BAB 6 INTEGRAL DAN PENGGUNAANNYA

BAB 6

INTEGRAL DAN PENGGUNAANNYA

6.1

Integral Taktentu (Antiturunan)

Fungsi F disebut antiturunan (integral) dari f pada interval I jika f(x)

dx dF

. Jika yang diketahui adalah f(x), untuk mendapatkan F(x) dilakukan pengintegralan. Secara umum ditulis, C x F dx x f( ) ( ) .

dengan C adalah konstanta. Simbol f(x)dx [dibaca: integral dari f(x) terhadap x]. Dalam hal ini, fungsi yang diintegralkan, yakni f(x), disebut integran.

Berikut beberapa rumus dasar integral.

(1) C r x dx x r r 1 1 , r 1 (2) dx x C x ln| | 1 , x 0 (3) exdx ex C (4) sinxdx cosx C (5) cosxdx sinx C CONTOH 1 Hitung x2dx . Penyelesaian C x C x dx x2 21 3 3 1 1 2 1

Perhatikan bahwa untuk mengintegralkan pangkat dari x, tambahkan pangkat dari x oleh

1 dan bagi oleh pangkat baru.

CONTOH 2 Hitung (2x3 x)dx . Penyelesaian C x x dx x dx x dx x x 2 / 3 4 2 / 1 3 3 3 2 2 1 2 ) 2 (

6.2

Mengubah Bentuk

f(x)dx

Menjadi

f(u)du

: Metode

Substitusi

Jika u = g(x) disubstitusikan pada f(x)sehingga mengubah f(x)dx menjadi f(u)du

dan jika F adalah antiturunan dari f,

C x g F C u F du u f dx x f( ) ( ) ( ) ( ( )) . CONTOH 1 Hitung (x 1)(x2 2x)2dx. Penyelesaian Misal u x2 2x ) 1 ( 2 2 2x x dx du du (x 1)dx 2 1 maka dx x x x dx x x x 1)( 2 ) ( 2 ) ( 1) ( 2 2 2 2 C x x C u du u 3 2 3 2 2 6 1 3 1 2 1 2 1 CONTOH 2 Hitung (2x3 1) x4 2x 5dx . Penyelesaian Misal u x4 2x 5 ) 1 2 ( 2 2 4 3 3 x x dx du du (2x 1)dx 2 1 3 maka C x x C u du u du u dx x x x3 4 1/2 3/2 4 3/2 5 2 3 1 3 1 2 1 2 1 5 2 ) 1 2 ( CONTOH 3 Hitung dx x x x 5 2 1 2 . Penyelesain Misal u = x2 + 2x – 5 ) 1 ( 2 2 2x x dx du x dx du 2 1 ) 1 ( Maka

C x x C u u du dx x x x | 5 2 | ln 2 1 | | ln 2 1 2 1 5 2 1 2 2 . CONTOH 4 Hitung dx e e x x 2 . Penyelesaian Misal x 2 e u dx e du x Maka C e C u u du dx e e x x x | 2 | ln | | ln 2 .

CONTOH 5 Hitung sin2xdx.

Penyelesaian Misal u 2 x 2 dx du du dx 2 1 maka C x C u du u xdx cos2 2 1 cos 2 1 2 1 sin 2 sin

CONTOH 6 Hitung sin3xcosxdx

. Penyelesaian Misal u sin x x dx du cos du cosxdx maka C x C u du u dx x x 3 4 4 3 sin 4 1 4 1 cos sin

6.3

Teorema Dasar Kalkulus: Integral Tentu

Jika f kontinu (terintegralkan) pada [a, b] dan F adalah antiturunan dari f, ) ( ) ( ) (x dx F b F a f b a .

a disebut batas bawah dan b batas atas.

CONTOH 1 Hitung

3

1 xdx.

Penyelesaian 4 1 3 2 1 2 1 2 2 3 1 2 3 1 x xdx . CONTOH 2 Hitung 2 0 2 / 1 2 ) (x x dx. Penyelesaian 46 , 12 ) 0 ( 3 2 ) 0 ( 3 1 ) 3 ( 3 2 ) 3 ( 3 1 3 2 3 1 ) ( 3 3/2 2 3/2 3 0 2 / 3 3 3 0 2 / 1 2 x x dx x x CONTOH 3 Hitung 2 / 0 2 sin xdx. Penyelesaian Misal u = 2x maka du 2dx dx du 2 1

Batas bawah: x = 0 u = 0 dan batas atas: x = /2 u = 2x = sehingga 1 1 1 2 1 0 cos cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1 2 sin 0 0 2 / 0 u du u xdx CONTOH 4 Hitung x x x dx 2 0 2 2 ) 1 2 ( . Penyelesaian Misal 2 2 x x u maka 2x 1 dx du du (2x 1)dx

Batas bawah : x = 0 u = 02 + 0 + 2 dan Batas atas : x = 1 u 12 1 2 4 sehingga 45 , 3 2 2 8 3 2 ) 2 ( ) 4 ( 3 2 3 2 2 ) 1 2 ( 3/2 3/2 3/2 4 2 2 / 1 1 0 2 u du u dx x x x

6.4

Beberapa Sifat Integral Tentu

Berikut adalah sifat-sifat integral tentu. (1) Linier (i) b a b a dx x f k dx x kf( ) ( )

(ii) f x g x dx f x dx g x dx b a b a b a ) ( ) ( ) ( ) ( (2) Penambahan Interval

Jika f terintegralkan pada interval [a, c] yang di dalamnya ada b,

c b b a c a dx x f dx x f dx x f( ) ( ) ( ) (3) Sifat Pembandingan

Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan f(x) g(x) untuk semua x

dalam [a, b], b a b a dx x g dx x f( ) ( ) . (4) Sifat simetri Jika f fungsi genap,

a a a dx x f dx x f 0 ) ( 2 ) ( Jika f fungsi ganjil,

0 ) ( a a dx x f CONTOH 1 Hitung 5 1 ) 1 ( 2 x dx. Penyelesaian 5 1 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 ) 1 ( 2 12 2 1 2 2 1 2 1 5 1 x x dx dx x dx x . CONTOH 2 Hitung 3 2 | |x dx. Penyelesaian 2 1 3 0 2 0 2 2 3 0 0 2 3 2 2 2 9 2 2 1 2 1 | |x dx xdx xdx x x .

6.5

Pendiferensialan Integral Tentu

Jika f terintegralkan pada [a, b] yang memuat variabel x, berlaku (1) f(t)dt f(x) dx d x a (2) f(t)dt f(x) dx d b X y t y = f(t) a x b

(3) dx du u f dx du dt t f du d dt t f dx d u a x U a () () ( ) ) ( (4) dx du u f dx du dt t f du d dt t f dx d b u b x u( ) ( ) ( ) ( ) CONTOH 1 Cari . 1 dt t dx d x Penyelesaian

Cara konvensional, cari dulu

2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 x x t tdt x x . Selanjutnya x x dx d dt t dx d x 2 1 2 1 2 1

Sementara itu, menggunakan rumus pendiferensialan integral tentu, lebih mudah, yakni

x dt t dx d x 1 . CONTOH 2 Hitung dt t t dx d x 2 2 16 5 2 . Penyelesaian 16 5 2 16 5 2 2 2 2 x x dt t t dx d x . CONTOH 3 Hitung 4 2 cos sin x udu u dx d . Penyelesaian

Perhatikan rumus untuk pendiferensialan integral tentu terhadap batas bawah.

x x udu u dx d x cos sin cos sin 2 4 2 . CONTOH 4 Hitung 2 2 2 x dt t dx d . Penyelesaian

Perhatikan bahwa, dalam kasus ini, batas atasnya adalah x2. Untuk itu, gunakan aturan rantai sebagai berikut.

Misal 2 x u maka x dx du 2 . Selanjutnya 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x u dx du dt t du d dt t dx d x u .

6.6

Pengintegralan Parsial

Pengintegralan parsial diterapkan ketika pengintegralan substitusi tidak dapat dilakukan. Rumusnya sebagai berikut:

vdu uv

udv .

CONTOH 1 Hitung x x 1dx.

Penyelesaian

Integral ini sebetulnya dapat diselesaikan menggunakan metode substitusi sebagai berikut. Misal u x 1 du dx maka C x x C u u du u u du u u dx x x 2 / 3 2 / 5 2 / 3 2 / 5 2 / 1 2 / 3 ) 1 ( 3 2 ) 1 ( 5 2 3 2 5 2 ) 1 ( 1

Integral di atas juga dapat diselesaikan dengan pengintegralan parsial sebagai berikut. Misal u x du dx dx x dv 1 3/2 ) 1 ( 3 2 1dx x x v 2 / 5 2 / 3 ) 1 ( 15 4 ) 1 ( 3 2 x dx x vdu sehingga C x x x vdu uv udv dx x x 2 / 5 2 / 3 ) 1 ( 15 4 ) 1 ( 3 2 1

Kedua jawaban di atas tampak berbeda. Akan tetapi, jika masing-masing disederhanakan lagi, akan diperoleh hasil yang sama. Coba buktikan.

CONTOH 2 Hitung xsinxdx.

Penyelesaian

dv = sin x dx v sinxdx cosx

selanjutnya

x dx

x

vdu ( cos ) sin

maka C x x x C x x x vdu uv udv xdx

xsin ( cos ) ( sin ) cos sin

Catatan: u dan dv harus dipilih setepat mungkin agar pengintegralan menjadi lebih sederhana.

CONTOH 3 Hitung t2cos4tdt

. Penyelesaian Misal 2 t u du 2tdt tdt dv cos4 v tdt sin4t 4 1 4 cos dt t t vdu sin4 2 1

Integral ini, kembali harus dicari dengan cara parsial sebagai berikut: Misal w t dw dt tdt dz sin4 z tdt cos4t 4 1 4 sin t tdt zdw sin4 16 1 4 cos 4 1 maka t t t zdw wz wdz tdt t sin4 16 1 4 cos 4 1 4 sin

sehingga

t t t tdt t vdu sin4 32 1 4 cos 8 1 4 sin 2 1

Dengan demikian diperoleh

C t t t t t vdu uv udv tdt t 4 sin 32 1 4 cos 8 1 4 sin 4 1 4 cos 2 2

6.7

Penggunaan Integral

6.7.1 Luas Daerah Bidang Datar

Daerah di atas sumbu-x Luas daerah dibatasi oleh kurva y = f(x) 0, y = 0, x =a, dan

x =b adalah

b

a ydx A

CONTOH 1 Cari luas daerah yang dibatasi oleh 2 1

x y , y= 0, x = 1 dan x = 2. Penyelesaian 6 ) 1 ( ) 1 ( 3 1 2 2 3 1 3 1 1 3 3 2 1 3 2 1 2 x x dx x A

Daerah di bawah sumbu-x Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) 0, y = 0, x = a, dan x =b adalah

b

a ydx A

CONTOH 2 Cari luas daerah yang dibatasi oleh 2 2 3

x x

y dan y = 0. Penyelesaian

Titik potong kurva dengan sumbu-x

0 3 2 2 x x y 0 ) 1 )( 3 (x x x = 3 dan x = 1 y = f(x) y x A a b y = f(x) y x A a b y = x2 + 1 y x A 1 2 y = x2 + 2x – 3 y x A 3 1

Daerah yang dimaksud ditunjukkan pada gambar di atas. Luasnya adalah 3 2 2 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 10 ) 3 ( 3 ) 3 ( ) 3 ( 3 1 1 3 1 1 3 1 3 3 1 3 2 x x x dx x x A

Daerah yang dibatasi oleh dua kurva Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y1= f(x),

y2= g(x), x =a, dan x =b, dengan y1 y2 adalah

dx y y A b a 2 1

CONTOH 3 Cari luas daerah yang dibatasi oleh y 2 x2 dan y = x.

Penyelesaian

Daerah yang dimaksud ditunjukkan pada gambar. Batas bawah dan batas atas integral diperoleh dengan mencari titik potong kedua kurva sebagai berikut.

2 1 y y maka x x2 2 0 2 2 x x 0 ) 1 )( 2 (x x

x = 2 (batas bawah) dan x = 1 (batas atas). Dengan demikian, 1 2 2 2 x xdx A 1 2 2 2 x x dx y1 = f(x) y x A a b y2 =g(x) y x 2 1

1 2 3 2 3 1 2 1 2x x x 3 2 3 2 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 3 1 1 2 1 1 2 5 , 4

Catatan Jika daerahnya dibatasi oleh x1= f(y), x2= g(y), y =c, dan y =d, dengan x1 x2,

dy x x A d c 2 1

CONTOH 4 Cari luas daerah yang dibatasi oleh kurvay2 4x

dan garis 4x 3y 4. Penyelesaian

Titik potong kedua kurva

4 4 3 4 2 2 1 y y x x 0 4 3 2 y y 0 ) 4 )( 1 (y y 1

y (batas bawah) dan y 4(batas atas) Dengan demikian, b a dy x x A ( 2 1) 4 1 2 4 4 4 3 dy y y dy y y 4 1 2 4 3 4 1 4 1 3 2 3 1 4 2 3 4 1 y y y 3 2 3 2 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 4 ) 1 ( 2 3 4 3 1 4 4 4 2 3 4 1 24 125 x 1 4 4x – 3y = 4 y2 = 4x

6.7.2 Volume Benda Putar

Pemutaran terhadap sumbu-x Jika y =f(x) dengan batas a x b diputar ke sumbu-x positif, volume yang dihasilkannya adalah

b a dx y V 2

Jika bidang yang diputar dibatasi oleh dua kurva,

b a dx y y V 2 1 2 2

CONTOH 1 Sebuah bidang R didefinisikan sebagai daerah yang dibatasi oleh 2

x

y ,

0

y , x = 0, dan x = 4. Cari volume yang dihasilkan jika R diputar ke sumbu-x. Penyelesaian 9 0 3 3 1 3 1 3 3 0 3 3 0 2 2 x dx x dx y V b a satuan volume.

CONTOH 2 Sebuah bidang R didefinisikan sebagai daerah yang dibatasi oleh y x2,

2

x

y , dan x = 0. Cari volume yang dihasilkan jika R diputar ke sumbu-x.

Penyelesaian

Batas-batas integral dapat ditentukan oleh titik potong kedua grafik maka 2 2 2 1 y x x y 0 2 2 x x y x a b y2 y1

0 ) 2 )( 1 (x x 1 x dan x 2

Akan tetapi x = –1 berada di luar daerah yang didefinisikan maka batas bawah integral

adalah x = 0 dan batas atasnya x = 2 sehingga

dx x x dx y y V b a 2 0 4 2 2 1 2 2 2 dx x x x 2 0 4 2 4 4 2 0 5 2 3 5 1 4 2 3 1 x x x x 15 4 12 satuan volume