x
y z
q POTENSIAL LISTRIK
Mengingat integral garis dari medan listrik tidak bergantung pada bentuk lintasan, maka didefinisikan suatu besaran baru, yaitu
≡ − ∙
ℴ
Keterangan:
= potensial listrik pada suatu titik dengan vektor posisi r
ℴ = jarak titik acuan
= | | = jarak titik yang ditinjau potensialnya terhadap sumbu koordinat Selanjutnya dalam menghitung potensial di suatu titik, titik acuan yang digunakan adalah titik yang jaraknya jauh tak hingga. Pada titik tersebut, potensialnya sama dengan nol. Melalui definisi ini, potensial listrik pada suatu titik dihitung dari medan listrik.
Sebagai contoh, kita tinjau kembali medan listrik yang ditimbulkan oleh suatu muatan titik , yang berada pada titik asal = 0 .
= 41
Potensial listrik pada titik adalah
= − 41 ∙ dengan = + + !" sin & maka = − 41 ∙ ' + + !" sin &( = −41 = 41
x y P z R θ dθ dr r dθ
Terlihat bahwa potensial ditentukan oleh jarak antara muatan terhadap titik tinjauan. Oleh karena itu, jika muatan berada pada titik sembarang dengan posisi , dimana ≠ 0 maka potensial pada titik menjadi
= 41 | − ′|
| − ′| adalah jarak dari muatan terhadap titik tinjauan
Jika muatan berupa bongkahan berdistribusi kontinue maka, persamaan untuk potensial listrik berubah menjadi integral
= 41 | − ′|
dengan bergantung dari jenis distribusi muatannya. Untuk muatan yang terdistribusi pada garis, maka = + ,, sehingga potensial listriknya menjadi
= 41 | − ′|+ ,
Untuk muatan yang terdistribusi pada luasan, maka = - .
= 41 | − ′|- .
Untuk muatan yang terdistribusi pada ruang, maka = / 0
= 41 | − ′|/ 0
Contoh 1
Tentukan potensial pada titik P yang berada pada jarak b di atas bidang setengah lingkaran berjejari R yang bermuatan listrik dengan distribusi seragam, -!
. = | − ′| = 12 + 3 = 41 | − ′|- . 3 =41 4 - √2 + 6 7 8 8
3 =4 - √2 +
6 8
3 =4 9- 12 + 986 3 =4 :- 12 + ; − 2<
Hal sebaliknya bisa dilakukan, yaitu bila potensial listrik diketahui, maka medan listrik juga dapat dihitung. Penurunan persamaannya dijabarkan pada uraian berikut ini. Beda potensial titik b terhadap titik a adalah = − > , yaitu
= − > = − ∙ ? ℴ − @− ∙ A ℴ B = − > = ∙ A ℴ − ∙ ? ℴ = − > = − ∙ ℴ A − ? ∙ ℴ = − > = − ∙ ? A
Teorema dasar gradien untuk fungsi skalar menyatakan bahwa
C ∙ ? A
= = − >
dengan demikian, diperoleh hubungan
C ∙ ? A = − ? ∙ A = −C
Inilah persamaan yang dicari
Hubungan lain yang bisa diperoleh dari persamaan antara medan listrik dan potensial listrik adalah Persamaan Poisson dan Persamaan Laplace. Hukum Gauss bentuk diferensial adalah
dengan mensubstitusikan persamaan = −C maka
C ∙ −C = /
C = − / ⟹ ini adalah persamaan Poisson
Pada daerah tanpa muatan maka / = 0, Persamaan Poisson berubah menjadi
C = 0 ⟹ ini adalah persamaan Laplace
Contoh 2
Hitung potensial listrik di dalam dan di luar kulit bola berjari-jari R, yang membawa muatan berdistribusi seragam, -!
Potensial listrik di luar bola
Dari hukum Gauss diperoleh bahwa medan listrik di luar kulit bola adalah
=4
maka potensialnya
= − 4 ∙
V =41
Potensial listrik di dalam bola
Medan listrik di dalam bola adalah nol, maka potensialnya adalah = − ∙ V = − 64 ∙ − 0 ∙ 6 V = − 64 − 0 V =41 ; R r < R r > R + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
USAHA DAN ENERGI DALAM ELEKTROSTATIKA
Usaha untuk Memindahkan Muatan
Usaha adalah kerja yang dilakukan oleh gaya F untuk memindahkan muatan dari satu tempat ke tempat lainnya.
R = S ∙ 1
Jika kita hendak memindahkan muatan dalam suatu medan listrik maka kerja yang dilakukan adalah melawan gaya yang ditimbulkan oleh medan listrik di tempat itu. Usaha yang dilakukan untuk memindahkan muatan titik dari jarak jauh tak hingga ke posisi adalah
R = −S ∙
adalah elemen perpindahan. Untuk koordinat bola,
= + + sin T U
sedangkan S adalah gaya coulomb yang dialami oleh muatan Q akibat dari pengaruh medan listrik yang ditimbulkan oleh muatan q, yaitu
S = V sehingga W menjadi R = −41 8 V ∙ + + sin T U
.
x y z q.
S QR = −41 8 V R =41 8 V 2
Usaha tersebut berubah menjadi energi potensial yang tersimpan pada muatan Q yang berada pada jarak r terhadap muatan q. Energi potensial itulah yang disebut dengan energi elektrostatika.
Energi Potensial untuk Muatan Titik
Hubungan antara energi potensial dengan potensial diperoleh dengan menuliskan kembali bahwa potensial di titik yang ditimbulkan oleh muatan q adalah:
=41
8 3
Maka energi potensial muatan Q pada titik dapat dinyatakan dengan
R =41 8
V
R= VV 4
Jika terdapat N muatan titik, Y, , [, … , ], masing-masing dengan posisi ^, _,
`, ... , a maka bagaimana ungkapan energi potensialnya? Energi potensial yang
dimiliki oleh sistem N muatan tersebut sama dengan usaha total yang diperlukan untuk membawa muatan-muatan tersebut satu persatu dari posisi jauh tak hingga ke posisi ^, _, `, ... , dan a. y z ^
.
.
.
.
x _ ` b q1 q2 q3 q4Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan Y ke titik ^ adalah RY, yaitu
RY = Y V ^ 5
dengan V ^ adalah potensial listrik di titik ^. Oleh karena belum ada muatan yang lain dalam sistem koordinat, maka V ^ = 0 sehingga
RY = 0 6
Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan ke titik _ adalah R , yaitu
R = _ 7
dengan _ adalah potensial listrik di titik _. Oleh karena telah ada muatan Y dalam sistem koordinat, maka potensial listrik di titik _ yang ditimbulkan oleh muatan Y adalah _ = 41 8 Y | ^− _| 8 sehingga R menjadi R =41 8 Y | ^− _| 9
Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan [ ke titik ` adalah R[, yaitu
R[ = [ ` 10
dengan ` adalah potensial listrik di titik `. Pada sistem koordinat telah ada muatan Y dan sehingga potensial listrik di titik ` ditimbulkan oleh muatan Y dan , yaitu Φ ` = 41 8 Y | ^− `| + 1 4 8| _− `| 11 sehingga R[ menjadi R[ =41 8 Y [ | ^− `| +41 8| _−[`| R[ =41 8i Y [ | ^− `| + [ | _− `|j 12
Usaha yang diperlukan untuk membawa muatan k ke titik b adalah Rk, yaitu
dengan b adalah potensial listrik di titik b. Kini telah ada muatan Y, , dan
[ sehingga potensial listrik di titik b ditimbulkan oleh muatan Y, , dan [, yang besarnya b = 41 8 Y | ^− b| +418| _− b| +41 8| `−[ b| 14 sehingga Rk menjadi Rk = 41 8 Y k | ^− b| + 1 4 8 k | _− b| + 1 4 8 [ k | `− b| Rk = 41 8i Y k | ^− b| + k | _− b| + [ k | `− b|j 15
Adapun usaha yang diperlukan untuk memindahkan muatan ke-N adalah
R] =41 8i Y ] | ^− a| + ] | _− a| + [ ] | `− a| + ⋯ + ]mY ] | am^− a|j 16
Usaha total untuk memindahkan N muatan adalah penjumlahan dari RY, R , R[,
Rk,..., R] Rn o = RY+ R + R[+ Rk… + R] Rn o = 41 8 Y | ^− _| + Rn o = 41 8i Y [ | ^− `| +| _−[`|j + Rn o = 41 8i Y k | ^− b| + k | _− b| + [ k | `− b|j + ⋯ + Rn o =41 8i Y ] | ^− a| + ] | _− a| + [ ] | `− a| + ⋯ + ]mY ] | am^− a|j 17
Setelah persamaan (19) disusun ulang, didapatkan
Rn o = 41 8 Yp| ^− _| + [ | ^− `| + k | ^− b| + ⋯ + ] | ^− a|q + Rn o = 41 8 p [ | _− `| + k | _− b| + ⋯ + ] | _− a|q + Rn o = 41 8 [p k | `− b| + ⋯ + ] | `− a|q + Rn o = + ⋯
Rn o = 41 8 ]mYp ] | am^− a|q + Rn o = r s ] stY ur41 8 v w x− yw ] vzs { 18 Oleh karena 1 w x− yw= 1 w y− xw maka 1 w x− yw= 1 2 @w x−1 yw+ 1 w y− xwB 19
Dengan mensubstitusikan persamaan (19) ke persamaan (18), diperoleh
Rn o = r s ] stY u12 r41 8 v@ 1 w x− yw+ 1 w y− xwB ] vzs { Rn o = 12 r s ] stY u r 41 8 v w x− yw ] vtY,v|s { 20
Perhatikan suku dalam kurung kurawal pada persamaan (20)! Suku tersebut adalah potensial listrik di x, yaitu x , yang ditimbulkan oleh } − 1 muatan,
Y, , [, … , sm , smY, s~Y, s~ , … , ]. x =41 8 r v w x− yw ] vtY,v|s 21
Dengan demikian, persamaan (20) menjadi
Rn o = 12 r s ]
stY x
22
Ini adalah usaha total yang diperlukan untuk menyusun N muatan titik secara bersama-sama. Usaha total ini merepresentasikan besarnya energi potensial yang tersimpan dalam susunan muatan tersebut.
Energi pada Muatan Terdistribusi Kontinue
Pada distribusi muatan volume dengan rapat muatan /, maka ungkapan energi potensial pada persamaan (22) berubah menjadi
R =12 / 0 23
Ungkapan energi ini dapat juga dinyatakan dalam medan listrik yaitu dengan memanfaatkan persamaan pada Hukum Gauss.
C ∙ = / 8
/ = 8C ∙ 24
dengan mensubstitusikan persamaan (24) ke persamaan (23) diperoleh
R =12 8 C ∙ 0 25
Salah satu sifat perkalian operator C adalah
C ∙ = C ∙ + ∙ C 26
dengan mensubstitusikan C = − selanjutnya didapatkan
C ∙ = C ∙ − •
atau
C ∙ = C ∙ + • 27
Selanjutnya mensubstitusikan persamaan (27) ke persamaan (25), hasilnya
R = 2 €C ∙8 + • • 0
R = 28 C ∙ 0
‚ +
8
2 ‚ • 0 28
C ∙ S 0
‚ = ƒ S ∙ „…
sehingga
8
2 ‚ C ∙ 0= 2 ƒ8 … ∙ „ 29
Maka persamaan (28) dapat ditulis menjadi
R = 2 ƒ8 ∙ .† … + 8 2 ‚ • 0 30 R = 28 • 0 ‡ˆˆ ‰Š‡‹Œ 31
Ini adalah ungkapan energi potensial dalam , dimana pengintegralan dilakukan untuk seluruh ruang.
Contoh
Hitung energi potensial dari kulit bola bermuatan seragam dengan rapat muatan - dan total muatan q jika jari-jari bola adalah R !
Solusi 1. Menggunakan ungkapan dalam potensial
R =12 - .
Potensial pada permukaan bola adalah konstan, besarnya
=4π1 8; sehingga R =8π1 8; - . R =8π1 8 ;
Solusi 2. Menggunakan ungkapan dalam medan listrik
R = 28 • 0
‡ˆˆ ‰Š‡‹Œ
Integral dilakukan pada seluruh ruang, di dalam dan di luar bola. •Ž† di dalam bola adalah nol sehingga integralnya bernilai nol untuk ruang di dalam bola. Sementara
di luar bola adalah
=4π1
8 ̂
• = 4π1
8 k
dengan demikian energinya menjadi
R = 28 • 0 ‡ˆˆ ‰Š‡‹Œ R = 28 4π1 8 k • ‘ sin d d T ’ → koordinat bola R = 2 4π8 8 1 • ‘ sin d d T ’ R = 2 4π8 8 1 — ˜ 8 d sin d T ˜ 8 R = 2 4π8 8 ™− 1 ™ — ˜ 8 d sin d T ˜ 8 R = 2 4π8 8 1 ; sin d ˜ 8 T ˜ 8 R = 2 4π8 8 1 ; 4π R =8π1 8 ;
