BAB V INTEGRAL PERMUKAAN

BAB V

INTEGRAL PERMUKAAN

5.1 Definisi

Misalkan S bagian dari permukaan z= f(x,y)dimana (x,y) berada dalam D pada bidang XY . Jika f mmpunyai turunan parsial orde pertama yang kontinu dan g(x,y,z)=g(x,y, f(x,y))kontinu pada D , maka Integral Permukaan dari g(x,y,z) pada S adalah:

∫∫

=

S

dS z y x

g( , , ) g x y f x y f f dA

D

y x

∫∫

( , , ( , )) 2+ 2+1

Dimana dS adalah elemen diferensial luas permukaan

dan D adalah proyeksi S terhadap bidang XY.

S z= f(x,y)

5.2 Aplikasi

a. Luas Permukaan

Jika g(x,y,z)=1 , maka

∫∫

S

dS adalah luas permukaan.

b. Massa = m

Jika rapat massa diketahui ρ(x,y,z) maka m=

_∫∫

S

dS z y x, , ) (

ρ

Contoh:

Hitunglah

∫∫

+ S

dS z xy 2 )

( dimana S bagian dari permukaan

6 3

2x + y + z= .

Jawab:

Proyeksi S terhadap bidang XY adalah D yang melalui titik (3,0) dan (0,6).

(0,6)

Sehingga permukaan

diselesaikan dengan menggunakan integral lipat 2.

Latihan:

5.3. Fluks Medan Vektor yang Melalui Permukaan

Pada permukaan yang bersisi dua seperti layar, dan andaikan terdapat fluida yang dapat mengalir melalui permukaan tersebut dari satu sisi ke sisi yang lain. Andaikan juga permukaan tersebut licin yang berarti mempunyai normal satuan n arah ke atas yang berubah-ubah secara kontinu..Jika S adalah permukaan yang bersisi dua seperti definisi di atas dan diasumsikan S dicelupkan ke dalam fluida dengan medan kecepatan kontinu F(x,y,z). . Maka :

Fluks yang menyeberangi S adalah = ∫∫ • S

dS n F

Contoh: Tentukan fluks arah ke atas dari F =−yi+xj+9k yang menyeberangi bagian dari permukaan bola S yang dibentuk oleh

) , (x y f

z= = 9−x2 − y2 , 0≤x2 + y2 ≤4 n

Jawab:

Medan F adalah arus rotasi yang mengalir pada arah sumbu z positif. Persamaan dari permukaan dapat ditulis sbb:

)

Maka fluks F yang menyeberangi S dinyatakan dengan

Teorema dapat dinyatakan dengan:

Fluks F = ∫∫ • xy, dengan n vektor normal ke arah atas.

Soal:

1. Hitunglah fluks F medan vektor F = yi− xj + 2k yang

menyeberangi S bagian dari pemukaan z= 1− y2 , 0≤x≤5 dengan menggunakan teorema.

2. Hitunglah fluks F medan vektor F =2i +5j +3k yang

menyeberangi S bagian dari permukaan z = x2 + y2 , yang berada di dalam silinder x2 + y2 =1.

5.4. Teorema Divergensi Gauss

Misalkan F =Mi +Nj+Pk adalah medan vektor sedemikian rupa sehingga M, N dan P mempunyai turunan-turunan parsial orde pertama yang kontinu pada benda padat S yang mempunyai batas S∂ .. Jika n melambangkan n normal satuan luar yang tegak lurus terhadap

S

∂ , maka Fluks F = ∫∫

∂S • dS n

F = ∫∫∫ S

dV F div

= ∫∫∫

∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂

S

dV z P y

N x

M

Contoh:

1. Hitunglah fluks dari medan vektor F =xi+ yj+ zk yang

menyeberangi

S =

{

(x,y,z): x2 + y2 +z2 ≤a2

}

dengan menggunakan Teorema Gauss.

Jawab:

Karena div F = 3, maka fluks F = ∫∫∫ S

dV F

div = 3∫∫∫ S

dV = =

3 3 4

3

π

a

3 4 a

π

.

2. Misalkan S adalah silinder padat yang dibatasi oleh 4

2 2 _{+ y =}

x , z = 0 dan z = 3. Jika n adalah normal satuan luar tehadap batas S∂ . Mis F =(x3 +tanyz)i+(y3 −exz)j+(3z+ x3)k. Tentukan fluks yang menyeberangi S∂ .

Jawab:

Div F = 3x2 +3y2 +3=3(x2 + y2 +1) Fluks F =

∫∫

∂

• S

dS n

F = 3

∫∫∫

+ + S

dV y

x 1)

( 2 2

=

∫ ∫ ∫

+

π

θ

2

0 2

0 3

0

2 ₁₎ (