Teorema Dasar Integral Garis

(1)

Prosiding Seminar Nasional dan Kongres IndoMS Wilayah Sumatera Bagian Tengah FMIPA Universitas Riau, 14-15 Nopember 2014

Teorema Dasar Integral Garis

Erdawati Nurdin

Program Studi Pendidikan Matematika FKIP UIR [email protected]

Abstrak

Salah satu generalisasi integral tentu (definite integral) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏 diperoleh dengan mengganti himpunan [a,b] dengan kurva C pada bidang xy (R2). Integral yang dihasilkan



CFdxdisebut dengan integral garis (line integral), juga sering disebut

integral kurva (curve integral). Seperti halnya pada integral biasa, pada integral garis juga terdapat teorema yang mendasar dalam perhitungan integral garis. Teorema tersebut sering disebut Teorema Dasar untuk Integral Garis. Dalam makalah ini dibuktikan teorema dasar untuk integral garis tersebut.

Kata kunci: Integral tentu, teorema dasar integral, integral garis.

1 Pendahuluan

Salah satu jenis generalisasi integral tentu (definite integral) 𝑓 𝑥 𝑑𝑥_𝑎𝑏 diperoleh dengan mengganti himpunan [a,b] yang diintegralkan menjadi himpunan berdimensi dua dan berdimensi tiga. Hal ini menuntun ke integral lipat-dua atau integral lipat-tiga. Generalisasi yang benar-benar berbeda diperoleh dengan menggantikan [a,b] dengan kurva C pada bidang xy (R2). Integral yang dihasilkan



CF .dxdisebut dengan integral

garis (line integral), juga sering disebut integral kurva (curve integral).

Cara yang paling mendasar dalam menghitung integral tentu biasa adalah teorema dasar kalkulus dua. Dalam bentuk simbol dapat dinyatakan dengan



b

a f(x)dx= f(b) – f(a)

Analog dengan hal tesebut, pada integral garis juga terdapat teorema yang mendasar dalam perhitungan integral garis. Teorema tersebut sering disebut “Teorema Dasar untuk Integral Garis”, yang berbunyi :

Misalkan C adalah sebuah kurva mulus sepotong-sepotong yang dinyatakan dengan (x(t), y(t)) untuk t  [a, b] , yang berawal di a dan berakhir di b.

(2)

misalkan f(x, y) : R2R2 terdiferensial secara kontinu pada himpunan terbuka yang mengandung C, maka





C f .dx = f(b) – f(a)

Dalam makalah ini akan dibuktikan Teorema Dasar untuk Integral Garis. Namun sebelum itu, akan dibahas beberapa hal yang mendukung pembuktian tersebut, diantaranya fungsi vektor, hasil kali titik (dot product), medan vektor, fungsi vektor yang kontinu, operator diferensial vektor dan aturan rantai.

Definisi 2.1. Misalkan f dan g adalah dua fungsi bernilai rill dengan peubah t. Maka untuk setiap bilangan t dalam daerah definisi bersama dari f dan g terdapat suatu vektor F yang didefinisikan oleh

F(t) = f(t) i + g(t) j Dan F dinamakan fungsi vektor.

Definisi 2.2. Jika A = (a1,a2) dan B = (b1,b2) adalah dua vektor di V, maka hasil kali titik dari A dan B dinyatakan dengan

A.B = (a1,a2).(b1,b2)

= a1b1 + a2b2

Definisi 2.3. Jika F suatu fungsi vektor yang didefinisikan di R2 sehingga F(x,y) = P(x,y)i + Q(x,y)j

maka F mengaitkan setiap titik (x,y) dengan suatu vektor. F disebut medan vektor. Definisi 2.4. Operator diferensial vektor dilambangkan dengan  (dibaca: del), didefinisikan dengan  = j y i x     

Operator diferensial vektor juga disebut nabla.

Definisi 2.5. Fungsi F(t) = f(t)i + g(t)j dikatakan kontinu di titik t = c, jika memenuhi ketiga syarat berikut:

1. F(t) terdefinisi di t = c (F(c) ada) 2. limF(t)

c

t ada

(3)

Teorema 2.6. Misalkan x = x(t) dan y = y(t) dapat didiferensialkan di t, dan misalkan z = f(x,y) dapat didiferensialkan di (x(t),y(t)), maka z = f(x(t),y(t)) dapat didiferensialkan di t, dan dt dy y z dt dx x z dt dz      

Bukti: Misalkan p = (x,y)

p = (x, y)

z = f(p + p) – f(p) Karena f dapat terdiferensialkan maka,

z = f(p + p) – f(p)

= f(p). p + (p). p

= fx(p) x + fy(p) y + (p). p

Dengan (p) 0 dan p 0

Jika kedua ruas dibagi dengan t, maka diperoleh

t z   =                  t y t x p t y p f t x p f_x( ) _y( ) ( ). , Selanjutnya,           t y t x , mendekati       dt dy dt dx

, ketika t0. dan ketika t0,x dan

y mendekati 0 (karena x(t) dan y(t) kontinu, dapat didiferensialkan). Jadi p0, sehingga (p)0 ketika t0. Dengan demikian, ketika t0 diperoleh :

dt dz = dt dy p f dt dx p fx( )  y( ) dt dy y z dt dx x z dt dz       ▄

2 Pembahasan

Definisi 3.1. Misalkan F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) : R2  R2 sebuah medan vektor yang kontinu dan misalkan kurva C dinyatakan dengan (x(t), y(t)) untuk t  [a,b]. Maka integral garis F sepanjang C dinotasikan dengan :



CF .dx atau



CPdxQdy

(4)



CF .dx =



b a(P(x(t),y(t)),Q(x(t),y(t)).(x (t),y ))dt ' ' =



b  a P(x(t),y(t))x (t) Q(x(t),y(t))y (t)dt ' ' (12)

Contoh 3.1. Hitunglah integral garis (P(x, y), Q(x, y)) = (x + y, xy) sepanjang parabola seperti pada Gambar 3. 1, dimana x(t) = t dan y(t) = t2, t  [0 , 2].

Gambar 3.1. Parabola y(t) = t2 Penyelesaian : Karena x(t) = t maka x’(t) = 1 y(t) = t2 maka y’(t) = 2t t  [0 , 2]. sehingga



 CPdx Qdy =



 2 0 3 2 ) 2 , 1 ( . ) , (t t t t dt =



2   0 4 2 2 dtt t t = 2 0 5 3 2 5 3 3 1 2 1 t t t   = (2) (0) 5 3 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 2 1 2 3 5_      _ _ = 15 7 15

Definisi 3.2. Misalkan C adalah kurva mulus sepotong-sepotong, yaitu terdiri dari beberapa kurva mulus C1, C2, … , Cn. Maka integral garis F(x, y) sepanjang C

didefinisikan sebagai jumlah dari integral-integral pada masing-masing kurva. Dapat dinotasikan dengan



CF .dx =



1 . C F dx +



2 . C F dx + … +



Cn dx F . =

 

       n i Ci dx F 1 . 3 2 4 t = 2 t = 0 1 1 2 C

(5)

Teorema 3.1. Misalkan C adalah sebuah kurva mulus sepotong-sepotong yang dinyatakan dengan (x(t), y(t)) untuk t  [a, b] , yang berawal di a dan berakhir di b. misalkan f(x, y) : R2R2 terdiferensial secara kontinu pada himpunan terbuka yang mengandung C, maka





C f .dx = f(b) – f(a)

Teorema ini biasa disebut sebagai teorema dasar untuk integral garis.

Bukti: Karena C adalah kurva yang dinyatakan dengan (x(t), y(t)) untuk t  [a, b] maka



 C f .dx =



 b a f(x(t),y(t).(x (t),y ))dt ' ' (1) Berdasarkan Teorema 2.6, karena f dan C fungsi yang terdiferensial, maka f(x(t), y(t)) juga terdiferensial, maka

)) ( ), ( (x t y t f dt d = f(x(t),y(t)).(x'(t),y'(t) (2) Berdasarkan persamaan (1) dan (2) diperoleh



 C f .dx =



b a _dt f x t y t dt d ) ( ), ( (

= f(x(b), y(b)) – f(x(a), y(a)) = f(b) – f(a),

karena C berawal di a = (x(a), y(a)) dan berakhir di b = (x(b), y(b)). Ini merupakan pembuktian untuk kurva tunggal.

Selanjutnya misalkan C merupakan kurva mulus sepotong-sepotong yang terdiri atas kurva-kurva C1, C2, … , Cn , dimana C1 bergerak dari a = a0 ke a1, C2 bergerak dari a1

ke a2, … , dan Cn bergerak dari an-1 ke an = b. Berdasarkan Definisi 3.2 untuk kurva

mulus sepotong-sepotong dan hasil yang diperoleh untuk masing-masing kurva Ci,

maka



 C f .dx =



_  n i Ci dx f 1 . =



   n i i i f a a f 1 1) ( ) (

= ( f(a1) + f(a2) + … + f(an-1) + f(an)) – (f(a0) + f(a1) +

f(a2) + … + f(an-1) )

= f(an) – f(a0) = f(b) – f(a) ▄

(6)

Contoh 3.2. Misalkan f(x,y) = xy2 – 2x. hitunglah





C f .dx untuk kurva C yang

dinyatakan dengan       _ 4, 9 5 2 2 t t t , untuk t  [0, 4].

Penyelesaian: Karena t  [0, 4] maka a = _       4, (0) 9 ) 0 ( ) 0 ( 5 2 2 = (0,3) b = _       4, (4) 9 ) 4 ( ) 4 ( 5 2 2 = (1,5)



 C f .dx = f(b) – f(a) = f(1,5) – f(0,3) = (1(5)2 – 2(5)) – (0(3)2 – 2(3)) = 23

Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa untuk sebuah kurva C yang mulus sepotong-sepotong yang dinyatakan dengan (x(t), y(t)) dimana t  [a, b] , yang berawal di a dan berakhir di b. misalkan f(x, y) : R2R2 terdiferensial secara kontinu pada himpunan terbuka yang mengandung C, berlaku





C f .dx = f(b) – f(a)

Daftar Pustaka

[1] Belding, D. F & Kevin, J. 1991. Foundation of Analysis. Prentice Hall, New Jersey. [2] Leithold, L. 1991. Kalkulus dan Ilmu Analitik, terj. S. M. Nababan. Erlangga,

Jakarta.

[3] Marsden, J. E & Anthony, J. T. 1996. Vector Calculus. W.H. Freeman and Company, New York.

[4] Mursita, D. 2006. Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi. Rekayasa Sains, Bandung.