Bab 16 Integral di Ruang-n

(1)

1

Oki Neswan,Ph.D.,

Departemen Matematika-ITB

Bab 16 Integral di Ruang-

n

Integral Ganda atas persegi panjang

Integral Berulang

Integral Ganda atas Daerah sebarang

Integral Ganda Koordinat Polar

Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II

Pendahuluan

Masalah-masalah yang dipecahkan oleh integral dengan dua variabel atau lebih serupa dengan yang dipecahkan oleh integral satu variabel, hanya lebih umum.

Seperti halnya pada turunan fungsi n variabel, integral inipun dibangun berdasarkan pengalaman kita pada integral satu variabel.

Hubungan antara integral dan turunan untuk fungsi multivariabel juga sangat erat seperti halnya fungsi satu variabel.

Di sini kita dapat mereduksi integral menjadi beberapa integral fungsi satu variabel sehingga Teorema Dasar Kalkulus dapat kembali berperan dalam konteks yang lebih umum ini.

(2)

3

Oki Neswan, Ph.D. – Departemen Matematika ITB

1. Integral Ganda atas Persegi

Panjang

Ingat kembali pada fungsi satu variabel f (x), kita membagi interval [a,b] menjadi interval-interval dengan panjang ∆x_k,

k=1,2,…,n, berdasarkan partisi P : x₁< x₂<  < x_k, memilih

titik sampel dari interval ke k, kemudian

Diberikan fungsi f (x,y) kontinu pada himpunan berbentuk persegi panjang:

R = {(x,y) : a ≤ x ≤ b dan c ≤ y ≤ d}.

Kita akan membangun integral dengan cara serupa seperti pada integral fungsi satu variabel.

( )

0

( )

1 lim n b k k P a k f x dx _→ f x x = =

∑

∆

∫

k x

Daerah berbentuk persegi panjang dibagi oleh garis-garis yang sejajar dengan kedua sumbu koordinat, menjadi beberapa persegi panjang kecil dengan luas .

Tiap persegi panjang tersebut diberi i

R A x y ∆ = ∆ ∆

(

)

(

)

1 2 1 ndeks, , , , .

Pilih sebarang titik , dari tiap . Bentuklah jumlah Riemann , n k k k n n k k k k A A A x y A S f x y A = ∆ ∆ ∆ ∆ =

∑

∆ …

(3)

5

Jika f kontinu, partisi diperhalus dengan membuat ∆x dan ∆y mendekati nol, maka jumlah Riemann akan konvergen menuju limit yang disebut integral ganda (integral lipat) dari f pada daerah R.

(

)

0 1

Misalkan dua variabel kontinu terdefinisi pada persegi panjang . Jika lim ,

ada, maka terintegral atas , dan nilai limit ini disebut integral ganda dar n k k k P k f R f x y A f R → = ∆

∑

Definisi

(

)

( )

0 1 i atas . limP n k, k k , . k R f R f x y A f x y dA → = ∆ =

∑

∫∫

(xk,yk)

Limit pada definisi di atas berbeda dengan limit yang telah kita pelajari, walaupun ide dasarnya tetap sama.

1. Untuk tiap partisi , adalah panjang diagonal terpanjang dari persegi panjang ba

P P

Catatan :

(

)

gian yang dibentuk oleh . Ini adalah ukuran halus-kasarnya pembagian oleh partisi .

2. Nilai limit tidak bergantung pada pilihan titik sampel , . 3. Untuk tiap 0, terdapat 0 sehingga: untuk se

k k P R P x y ε > δ >

(

)

( )

1

tiap partisi dengan

, berlaku n _k, _k _k , .

k R

P δ f x y A f x y dA ε

=

(4)

7

Hampiran Volume

Bila f nonnegatif, maka jumlah Riemann di atas memberikan jumlah dari volume kotak atau balok dengan alas ∆Akdan tinggi f x y( k, k)

( )

Jika , 0, , menyatakan volume benda pada dibawah permukaan , dan di atas persegi panjang .

R f x y f x y dA z f x y R ≥ =

∫∫

( )

Volume lim

,

dengan 0

ketika .

n n R k

S

f x y dA

A

n

→∞

=

∆ →

→ ∞ ∈

∫∫

(5)

9

Eksistensi

Tidak semua fungsi dua variabel terintegral atas sebuah persegi panjang R. Khususnya fungsi-fungsi yang tak terbatas tidak terintegral.

( )

Jika , terbatas dan kontinu pada persegi panjang , kecuali pada berhingga buah kurva mulus, maka terintegral pada .

Khususnya, jika kontinu pada , maka terintegral pada .

f x y R

f R

f R f R

TeoremaEksistensi

( )

1. Integral Ganda Bersifat Linear.

a. , ,

b. , , , ,

2. Sifat Dominasi. Jika , , untuk tiap , , maka R R R R R kf x y dA k f x y dA f x y g x y dA f x y dA g x y dA f x y g x y x y R = + = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ≤ ∈

∫∫

TeoremaSifat - sifat Integral Ganda

( )

1 2 1 2

, , 3. Sifat Additif pada persegi panjang

, , , R R R R R R f x y dA g x y dA f x y dA f x y dA f x y dA ∪ ≤ = +

∫∫

(6)

11

2. Integral Berulang

Masalah integral erat kaitannya dengan volume. Maka kita coba mendekati masalah menghitung integral dengan masalah menghitung volume.

Misalkan kita ingin menentukan volume benda pejal dibawah bidang z=f(x,y) di atas persegi panjang R: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, dengan mengirisnya seperti pada bab 6.

Misalnya benda tersebut diiris tegak lurus terhadap sb-x. selebar∆x. Misalkan luas penam-pang irisan benda pejal dengan bidang x adalah A(x).

[ ]

( )

0 1

1

Misalkan interval , dibagi oleh partisi : . Bidang-bidang membagi benda menjadi buah keping yang tebalnya

dan volumenya . Hampirannya , sebarang titi n i i i i i i i i i a b P a x x x b x x n x x x V V A x x x + = ≤ ≤ ≤ = = ∆ = − ∆ ∆ ≈ ∆

[

] ( )

( )

(

)

1

k pada selang , . adalah luas daerah dibawah grafik , pada bidang . Kita dapat memilih , sehingga ,

Jadi, volume benda

i i i i i i y d i i i i y c x x A x z f x y x x x x V A x x f x y dy − = = = = = ∆ ≈ ∆ =

_∫

( )

(

)

1 1 adalah

Apabila norm dari partisi menuju nol, maka

, Kembali kita baru saja me

n n i i i i i x b x b y d i x a x a y c V V A x x V A x dx f x y dy dx = = = = = = = = = ∆ ≈ ∆ = =

∑

∫

∫ ∫

lakukan proses/strategi yang sering digunakan dalam integral: slice - approximate - integrate.

(7)

13

( )

(

( )

)

Tentu saja volume juga dapat dihitung dengan membagi selang [ , ]. Dengan cara urutan pengintegralan dibalik menjadi

y d y d x b , y c y c x a c d V = A y dy = = f x y dx dy = = = =

_∫

=

_{∫ ∫}

( )

(

( )

)

(

( )

)

Jika , kontinu pada persegi panjang : , , maka

, x b y d , y d x b , R x a y c y c x a f x y R a x b c y d f x y dA = = f x y dy dx = = f x y dx dy = = = = ≤ ≤ ≤ ≤ = =

∫∫

∫ ∫

Teorema Teorema Integral Berulang Fubini

( )

2

Hitunglah , jika , 1 6 atas persegi panjang

: 0 2, 1 1. Rf x y dA f x y x y R x y = − ≤ ≤ − ≤ ≤

∫∫

Contoh

Tentukan volume benda pejal dibawah bidang z = 4 – x – y, di atas persegi panjang R: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1.

Lakukan dengan integral terhadap y kemudian terhadap x. Kemudian dengan urutan dibalik.

( )

(

)

2 0 1 0

Maka volume adalah

di mana adalah luas penampang di . Untuk tiap , luas penampang adalah

4 ,

yaitu luas daerah dibawah k

x x y y A x dx A x x x A x x y dy = = = = = − −

∫

Penyelesaian

( )

urva 4 pada bidang irisan . Jadi, pada ,

dianggap konstan.

z x y

x A x

x

(8)

15

( )

(

)

(

)

2 2 1 0 0 0 1 2 2 2 0 0 0 Dengan demikian, Volume 4 4 7 2 5 2 x x y x x y y x x x x y A x dx x y dy dx y y xy dx x dx = = = = = = = = = = = = = = − − ⎡ ⎤ = _⎢ − − _⎥ = − = ⎣ ⎦

∫

∫ ∫

∫

Di sini kita akan membicarakan integral ganda atas daerah atau himpunan yang lebih umum. Lihat gambar berikut.

Untuk membangun definisinya, kembali himpunan tersebut dipartisi menjadi persegi-perseg

R

(

)

i panjang bagian dengan luas · (setelah diberi indeks). Pilih persegi panjang yang termuat dalam .

Pilih sebarang titik sampel , dari tiap persegi panjang.

Maka diperoleh jumlah Rieman

i i i i i A x y R x y ∆ = ∆ ∆

(

)

( )

(

)

1 0 1 n , Jadi , lim , n n i i i i n i i i P R i S f x y A f x y dA f x y A = → = = ∆ = ∆

∑

∫∫

(9)

17

Interpretasi sebagai Volume

Jika f(x,y) ≥ 0, maka integral ganda dari f memberikan volume dari benda pejal dibawah permukaan di atas daerah R.

Sifat-sifat (a) linear, (b) dominansi, dan (c) aditif juga berlaku.

( ) ( )

( )

Diberikan , , , kontinu dan bilangan real. 1. Integral Ganda Bersifat Linear.

a. , , b. , , , , 2. Sifat Domi R R R R R f x y g x y k kf x y dA k f x y dA f x y g x y dA f x y dA g x y dA = + = + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

∫∫

TeoremaSifat - sifat Integral Ganda

( )

1 2

nasi. Jika , , untuk tiap , , maka , ,

3. Sifat Additif: jika dan tidak bertumpang tindih (irisannya maksimal berupa kurva, lihat gambar), maka

R R f x y g x y x y R f x y dA g x y dA R R ≤ ∈ ≤

∫∫

( )

1 2 1 2 , , , R R R R f x y dA f x y dA f x y dA ∪ = +

∫∫

(10)

19

Menghitung Integral Ganda

( )

1 2

Integral Ganda yang akan dibicarakan adalah integral ganda dari fungsi , atas daerah yang dibatasi oleh dua kurva, yaitu di bawah oleh

dan di atas oleh .

f x y

y=g x y=g x

( )

2_{( )}( )

( )

1

Untuk tiap nilai , luas penampang yang diperoleh jika benda diiris tegak lurus sb- untuk tiap nilai diketahui, misal sebagai

fungsi ,y g x . y g x x x x A x = f x y dy = =

_∫

( )

Pada Bab 6 telah kita pelajari bahwa volume benda pejal yang terletak antara dan , dengan luas penampang adalah integral

b a x a x b A x V A x dx = = =

_∫

( )

2_{( )}( )

( )

1

Maka, volume adalah integral (disebut integral berulang)

x b x b y g x , . x a x a y g x V = A x dx = = f x y dy dx = = = ⎡ ⎤ = = _⎢ _⎥ ⎣ ⎦

∫

∫ ∫

(11)

21

( )

( ) ( )

( )

2 1 1 2

Bila daerah dibatasi oleh kurva-kurva dan , maka dengan cara serupa, volume dihitung dengan integral berulang

, dimana integral , y d x h y y c h h y R x h y x h y V f x y dx dy A y f x y d = = = = = = ⎡ ⎤ = _⎢ _⎥ ⎣ ⎦ =

∫ ∫

( ) ( ) 2 1 . adalah luas dari penampang bila benda diiris sepanjang bidang tegak lurus sb- .

x h y h h y x y = =

∫

Kedua integral di atas adalah konsekuensi dari Teorema Fubini untuk Integral Berulang sebagai berikut.

(12)

23

( )

{

}

[ ]

( )

2_{( )}( )

( )

1 1 2 1 2

Diberikan , kontinu pada daerah .

1. Jika , : , , dan kontinu

pada , , maka , y g x , R x a y g x f x y R R x y a x b g x y g x g g a b f x y dA = f x y dy dx = = = ≤ ≤ ≤ ≤ =

∫∫

∫

Teorema Teorema Integral Berulang Fubini (versi 2)

( )

{

}

[ ]

( )

2_{( )}( )

( )

1 1 2 1 2

2. Jika , : , , dan kontinu

pada , , maka , , x b y d x h y R y c h h y R x y c y d h y x h y h h c d f x y dA f x y dx dy = = = = = = ≤ ≤ ≤ ≤ =

∫

∫∫

∫ ∫

Menentukan Batas Pengintegralan

Dua macam daerah pengintegralan yang dibicarakan di sini adalah :

I: a ≤ x ≤ b, g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x). II: c ≤ y ≤ d, h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y).

Apabila daerah pengintegralan sudah diberikan secara eksplisit maka integral dapat dilakukan dengan batas sesuai dengan definisinya (lihat Teorema Fubini).

Catatan: suatu daerah pengintegralan bisa saja tipe I maupun tipe

(13)

25

Oki Neswan, Ph.D. – Departemen Matematika ITB Catatan Kuliah MA1223 Kalkulus Elementer II

Penentuan batas integral menjadi masalah bila yang diberikan adalah grafik daerah pengintegralannya.

Bila daerah dipandang sebagai tipe I, maka penentuan batas, dibantu dengan membuat garis vertikal.

Batas y: garis vertikal memasuki daerah R melalui grafik

y=g1(x) dan keluar melalui grafik y = g2(x).

Batas x: nilai terkecil dan nilai terbesar x yang membatasi

daerah R masing-masing adalah a dan b.

( )

( ) ( ) 2 1 , x b y g x x a y g x f x y dy dx = = = =

∫ ∫

( )

( ) ( ) 2 1 , x b y g x x a y g x f x y dy dx = = = =

∫ ∫

Bila daerah dipandang sebagai tipe II, maka penentuan batas , dibantu dengan membuat garis horizontal:

Batas x : garis lingkaran memasuki daerah melalui grafik x =

h1(y) dan keluar melalui grafik x = h2(y).

Batas y: nilai terkecil dan nilai terbesar y yang membatasi

daerah masing-masing adalah c dan d.

( )

( ) ( ) 2 1 , y d x h y y c x h y f x y dx dy = = = =

∫ ∫

( )

2 1 1 0 1 , y x y y x y f x y dx dy = = − = = −

∫ ∫

(14)

27

( )

Hitunglah volume prisma yang dasarnya adalah segitiga pada bidang- dibatasi oleh sumbu dan garis-garis dan 1. Sedangkan atapnya adalah bidang , 3 .

xy x y x x z f x y x y − = = = = − −

Contoh Menentukan Volume Benda

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 ₂ 1 1 2 0 0 1 ₂ ₂ 1 1 2 2 0 1 ₅ ₃ ₂ ₅ ₂ ₁ ₃ 1 2 2 2 2 ₀ 0

Apabila urutan pengintegralan dibalik maka integral volume adalah

3 3 3 3 4 2 1 y x y x x y y x y y y y y y y y V x y dx dy x x xy dy y y y y dy y y dy y y y = = = = = = = = = = = = = = ⎡ ⎤ = − − = _⎣ − − _⎦ = − − − − − ⎡ ⎤ = − + =_⎣ − + _⎦ =

∫ ∫

∫

(

)

(

)

1 1 ₂ 1 2 ₀ 0 0 0 1 ₃ ₂ ₃ ₂ ₁ ₃ 1 2 2 2 ₀ 0

Untuk tiap antara 0 dan 1, jangkauan nilai adalah dari 0 sampai . Oleh karena itu,

3 3 3 1 x y x x y x y x y x x x x y y y x V x y dy dx y xy y dx x x dx x x = = = = = = = = = = = = ⎡ ⎤ = − − = _⎣ − − _⎦ ⎡ ⎤ = − =_⎣ − _⎦ =

∫ ∫

∫

Penyelesaian

(15)

29

(

)

2 2 2 2

Hitunglah volume benda pejal pada oktan I 0, 0, 0 , yang dibatasi oleh paraboloida sirkular , silinder 4, dan bidang-bidang koordinat. x y z z x y x y ≥ ≥ ≥ = + + = Contoh

(

)

(

)

2

2 2 0

Gambarlah daerah pengintegralan dari integral 4 2 . Kemudian tulislah integral yang sama dengan urutan dibalik .

x x x dy dx dx dy +

∫ ∫

Contoh

(16)

31

4. Integral Ganda: Polar

Banyak integral yang lebih mudah dihitung bila dengan menggunakan koordinat polar.

Pada bagian akan dipelajari mengubah integral menjadi koordinat polar dalam koordinat polar dan menghitungnya.

Misalkan f(r, ) terdefinisi pada himpunan R yang dibatasi oleh

sinar =

α

dan =

β

, kurva-kurva kontinu r=g1() dan r=g2()

dengan 0 ≤ g₁() ≤ g2() ≤ a.

Jadi R termuat dalam persegi panjang polar

Q:

α

≤ ≤

β

, 0 ≤ r ≤ a.

berbentuk kipas. Himpunan Q dapat dibagi menjadi beberapa persegi panjang polar bagian (lihat Gambar)

(

1 2

)

, .

'

Diperoleh buah persegi panjang polar dengan luas , , , . Pilih titik pusat masing-masing persegi panjang polar: , . Maka jumlah Riemann nya adalah

n k k a r m m n A A A r β α θ θ − ∆ = ∆ = ∆ ∆ … ∆

(

)

1 , .

Jika kontinu pada maka jumlah Riemann tersebut akan konvergen menuju sebuah limit, ketika 0 dan 0. Limit ini disebut integral ganda dari atas .

n n k k k k S f r A f R r f R θ θ = = ∆ ∆ → ∆ →

∑

( )

limn→∞Sn =

∫∫

_Rf r,θ dA.

(17)

33

2 Bagaimana menentukan ?

Radius luar dan radius dalam yang membatasi persegi panjang polar adalah 2 dan 2. Sementara itu, sudut yang mengapit adalah . Maka

1 luas sektor luar

2 2 k k k k A r r r r r r θ θ ∆ + ∆ − ∆ ∆ ∆ ⎛ ⎞ = _⎜ + _⎟ ∆ ⎝ ⎠

(

)

2 2 2 1 1 luas sekor dalam

2 2

Maka diperoleh . Akibatnya

2 2 2 , k k k k k n n k k k k r r r r A r r r r S f r r r θ θ _θ θ θ = ∆ ⎛ ⎞ = _⎜ − _⎟ ∆ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ∆ ⎛ ∆ ⎞ ⎛ ∆ ⎞ ∆ = ⎢⎜_⎝ + ⎟_⎠ −⎜_⎝ − ⎟_⎠ ⎥= ∆ ∆ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ =

∑

∆ ∆

( )

2_{( )}( )

( )

1

=

Teorema Fubini menyimpulkan bahwa limit dari jumlah Riemann ini adalah integral berulang terhadap dan :

lim_n _n , r g , R r g r S f r dA θ β θ f r rdr d θ α θ θ θ = θ θ →∞ =

∫∫

=

∫ ∫

₌ ₌

Luas daerah tertutup dan terbatas dalam koordinat bidang polar adalah

R R

R A=

∫∫

dA=

∫∫

rdrdθ

Teorema Luas dalam Koordinat Polar

2 2

Tentukan volume benda pejal di atas persegi panjang polar :1 3,0 4 dan di bawah permukaan x y .

R ≤ ≤r ≤ ≤θ π z=e +

(18)

35

Menentukan batas-batas Integral

Dua macam daerah pengintegralan yang dibicarakan di sini adalah :

I: α ≤  ≤ β, g₁() ≤ r ≤ g₂(). II: a ≤ r ≤ b, h₁(r) ≤ ≤ h₂(r).

Apabila daerah pengintegralan sudah diberikan secara

eksplisit maka integral dapat

dilakukan dengan batas sesuai

dengan definisinya:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) 2 1 2 1 = I: , II: , r g r g r b h r a h f r rdr d f r rd dr θ β θ θ α θ θ θ θ θ θ θ θ θ = = = = = = =

∫ ∫

Catatan: suatu daerah pengintegralan bisa saja

tipe I maupun tipe II. (contoh: R adalah himpunan yang dibatasi oleh lingkaran r=2, garis y=2, sumbu-y.)

Penentuan batas integral menjadi masalah bila yang diberikan adalah grafik daerah pengintegralannya.

Bila daerah dipandang sebagai tipe I, maka penentuan batas, dibantu dengan membuat sinar L dari titik asal.

Batas r: sinar L memasuki daerah melalui grafik r=g₁() dan keluar

melalui grafik r = g2().

Batas : nilai terkecil dan nilai terbesar 

yang membatasi daerah masing-masing adalahα dan β.

(19)

37

Bila daerah dipandang sebagai tipe II, maka penentuan batas , dibantu dengan membuat lingkaran.

Batas  : lingkaran memasuki daerah melalui grafik  =h₁(r) dan

keluar melalui grafik = h2(r).

Batas r: nilai terkecil dan nilai terbesar r

yang membatasi daerah masing-masing adalah a dan b.

( )

Tentukan batas pengintegralan fungsi , atas daerah pada gambar berikut

f r R θ Contoh

( )

2 1 cos 2 2 , r r f r r dr d π θ π θ θ = + − =

∫ ∫

2

Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh lemniscate r =4cos 2 .θ

Contoh

]

4 cos 2 4 4 cos 2 4 4 0 0 0 0 0 4 0

Luas total adalah 4 kali luas pada kuadran I. Jadi,

Luas 4 4 4 2cos 2 2 4sin 2 4 r rdr d d d θ π θ π π π θ θ θ θ θ ⎡ ⎤ = = _{⎢ ⎥} = ⎣ ⎦ = =

∫ ∫

∫

Penyelesaian

(20)

39

(

)

Hitunglah integral dengan adalah daerah pada kuadran I di luar lingkaran 2 dan di dalam kardioda 2 1 cos .

SydA S

r= r= + θ

∫∫

Latihan

2 2

Carilah volume benda pejal di bawah permukaan , di atas bidang- dan di dalam silinder 2 .

z x y xy x y y = + + = Contoh

(

)

2sin 2 2 0 0 2sin 2 0 0 2 2 V x y rdrd r rdrd π θ π θ θ θ /2 /2 = + =

∫ ∫

(21)

41

2 2 2

2 2

Carilah volume benda pejal yang dibatasi di atas oleh permukaan 2 2 18, di bawah oleh bidang 0 dan dikelilingi oleh silinder 4. x y z z x y + + = = + = Contoh 2 2 0 0 2 18 2 V r rdrd π θ =

_∫∫

−

Perubahan Cartesian->Polar

Prosedur perubahan integral Cartesiusf(x,y)dxdy menjadi integral polar memiliki dua langkah:

Substitusi x = r cos dan y=r sin , ganti dx dy menjadi r dr d. Sesuaikan batas pengintegralan dengan menuliskan batas daerah

dalam koordinat polar.

R f(x,y)dxdy menjadiG f(rcos, rsin) r dr d

(22)

43

(

)

2

1 1 ₂ ₂

0 0

Tuliskan integral dalam koordinat polar, dan hitunglah.

x x y dydx − +

∫ ∫

Contoh 2 2

Hitunglah integral dalam koordinat polar. x y R e + dydx

∫∫

Contoh

Soal-soal PR Bab 16

16.1: 1, 4, 15.

16.2: 3, 4, 12-4, 19-21, 32.

16.3: 3, 4, 10, 16, 17, 21, 24, 28, 34, 37-39.

16.4: 1, 6, 9, 11, 12, 16, 21, 26.