1/5
Darpublic
Nopember 2013 www.darpublic.com
2. Integral (2)
(Integral Tak Tentu)
Sudaryatno SudirhamDalam bab sebelumnya kita telah mengenal macam-macam perhitungan integral. Salah satu cara mudah untuk menghitung integral adalah dengan pendekatan numerik, walaupun cara ini memberikan hasil yang mengandung error. Namun error dalam pendekatan numerik bisa ditekan sampai pada batas-batas toleransi. Dalam bab ini kita akan melihat perhitungan integral tak tentu secara analitis dari macam-macam fungsi.
2.1. Integral Fungsi Tetapan:
∫
adxK ax adx= +
∫
karena dax=adxContoh: y=
∫
2dx=2x+K2.2. Integral Fungsi Mononom:
∫
xndxKarena dxn=xn−1dx dengan syarat n ≠−1, maka K n x dx x
n
n +
+
= +
∫
11Contoh: y=
∫
x2dx=∫
x2dx= x3+K3 2 2
2
2.3. Integral Fungsi Polinom
∫
(xn +xm)dxPolinom merupakan jumlah terbatas dari mononom. Integral suatu polinom sama dengan jumlah integral mononom yang menyusunnya.
Karena d(xn+xm)=xndx+xmdx maka
1 , 1 syarat dengan , 1 1 )
(
1 1
− ≠ − ≠ +
+ + + =
+ + +
∫
K n mm x n x dx x x
m n m
n
2.4. Integral Fungsi Pangkat Dari Fungsi:
∫
vndxJika v adalah polinom, maka
∫
+ += + dv K n
v dv v
n n
1
1
karena v dv n
v
d n
n = +
+
1
1
dengan syarat n ≠ −1.
Formulasi ini digunakan untuk mencari
∫
vndx.Contoh: Hitunglah y=
∫
(2x+1)2dxMisalkan v=2x+1 →dv=2dx→
2
dv dx=
K x
x x
K x x x K v dv v dx x y
+ + + + =
+ + + + = + = =
+
=
∫
∫
6 1 2
3 4
6
1 6 12 8 6
2 )
1 2 (
2 3
2 3 3
2 2
Kita coba untuk meyakinkan hasil
ini dengan hasil yang akan diperoleh jika polinom kita kuadratkan lebih dulu.
K x x x dx x x dx x
y=
∫
+ =∫
+ + = + + + ′2 4 3 4 ) 1 4 4 ( )
1 2 (
2 3 2
Contoh: Hitunglah
∫
−
= dx
x x y
2
1 3
Misalkan
x dv dx x dx dv v x
2 2
1 2
− = → − = → = −
2 2
/ 1 2
/ 1 2
/ 1
2 21/2 3 1
3 2
3 2 3 1
3
y v dv v x
x dv
v x dx x x
− − = −
= −
= − = −
=
∫
∫
−2.5. Integral Fungsi Berpangkat -1:
∫
v dv
Karena
v dv v
d(ln )= , maka v K v
dv
+ =
∫
ln . Integrasi ini memecahkan masalah persyaratan n ≠ −1 pada integrasi∫
vndx.Contoh: Carilah integral
∫
+
= dx
x x y
1 2
2
Misalkan
x dv dx x dx dv x
v
2 2
1
2+ → = → =
=
∫
∫
= = + = + ++
= v K x K
x dv v
x dx x
x
y ln ln( 1)
2 2
1
2 2
2
2.6. Integral Fungsi Eksponensial:
∫
evdvKarena dev=evdv maka
∫
evdv=ev +K2.7. Integral Tetapan Berpangkat Fungsi :
∫
avdvKarena dav=avlnadv maka K a a dv a
v
v = +
∫
lnContoh: Carilah y=
∫
32xdxMisalkan v = 2x →
2
2 dx dv
dx dv
= → =
∫
∫
= = += dx dv K
y
x v
x
3 ln 3 2 1 2 3 3
2 2
2.8. Integral Fungsi Trigonometri
Karena dsinv=cosvdv maka
∫
cosvdx=sinv+KKarena dcosv=−sinvdx maka
∫
sinvdx=−cosv+KRelasi diferensial dan integral fungsi trigonometri yang lain termuat dalam Tabel-2.1.
Contoh: Carilah integral tak tentu y=
∫
sin2xdxMisalkan
2 2
2 dx dv
dx dv x
v= → = → =
2 cos cos
sin 2
sin xdx vdv v x
3/5
Darpublic
Nopember 2013 www.darpublic.com
2.9. Integral Fungsi Hiperbolik
Karena d(sinhv)=coshv maka
∫
coshvdv=sinhv+KKarena d(coshv)=sinhvdv maka
∫
sinhvdv=coshv+KRelasi diferensial dan integral fungsi hiperbolik yang lain termuat dalam Tabel-2.1.
Contoh: Carilah y=
∫
cosh(2x+1)dxMisalkan
2 2
1
2 dx dv
dx dv x
v= + → = → =
K x
K v dv
v dx
x y
+ + =
+ =
= +
=
∫
∫
) 1 2 sinh( 2 1
sinh 2 1 ) cosh( 2 1 ) 1 2 cosh(
2.10. Integral Menghasilkan Fungsi Trigonometri Inversi
Integral fungsi-fungsi yang berbentuk
∫
− 2
1 v dv ,
∫
+ 2
1 v
dv ,
∫
−1
2
v v
dv
dan setrusnya mulai nomer
20 sampai 31, menghasilkan fungsi-fungsi trigonometri inversi.
Contoh: Carilah
∫
− =
2
4
1 x
dx y
Jika kita membuat pemisalan v=1−4x2 maka x dx dv
8
−
= atau
x dv dx
8
−
= . Kalau pemisalan ini kita
masukkan dalam persoalan integral yang diberikan, kita akan mendapatkan bentuk
x dv v
8
2 / 1
−
∫
−yang tidak dapat diproses lebih lanjut; persoalan integral tidak dapat ter-transformasi menjadi integral dalam peubah v.
Namun bentuk
∫
−4 2
1 x
dx ini dapat kita transformasi menjadi bentuk yang termuat dalam
Tabel-2.1, yaitu nomer 20. Kita misalkan v = 2x yang akan memberikan =2
dx dv
atau
2
dv
dx= . Persoalan
integral kita menjadi
∫
∫
∫
− =
− = − =
2 2
2 2 1
1
1 2 4
1 v
dv
v dv
x dx y
yang menghasilkan y= − v+K= sin− (2x)+K 2
1 sin
2
1 1 1
2.9. Relasi Diferensial dan Integral
Berikut ini daftar formula untuk deferensial beserta pasangan integralnya. Beberapa di antaranya perlu untuk diingat, misalnya formula 1 sampai 9 dan 16, 17 yang sering kita temui.
Tabel-2.1.
1. dx
dx dv
dv= 1.
∫
dv=v+K2. d(kv)=kdv 2.
∫
kdv=k∫
dv5/5
Darpublic
Nopember 2013 www.darpublic.com
29. 1 2
1 ) (coth
v dv v d
− =
− 29.
∫
= +−
− ;
coth 1
1
2 v K
v dv
jika |v|>1
30.
2 1
1 ) h (sec
v v
dv v
d
− − =
− 30.
∫
=− +−
− ;
h sec 1
1
2 v K
v v
dv
31.
2 1
1 ) h (csc
v v
dv v
d
+ − =
− 31.
∫
=− ++
− ;
h csc 1
1
2 v K
v v
dv
Catatan Tentang Isi Tabel-2.1.
Dengan menggunakan relasi-relasi dalam Tabel-2.1 kita dapat melakukan proses integrasi fungsi-fungsi mencakup:
Fungsi mononom dan polinom:
∫
vdvFungsi polinom berpangkat:
∫
∫
v dv dv vn ;
Fungsi exponensial:
∫
evdv;∫
avdvFungsi trigonometri:
∫
cosvdv;∫
sinvdv;∫
sec2vdv;∫
csc2vdv;∫
sectanvdv;∫
csccotvdv.tetapi tidak:
∫
tanvdv;∫
cotvdv;∫
secvdv;∫
cscvdv.Fungsi hiperbolik:
∫
coshvdv;∫
sinhvdv;∫
sech2vdv;∫
csch2vdv;∫
sechv tanhvdv;∫
cschv cothvdv; tetapi tidak:∫
tanhvdv;∫
cothvdv;∫
sechvdv;∫
cschvdv.Integrasi fungsi aljabar yang menghasilkan fungsi trigonometri inversi dan fungsi hiperbolik inversi, seperti
∫
− 2
1 v dv ;
∫
+ 2
1 v
dv ;
∫
−1
2
v v
dv ;
∫
+ 2
1 v dv ;
∫
−1
2 v
dv ;
∫
− 21 v dv ;
∫
− 2
1 v
v dv
;
∫
+ 2
1 v
v dv
.
tetapi tidak mengintegrasi fungsi inversi seperti
∫
sin−1vdv;∫
tan−1xdx;∫
sinh−1vdv;∫
tanh−1vdvTabel-2.1 tidak memuat relasi integrasi fungsi-fungsi aljabar yang berbentuk
∫
∫
∫
± −+ ; ; ; dsb
2 2 2
2 2
2 v a v dv v a dv
