Sifat- sifat integral garis

(1)

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Integral

(2)

Integral

Garis

Definisi I nt egral garis

I nt egral garis di bidang

Misalkan persam aan param et er kurva m ulus C ( di bidang)

x= x( t ) , y= y( t ) ; a ≤ t ≤ b m aka

I nt egral garis di ruang

Misalkan persam aan param et er kurva m ulus C ( di ruang)

x= x( t ) , y= y( t ) , z= z( t ) ; a ≤ t ≤ b

(

) (

)

∫

=

∫

+

C

b

a

2 2

dt ) t ( ' y )

t ( ' x )

t ( y ), t ( x f dS

(3)

Sifat

-

sifat

integral

garis

1. Jika C = C₁UC₂U … UC_n, m aka

2. Jika – C adalah kurva C dengan arah berlawanan denga

(4)

Contoh

1. Hit ung

∫

(

+

)

, C adalah kurva x= 3t; y= t3 _{; 0}≤_t≤₁

C

dS y

x3

Jawab. x’( t ) = 3; y’( t ) = 3t2

(

)

∫

+

C

dS y

x3 =

∫

(

( )

+

)

+

( )

1

0

2 2

3 3

3t t t dt

∫

+

= 1 0

4 3

9 9

28t t dt

∫

+

= 1 0

4 3

1

84 t t dt

(

₄

)

3/2 1

1 6 1

84 ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝

⎛ ₊

(5)

Contoh

2. Hit ung

∫

( )

, C adalah t erdiri dari busur parabola

C

dS x

2

y= x2 _{dari ( 0,0) ke ( 1,1) diikut i oleh ruas garis vert ikal}

dari ( 1,1) ke ( 1,2) .

C₁ C₂

( 1 ,1 )

( 1 ,2 ) Jawab.

Unt uk C₁: ( 0,0) Æ ( 1,1) , berupa busur y = x2_.

Persam aan param et er C₁: m isalkan x = t Æ y = t2

0≤ t ≤1

y’(t) = 2t x’(t) = 1

Sehingga

∫

+

= 1 0

2

4 1

2 t t dt

( )

∫

1

2

C

dS

x =

∫

+

( )

1

0

2

2 1

(6)

Contoh

(

Lanjutan

)

Sehingga ( berupa ruas garis)

(7)

Latihan

1. Hit ung , C adalah set engah bagian at as lingkaran lingkaran sat uan x2₊ _y2_{= 1}

(

)

∫

+

C

2

dS y x 2

2. Hit ung , C adalah ruas garis dari ( 0,0) ke (π,2π)

(

)

∫

+

C

dS y cos x

sin

3. Hit ung , C adalah kurva x= t ; y= t2_;_{z= t}3_;

0≤t≤1

(

)

∫

+

C

(8)

Kerja

Misalkan Fr(x,y) = M(x,y)iˆ+ N(x,y)jˆ adalah gaya yang bekerj a pada pada suat u t it ik ( x,y) di bidang

Akan dicari: Berapa kerj a ( W) yang dilakukan oleh gaya F unt uk m em indahkan sebuah part ikel m enyelusuri kurva C dari A ke B?

A r ( t ) _B

F T

Misal rr = xiˆ+ yjˆ adalah vekt or posisi Q( x,y)

Q

vekt or singgung sat uan di Q

ds r d T

r r

(9)

Kerja

(2)

Maka Fr.Tr = Fr Tr cosθ adalah kom ponen singgung F di Q

Kerj a yang dilakukan oleh F unt uk m em indahkan part ikel sej auh ∆s adalah

Kerj a yang dilakukan oleh gaya F unt uk m em indahkan part ikel dari A ke B adalah

jˆ

diket ahui

(10)

Kerja

(3)

Dengan cara yang sam a unt uk

gaya yang bekerj a pada suat u t it ik di ruang, m aka

k z y x P j

z y x N i

z y x M z

y x

Fr( , , ) = ( , , )ˆ + ( , , )ˆ + ( , , )ˆ

∫

+ +

=

C

dz z y x P dy

z y x N dx

z y x M

(11)

Contoh

1. Tent ukan kerj a yang dilakukan oleh m edan gaya

j

Jawab. Kerj a yang dilakukan m edan gaya F adalah

(12)

Contoh

2. Hit ung int egral garis

∫

+

C

2

dy x

ydx _{dengan kurva C : x = 2t ,}

y= t2_{- 1 , 0}≤_t≤ ₂

Jawab. Kerj a yang dilakukan adalah

∫

+

=

C

dy x

dx y

W 2 ; dx = 2 dt, dy= 2t dt

(

)

( )

∫

− +

= 2

0

2 2

2

1 dt t t dt

t

(

)

∫

− +

= 2

0

3 2

8 2

2t t dt

2

0 4 3

2 2

3 2

t t

t − +

= 4 32

3 16

+ − =

3 100 28

3

16 ₊ ₌

(13)

Latihan

k z y

j z i

y x

z y x

Fr( , , ) = (2 − )ˆ + 2 ˆ + ( − ) ˆ

dalam m em indahkan part ikel sepanj ang C, dim ana C adalah ruas garis dari ( 0,0,0) ke ( 1,1,1)

2. Hit ung int egral garis

∫

+

C

2

dy x

ydx dengan kurva C adalah ruas

garis dari ( 1,1) ke ( 3,- 1) 3. Hit ung

∫

C

r d .

Fr r dengan F = xy2iˆ+xy2jˆ

r

sepanj ang

a. C = C₁ U C₂ b. C = C₃

C1

C₂

C₃

( 0,2) ( 3,2) ( 3,5)

(14)

Integral

Garis

Bebas

Lintasan

Hit ung

∫

C

r d .

Fr r dengan Fr = yiˆ+ xjˆ at as lint asan

a. C garis y = x dari ( 0,0) ke ( 1,1) b. C garis y = x2 _{dari ( 0,0) ke ( 1,1)}

c. C garis y = x3 _{dari ( 0,0) ke ( 1,1)}

PEN D AH ULUAN

TEOREM A A: D ASAR I N TEGRAL GARI S

Misalkan Fr(x,y) = M(x,y)iˆ+ N(x,y)jˆ dengan C adalah kurva m ulus sepot ong- pot ong dengan t it ik pangkal ( x₀,y₀) dan t it ik uj ung ( x₁,y₁) .

(15)

Integral

Garis

Bebas

Lintasan(2)

disebut ga ya k on se r va t if dan f

disebut fu n gsi pot e n sia l dari

Fr

Jika Fr(x,y) = ∇rf(x,y) _{m aka}

Fr

Cont oh:

m aka F.dr f(1,1) f(0,0) 1.1 0.0 1

C

= −

=

∫

r r jˆ x iˆ y

Fr = + dengan C kurva dari ( 0,0) ke ( 1,1) f

jˆ x iˆ y

Fr = + = ∇r

jˆ y f iˆ

x f f

∂ ∂ + ∂

∂ = ∇r

dengan fungsi pot ensial f = xy

Masalah:

Bagaim ana m enget ahui bahwa F konservat if? (F( x,y) = gradien dari suat u fungsi f) .

(16)

Integral

Garis

Bebas

Lintasan(3)

kˆ

TEOREMA B

(17)

Contoh

:

1. Diket ahui

a. Tunj ukkan bahwa F konservat if, dan t ent ukan f b. Hit ung

(18)

Contoh

(

Lanjutan

)

I nt egralkan ( 1) t erhadap x, diperoleh

dx y

x y

x

f ( , ) =

∫

2 3

) ( )

,

( x y x 2 y 3 C y

f = + ……. ( 3)

Turunkan ( 3) t erhadap y, diperoleh

) ( ' 3 x 2 y 2 C y y

f

+ =

∂ ∂

……. ( 4) Dari ( 2) dan ( 4) , diperoleh

2 2 2

2

3 1

) ( '

3 x y C y x y

y

f ₌ ₊ ₌ ₊

∂ ∂

1 )

(

(19)

Contoh

(

Lanjutan

)

=

∫

C

r d

Fr. r

∫

+

(

+

)

) 1 , 3 (

) 4 , 1 (

2 2 3

3 1

2 x y dx x y dy

b.

) 4 , 1 ( )

1 , 3

( f

f −

=

(

3 2.13 + 1

) (

− 12.4 3 + 4

)

=

C y

y x y

x

f ( , ) = 2 3 + + ,

58 68

10 − = −

(20)

Contoh

2. Diket ahui

(21)

Contoh

(

lanjutan

)

( ii) Fr =

(

ex cos y + yz

) (

ˆi + xz − ex sin y

)

ˆj + xy kˆ k f

I nt egralkan ( 1) t erhadap x, diperoleh

(

e y yz

)

dx

Turunkan ( 4) t erhadap y, diperoleh

(22)

Contoh

(

Lanjutan

)

Dari ( 2) dan ( 5) , diperoleh

y e

xz z

y C xz

y e

y

f _x

y x

sin )

, (

sin + + = −

− = ∂ ∂

0 )

,

( y z = C _y

) ( )

,

( y z C z

C = _{……. ( 6)}

) ( cos

) , ,

(x y z e y xyz C z

f = x + + ……. ( 7)

Masukan ( 6) ke ( 4) , diperoleh

Turunkan ( 7) t erhadap z, diperoleh

) ( ' z C xy

z f

+ =

∂ ∂

(23)

Contoh

(

Lanjutan

)

Masukan ( 9) ke ( 7) , diperoleh

Jadi fungsi pot ensialnya adalah

(24)

Penyataan

berikut

ekivalen

1. Fr = ∇r f unt uk suat u f (F konservat if)

2. F.dr

C

r r

∫

bebas lint asan 3. F.dr 0

C

=

∫

r r

(25)

Latihan

Hit ung int egral garis berikut :

(26)

Teorema

Green

di

Bidang

Misalkan C kurva m ulus sepot ong- pot ong, t e r t u t u pt e r t u t u p

Perhat ikan

(27)

Teorema

Green

di

Bidang

Sam a halnya dengan m em perlakukan S sebagai him punan x sederhana, kit a peroleh

Sehingga diperoleh

∫∫

∫

= ∂_∂

S C

dA x N dy

N

∫

∫∫

_⎟⎟ = +

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂ − ∂ ∂

C S

dy N dx M dA

y M x

(28)

Contoh

Hit ung

∫

+

C 2

xydy 4

dx

y _{dengan C adalah kurva t ert ut up yang t erdiri}

dari busur parabola y = x2 _{dari t it ik asal ke t it ik( 2,4) dan}

segm en garis ( 2,4) ke t it ik ( 0,0) Jawab.

Akan kit a coba m engerj akan dengan dua cara, yait u dengan I nt egral garis biasa dan t eorem a Green

1. I nt egral garis

C₂

( 2 ,4 )

Unt uk C₁: ( 0,0) Æ ( 2,4) , berupa busur y = x2_.

Persam aan param et er C₁: m isalkan x = t Æ y = t2

0≤ t ≤2

(29)

Contoh

(

Lanjutan

)

2

0 5

5 9

t

=

∫

= 2 0

4

9 t dt

5 288

=

Unt uk C₂: ( 2,4) Æ _{( 0,0) ( berupa ruas garis)} Persam aan param et er C₂: m isalkan

, y’(t) = - 4

x’(t) = - 2 0≤ t ≤1

( x,y) = ( 2 , 4) + t ( 0,0) - ( 2,4)

x = 2 – 2t , y = 4 – 4t

⇒

Sehingga

∫

+

2

4

2

C

dy xy dx

y

(

4 4t

) ( )

2 dt 4

(

2 2t

)(

4 4t

)( )

4 dt

1

0

2 ₋ ₊ ₋ ₋ ₋

− =

∫

(

)

∫

− +

− = 1

0

2

160 320

(30)

Contoh

(

lanjutan

)

(31)

Contoh

(

Lanjutan

)

(32)

Latihan

jˆ ) x e

( iˆ ) y x (sin )

y , x (

Fr = − + y − 2 dalam m enggerakkan suat u obyek

m engit ari sat u kali x2 _{+ y}2 _{= 4 dalam arah posit if.}

2. Hit ung

∫

+

C

2

dy y dx xy

2 dengan C kurva t ert ut up yang t erbent uk

oleh y = x/ 2 dan x = y2 _{ant ara ( 0,0) dan ( 4,2)}

3. Hit ung

∫

+ +

C

dy ) y x ( dx

xy dengan C segit iga yg t it ik- t it ik sudut nya

( 0,0) , ( 2,0) , dan ( 0,1)

4. Hit ung

∫

+ + +

C

2 x

3

dy ) y sin x

( dx ) y 2 e

( dengan C persegipanj ang yg t it ik

(33)

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom

Integral

(34)

Luas

Permukaan

(35)

Contoh

Hit ung luas perm ukaan G : z = x2 _{+ y}2 _{dibawah bidang z= 4}

Jawab.

Bagian G yang dim aksud diproyeksikan pada daerah S ( daerah yang dibat asi oleh lingkaran x2_{+ y}2_{= 4) .}

Z

x

y

G

z = 4

S

x2_{+ y}2_{= 4}

Misalkan f(x,y) = x2₊ _y2_{. Maka didapat}

f_x= 2x, f_y= 2y

Sehingga luas perm ukaan G adalah

∫∫

= + + = + +

S S

y x

G

dA y

x dA

f f

dS 2 2 1 4 2 4 2 1

dengan S= { (x,y) | - 2≤ x ≤ 2,

≤y≤ 2 }

4 − x

2

4 − x

(36)

Contoh

(

Lanjutan

)

Dengan koordinat polar, bat asan S berubah m enj adi S= { (r,

θ

) | 0 ≤ r ≤ 2, 0≤

θ

≤ 2

π

}

Jadi

∫∫

= + +

S G

dA y

x

dS 4 2 4 2 1

∫ ∫

+

=

π

θ

2

0 2

0

2

1

4r r dr d

(

)

∫

+

= 2π θ

0

2

0 2 / 3 2

1 4

3 2 . 8 1

d r

(

)

π

θ 2 0

. 1 17 17 12

1 ₋

=

(

17 17 1

)

6 −

(37)

Latihan

Luas

Permukaan

1. Hit ung luas perm ukaan G : z = x2 _{+ y}2 _{dibaw ah bidang}

z = 4

2. Hit ung luas perm ukaan G : yang t epat berada

z

=

4 −

y

2

di at as persegi panj ang dengan t it ik sudut ( 1,0) ,( 2,0) , ( 2,1) ,( 1,1)

3. Hit ung luas perm ukaan G : silinder z2 _{+ x}2 _{= 16 di okt an}

I yang dipot ong oleh bidang x = 2, y = 1, y = 3

4. Hit ung luas perm ukaan G : silinder z2 _{+ y}2 _{= 9 di okt an I}

(38)

Integral

Permukaan

Misalkan g( x,y,z) t erdefinisi pada perm ukaan G

x

y z

G

b

a c d

) y , x ( i i

) z , y , x

( i i i Gi

R

R_i

Misalkan perm ukaan G berupa grafik z = f( x,y) at au F( x,y,z) = f( x,y) – z - Misalkan R proyeksi G pada bidang XOY

- Part isi R m enj adi n bagian; R₁, R₂,…,R_n

- Pilih

( part isi G yang bersesuaian dgn R) - Bent uk j um lah riem ann

I nt egral perm ukaan dari g at as G

i i

i i i

i

i,y ) R dan (x ,y ,z ) G

x

( ∈ ∈

i i

n

1 i

i i

i

i,y ,z ) G , dengan G luasG

x (

g ∆ ∆ =

∑

(39)

Integral

Permukaan

(2)

Dengan cara yang sam a diperoleh

(40)

Contoh

(41)

Contoh

(

lanjutan

)

Jadi

∫∫

= + +

R

y x

G

dA f

f z dS

z 2 2 1

∫∫

− − ₋ ₋

=

R

dA y

x y

x2 2 ₂ ₂

4

4 4

∫∫

=

R

dA 2

dim ana daerah R= { (r,

θ

) | 0 ≤ r ≤ 2, 0≤

θ

≤ 2

π

} , sehingga

∫∫

=

R G

dA dS

z 2

∫ ∫

=

π

θ

2

0 2

0

(42)

Latihan

Integral

Permukaan

1. Hit ung , dengan G bagian kerucut z2 _{= x}2 _{+ y}2

di ant ara z = 1 dan z = 2

∫∫

G

2 2

dS z x

2. Hit ung

a. g( x,y,z) = x2 _{+ y}2 _{+ z , dengan G: z = x+ y+ 1, 0}≤_x≤_{1, 0}≤_y≤₁

∫∫

G

dS ) z , y , x ( g

b. g( x,y,z) = x , dengan G: x+ y+ 2z = 4, 0≤x≤1, 0≤y≤1

c. g( x,y,z) = x+ y , dengan G: , 0

z

=

4 −

x

2 ≤x≤√3, 0≤y≤1 d. g( x,y,z) = , dengan G: z = x

₄

_x

2

+

₄

_y

2

+

₁

2_{- y}2_{, 0}≤_x2_{+ y}2≤₁

e. g( x,y,z) = x + y , dengan G adalah perm ukaan kubus,