Integral Garis, Integral Permukaan, dan Integral Volume

BAB

27

Integral Garis, Integral Permukaan,

dan Integral Volume

Pada Bab 27 ini akan dibahas:

 Integral Kurva (Integral Garis)  Kebebasan Tapak/Lintasan  Integral Permukaan

 Integral Rangkap 3 (Integral Volume)

27.1 Integral Kurva (Integral Garis)

Misalkan suatu kurva C dari titik a sampai titik b di ditentukan oleh persamaan parameter:

⃗

r(t)=

[

x(t), y(t), z(t)

]

=x(t) ⃗i+y(t) ⃗j+z(t) ⃗k ;(a ≤ t ≤ b)(27−1)

Integral garis dari suatu fungsi vektor ⃗F(r) atas kurva C didefinisikan dengan:

∫

c ⃗ F(r).⃗dr=

∫

a b ⃗ F

(

r(t)

)

.⃗dr dt dt (27−2) dan ⃗ dr=dx_i⃗_+dy⃗_j+dz⃗_k (27−3) Sehingga

F_1i⃗ ¿ (+F₂⃗_j¿+F 3k⃗)∙(dx⃗i+dy⃗j+dzk⃗) ⃗_F(r)∙⃗_dr=

_∫

C ¿

∫

C ¿ F₁dx ¿ (+F2dy¿+F3dz) ⃗ F(r)∙⃗dr=

∫

C ¿

∫

C ¿ F1x' ¿ (+F₂y' ¿+F₃z' ) ⃗ F(r)∙⃗dr=

∫

a b ¿

∫

C ¿ (27−4)

∫

C ⃗ F(r)∙⃗dr=

∫

a b

(

F1 dx dt+F2 dy dt+F3 dz dt

)

dt

Integral garis disebut juga sebagai integral kerja, karena dapat diasumsikan sebagai kerja yang dilakukan oleh suatu gaya F untuk menggerakan partikel dari titik A ke titik B sepanjang C. Jika dS menyatakan panjang busur S suatu kurva, maka hubungan dS dengan dt adalah:

S(t)=

∫

√

r ∙⃗ r ; d⃗ ~t

(

r⃗=⃗dr

d~t

)

(27−5)

(

dS dt

)

2 =

(

⃗dr dt

)

∙

(

⃗ dr dt

)

=

(

dx dt

)

2 +

(

dy dt

)

2 +

(

dz dt

)

2 dS dt=

√

(

dx dt

)

2 +

(

dy dt

)

2 +

(

dz dt

)

2 dS=

(

√

(

dx dt

)

2 +

(

dy dt

)

2 +

(

dz dt

)

2

)

dt (27−6) Contoh 27.1:

Hitung Integral garis

∫

C

(

x3+y

)

dS ;C

adalah kurva x=3t , y=t3,0≤ t ≤1

Jawab:

dS menyatakan panjang busur S suatu kurva, sehingga

(

dS dt

)

=

√

(

d(3t) dt

)

2 +

(

d(t 3 ) dt

)

2 =

√

9+9t4=3

√

1+t4 dS=3

√

1+t4_dt

∫

C

(

x3 +y

)

dS=

∫

a=0 b=1

((

3t)3+t3

₎

₃

_√

_1+t4_dt =

∫

a=0 b=1

(

84t3

₎

_√

_1+t4_dt misalkan: u=1+t4→ du=4t3dt , , maka:

∫

a=0 b=1

(

84t3

)

√

1+t4dt=

∫

(21)u 1 2_du=21.2 3u 3 2_=14u 3 2

¿14

(

1+t4

)

3 2

|

t=0 t=1 =14(2 3 2₋₁₎

27.2 Soal dan Penyelesaian

1. Hitunglah

∫

C

⃗

F(r)∙⃗_dr

, dimana ⃗F=3yi⃗−x⃗j , C: potongan garis lurus dari (0,0)

sampai

(

2,1₂

)

Jawab: 3y_i⃗ ¿ (−x⃗_j¿)∙(dxi⃗_+dy⃗_j+dz⃗_k)=

_∫

C 3y dx−x dy ⃗ F(r)∙⃗dr=

∫

C ¿

∫

C ¿

Persamaan parameter garis lurus dari titik (0,0) menuju

(

2,1₂

)

adalah:

⃗ r(x , y)=(0,0)+

₍

(2,1/2)−(0,0)

₎

t ;0≤t ≤1 x=2t → dx=2dt y=1/2t → dy=1/2dt ⃗_F(r)∙⃗_dr=¿

_∫

C 3y dx−x dy=

∫

a=0 b=1 3

(

1 2t

)

(2dt)−2t

(

1 2dt

)

∫

C ¿

∫

a=0 b=1 3t dt−t dt=

∫

a=0 b=1 2t d t=t2

_|

t=0 t=1 =1

2. Hitunglah

∫

_C ⃗F(r)∙dr ,⃗ dengan ⃗F=y4⃗i−x4⃗j , dan C: ⃗r=t⃗i−t−1⃗j ,1≤ t ≤3

Jawab:

∫

C ⃗ F(r)∙ dr⃗=

∫

C

(

y4_i⃗_−x4_⃗ j

)

∙(dx_i⃗_+dy⃗_j+dz⃗_k) ¿

∫

C y4dx−x4dy

Persamaan parameter adalah: : ⃗r=t⃗i−t−1⃗j ,1≤ t ≤3 x=t → dx=dt y=t−1_{→ dy} =−t−2_dt

∫

C ⃗ F(r)∙ dr⃗=

∫

C y4_dx −x4_dy =

∫

a=1 b=3 t−4_dt −t4

₍

−t−2_dt

₎

¿

∫

a=1 b=3

(

t−4 +t2

₎

_dt =

[

1 −4+1t −4+1 + 1 2+1t 2+1

]

t=1 t=3 ¿

[

−1 3 t −3 +1 3t 3

]

t=1 t=3 =1 3

[

−1 t3 +t 3

]

t=1 t=3 ¿1 3

[

(

−1 27+27

)

−(−1+1)

]

= 26,96 3

3. Hitunglah Integral garis:

∫

C

[

(

x2−y

)

dx+

(

y2−x

)

dy

]

dengan lintasan C menghubungkan titik (0,1) ke titik (1,2) berbentuk:

a. Garis lurus dari titik (0,1) ke titik (1,2)

b. Garis lurus dari titik (0,1) ke (1,1) kemudian dari titik (1,1) ke (1,2) c. Parabola x=t dan y=t2+1

Jawab :

a. Persamaan parameter dari garis lurus dari titik (0,1) ke titik (1,2) adalah: r(x , y)=(0,1)+

_[

(1,2)−(0,1)

]

t ;0≤ t ≤1 x=t → dx=dt y=1+t → dy=dt

∫

C

[

(

x2 −y

)

dx+

(

y2 −x

)

d y

]

=

∫

t=0 t=1

[

(

t2 −(1+t)

)

dt+

((

1+t)2−t

)

dt

]

¿

∫

t=0 t=1

[

(

t2 −t−1

)

dt+

(

1+2t+t2 −t

)

dt

]

¿

∫

t=0 t=1

[

(

t2 −t−1

)

dt+

(

1+t+t2

₎

_dt

_]

¿

∫

t=0 t=1

(

2t2

₎

_dt ¿

[

2 3t 3

]

t=0 t=1 =2 3

b. Garis lurus dari titik (0,1) ke (1,1) kemudian dari titik (1,1) ke (1,2)

∫

C

[

(

x2 −y

)

dx+

(

y2 −x

)

dy

]

¿

∫

x=0 x=1

(

x2−y

)

|

y=1dx+

∫

y=1 y=2

(

y2−x

)

|

x=1dy ¿

∫

x=0 x=1

(

x2−1

)

dx+

∫

y=1 y=2

(

y2−1

)

dy ¿

(

1 3x 3 −x

)

x=0 x=1 +

(

1 3 y 3 −y

)

y=1 y=2 ¿

(

(

1 3−1

)

−0

)

+

(

(

8 3−2

)

−

(

1 3−1

)

)

¿

(

−2 3

)

+

(

(

2 3

)

−

(

−2 3

)

)

= 2 3

c. Parabola x=t dan y=t2+1 x=t → dx=dt ;0≤ x ≤1sehingga0≤t ≤1 y=t2_{+1→ dy=2t dt}

∫

C

[

(

x2−y

)

dx+

(

y2−x

)

dy

]

¿

∫

t=0 t=1

(

t2 −

(

t2₊₁

₎

₎

_dt +

(

(

t2₊₁

₎

2 −t

)

(2t)dt ¿

∫

t=0 t=1 −1dt+

(

2t5 +4t3_−2t2 +2t

)

dt ¿

∫

t=0 t=1

(

2t5 +4t3_−2t2_+2t−1

₎

_dt ¿

(

2 6t 6 +t4 −2 3t 3 +t2 −t

)

t=0 t=1 ¿

(

1 3+1− 2 3+1−1

)

= 2 3

4. Tentukan besarnya usaha yang dilakukan medan vektor (gaya),

⃗_{F(x , y)=(X+2y) ⃗i+(x−y) ⃗j ,}

untuk memindahkan partikel sepanjang kurva/lintasan C

yang diberikan dengan persamaan x=2 cost , y=4 sint dengan 0≤t ≤π₄.

Jawab:

Besarnya usaha yang dilakukan medan vektor (gaya), ⃗F(x , y)=(X+2y) ⃗i+(x−y) ⃗j untuk memindahkan partikel sepanjang kurva/lintasan C yang diberikan dengan persamaan.

x=2 cost → dx=−2 sint dt y=4Sint t → dy=4 cost dt

Dengan batas: 0≤t ≤π₄. Jadi:

∫

C ⃗ F(r)∙ dr⃗=

∫

C

(

(x+2y) ⃗i+(x−y) ⃗j

)

∙(dx⃗_i+dy⃗_j+dz⃗_k) ¿

∫

C (x+2y)dx+(x−y)dy ¿

∫

t=0 t=π/4

(

(2 cost+8 sint) (−2 sint dt)

)

+

(

(2 cost−4 sint) (4 cost dt)

)

¿

∫

t=0

t=π/4

(

−4 costsint−16 sin2_t

₎

_dt

+

(

8 cos2_{−16 sintcost}

₎

_dt

t−16 sin2t+8 cos2t −20 costsin¿dt ¿ ¿ ¿

∫

t=0 t=π/4 ¿

−20 costsint−16 sin2t+8(1−sin2t)dt ¿ ¿

∫

t=0 t=π/4 ¿ t−16 sin2t−8 sin2t+8 −20 costsin¿dt ¿ ¿ ¿

∫

t=0 t=π/4 ¿

t−24 sin2t+8 −20 costsin¿dt ¿ ¿ ¿

∫

t=0 t=π/4 ¿ t −cos¿−

∫

t=0 t=π/4 24 sin2_{t dt} +

∫

t=0 t=π/4 8dt ¿ t d¿ −20 cos¿ ¿

∫

t=0 t=π/4 ¿ ¿20 2 cos 2 t

|

t=0 t=π/4 −

∫

t=0 t=π/4 24

(

1 2− 1 2cos 2t

)

dt+2π ¿10

(

cos2π 4−cos 2₀

)

−24

(

1 2t− 1 2 1 2sin 2t

)

t=0 t=π/4 +2π ¿10

(

1 2−1

)

−24

(

1 2 π 4− 1 2 1 2

)

+2π ¿−5−3π+6+2π ¿1−π

5. Hitung integral garis berikut:

∮

C

[

(

x2 −y2

₎

_dx +xdy

]

C ≡ x2 +y2₌₉ Jawab:

Persamaan parameter dari kurva C ≡ x2+y2=9⇒x

2

9 +

y2

9 =1, diperoleh dari persamaan cos2t+sin2t=1,(0≤ t ≤2π), _sehingga

x2

9 =cos

2_t⇒x2_{=9 cos}2_{t⇒x=3 cost⇒dx=−3 sint dt}

y2

9 =sin

2

t⇒y2=9 sin2t⇒y=3 sint⇒dy=3 cost dt

Jadi:

∮

_C

[

(

x 2 −y2

)

dx+x dy

]

t 3 cos¿dt ¿ t¿

(

9 cos2t−9 sin2t

)

(−3 sint)dt+3 cos¿ ¿

∫

t=0 t=2π ¿ ¿9

∫

t=0 t=2π

(

cos2t−sin2t

)

(−3 sint)dt+9 cos2t dt

¿−27

∫

t=0

t=2π

(cos

2

t−(1−cos2t))(sint)dt+9 cos2t dt

¿−27

_∫

t=0 t=2π

(

−1+2cos2_t

₎

_(sint )dt+

∫

t=0 t=2π 9 cos2_{t dt} ¿−27

∫

t=0 t=2π

(

−1+2cos2t

)

d(−cost)dt+

∫

t=0 t=2π 9

(

1 2+ 1 2cos 2t

)

dt

B

D

C2

C3

C1

A

¿27

∫

t=0 t=2π

(

−1+2 cos2_t

₎

_d(−cost)dt +9

[

1 2t+ 1 2. 1 2sin 2t

]

t=0 t=2π ¿27

[

−cost+2 3cos 3 t

]

t=0 t=2π 9

[

1 2t+ 1 2. 1 2sin 2t

]

t=0 t=2π ¿27

[

(

−1+2 3

)

−

(

−1+ 2 3

)

]

+9

[

(π+0)−(0+0)

]

¿27(0)+9π ¿9π

27.3 Kebebasan Tapak/Lintasan

Nilai dari suatu integral garis umumnya akan tergantung pada F, titik-titik ujung A dan B dari lintasannya, dan sepanjang lintasan mana integrasi itu dilakukan dari A ke B.

Syarat apa yang harus dipenuhi agar integral garis dari suatu medan vektor F atas kurva C

bernilai sama, walaupun bentuk kurvanya berbeda asal ujung-ujungnya tetap? (nilai integral garisnya sama untuk semua lintasan C dari A ke B)

Gambar 27.1 Kebebasan Lintasan

Untuk medan vektor di R2 , misal D merupakan daerah pada bidang XOY dan

⃗_{F(x , y)=f(x , y) ⃗i+g(x , y) ⃗j}

dengan medan skalar f(x , y) dan g(x , y) kontinu pada D. maka integral garis:

∫

C

(

f(x , y)dx+g(x , y)dy

)

∫

A B f(x , y)dx+g(x , y)dy (27−7)

Bebas lintasan di D, bila terdapat fungsi ∅(x , y) yang disebut fungsi potensial (fungsi skalar) sehingga berlaku:

∂∅(x , y)

∂ x =f(x , y)dan

∂∅(x , y)

∂ y =g(x , y)(27−8)

Syarat di atas dapat juga dituliskan bahwa integral garis bebas lintasan bila berlaku: ∂ f(x , y)

∂ y =

∂ g(x , y)

∂ x (27−9)

Medan vektor F sehingga integral garis dari F atas lintasan C bebas lintasan dinamakan

konservatif.

Untuk medan vektor di R3:

⃗_{F(x , y , z)=f(x , y , z) ⃗i+g(x , y , z) ⃗j+h(x , y , z) ⃗k}

|

_i⃗ ⃗_{j k}⃗ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f(x , y , z) g(x , y , z) h(x , y , z)

|

(27−10) ⃗ i

(

∂h(x , y , z) ∂ y − ∂ g(x , y , z) ∂ z

)

−⃗j

(

∂h(x , y , z) ∂ x − ∂ f(x , y , z) ∂ z

)

+(k⃗)

(

∂ g(x , y , z) ∂ x − ∂ f (x , y , z) ∂ y

)

=0 ∂h(x , y , z) ∂ y = ∂ g(x , y , z) ∂ z , ∂ h(x , y , z) ∂ x = ∂ f(x , y , z) ∂ z , ∂ g(x , y , z) ∂ x = ∂ f(x , y , z) ∂ y

Bila C merupakan kurva tertutup dan medan vektor ⃗F di R2 dan R3 konservatif maka:

∫

C

(

f(x , y)dx+g(x , y)dy

)

=0 _(27−11) Atau

∫

C (f(x , y , z)dx+g(x , y , z)dy+h(x , y , z)dz)=0 _(27−12) TEOREMA

Jika ⃗F=∇∅ berlaku di daerah R di dalam ruang, ditentukan oleh a1≤ x ≤ a2, b1≤ y ≤ b2, c1≤ z ≤ c2 _dengan ∅(x , y , z) _{bernilai tunggal dan mempunyai turunan}

kontinu di R, maka:

1.

∫

P1

P2

⃗_{F ∙ d⃗r}

2.

∫

C

⃗

F ∙ d⃗r=0

Sekeliling sembarang lintasan tertutup C di R

Dalam kasus ini, ⃗F disebut medan vektor konservatif dan ∅ adalah skalar potensial. Sebuah medan vektor disebut konservatif jika dan hanya jika ∇×⃗F=0 atau ekuivalen

⃗_F=∇∅

.

Contoh 27.2:

Selidiki apakah medan vektor ⃗F(x , y)=yi⃗+x⃗j konservatif. Bila ya, tentukan P (fungsi potensial).

Jawab:

⃗_{F(x , y)=yi}⃗_+x⃗_{j⇒f(x , y)=y dan g(x , y)=x}

Karena _{∂ y}∂ f =∂ g_{∂ x}=1 maka ⃗F konservatif

Misal P(x , y) fungsi potensial. Maka P(x , y)=

∫

f(x , y)dx=

∫

y dx=yx+C(y)

∂

∂=g(x , y) x+C(y)=g(x , y)

C '(y)=0

C(y)=C