BAB III
INTEGRAL TAK WAJAR
4.1 Pengertian
Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.
Teorema:
Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b], dan F(x)
sebarang antiturunan pada I, maka
ba
dx x
f( ) =
F(x)
b F(b) F(a)a
Contoh
1.
4
2 4
2
2 2 1 )
1 (
x dxx x = (4- ½ .16) – (2- ½ 4)
= -4 – 0 = -4
2.
2
1 2
1
1 ln 1
x x
dx
= ln (1+2) – ln (1+1) = ln 3 – ln 2
3.
2
1 1 x
dx
, tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas karena integran
f(x) =
x
1 1
4.
1
1 x
dx
, tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran
f(x) = x
1
tidak terdefinisi di x = 0
Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema
dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.
Bentuk
ba
dx x
f( ) disebut INTEGRAL TIDAK WAJAR jika:
a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut.
Pada kasus ini teorema dasar kalkulus
ba
dx x
f( ) = F(b) – F(a) tidak berlaku lagi.
Contoh
1)
4
0 4 x
dx
, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)
2)
2
1 x 1
dx
, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]
3)
4
0 3 2
) 2
( x
dx
, f(x) tidak kontinu di x = 2
[0,4] atau f(x) kontinu di [0,2)
(2,4]1)
0
2 4
x dx
, integran f(x) memuat batas atas di x =
2)
0
2 dx
e x
, integran f(x) memuat batas bawah di x = -
3)
2
4
1 x
dx
, integran f(x) memuat batas atas di x =
dan batasa bawah dix = -
Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga (
).Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.
4.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinu a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b
Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral
tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x = b -
(
0), sehingga
b
a
dx x f
0 lim )
(
ba
dx x f( )
Karena batas atas x = b -
( x
b ), makamaka
b
a t b
dx x
f( ) lim
t
a
dx x f( )
1.
4
0 0 4
0 4
lim
4 x
dx x
dx
, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga
=
4
0
0 2 4
lim x
= -2 lim0
4 (4 ) (4 0)
= -2 (lim0 4
)
= -2(0-2) = 4
Cara lain
t
t x
dx x
dx
0 4 4
0 4
lim 4
=
ttlim4 2 4 x 0
= lim
2 4 2 4 0
4
t
t
= -2(0)+2(2)
= 4
2.
2
2 4 x2
dx
, f(x) = 2
4 1
x
fungsi genap tidak kontinu di x = 2 dan x = -2, maka
2
2 4 x2
dx
2
2
0 4 x2
dx
= 2
2
0 4 x2
dx
= 2
2
0 0 arcsin2
= 2 ( 0)
Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral
tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a +
(
0), sehinggaPerhatikan beberapa contoh dibawah ini.
= lim
6 4 3 6 3
3
t
t
= 6(1) – 6(0) = 6
1.
1
0
1
0 0
lim
x
dx x
dx
,f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0 sehingga diperoleh:
1
0 1
0 0
2 lim
xx dx
= lim0
2 1 2 0
= 2 – 0 = 2
2.
10 0
1
0
ln lim ln
xdx x x x , f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0= lim0
(1ln1 1) (0)ln(0) (0)
= (1.0-1) –(0-0) = -1
c. f(x) kontinu di [a,c)
(c,b] dan tidak kontinu di x = cKarena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral
tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c +
dan x = c -
(
0),sehingga
b
a
c
a
b
c
dx x f dx x f dx x
= lim0
Dapat juga dinyatakan dengan
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.
1.
, f(x) tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh
, berdasarkan contoh sebelumnya didapat:
x f(x) tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh
=
, f(x) diskontinu di x = 0, sehingga diperoleh:
A. Integral tak wajar dengan batas tak hingga
Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas
integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.
a. Intergral tak wajar dengan batas atas x =
.Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas
t
a t a
dx x f dx
x
f( ) lim ( )
Perhatikan contoh berikut ini
1.
0
2 1
x dx
=
t
t x
dx
0
2 4
lim
=
t
t
x
0
2 arctan 2 1 lim
=
2arctan0
1 2 arctan 2 1
lim t
t
= ( ½ .
2
- ½ .0)
=
4
2.
1 2
x dx
= limt
t
x dx
1 2
=
t
t x
1
1 lim
=
t
t t
1
1 1 lim
= 1
b. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = -
Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana
Perhatikan contoh berikut ini:
1.
Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral
tak wajar dengan
wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini:
1.
=
9 31
3 2ln3 lim 2ln3
lim z
z a
a x x
= -2
