis ini adalah sebagai berikut:
1. Mencari literatur dari berbagai sumber seperti buku dan jurnal di internet dan perpustakaan.
2. Menguraikan langkah-langkah penyelesaian metode HAM dalam mencari solusi analitik persamaan kolmogorov petrovsky piskunov.
Adapun langkah-langkah penyelesaian metode HAM adalah sebagai berikut
12
= – =
Sebelum masuk ke langkah-langkah dalam metode analisis homotopi, persamaan (1) ditransformasikan dahulu menjadi :
– + =0
a. Menganalisis sifat asimtotik
b. Menentukan aproksimasi awal dengan operator bantu linear L
c. Mengkonstruksikan dan memasukan fungsi kedalam persamaan homotopi berikut
[ ]
dengan merupakan parameter kontrol kekonvergenan dan [ ] merupakan parameter benaman.
d. mengkonstruksikan persamaan deformasi orde m dengan mendiferensialkan persamaan sebanyak m kali terhadap q.
e. menentukan solusi persamaan deformasi pada persamaan yang diperoleh untuk setiap m = 1,2,3,…,n
19
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1Kesimpulan
Berdasarkan penguraian langkah-langkah yang telah dikerjakan dalam metode homotopi ini, diperoleh kesimpulan bahwa solusi dari persamaan Kolmogorov Petrovsky Piskunov yang diperoleh berdasarkan metode analisis homotopi sama dengan solusi eksaknya jika
5.2Saran
a. Pada penelitian ini penulis hanya mencari sampai dengan lima, diharapkan untuk penelitian selanjutnya dapat dicari
DAFTAR PUSTAKA
Bronson, R. dan Costa, G. 2007. Persamaan Diferensial. Erlangga, Jakarta.
Gupta and Sumit. 2011. Homothopy Analisis Method and Diffusion-Convection Equation. Journal. Department of Mathematics University of Rajasthan,
India.
Kruglikov, B. and Lychagina, O. 2005. Finite Dimensional Dynamics for Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov Equation. Journal. Tromso.
Liao, S. 2012. Homothopy Analysis Method in Nonlinear Differential Equation. Beijing: Higher Education Press.
Purcell, E. J. dan Varberg, D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitis.
