Talk less...
Talk less...
Talk less...
Talk less...
Talk less...
Talk less...
Talk less...
Talk less...
do more...!!!!!
do more...!!!!!
do more...!!!!!
do more...!!!!!
do more...!!!!!
do more...!!!!!
do more...!!!!!
do more...!!!!!
CALCULUS
Diferensiasi fungsi
Diferensiasi fungsi VEKTOR
VEKTOR
Integrasi fungsi Vektor
Diferensiasi fungsi
Jika
r
=
xi
+
yj
+
zk
r
)
(
;
)
(
;
)
(
u
y
y
u
dan
z
z
u
x
x
=
=
=
DanDimana u adalah suatu skalar, maka diferensiasi r terhadap u :
Diferensiasi Biasa dari fungsi vektor
du
dk
z
k
du
dz
du
dj
y
j
du
dy
du
di
x
i
du
dx
du
r
d
+
+
+
+
+
=
r
y i j i j
Sistem
koordinat
Kartesian (x,y)
x i j i jVektor satuan arah sumbu x dan arah sumbu y selalu tetap kapan pun dimana pun, tidak bergantung posisi dan waktu
dk
z
k
dz
dj
y
j
dy
di
x
i
dx
r
d
+
+
+
+
+
=
r
0 0 0Tapi karena i, j, dan k dalam sistem koordinat
kartesian adalah konstan tidak bergantung posisi
dan waktu, maka diferensiasi dari r terhadap u
(biasanya variabel ruang) menjadi :
du
dk
z
k
du
dz
du
dj
y
j
du
dy
du
di
x
i
du
dx
du
r
d
+
+
+
+
+
=
k
du
dz
j
du
dy
i
du
dx
du
r
d
+
+
=
r
Sistem
koordinat
Polar (r,
θ
)
x y ur uθ θ ur uθ urVektor satuan arah r dan arah θ tidak tetap bergantung posisi
uθ ur
ur uθ
Rumus-rumus diferensiasi fungsi vektor yang lain :
( )
du
B
d
du
A
d
B
A
du
d
r
r
r
r
+
=
+
.
1
( )
du
B
A
d
du
B
d
A
B
A
du
d
•
+
•
=
•
r
r
r
r
r
.
2
Jika A, B, dan C adalah fungsi-fungsi vektor dari
sebuah skalar u yang diferensiabel dan
φ
sebuah
fungsi skalar dari u yang diferensiabel, maka :
( )
B
du
A
d
du
B
d
A
B
A
du
d
r
r
r
r
r
r
×
+
×
=
×
.
3
( )
A
du
d
du
A
d
A
du
d
r
r
r
φ
φ
φ
=
+
.
4
(
)
A
du
d
du
A
d
B
A
C
B
A
du
d
r
r
r
v
r
r
r
φ
+
×
•
=
×
•
.
5
(
)
( )
B
C
du
A
d
C
du
B
d
A
du
C
d
B
A
C
B
A
du
d
r
r
r
r
r
r
r
r
v
r
r
r
×
×
+
×
×
+
×
×
=
×
×
(
)
(
)
.
6
Diferensial Parsial dari fungsi vektor
Jika A adalah sebuah vektor yang bergantung pada lebih dari satu variabel skalar, misalkan x, y, z, maka kita tuliskan A = A(x,y,z).
Maka A dapat diturunkan secara parsial terhadap x, terhadap y, atau terhadap z, dengan menganggap veriabel bebas lainnya konstan.
A
A
∂
∂
A
∂
A
=
∂
tan ,z kons yx
A
x
A
=∂
∂
=
∂
∂
tan ,z kons xy
A
y
A
=∂
∂
=
∂
∂
tan ,y kons xz
A
z
A
=∂
∂
=
∂
∂
Diferensiasi-diferensiasi yang lebih tinggi dapat
didefinisikan seperti dalam kalkulus, sbb :
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
A
x
x
A
r
r
2 2
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
y
A
y
y
A
r
r
2 2
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
z
A
z
z
A
r
r
2 2
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
y
A
x
y
x
A
r
r
2
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
x
A
y
x
y
A
r
r
2
∂
∂
∂
∂
x
y
x
y
∂
y
∂
x
∂
y
∂
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
z
A
z
x
z
A
x
z
x
A
r
r
r
2 2 2 3Apakah
x
y
A
y
x
A
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
2
r
2
r
???
Jika A memiliki sekurang-kurangnya
diferensiasi-diferensiasi parsial orde kedua yang kontinyu
(fungsi vektor berkelakuan baik), maka
A
A
∂
=
∂
2
r
2
r
x
y
y
x
∂
=
∂
∂
∂
Aturan-aturan untuk diferensiasi parsial dari
fungsi-fungsi vektor mirip dengan yang dipergunakan dalam
kalkulus dasar dari fungsi-fungsi skalar. Jadi jika A
dan B adalah fungsi-fungsi dari x, y, z, maka :
( )
B
x
A
x
B
A
B
A
x
r
r
r
r
r
r
•
∂
∂
+
∂
∂
•
=
•
∂
∂
.
1
x
x
x
∂
∂
∂
( )
B
x
A
x
B
A
B
A
x
r
r
r
r
r
r
×
∂
∂
+
∂
∂
×
=
×
∂
∂
.
2
( )
( )
•
∂
∂
+
∂
∂
•
∂
∂
=
•
∂
∂
∂
∂
=
•
∂
∂
∂
B
y
A
y
B
A
x
B
A
y
x
B
A
y
x
r
r
r
r
r
r
r
r
2.
3
Diferensial dari vektor-vektor
Mengikuti aturan-aturan yang mirip dengan yang dari
kalkulus dasar, seperti :
k
dA
j
dA
i
dA
A
d
maka
k
A
j
A
i
A
A
Jika
1 2 3,
1 2 3.
1
=
+
+
=
+
+
r
r
( )
A
B
A
d
B
d
A
B
d
r
r
r
r
r
r
•
+
•
=
•
.
2
.
d
( )
A
•
B
=
A
•
d
B
+
d
A
•
B
2
( )
A
B
A
d
B
d
A
B
d
r
r
r
r
r
r
×
+
×
=
×
.
3
(
,
,
)
,
.
4
Jika
A
A
x
y
z
r
r
=
dz
z
A
dy
y
A
dx
x
A
A
d
maka
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
r
r
r
Contoh soal
Sebuah partikel bergerak sepanjang kurva :
x
=
2
t
2,
y
=
t
2−
4
t
,
z
=
3
t
−
5
dimana t adalah variabel waktu. Tentukan komponen kecepatan danpercepatan pada saat t=1 dalam arah vektor A = i – 3j + 2k
Jawab
Kecepatan didefinisikan sebagai laju perubahan posisi terhadap waktu, Kecepatan didefinisikan sebagai laju perubahan posisi terhadap waktu, ditulis :
dt
r
d
v
r
r
=
(
t
t
)
j
(
t
)
k
i
t
r
r
=
2
2+
2−
4
+
3
−
5
Dari soal diketahui :
Maka :
{
2
t
2i
(
t
24
t
)
j
(
3
t
5
)
k
}
dt
d
dt
r
d
v
=
=
+
−
+
−
r
r
Contoh soal
(
t
)
j
k
i
t
v
r
=
4
+
2
−
4
+
3
k
j
i
v
r
=
4
−
2
+
3
Pada t = 1,Komponen kecepatan dalam arah vektor A adalah proyeksi dari v terhadap Komponen kecepatan dalam arah vektor A adalah proyeksi dari v terhadap
u dimana u adalah vektor satuan arah A
14
2
3
4
9
1
2
3
ˆ
i
j
k
i
j
k
A
A
u
=
−
+
+
+
+
−
=
=
r
r
u
v
Komponen
=
r
•
ˆ
Contoh soal
(
)
14
16
14
2
3
3
2
4
ˆ
=
−
+
•
+
−
=
•
a
i
j
k
i
j
k
v
r
Komponen kecepatan dalam arah vekor A adalah
Percepatan didefinisikan sebagai laju perubahan kecepatan terhadap waktu, ditulis :
dt
v
d
a
r
r
=
(
t
)
j
k
i
t
v
r
=
4
+
2
−
4
+
3
Sebelumnya didapat(
2
4
)
3
}
4
{
t
i
t
j
k
dt
d
dt
v
d
a
=
=
+
−
+
r
r
makaContoh soal
j
i
a
r
=
4
+
2
Pada t = 1,Komponen percepatan dalam arah vektor A adalah proyeksi dari a
j
i
a
r
=
4
+
2
Komponen percepatan dalam arah vektor A adalah proyeksi dari a terhadap u dimana u adalah vektor satuan arah A
u
a
Komponen
=
r
•
ˆ
Komponen percepatan dalam arah vekor A adalah
(
)
14
2
14
2
3
2
4
ˆ
=
−
−
+
•
+
=
•
u
i
j
i
j
k
a
r
Soal Latihan
Jika
A
=
(
2
x
2y
−
x
4) (
i
+
e
xy−
y
sin
x
) (
j
+
x
2cos
y
)
k
,
r
Tentukan :∂
A
r
∂
A
r
∂
2A
r
∂
2A
r
,
,
,
x
y
A
y
x
A
y
A
x
A
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,
,
,
Tugas PR
Vektor kedudukan dari sebuah partikel yang bergerak diberikan oleh:
j
t
i
t
r
r
=
cos
ω
+
sin
ω
dimana ω konstan. Buktikan bahwa :
a. Kecepatan v dari partikel tegak lurus r
b. Percepatan a arahnya menuju titik asal dan besarnya sebanding dengan jarak ke titik asal
Operator Diferensial Vektor
Lambang :
∇
Baca : “del” atau Nabla
Definisi :
Definisi :
z
k
y
j
x
i
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
≡
∇
Operator vektor ini memiliki sifat-sifat yang analog dengan vektor-vektor biasa, bermanfaat untuk mendefinisikan tiga buah besaran berikut yang sering muncul dalam pemakaian praktis termasuk dalam Fisika yang dikenal sebagai Gradien, Divergensi, dan Curl.
Gradien
Misalkan φ (x,y,z) adalah suatu fungsi skalar yang terdefinisikan dan diferensiabel pada titik-titik (x,y,z) dalam suatu daerah tertentu dalam ruang, maka :
Gradien φ atau Grad φ atau ditulis ∇φ didefinisikan sebagai :
z
k
y
j
x
i
z
k
y
j
x
i
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
φ
φ
φ
φ
φ
Komponen dari ∇φ dalam arah sebuah vektor satuan a, diberikan oleh :
aˆ
•
∇
φ
Disebut
“ Directional derivative”
atau“Turunan Berarah”
dari φ dalam arah a. Secara fisis“Turunan Berarah”
dari φ dalam arah a. Secara fisis memiliki pengertian laju perubahan kuantitas fisika φ pada (x,y,z) dalam arah a, dan ditulis :a
ds
d
ˆ
•
∇
=
φ
φ
Turunan Berarah
Turunan Berarah
Contoh
Contoh
kuantitas
kuantitas fisis
fisis yang
yang tergolong
tergolong medan
medan skalar
skalar ((
φφ
))
adalah
adalah
potensial
potensial listrik
listrik (V)
(V)
,,
temperatur
temperatur (T)
(T)
dan
dan
potensial
potensial gravitasi
gravitasi (Ep)
(Ep)
a
T
ds
dT
ˆ
•
∇
=
Medan Listrik
Medan Listrik dan Potensial listrik
dan Potensial listrik
r
kq
V
r
r
kq
=
=
ˆ
2
E
+
E q E E a b c V V Vr
V
=
Karena r yang sama, maka
Va = Vb = Vc = Vd
tapi
Ea ≠ Eb ≠ Ec ≠ Ed
d c b aE
E
E
E
=
=
=
+
E q E E a c d V V VMedan Listrik
Medan Listrik dan Potensial listrik
dan Potensial listrik
b V1 V2
+
q a c d V1 V1 V1 V2 V2 V2Medan Listrik
Medan Listrik dan Potensial listrik
dan Potensial listrik
Bidang-bidang equipotensial c d e f g
Ketika bergerak dari c ke d atau ke e, atau ke f, atau ke g, atau ke h, menempuh selisih potensial listriknya yang sama, yaitu V1-V2 = ∆V
Yang berbeda adalah
V1
V2
c g
h
Yang berbeda adalah panjang lintasan yang ditempuh. Hal ini
menunjukkan laju perubahan potensial berbesa, semakin panjang lintasan berarti laju perubahannya kecil dan sebaliknya
Hal ini menunjukkan laju perubahan potensial bergantung arah = turunan berarah
Medan Listrik
Medan Listrik dan Potensial listrik
dan Potensial listrik
θ
cos
ˆ
a
V
ds
dV
=
∇
a
V
ds
dV
ˆ
•
∇
=
Bidang-bidang equipotensial c d e f g ∇V V1 V2 c g h θAdalah sudut antara ∇V dan a
∇V adalah vektor tegak lurus V di suatu titik.
∇V
Pada perpindahan dari c ke g, vektor a(arah perpindahan) searah dengan
∇φ ∇φ∇φ
∇φ, sehingga θθθθ adalah 0 (nol)
maksimum
V
V
ds
dV
=
∇
=
∇
=
cos
0
φ
∇φ
∇φ
∇φ
∇φ
∇φ
∇φ
∇φ
φ
∇φ
∇φ
∇φ
P(xo,yo,zo)
a
C
B
φ = C Titik P, C, B, A terletak pada
satu bidang φ, sehingga ketika bergerak dari P ke C atau ke B atau ke A tidak terjadi
perubahan nilai φ, sehingga
∆φ = 0. dengan demikian :
Bukti
A=
0
∆
∆
s
φ
Dari kalkulus0
lim
0∆
=
=
∆
→ ∆ds
d
s
sφ
φ
0
=
ds
d
φ
Berarti antara ∇φ∇φ∇φ∇φ dan a di titik pmembentuk sudut 90o. Dengan
demikian ∇φ∇φ∇φ∇φ tegak lurus a.
θ
φ
φ
cos
ˆ
a
ds
d
∇
=
P(xo,yo,zo) a φ = C ∇φ 90o
Bukti
C B A φ = CContoh Soal
x
z
yz
xy
V
=
2+
+
sin
Diberikan fungsi potensial listrik dalam ruang :
Tentukan :
a. ∇V di titik (0,1,2)
b. Directional derivative dari V di (0,1,2) dalam arah
A
=
2
i
+
2
j
−
k
r
b. Directional derivative dari V di (0,1,2) dalam arah
A
=
2
i
+
2
j
−
k
Jawab :
z
V
k
y
V
j
x
V
i
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
a.(
y
z
x
)
j
(
xy
z
) (
k
y
x
)
i
V
=
2+
cos
+
2
+
+
+
sin
∇
Di titik (0,1,2)k
j
i
V
=
+
+
∇
3
2
Contoh Soal
u
V
ds
dV
ˆ
•
∇
=
b. Di titik (0,1,2)u adalah satuan vektor dalam arah A, sehingga :
3
2
2
1
4
4
2
2
ˆ
i
j
k
i
j
k
A
A
u
=
+
−
+
+
−
+
=
=
r
r
3
1
4
4
A
+
+
sehingga(
)
+
−
•
+
+
=
3
2
2
2
3
i
j
k
i
j
k
ds
dV
3
=
ds
dV
Soal latihan
yz
x
T
=
2−
Diberikan fungsi temperatur dalam ruang dan titik P(3,4,1) :
Tentukan :
a. ∇T di titik P a. ∇T di titik P
b. Suatu vektor satuan normal permukaan T=5 di P
c. Suatu vektor dalam arah peningkatan dari T paling cepat di P d. Besar vektor pada soal c
e. Turunan dari T di P dalam arah sejajar garis :
t
k
j
i
k
j
i
r
r
=
−
+
2
+
(
6
−
−
4
)
Divergensi
Misalkan
V
(
x
,
y
,
z
)
=
V
1i
+
V
2j
+
V
3k
r
Adalah suatu fungsi vektor yang terdefinisikan dan diferensiabel dalam
suatu daerah tertentu dari ruang maka :
Divergensi V atau Div V atau ditulis
∇
.V, didefinisikan sebagai :
Divergensi V atau Div V atau ditulis
∇
.V, didefinisikan sebagai :
(
V
i
V
j
V
k
)
z
k
y
j
x
i
V
•
1+
2+
3
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
•
∇
z
V
y
V
x
V
V
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
•
∇
1 2 3Curl
Misalkan
A
(
x
,
y
,
z
)
=
A
1i
+
A
2j
+
A
3k
r
Adalah suatu fungsi vektor yang terdefinisikan dan diferensiabel dalam
suatu daerah tertentu dari ruang maka :
Curl A atau Rot A atau ditulis
∇
xA, didefinisikan sebagai :
(
A
i
A
j
A
k
)
z
k
y
j
x
i
A
×
1+
2+
3
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
×
∇
r
3 2 1A
A
A
z
y
x
k
j
i
A
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
×
∇
r
Contoh soal
Hitung divergensi dan Curl dari medan vektor berikut :
xk
yj
zi
A
=
+
+
r
Jawab :Divergensi V atau Div V atau ditulis
∇
.V, didefinisikan sebagai :
z
A
y
A
x
A
A
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
•
∇
1 2 3r
1
0
1
0
+
+
=
=
•
∇
A
r
z
x
y
y
x
z
A
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
•
∇
r
Curl A atau ditulis
∇
xA, didefinisikan sebagai :
3 2 1A
A
A
z
y
x
k
j
i
A
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
×
∇
r
x
y
z
z
y
x
k
j
i
A
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
×
∇
r
0
=
×
∇
A
r
Variasi Formula Mengandung
Lapla
Laplac
cian
ian
Misalkan U (x,y,z) adalah suatu fungsi skalar yang terdefinisikan dan diferensiabel pada titik-titik (x,y,z) dalam suatu daerah tertentu dalam ruang, maka :
Laplacian U atau ditulis ∇2U didefinisikan sebagai :
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
•
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
•
∇
z
U
k
y
U
j
x
U
i
z
k
y
j
x
i
U
2 2 2 2 2 2 2z
U
y
U
x
U
U
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
Contoh soal
Contoh soal
2 2 2 2U
U
U
U
=
∂
+
∂
+
∂
∇
3 2 33
xy
y
x
U
=
−
+
Hitung Laplacian dari fungsi skalar berikut :
Laplacian U atau ditulis ∇2U didefinisikan sebagai :
2 2 2 2
z
U
y
U
x
U
U
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
y
U
6
2=
∇
(
6
6
)
0
6
2=
+
−
+
+
∇
U
x
x
y
Soal latihan
Soal latihan
• ∇ r r r r(
2 2)
ln
x
y
U
=
+
1. Hitung Laplacian dari fungsi skalar berikut :
2. Hitunglah :
k
z
j
y
i
x
r
r
=
+
+
jikaINTEGRASI FUNGSI
INTEGRASI FUNGSI
VEKTOR
VEKTOR
VEKTOR
VEKTOR
Integral Biasa
Integral Biasa
k
u
R
j
u
R
i
u
R
u
R
(
)
=
1(
)
ˆ
+
2(
)
ˆ
+
3(
)
ˆ
r
merupakan
merupakan s
sebuah
ebuah vektor
vektor yang
yang bergantung
bergantung pada
pada
variabel
variabel skalar
skalar tunggal
tunggal u,
u, dimana
dimana R
R
11(u),
(u), R
R
22(u),
(u), R
R
33(u)
(u)
kontinu
kontinu dalam
dalam suatu
suatu selang
selang yang
yang ditentukan
ditentukan..
Maka
Maka::
du
u
R
k
du
u
R
j
du
u
R
i
du
u
R
∫
∫
∫
∫
(
)
=
ˆ
1(
)
+
ˆ
2(
)
+
ˆ
3(
)
r
Jika terdapat suatu vektor
Jika terdapat suatu vektor
)
(u
S
r
sehingga
(
)
{ }
S
(
u
)
du
d
u
R
r
r
=
Maka:
{ }
S
u
du
du
d
du
u
R
=
∫
∫
(
)
(
)
r
r
{ }
C
u
S
u
S
d
du
u
R
du
+
=
=
∫
∫
∫
∫
)
(
)
(
)
(
r
r
r
Integral
Integral tentu
tentu antara
antara limit
limit--limit
limit u
u =
= a
a dan
dan u
u =
= b,
b, ditulis
ditulis sbb
sbb ::
{ }
)
(
)
(
)
(
)
(
du
u
S
d
du
u
R
du
u
S
du
d
du
u
R
b u b u b u a u b u a ur
r
r
r
=
=
= = = = = =∫
∫
∫
∫
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
a
S
b
S
u
S
du
u
R
du
u
S
d
du
u
R
b u a u b u a u a u a ur
r
r
r
−
=
=
=
= = = = = =∫
∫
∫
Contoh Soal
Contoh Soal
(
t
) (
i
t
) ( )
j
t
k
a
r
=
12
cos
2
ˆ
−
8
sin
2
ˆ
+
16
ˆ
Jika,
Jika, kecepatan
kecepatan dan
dan posisi
posisi awal
awal adalah
adalah nol
nol,, Tentukan
Tentukan
kecepatan
kecepatan dan
dan posisi
posisi partikel
partikel setiap
setiap saat!
saat!
Percepatan
Percepatan suatu
suatu partikel
partikel pada
pada setiap
setiap saat
saat tt >
> 0
0
diberikan
diberikan oleh
oleh::
∫
∫
=
=
dt
v
r
dt
a
v
r
r
r
r
0
)
0
(
0
)
0
(
0
0 0=
=
=
=
=
=
→
=
r
t
r
v
t
v
t
r
r
kecepatan
Solusi
Solusi
1 2ˆ
8
ˆ
2
cos
4
ˆ
2
sin
6
t
i
t
j
t
k
C
v
r
=
+
+
+
( )
1 28
ˆ
2
cos
2
1
)
8
(
ˆ
2
sin
2
1
12
ˆ
.
16
ˆ
.
2
sin
8
ˆ
.
2
cos
12
ˆ
C
t
k
t
j
t
i
v
dt
t
k
dt
t
j
dt
t
i
v
+
+
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
=
+
−
=
∫
∫
∫
r
r
;
ˆ
)
0
(
8
ˆ
0
cos
4
ˆ
0
sin
6
0
=
i
+
j
+
2k
+
C
1C
1=
−
4
j
dengan mengambil v = 0 pada saat t = 0, diperoleh :
j
k
t
j
t
i
t
v
r
=
6
sin
2
ˆ
+
4
cos
2
ˆ
+
8
2ˆ
−
4
Sehingga :k
t
j
t
i
t
v
r
=
6
sin
2
ˆ
+
(
4
cos
2
−
4
)
ˆ
+
8
2ˆ
atau
Solusi
Solusi
(
)
2 33
8
4
2
sin
2
2
cos
3
t
i
t
t
j
t
k
C
r
r
=
−
+
−
+
+
(
t
i
t
j
j
t
k
)
dt
dt
v
r
r
=
∫
r
=
∫
6
sin
2
+
4
cos
2
−
4
+
8
2dengan mengambil r = 0 pada saat t = 0, diperoleh :
(
)
(
0
)
;
3
8
0
0
sin
2
0
cos
3
0
=
−
i
+
−
j
+
3k
+
C
2C
3
i
2=
sehingga(
t
t
)
j
t
k
i
i
t
r
3
3
8
4
2
sin
2
2
cos
3
+
−
+
3+
−
=
r
(
t
t
)
j
t
k
i
t
r
33
8
4
2
sin
2
)
2
cos
3
3
(
−
+
−
+
=
r
atau
Soal
Soal latihan
latihan
( )
t
j
t
k
i
e
a
r
=
−tˆ
−
6
+
1
ˆ
+
3
sin
ˆ
Jika,
Jika, kecepatan
kecepatan dan
dan posisi
posisi awal
awal adalah
adalah nol
nol,, Tentukan
Tentukan
kecepatan
kecepatan dan
dan posisi
posisi partikel
partikel setiap
setiap saat!
saat!
Percepatan
Percepatan suatu
suatu partikel
partikel pada
pada setiap
setiap saat
saat tt >
> 0
0
diberikan
diberikan oleh
oleh::
kecepatan
Integral
Integral Garis
Garis
k
A
j
A
i
A
A
=
1+
2+
3r
Misalkandan r(u) adalah vektor posisi dari (x,y,z) mendefinisikan kurva C yang menghubungkan titik-titik P dan Q, dimana u = u1 dan u = u2 untuk masing-masingnya
C dianggap tersusun dari sejumlah berhingga kurva-kurva dimana untuk
( ) ( ) ( ) ( )
u
x
u
i
y
u
j
z
u
k
r
r
=
+
+
C dianggap tersusun dari sejumlah berhingga kurva-kurva dimana untuk masing-masingnya r(u) memiliki turunan yang kontinu. Misalkan :
Sebuah fungsi vektor dari posisi yang didefinisikan dan kontinu sepanjang C, maka integral dari komponen tangensial A sepanjang C
dari P ke Q ditulis sebagai :
∫
•
=
∫
•
=
∫
+
+
Q P C Cdz
A
dy
A
dx
A
r
d
A
r
d
A
r
1 2 3r
r
r
Integral
Integral Garis
Garis
θ P r1 r3 r2 Q A dr z
C
0 x y∫
•
=
∫
•
=
∫
+
+
Q P C Cdz
A
dy
A
dx
A
r
d
A
r
d
A
r
1 2 3r
r
r
Adalah contoh integral garis. Jika A adalah sebuah gaya F yang bekerja pada suatu partikel yang bergerak sepanjang C, maka integral garis in i menyatakan usaha (W) yang dilakukan gaya F.
Integral
Integral Garis
Garis
∫
•
=
∫
+
+
C
A
d
r
CA
1dx
A
2dy
A
3dz
r
r
Jika C adalah kurva tertutup sederhana (kurva yang tidak memotong dirinya sendiri), maka integral mengelilingi C sering dituliskan :
Teorema
Jika A = -∇φ pada semua titik dalam suatu daerah R dalam ruang, yang
∫
Q•
PA
d
r
r
r
.
1
Jika A = -∇φ pada semua titik dalam suatu daerah R dalam ruang, yang didefinisikan oleh a1 ≤ x ≤ a2, b1≤ y ≤ b2, c1 ≤ z ≤ c2, dimana φ(x,y,z) berharga tunggal dan memiliki turunan-turunan yang kontinu dalam R, maka
∫
•
=
CA
d
r
0
.
2
r
r
Tidak bergantung pada lintasan C dalam R yang menghubungkan P dan Q
Q
Tertutup sederhana z
Kurva tertutup sederhana
P C
Berlawanan dengan arah Putar jarum jam
y
Integral
Integral Garis
Garis
0
=
×
∇
A
r
Dalam hal demikian, A disebut sebuah medan vektor konservatif dan φ adalah potensial skalarnya.
Sebuah medan vektor A adalah konservatif jika dan hanya jika :
Atau ekivalen juga dengan A = -∇φ. Dalam hal demikian :
φ
∇
−
=
+
+
=
•
d
r
A
dx
A
dy
A
dz
A
r
1 2 3r
Contoh Soal
Contoh Soal
Hitunglah usaha untuk memindahkan partikel dari titik (0,0) ke (3,4)
melalaui lintasan seperti gambar di bawah ini :
Jika
F
=
y
i
ˆ
+
x
ˆ
j
r
y (3,4) x (0,0) (3,0)Soal
Soal Latihan
Latihan
k
x
j
y
i
xz
F
1=
2
+
+
2r
c. Untuk gaya yang tidak konservatif, hitunglah usaha untuk
Diberikan
F
2=
y
i
−
x
j
r
dan
a. Yang manakah dari kedua gaya tersebut yang konservatif ?
b. Untuk gaya yang konservatif, cari fungsi skalar
φ
sehingga F = -
∇φ
!
c. Untuk gaya yang tidak konservatif, hitunglah usaha untuk
memindahkan partikel sepanjang garis lurus dari titik (0,1)
ke (1,0)
Tugas PR
Tugas PR
b. Carilah potensial skalar (
φ
) untuk F
a. Buktikan bahwa medan gaya berikut bersifat konservatif
(
y
x
z
)
i
(
y
x
)
j
(
xz
)
k
F
=
2cos
+
3+
2
sin
−
4
+
3
2+
2
r
c. Carilah usaha yang dilakukan F dalam menggerakan sebuah
c. Carilah usaha yang dilakukan F dalam menggerakan sebuah
Teorema Green dalam Bidang
Teorema Green dalam Bidang
Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C dan jika P dan Q adalah fungsi-fungsi kontinu dari x dan y yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka :
( )
( )
dx
dy
y
P
x
Q
dy
y
x
Q
dx
y
x
P
R C∫∫
∫
∂
∂
−
∂
∂
=
+
,
,
dimana C dilintasi dalam arah positif (berlawanan arah putar jarum jam)
Bukti x y A C a b c d
Teorema Green dalam Bidang
Teorema Green dalam Bidang
( )
( )
dx
dy
[
Q
( ) ( )
b
y
Q
a
y
]
dy
x
y
x
Q
dy
dx
x
y
x
Q
d c d c b a A∫
∫ ∫
∫∫
=
−
∂
∂
=
∂
∂
,
,
,
,
( )
b( )
c( )
a( )
c( )
Lakukan integral rangkap 2 terhadap luas bidang A
Lakukan integral garis sepanjang kurva C mengelilingi bidang A berlawanan arah putar jarum jam
( )
( )
( )
( )
∫
( )
∫
=
∫
+
∫
+
∫
+
c d C b a c b a bdy
y
a
Q
dy
d
x
Q
dy
y
b
Q
dy
c
x
Q
dy
y
x
Q
,
,
,
,
,
( )
∫∫
=
∫
∂
∂
A CQ
x
y
dy
dy
dx
x
Q
,
( )
∫
( )
∫
( )
∫
[
( ) ( )
]
∫
=
+
=
d−
c c d d c CQ
x
,
y
dy
Q
b
,
y
dy
Q
a
,
y
dy
Q
b
,
y
Q
a
,
y
dy
Teorema Green dalam Bidang
Teorema Green dalam Bidang
( )
( )
dy
dx
[
P
( ) ( )
x
d
P
x
c
]
dx
y
y
x
P
dy
dx
y
y
x
P
b a b a d c A∫
∫ ∫
∫∫
=
−
∂
∂
=
∂
∂
,
,
,
,
( )
b( )
d( )
a( )
c( )
Lakukan pula integral rangkap 2 terhadap luas bidang A
Lakukan integral garis sepanjang kurva C mengelilingi bidang A berlawanan arah putar jarum jam
( )
( )
( )
( )
∫
( )
∫
=
∫
+
∫
+
∫
+
c d C b a d c a bdx
y
a
P
dx
d
x
P
dx
y
b
P
dx
c
x
P
dx
y
x
P
,
,
,
,
,
( )
∫∫
=
∫
∂
∂
−
A Cdx
y
x
P
dx
dy
x
P
,
( )
∫
( )
∫
( )
∫
[
( ) ( )
]
∫
=
+
=
b−
a a b b a CP
x
,
y
dx
P
x
,
c
dx
P
x
,
d
dx
P
x
,
c
P
x
,
d
dx
Teorema Green dalam Bidang
Teorema Green dalam Bidang
dy
dx
y
P
x
Q
dy
Q
dx
P
C
A
∫
∫∫
∂
∂
−
∂
∂
=
+
A
Contoh Soal
Contoh Soal
Dimana C adalah kurva segiempat seperti gambar di bawah :
Gunakan teorema Green untuk menghitung integral berikut :
∫
−
C2
x
dy
3
y
dx
y x y (0,2) (-2,0) (2,0) (0,-2)Soal
Soal Latihan
Latihan
Dimana C adalah kurva tertutup seperti gambar di bawah :
Gunakan teorema Green untuk menghitung integral berikut :
∫
+
Cxy
dx
x
dy
2 y x y 2 4 4 1Tugas PR
Tugas PR
(
)
∫
−
=
Cx
dy
y
dx
A
2
1
a. Untuk kurva tertutup sederhana C dalam bidang, Tunjukkan
dengan teorema Green bahwa luas area yang dilingkupinya
adalah :
b. Dengan menggunakan formula pada soal a), tunjukkan bahwa
area yang dibatasi elips x = a cos
θ
, y = b sin
θ
, 0
≤ θ ≤
2
π
memiliki luas :
ab
A
=
π
Teorema Divergensi (Teorema Gauss)
Teorema Divergensi (Teorema Gauss)
Menyatakan bahwa jika V adalah volum yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S dan A sebuah vektor yang adalah fungsi dari kedudukan dengan turunan-turunan yang kontinu, maka :
∫∫∫
∇
•
A
dV
=
∫∫
A
•
n
ˆ
dS
r
r
∫∫∫
∫∫
V S
Contoh Soal
Contoh Soal
∫∫
•
SdS
n
F
ˆ
r
dimana
Gunakan teorema Divergensi untuk menghitung integral berikut :
k
yz
j
y
i
xz
F
=
4
−
2+
r
dan S adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh : x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0, z = 1
Soal
Soal Latihan
Latihan
k
z
j
y
i
x
A
=
4
−
2
2+
2r
Periksa kebenaran teorema Divergensi untuk :
Yang diintegrasi melalui ruang yang dibatasi oleh x
2+ y
2= 3,
z = 0 dan z = 3
z = 0 dan z = 3
Hukum Gauss
Hukum Gauss
∫∫∫
∇
•
A
dV
=
∫∫
A
•
n
ˆ
dS
r
r
Dalam bidang kelistrikan, salah satu materi yang dibahas adalah menentukan medan listrik disekitar benda bermuatan listrik. Salah satu teknik yang digunakan adalah hukum Gauss. Hukum ini sebetulnya adalah teorema Divergensi yang diterapkan dalam materi bahasan kelistrikan.
∫∫∫
∇
•
=
∫∫
•
V SdS
n
A
dV
A
ˆ
dimana E adalah medan listrik, n adalah vektor normal bidang, S adalah permukaan Gauss, ρ adalah rapat muatan pada benda dan V adalah volume benda.
( )
∫∫∫
∫∫
•
=
V S oE
n
dS
ρ
V
dV
ε
ˆ
r
Hukum Gauss
Hukum Gauss
Kasus distribusi muatan +Q pada bola dengan rapat muatan konstan.
+Q E
E n n
Permukaan Gauss S harus dipilih sedemikian rupa sehingga arah E dengan n sejajar (membentuk sudut 0) di setiap titik pada permukaan Gauss. Jadi pemilihan permukaan Gauss harus mempertimbangkan bentuk geometri benda bermuatan. Dalam kasus kita benda bermuatan +Q bergeometri bola, sehingga permukaan Gauss yang paling tepat adalah permukaan bola (kulit bola)
S = permukaan Gauss = kulit bola
Hukum Gauss
Hukum Gauss
Kasus distribusi muatan +Q pada bola dengan rapat muatan konstan.
+Q E E n n r
( )
r
Q
E
2=
+
04
π
ε
Q
dS
E
S+
=
∫∫
0ε
2 2 04
r
Q
k
r
Q
E
=
+
=
+
πε
S = permukaan Gauss = kulit bolaTeorema Stokes
Teorema Stokes
Menyatakan bahwa jika S adalah suatu permukaan terbuka bersisi dua yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C maka jika A memiliki turunan-turunan yang kontinu :
( )
∫
∫∫
∇
×
•
=
•
CA
d
r
dS
n
A
r
r
r
ˆ
∫
∫∫
C Sdimana C dilintasi dengan arah positif. Arah dari C disebut positif jika seorang pengamat berjalan pada daerah batas dari S dalam arah ini dengan kepalanya menunjuk pada arah normal positif terhadap S, maka ia mendapatkan permukaan ini di sebelah kirinya
