Integral Tak Wajar
Dalam mendefinisikan integral tentu sebagai limit jumlah reiman ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :
b a
dx x f( )
a. Batas pengintegralan berhingga
b. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a,b]
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka integral tentu disebut integral tak wajar
Jenis-jenis integral tak wajar
a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak Hingga Definisi :
b
a b
a f x dx dx
x
f ( ) lim ( )
b
a
a b
dx x f dx
x
f ( ) lim ( )
Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen
(i)
(ii)
(iii)
c c
dx
)
x
(
f
dx
)
x
(
f
dx
)
x
(
f
b
c b
c
a
alim f( x)dx lim f( x)dx
c
dx ) x (
f
c
dx ) x (
f
dx ) x ( f
Contoh Periksa kekonvergenan ITW 0 2 1 2x ) ( dx dx x xe 4 2
(x x ) dx
5 2 2
a. b. c.
Jawab : dx xe dx x xe b x b
4 2 lim 4 2 2 4
1
lim e x2 b b a.
2
1
)
1
2
(
2
1
2
1
lim
b
bJadi integral tak wajar konvergen ke
b.
x b
b 0 ) 1 2 ( 2 1 lim 16 16 2 1 2
1 2
lim e b e e
b
Jadi integral tak wajar konvergen ke 1/2
16
2 1 e
0 2 ) 1 2 ( lim 0 2 ) 1 2
( b x
dx x
dx
1 2
1
2 2 5 2 5
5 2
2 x x
dx x x dx ) x x ( dx
1 1 22
2
5
lim
2
5
lim
a
b
b
a
x
x
dx
x
x
dx
x bb a x a 1 21 1 1 21 1
tan
2
1
lim
tan
2
1
lim
tan
tan
1
2 1 lim tan 1 tan 2 1
lim 1 21 1
21 1
1
b b a a 4 2 2 1 2 4 2
1 c. 2 2
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
0 4 x2
dx
0 4e xdx
1 x
dx
1 2
1
x dx e x
a. b. c. d.
2
2 2)
1 ( x
dx x
e. f.
(x2 16)
dx
2
x
e
xdx
g.
x
2
2
x
17
dx
b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga
(i) Integran Tak Hingga di Ujung Selang
Jika kontinu pada [a,b) dan maka xlimb f (x)
t
a b t b
a
dx ) x ( f lim
dx ) x ( f
Jika kontinu pada (a,b] dan maka
) x ( f lim
a x
b
s a s b
a
dx ) x ( f lim
dx ) x ( f
(ii) Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang Pengintegralan
Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan
( )
lim f x
c
x maka
b
c
dx
x
f
c
a
dx
x
f
b
a
dx
x
f
(
)
(
)
(
)
b
s
dx x f t
a s c
dx x f c
t
) ( lim
) ( lim
I II
Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajar
b
a
dx x f ( )
Contoh Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar
1
0
dx
x
x
ln
Jawab :
x x ln ) x (
f
Karena fungsi tidak kontinu di x=0 dan
x
x ln lim
x 0
maka
1
0 1
0
ln
lim
ln
t
t
x
dx
x
dx
x
x
t x
t
1 ) (ln 2 1
lim 2
0
2 2
0 2 0 (ln ) ( )
1
lim t
t
dx x x
2
01
Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar
Jawab
Fungsi diskontinu di x=1 dan
x x x
f
1 )
(
x
x
xlim1 1
2
1 1
0 2
0
1
1
1
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
s
t t
s
x
dx
x
dx
x
x
0
2
1
1
1
lim
1
lim
ln
|
1
|
0
lim
1
s
s
s
s
s
s
s x dx x x
x
0
0 1
1 1 lim ln |1 |
lim Karena
maka integral tak wajar divergen dx x
x
2
Integral takwajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungan
dari dua jenis diatas, yaitu batas pengintegralan takhingga dan integran tak hingga pada batas pengintegralan seperti contoh berikut
Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar
01
dx x x
Jawab :
Integral diatas merupakan integral tak wajar karena - batas atas integral tak hingga
- integran tak hingga di x = 1 yang terletak didalam selang pengintegralan
sehingga
0
1
dx
x
x
1
0
2
1
1
21
1
x
dx
x
dx
x
x
dx
2 2
1 0
1
1
lim
1
lim
1
lim
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
x
b t
t s
s
Karena
1
lim
ln
|
1
|
lim
ln
|
1
|
0
lim
1 0
0 1
1
x
dx
x
x
s
s
x
s s
s s
s
Maka integral tak wajar divergen
01
dx x x
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
1
1
31
x
dx
1
1
dx
x
xe
1
1 x
dx
1
0 1 x2
dx
a. b. c. d.
0
dx
x
e.
1 2
dx
x
1 2
dx
x
f. g.
3
dx
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
1
1
31
x
dx
1
1
dx
x
xe
1
1 x
dx
1
0 1 x2
dx
g.
b. c. d.
0
2
2
7
x
10
x
dx
x
e.
1
2
2
1
x
dx
x
1
2
2
1
x
dx
x
f. a.
3
0
x
ln
x
dx
