MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10)

Bab 8: Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar

Dosen: Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.

“Do maths and you see the world”

Bentuk Tak Tentu?

Bentuk tak tentu? Bentuk apa?

Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai

“seolah-olah”:

0 0 ; ∞

∞ ; 0 · ∞; ∞ − ∞; 0 ⁰ ; ∞ ⁰ ; 1 ^∞

Contoh:

x →0 lim sin x

x dan

x →4 lim

x − √ x − 2 x − 4 ,

yang apabila kita substitusikan titik limitnya, kita peroleh nilai 0

0 .

Pertanyaan:

Berapakah nilai limit diatas?

Bentuk tak tentu 0/0

Kita akan menghitung

x →c lim f (x ) g (x ) , dengan

x →c lim f (x ) = 0 = lim

x →c g (x ).

Cara penyelesaiannya dengan mengubah bentuk f (x )/g (x )

(menguraikan pembilang dan penyebut; merasional bentuk

pecahan; menggunakan rumus trigonometri dll) sehingga

sifat-sifat limit fungsi dapat dipakai.

Contoh 1: hitunglah

x →0 lim sin x

x

Solusi:

x →0 lim sin x

x

= · · ·

(gunakan Matlab untuk ilustrasi)

Contoh 2: hitunglah

x →4 lim x − √

x − 2

x − 4

Solusi:

x →4 lim x − √

x − 2 x − 4

= lim

x →4

( √

x − 2)( √ x + 1) ( √

x − 2)( √ x + 2)

= lim

x →4

√ x + 1

√ x + 2

= 3/4

Bentuk tak tentu ∞/∞

Misalkan kita akan menghitung

x →∞ lim f (x ) g (x ) , dengan

x →∞ lim |f (x)| = ∞ = lim

x →∞ |g (x)|.

Cara penyelesaiannya dengan mengubah bentuk f (x )/g (x )

(merasional bentuk pecahan; memunculkan bentuk 1/x ⁿ

dengan n bilangan asli dll) sehingga sifat-sifat limit fungsi dapat

dipakai.

Contoh: hitunglah

x →∞ lim

x − √ x − 2 x − 4

(Perhatikan bahwa jika kita substikan titik limitnya, kita dapatkan

nilai limit berbentuk tak hingga per tak hingga)

Solusi:

x →∞ lim x − √

x − 2 x − 4

= lim

x →∞

( √

x − 2)( √ x + 1) ( √

x − 2)( √ x + 2)

= lim

x →∞

√ x + 1

√ x + 2

= lim

x →∞

√ x (1 + ^{√ 1} _x )

√ x (1 + ^{√ 2} _x )

= 1 +

q

lim _{x →∞} ¹ _x 1 +

q

2 lim x →∞ 1 x

= 1

Bentuk tak tentu 0 · ∞

Sekarang, pandang

x →c lim f (x )g (x ), dengan

x →c lim f (x ) = 0; lim

x →c |g (x)| = ∞.

Kita dapat menghitung limit diatas dengan cara mengubah bentuk f (x )g (x ) menjadi bentuk

f (x ) 1/g (x )

sehingga diperoleh bentuk 0/0, atau menjadi bentuk g (x )

1/f (x )

dengan bentuk ∞/∞.

Contoh 1: hitunglah

x → lim

^π₄

 x − π

4



sec 2x

Solusi:

lim

x →

^π₄

 x − π

4

 sec 2x

= lim

x →

^π₄

x − ^π ₄ cos 2x

= · · ·

= · · ·

= −1/2

Contoh 2: hitunglah

x →∞ lim

 sin 1

x



x

Bentuk tak tentu ∞ − ∞

Unutk menyelesaikan limit berbentuk ∞ − ∞,

x →∞ lim (f (x ) − g (x )), dengan

x →∞ lim f (x ) = ∞; lim

x →∞ g (x ) = ∞,

caranya penyelesaiannya dengan mengubah menjadi bentuk

∞/∞.

Contoh: hitunglah

x →∞ lim

p x ² + 2x − x 

Solusi: tuliskan

p x ² + 2x − x = p

x ² + 2x − x ·

√

x ² + 2x + x

√

x ² + 2x + x

= x ² + 2x − x ²

√

x ² + 2x + x

= 2x

q

x ² 1 + _x ²
+ x

= 2x

x

 q

1 + ² _x + 1



Jadi,

x →∞ lim

p x ² + 2x − x 

= 1

Dapatkah anda menghitung

x →−∞ lim

p x ² − 3x + x 

?

Solusi: 3/2

Latihan

Hitung

x →∞ lim

√ x ² + x 2x − 1 dan

x →−∞ lim

√ x ² + x

2x − 1 .

Limit diatas berbentuk ∞

∞

Perhatikan bahwa kita dapat menuliskan

√ x ² + x 2x − 1 =

q

x ² 1 + _x ¹
x 2 − ¹ _x
dan

• untuk x → ∞ berlaku · · · sehingga · · ·

• untuk x → −∞ berlaku · · · sehingga · · ·

Jadi,

x →∞ lim

x ² + x 2x − 1 = 1/2 dan

x →−∞ lim

x ² + x

2x − 1 = −1/2.

Integral Pada Selang Hingga

Misalkan kita ingin menghitung

Z 1

√ x − 1 dx .

Kita dapat (dengan mudah) menyelesaikannya dengan memisalkan y = x − 1 sehingga

Z 1

√ x − 1 dx

= Z

y ^−1/2 dy

= 2y ^1/2 + C

= 2 √

x − 1 + C

Namun, bagaimana jika kita ingin menghitung integral tentu Z 5

1

√ 1

x − 1 dx ?

Kita tahu bahwa fungsi f (x ) = ^√ _{x −1} ¹ kontinu pada selang (1, 5]

dengan

x →1 lim

⁺

√ 1

x − 1 = ∞.

Apabila kita menghitung integral pada selang [1, 5], maka tindakan

yang dilakukan dikatakan sebagai perhitungan integral tak wajar.

Jadi,

Z 5 1

√ 1

x − 1 dx

= lim

c→1

⁺

Z 5 1

√ 1 x − 1

= lim

c→1

⁺

 2 √

x − 1 

= 4

Integral Pada Selang Tak Hingga

Pada bagian sebelumnya, kita melihat salah satu bentuk integral

tak wajar dimana integran bernilai tak hingga. Sekarang kita lihat

bentuk lain dimana integran kontinu dan terdefinisi di domainnya,

namun integral yang kita hitung memiliki (salah satu) batas tak

hingga.

Contoh 1: hitunglah

Z ₀

−∞

1 1 + x ² dx

yang mana kita tahu fungsi f (x ) = _1+x ¹

2

kontinu dan terdefinisi di

selang (−∞, ∞).

Solusi:

Z ₀

−∞

1 1 + x ² dx

= lim

a→−∞

Z 0 a

1 1 + x ² dx

= lim

a→−∞



tan ⁻¹ x  0 a

= lim

a→−∞



− tan ⁻¹ a



= −(−π/2)

Contoh 2: hitunglah

Z ∞ 0

√ 1

x (x + 1) dx

Solusi:

Perhatikan bahwa fungsi f (x ) = ^√ _{x (x +1)} ¹ kontinu pada selang (0, ∞) dengan

lim

x →0

⁺

f (x ) = ∞.

Selain itu, integral tak tentunya

Z 1

√ x (x + 1) dx = 2 tan ⁻¹ √

x + C

Jadi,

Z ∞ 0

√ 1

x (x + 1) dx = · · · = π.

Bagaimana dengan

Z ∞ 0

sin x dx , ?