4. BENTUK INTEGRAL HUKUM DASAR
4.1. Pendekatan Sistem dan Volume Kontrol
Bentuk integral dalam ilmu-ilmu rekayasa (engineering science) sangat penting karena sejumlah besaran dalam kerekayasaan berbentuk integral, misalnya: (i) debit merupakan bentuk integral kecepatan aliran terhadap luas bidang (penampang) alir, (ii) gaya merupakan integral kerapatan terhadap volume, dan masih banyak bentuk-bentuk integral lain.
Agar persamaan integral dapat diselesaikan maka bentuk integral (integrand) haruslah diketahui lebih dulu atau tersedia informasi sehingga persamaan integral dapat disusun dan bentuk integral dapat diselesaikan. Jika integral tidak diketahui atau tidak dapat diketahui maka persamaan diferensial tidak dapat disusun dan diselesaikan.
Besaran integral yang utama di dalam mekanika fluida terkandung oleh tiga hukum dasar yaitu masing-masing : (i) hukum konservasi (kekekalan massa), (ii) hukum pertama thermodinamika, dan (iii) hukum Newton II.
Ketiga hukum dasar tersebut dinyatakan dalam bentuk suatu sistem, yaitu diartikan sebagai kumpulan partikel-partikel materi yang tetap. Sebagai contoh diambil suatu aliran fluida melalui suatu pipa pada saat t dan mengalir ke hilir pada waktu t + t perubahan bentuk sistem dari t ke t + t digambarkan dalam Gambar Bentuk Integral
Hukum Dasar.1.
Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.1. Perubahan sistem dari (t) (t + t) Sistem pada
waktu t
Contoh yang diberikan dalam Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.1 tadi batas-batas dari sistem bersifat tetap, namun dalam beberapa hal fluida melalui sistem dengan batas tak jelas sehingga tidak mungkin untuk menelusuri partikel-partikel massa fluida secara individu dan dibutuhkan suatu alternatif pemecahan lain.
Di dalam analisis gerakan fluida dikenal dua pendekatan, yaitu masing-masing (i) Lagrang (lagrangian approach), dan (ii) Euler (Euler approach).
Pendekatan Lagrang menekankan pada individu partikel yang telah diidentifikasi, sifat-sifat thermodinamika (misal : , dan lain-lain) dan sifat-sifat-sifat-sifat aliran (R, V, a dan lain-lain) adalah fungsi waktu hanya pada suatu partikel yang ditinjau, misalnya t = 0, dan diikuti oleh partikel berikutnya. Apabila suatu partikel berkisar pada suatu lokasi (Xo, Yo, Zo) dalam sistem koordinat bertalian, maka kecepatan dan percepatan dinyatakan sebagai:
2 2 ,
dt R d dt dV dt dR
V ………. (1)
Dengan : R merupakan vektor jarak diukur dari suatu titik sebagai fungsi waktu t seperti terlihat pada Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.2.
Disini R = R (Xo, Yo, Zo, t) adalah konstan dan menyatakan partikel yang ditinjau. Apabila setiap partikel dalam suatu kurun tertentu, t maka deskripsi gerakan fluida dapat terbentuk dengan lengkap.
Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.2. Lintasan suatu partikel
Pendekatan Euler lebih menekankan pada sifat-sifat fluida. Oleh sebab itu sifat-sifat thermodinamika dan sifat-sifat aliran lebih dapat dinyatakan sebagai sifat kumpulan partikel-partikel fluida, sehingga dalam pendekatan Euler ini sifat-sifat fluida dinyatakan sebagai funsi dari tempat dan waktu, atau misalnya :
Y
Waktu t = 0
(X0, Y0, Z0) Z
Ro
R
Kecepatan, V = f(x, y, z, t) ……….. (2a) Tekanan, = f(x, y, z, t) ……….. (2b)
Peubah-peubah (variabel) x, y, z, t merupakan peubah bebas (independent variables), sedangkan V, dan merupakan peubah tetap.
Arti matematis dari persamaan (2) adalah bahwa partikel yang terletak pada koordinat x,
y, z, t pada waktu t akan mempunyai kecepatan V dan tekanan .
Pendekatan Euler mempunyai keuntungan yaitu fungsi ruang dan waktu tertentu dan jelas sehingga memberikan kerangka kerja yang rasional untuk melakukan penyelesaian secara analitis misalnya, persamaan diferensial suatu peubah dapat disusun, kondisi batas dapat ditetapkan sehingga analisis secara sepadan bahkan dengan menggunakan metoda numerikpun dapat dilakukan.
Sesuai dengan takrif dalam pendekatan Euler, maka analisis aliran dengan memakai pendekatan Euler ini membutuhkan suatu region tertentu (spesific region) dalam suatu ruang yang ditinjau dan dinamakan volume kontrol. Volume kontrol ini dapat terbentuk tetap maupun berubah-ubah, suatu contoh volume kontrol yang tetap adalah aliran fluida melalui nozzle, sedangkan contoh kontrol yang berubah-ubah adalah misalnya balon yang mengempis. Hal ini lebih dijelaskan dalam Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.3.
Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.3. Beberapa contoh pengambilan volume kontrol. Volume Kontrol
a. Nozzle b. Balon
mengempis
Sebetulnya ketiga hukum dasar yang mengatur gerakan fluida merupakan pendekatan Euler dimana kita dapat menentukan suatu “region” di dalam suatu ruang dengan aliran fluida yang melewatinya. Untuk itu dibutuhkan persamaan transformasi yang merubah pendekatan Lagrang ke pendekatan Euler.
4.2. Persamaan Transformasi Volume Kontrol 4.2.1. Sifat Intensif dan Ektensif
Sebelum sampai kepada persamaan transformasi dibutuhkan pengertian tentang sifat-sifat fluida intensif dan ekstensif.
a. Sifat intensif : menyatakan sifat-sifat fuida yang tidak tergantung pada jumlah materi dalam sistem, misal kecepatan fluida, kerapatan, suhu dan koefisien kekentalan (coeficient of viscosity)
b. sifat ekstensif : sifat fluida yang tergantung pada jumlah materi dalam sistem, misal energi, volume massa.
Sembarang sifat fluida ekstensif dapat diubah menjadi sifat intensif, yaitu dengan membaginya dengan jumlah massanya. Biasanya sifat intensif yang berasal dari perubahan bilangan ekstensif disebut mempunyai nama dengan tambahan kata spesifik dibelakangnya, misalnya volume spesifik, energi spesifik dan lain-lain. Hal perubahan ini berlaku untuk semua sifat-sifat fluida baik berbentuk skala maupun vektor.
Berdasarkan hubungan perubahan tersebut, sembarang sifat ekstensif B dapat dinyatakan dengan sifat intensifnya, b dengan
s
m B
b ……… (3)
Tabel Bentuk Integral Hukum Dasar.1 menampilkan beberapa sifat fluida ekstensif yang penting beserta sifat intensifnya.
Sifat Fluida Sifat Ekstensif, B Sifat intensif, b
Massa ms 1
Momentum linier ms V V
Momentum sudut ms (r x V) R x V
Energi kinetik 2
2 1
v ms
2
2 v
Sumber : Mironer, 1979
4.2.2. Penjabaran Persamaan transformasi volume kontrol
Ditinjau suatu sifat fluida ekstensif, B, dari massa fluida ms, dalam bentuk integral massa, ms ini dituliskan sebagai :
sist
s bdv
m ……….. (4)
Bentuk integral ini diberikan agar analisis terhadap perubahan ruang dapat dilakukan. Dengan mengacu pada takrif dari sifat-sifat fluida ekstensif dan intensif di muka, maka sifat ekstensif dari sistem dan volume kontrol, dapat dituliskan sebagai :
sist
bdv
B dan
vk
bdv
B ……….. (5)
Laju perubahan sifat ekstensif B, ini di dalam sistem yang ditinjau dituliskan sebagai :
sist
bdv dt
d dt dB
………. (6)
Bentuk diferensial d/dt dari persamaan (6) kadang-kadang dituliskan D/Dt yang menggambarkan perubahan sifat-sifat partikel fluida yang ditinjau atau suatu sistem terhadap waktu. Bentuk diferensial D/Dt disebut pula turunan materi (material derivative). Secara matematis bentuk D/Dt tidak berbeda dengan d/dt, namun notasi khusus diberikan dengan maksud bahwa penyelesaian menekankan terhadap partikel-pertikel fluida yang sama.
Persamaan transformasi volume kontrol ini diterangkan sebagai berikut :
Dipandang suatu volume kontrol fluida tak berubah yang pada waktu t, berimpit dengan sistemnya. Pada waktu t + t terjadi perubahan sistem seperti terlihat dalam Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.4.
Sistem pada waktu t + t
V
III I
II b
Vdt
Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.4. Sistem dan volume kontrol tak berubah
Menurut Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.4, besaran B dalam persamaan (7) dinyatakan dengan :
Bsist (t + t) = BIII (t + t) + BII (t + t) ……… (8) dan volume kontrol yang tak berubah dan dinyatakan sebagai :
vk
vk bdv
B , dan derivatif terhadap waktu dinyatakan sebagai …………... (12)
vk bdv
t , dalam hal ini derivatif partikel digunakan karena hasil maupun b akan
merupakan fungsi dari waktu dan ruang.
Pada bentuk terakhir ruas kanan persamaan (11) diperoleh dari Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.4, bahwa :
IIIV
III t t bdv
B ………. (13a)
Volume Kontrol dan Sistem pada t
Vdt
b dA
apabila persamaan (13) dan persamaan (14) dimasukkan ke dalam persamaan (11) maka menjadi :
transformasi massa melalui batas-batas volume kontrol.4.3. Persamaan-persamaan dasar 4.3.1. Kesinambungan (continuity)
Kesinambungan diartikan sebagai hukum konservasi massa dan dikatakan bahwa : “massa fluida dalam suatu sistem adalah tetap (konstan)”. Dalam simbol matematika hukum konservasi massa ini dinyatakan sebagai :
dt dm
Sesuai dengan Tabel Bentuk Integral Hukum Dasar.1 dan persamaan (15) maka apabila sifat ekstensif B = ms, maka sifat intensif, b = 1 dan persamaan (15) dapat dituliskan sebagai :
cv mk
Vda bdV
t dt dm
0
... (17)
Bentuk I dari persamaan (17) mendapatkan perubahan massa fluida di dalam volume kontrol bertotal terhadap waktu dan bentuk ke II menyatakan bahwa laju pengumpulan massa di dalam volume adalah perbedaan antara laju massa yang masuk dan keluar volume kontrol.
Contoh :
Suatu tanki dengan diameter D = 1 m, tinggi h = 50 cm akan diisi oleh air dari pipa dengan diameter dalam d = 7,5 mm. Air meninggalkan pipa dengan kecepatan tetap V = 2 m/detik. Tentukan waktu yang dibutuhkan untuk mengisi tanki sampai penuh.
Penyelesaian:
Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.5. Gambar contoh soal 1
Seperti tertera dalam Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.1, diambil volume kontrol tetap (tak berubah) mengikuti bentuk tanki.
Dituliskan persamaan konservasi massa : d
V = 2m/det
h
D
Dari Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.5 akumulasi massa di dalam volume kontrol adalah :
Dan laju perubahan massanya dinyatakan sebagai :
Karena air merupakan fluida tak termampatkan (incompressible) maka kerapatan selalu tetap dan dapat dikeluarkan dari bentuk integral. Sedangkan tinggi air di dalam tanki, Y (t) merupakan fungsi waktu saja.
Maka bentuk persamaan differensial parsial dapat diubah menjadi persamaan differensial biasa :
Dan bentuk ke dua persamaan kontinyuitas menjadi :
Tanda negatif menunjukkan aliran masuk ke dalam volume kontrol. Apbila disubtitusikan kembali ke dalam persamaan kontinyuitas akan menjadi :
4
Harga konstanta C dapat dicari dengan memasukkan harga batas. Pada t = 0, y = 0 dan pada t = T, y = h maka :
Pada bentuk volume kontrol tak tetap dipakai deret Taylor untuk menentukan bentuk
variabel-variabel aliran. Dalam fungsi sembarang f (x), bentuk fungsi f (x+x) menurut
deret Taylor dinyatakan sebagai berikut :
Karena x mempunyai harga sangat kecil maka x2 dan peningkatan selanjutnya juga
sangat kecil sehingga bentuk perkaliannya juga mempunyai harga sangat kecil mendekati nol.
Ditinjau suatu aliran satu arah dan satu dimensi ke sumbu x, dengan volume kontrol berbentuk kubus mempunyai dimensi masing-masing y, z, dan dx.
Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.6. Volume kontrol aliran satu arah satu dimensi ke sumbu x
Berdasarkan Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.6, dari persamaan kontinyuitas maka dapat dituliskan : Massa fluida di dalam volume kontrol pada sembarang waktu, adalah :
Perubahan massa per satuan waktu
zdx meninggalkan volume kontrol adalah :
V z y
dxDan massa netto yang masuk dan keluar volume kontrol dapat dituliskan sebagai :
Dengan demikian apabila persamaan (20) dan (22) disubtitusikan ke dalam persamaan kontinyuitas (pers.17) menjadi :
V
Dari persamaan (23) tersebut dapat diketahui tiga kondisi, yaitu :
a. aliran tunak (steady flow) : aliran tunak menyatakan bahwa karakteristik aliran
bebas terhadap waktu, atau 0
t . Dengan demikian persamaan (23) menjadi
V
0dt d
……… (24)
dan dapat diintegrasikan menjadi :
V = konstanta ……… (25)
konstanta dalam persamaan (25) menyatakan laju aliran massa persatuan luas yang sering disebut flux massa.
b. Aliran tak mampat (incompressible flow)
Pada aliran tak mampat mempunyai kerapatan yang tetap, 0
dengan penyelesaian umum adalah
V = f(t) ……….. (26)
c. Aliran tak mampat tunak (incompressibble steady flow)
Pada aliran tak mampat tunak, persamaan (23) akan berbentuk :
0
dx dV
, dengan penyelesaian umum adalah : V = konstanta …………. (27)
Persamaan (27) akan memberikan pengertian bahwa kecepatan akan sama pada setiap tempat dan waktu.
Pada beberapa rancang bangun kerekayasaan fluida, banyak sistem aliran yang mempunyai penampang lintang berubah secara gradual seperti diterangkan dalam Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.7.
Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.7. Profil kecepatan tipikal yang melalui penampang lintang berubah secara gradual.
Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.7 menggambarkan aliran tiga arah dan tiga dimensi (aliran bergerak ke 3 arah, kecepatan berubah 3 arah). Persamaan aliran ini akan sukar untuk diselesaikan karena membutuhkan analisis numerik dan pemrograman komputer.
Agar dapat diselesaikan maka aliran harus disederhanakan menjadi aliran satu arah satu dimensi. Upaya penyederhanaan ini dilakukan dengan memakai dua pendekatan, yaitu: (1) aliran dianggap bergerak satu arah saja, dengan memilih satu arah yang dominan sedangkan dua arah lain yang mempunyai kecepatan lebih kecil; (ii) dianggap bahwa aliran mempunyai profil kecepatan yang sama. Dua asumsi dalam aliran ini digambarkan dalam Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.8. Aliran yang dilaksanakan ini disebut aliran satu arah dan satu dimensi semu.
Sumbu lintasan aliran
Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.8. Gambar profil kecepatan pada aliran satu arah satu dimensi semu
Untuk menjabarkan persamaan kontinyuitas pada tipe aliran satu arah satu dimensi semu ini dapat dilakukan dengan melihat aliran pada volume kontrol seperti tergambar pada Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.9.
Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.9. Aliran melalui volume kontrol pada lairan satu arah dan satu dimendi.
Dari Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.9,
Vk
Adx t d
t
mk
dx VA x dA
V
.
Sehingga persamaan kontinuitas menjadi :
0
VA x t
A
Untuk aliran steady
0 t maka :
VA
VA kons ta dxd
tan ,
0
………. (28)
Contoh :
Minyak mengalir dari satu pipa vertikal menetes ke permukaan air. Minyak mengapung di permukaan air dan membentuk lingkaran.
Tetapkanlah suatu persamaan kontinyuitas gerakan tetesan minyak di atas air. Anggaplah gerakan minyak mempunyai kecepatan sama ke arah radial.
VA A(x)
Vk
Ambillah suatu kontrol seperti tergambar dengan ketebalan noda minyak , volume kontrol tak terhingga dr, jarak kontrol volume dari sumbu pipa r dan variabel waktu t, gerakan minyak dianggap hanya kearah radial.
Massa di dalam volume kontrol adalah :
k
rdr
d
2
maka
rdr
t d
t k 2
Apabila r variabel bebas dan tidak tergantung pada waktu t maka massa adalah:
rdr t 2
sedang massa yang masuk dan meninggalkan volume kontrol :
V r drr A d
v
. 2 , maka persamaan kontinyuitas :
0 1
V r r r
t
r
4.3.2. Persamaan Newton II
Persamaan Neewton II disebut juga persamaan momentum dan dinyatakan bahwa : resultante gaya yang bekerja pada sistem adalah sama dengan laju perubahan momentum sistem dan dituliskan sebagai :
Dengan memakai persamaan (15), b = v maka persamaan momentum dapat dituliskan:
Dalam pemakaian persamaan Newton II, besarnya total gaya F meliputi seluruh gaya-gaya yang bekerja pada volume kontrol termasuk gaya-gaya-gaya-gaya permukaan dan body forces, yaitu gaya-gaya yang disebabkan oleh gravitasi dan bidang magnetic.
Gaya-gaya permukaan yang bekerja pada permukaan volume kontrol yang disebabkan oleh interaksi fluida di luar kontrol pada fluida di dalam volume kontrol. Gaya-gaya permukaan disebut pula tegangan (stress). Gaya permukaan yang searah dengan muka volume kontrol disebut gaya geser (shear stress) sedangkan gaya yang bekerja tegak lurus muka volume kontrol disebut gaya normal (normal stress).
4.3.3. Hukum Thermodinamika I
Hukum thermodinamika I disebut pula persamaan energi. Persamaan energi ini dinyatakan sebagai :
“Laju transfer panas terhadap sistem dikurangi laju kerja yang dihasilkan sistem adalah sama dengan perubahan energi di dalam sistem", dan dapat dituliskan dalam simbol matematika sebagai :
Dimana : Q = laju transfer panas W = laju kerja (work)
t = enegi spseifik. Adalah total energi kinetis, energi potensial dan energi internal. Bentuk-bentuk energi lain seperti energi khemis, listrik maupun nuklir tidak termasuk yang ditinjau dalam mekanika fluida.
3
2 v
= energi kinetis
gz = energi potensial
u
= energi internalDari persamaan (15) maka persamaan energi (persamaan 31) dapat dituliskan sebagai :
vk
A d v d
t W
Q . ……… (32)
4.4. Persamaan Aliran (Equation of Motion) 4.4.1. Persamaan Euler
Ditinjau satu aliran satu arah satu dimensi dalam keadaan tunak (steady). Volume kontrol berbentuk silinder, dengan penampang lintang tegak lurus aliran dA, dan panjang ds, mempunyai berat = W
Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.10. Volume kontrol pada aliran satu arah satu dimensi berbentuk silinder dengan berbagai komponen gaya
Dari Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.10: komponen gaya yang bekerja pada volume kontrol adalah tekanan dan beratnya sendiri (gaya-gaya kekentalan berbentuk tegangan geser diabaikan) :
Gaya tekan : p dA –(p + dp)dA = - dp dA Gaya berat ke arah aliran : -g ds dA (dz/ds
Massa : dM= ds dA
P1 V1
ds
P
V+dV
P+dp
2 V2
P2
dz
dW=gdsdA z
Percepatan :
Apabila persamaan (32) dibagi dA akan menghasilkan persamaan Euler satu dimensi :
0
Untuk aliran tak mampat, persamaan (34) dibagi gn menghasilakan :
0 Untuk aliran dengan kerapatan seragam :
0
4.4.2. Persamaan Bernoulli
Untuk aliran tunak satu dimensi dengan kerapatan seragam disepanjang aliran, persamaan Euler satu dimensi (pers.36) dapat untuk menentukan persamaan gerakan aliran dari dua tempat yang ditinjau dari Gambar Bentuk Integral Hukum Dasar.10, akan dicari persamaan aliran dari titik 1 ke titik 2.
Persamaan (36) :
Diintergalkan menjadi :
Rumus z
Contoh Pemakaian Persamaan Bernoulli :
membentuk suatu parabola. Apabila diameter pipa adalah 300 mm dan pada mulut pipa berdiameter 105 mm.
Tentukanlah :
1. Kecepatan pancaran air pada puncak parabola
2. Tinggi tekan pipa berturut-turut pada elevasi 78 dpl dan 59 dpl.
Penyelesaian :
Ditinjau dari titik 1 ke titik 4, dipakai persamaan Bernoulli pada aliran :
4
6010 2
21 78 10 2
3 , 24 0
2 2
2
p
2
p
=11,1 m, dengan cara yang sama dapat pula diperoleh : p3 30,1m
5. ALIRAN LAMINAR DAN TURBULEN
Pada fluida nyata, kekentalan (viscosity) menimbulkan tahanan pada gerakan fluida yang disebabkan oleh gaya gesek antar partikel fluida dan antara partikel fluida dengan dinding pembatas. Agar terjadi aliran harus ada kerja untuk melawan gaya tahanan tersebut dan dalam proses ini energi diubah menjadi kalor. Kekentalan juga menyebabkan terjadinya dua regim aliran. Hal ini seringkali menyebabkan timbulnya aliran yang sama sekali berbeda dari aliran yang ditimbulkan oleh fluida ideal. Efek kekentalan pada profil kecepatan menyebabkan asumsi keseragamann distribusi kecepatan menjadi tidak valid. Penurunan persamaan Euler pada analisis 2 dimensi dapat mengikutsertakan tegangan geser fluida nyata disamping gaya normal dan tekanan yang sudah diperhitungkan sebelumnya. Hasilnya akan merupakan persamaan diferensial parsial non linier orde 2 yang disebut persamaan Navier-Stokes. Penyelesaian persamaan ini dengan menggunakan penyelesaian analitik jarang ditemukan. Oleh karena itu, seorang insinyur harus menggunakan hasil percobaan, metode semi-empiris, dan simulasi numeris untuk menyelesaiakan persoalan ini. Hal ini memerlukan pengertian tentang berbagai fenomena fisik pada aliran fluida antara lain adanya laminaritas dan turbulensi.
Pada aliran laminar, agitasi gerakan bentuk fuida hanya merupakan kejadian dalam skala molekular sehingga dalam skala makro dapat dikatakan molekul bebas hambatan. Pada pengamatan dalam skala makroskopis, partikel-partikel ini ditahan oleh viskositas sehingga bergerak secara paralel membentuk suatu lapisan aliran. Tegangan geser antara lapisan-lapisan bergerak yang terbentuk dalam aliran laminar ditentukan atau dicari dengan viskositas dan didefenisikan secara lengkap melalui suatu persamaan diferensial.
dy dv
... (1)
partikel-partikelnya dan beberapa diantaranya bertabrakan cukup parah atau tidak teratur yang terbentuk dalam suatu aliran deras dan kontinyu pada suatu pencampuran fluida yang bergerak, dengan skala yang lebih besar dan lebih hebat daripada skala molekul pada aliran laminar.
Gambar Aliran Laminar dan Turbulen.11. Lapisan aliran fluida pada aliran laminer
Gerakan acak dan berputar-putar yang teramati pada aliran turbulen menandakan bahwa gaya inersia (yang berhubungan dengan percepatan selama gerak terjadi) dan gaya viskos (yang dipengaruhi oleh viskositas), keduanya mungkin berpengaruh.
Saat aliran didominasi oleh gaya viskos, kemungkinan besar aliran yang terbentuk adalah aliran laminar. Sebaliknya, aliran yang terbentuk akan turbulen jika aliran didominasi oleh gaya inersianya. Karakteristik-karakteristik ini didemonstrasikan oleh Reynolds dengan peralatan-peralatan seperti yang terlihat pada Gambar Aliran Laminar dan Turbulen.12.
Lapisan fluida
Lapisan fluida
v v + dv
Gambar Aliran Laminar dan Turbulen.12. Skema percobaan Reynolds
Air bergerak mengalir dari tanki melalui pipa kaca bermuly lebar dan besarnya laju alir dikendalikan oleh katup A. Sebuah pipa kecil atau tube B menghubungkan zat warna dalam sebuah reservoir dengan mulut pipa kaca. Dengan kecepatan yang rendah dalam pipa kaca, filamen tipis zat warna yang dikeluarkan dari tube atau pipa kecil tidak akan berdifusi tetapi hanya membentuk suatu aliran tipis yang lurus dan sejajar dengan sumbu pipa. Saat katup dibuka dan kecepatan yang lebih besar dijalankan maka filamen zat warna menjadi bergelombang dan rusak, dan pada akhirnya berdifusi melalui air yang mengalir di pipa. Reynold menemukan bahwa kecepatan rata-rata saat filamen zat warna mulai rusak (disebut kecepatan kritis) bergantung pada derajat kediaman air dalam tangki. Kecepatan kritis yang lebih besar akan diperoleh dengan ketenangan air dalam tangki. Dia juga menemukan bahwa jika filamen zat warna telah berdifusi, penurunan kecepatan akan menjadi sangat penting untuk mengembalikannya namun hal tersebut hampir selalu terjadi pada kecepatan rata-rata yang sama.
Karena adanya pencampuran aliran yang terjadi pada aliran yang menyebabkan terjadinya difusi zat warna dalam bentuk filamen, Reynolds menarik kesimpulan bahwa pada kecepatan rendah, pencampuran tidak terjadi dan partikel-partikel fluida bergerak secara paralel, saling berkejaran secara dekat namun tidak bercampur, inilah yang disebut sebagai rezim aliran laminar. Sebaliknya pada kecepatan tinggi, filamen zat warna terdifusi sepanjang pipa dan secara nyata saling bercampur diantara
partikel-air zat
warna C
B
partikel fluida dan hal inilah yang disebut aliran turbulen. Aliran laminar dapat berubah menjadi aliran turbulen pada kecepatan kritis di atas kecepatan kritis saat hal sebaliknya (aliran turbulen menjadi aliran laminar) dapat terjadi. Kecepatan saat aliran laminer berubah menjadi turbulen disebut sebagai kecepatan kritis atas (upper critical velocity) dan kecepatan saat aliran turbulen berubah menjadi laminer disebut sebagai kecepatan kritis rendah (lower critical velocity).
Bukti lain yang memperlihatkan adanya dua rezim aliran dapat diperoleh dari ilustrasi sederhana pada Gambar Aliran Laminar dan Turbulen.13. Di sini, perbedaan tekanan di antara dua titik sepanjang pipa panjang dan lurus diukur dengan menggunakan manometer melalui beda tinggi (h) yang berhubungan dengan kecepatan rata-rata v. Untuk nilai v yang rendah, plot antara h dan v menghasilkan garis lurus (h ∞ V), namun pada nilai v yang lebih tinggi menghasilkan hubungan h dan V seperti kurva parabolik (h ∞ v2 ) (lihat Gambar Aliran Laminar dan Turbulen.13).
Gambar Aliran Laminar dan Turbulen.13. Skema percobaan penentuan v kritis
Secara nyata, pada kasus pertama (v rendah) aliran adalah laminar dan pada kasus kedua adalah aliran adalah turbulen. Di antara kedua rezim aliran, terdapat rezim
h v
0 h
v A
B C Garis lurus h v Mendekati parabola h v2
transisi seiring dengan perubahan kecepatan. Pada Gambar Aliran Laminar dan Turbulen.13, seiring dengan naiknya v data mengikuti garis 0ABCD tetapi penurunan v akan menghasilkan data yang mengikuti garis DCA0. Dari hasil ini dan juga melalui pengamatan Reynolds dapat disimpulkan bahwa titik A dan B adalah titik bawah dan titik atas kecepatan kritis.
Akhirnya, Reynolds dapat mengeneralisir beberapa kesimpulannya yang diperoleh melalui percobaan aliran zat warna melalui sebuah persamaan dengan memasukkan suatu bilangan tak berdimensi R (Reynold number) seperti yang terlihat di bawah ini :
vd
or vd
R ... (2)
Dimana v adalah kecepatan rata-rata dalam pipa, d adalah diameter pipa, ρ adalah densitas fluida, dan μ adalah viskositas fluida. Reynold menemukan bahwa nilai kritis bilangan reynold (R) tertentu dapat menentukan batas bawah dan atas kecepatan fluida untuk semua jenis fluida dan ukuran pipa. Reynold menyimpulkan bahwa terdapat suatu nilai Reynold yang menjadi batas antara aliran laminar dan turbulen untuk semua jenis fluida yang mengalir dalam pipa. Batas atas dari aliran laminar tidak tentu dan bergantung atau dipengaruhi oleh beberapa kondisi yaitu : (1) kondisi ketenangan atau kediaman awal fluida, (2) bentuk dari jalur atau pintu masuk pipa, dan (3) kekasaran pipa, dan ketiga nilai tersebut dibutuhkan dalam praktek. Berbeda dengan aliran laminar, batas bawah terjadinya aliran turbulen ditentukan atau digambarkan oleh suatu bilangan Reynold. Pada kondisi di bawah nilai R ini, semua aliran turbulen akan teredam oleh viskositas sehingga membentuk aliran laminar. Dari hasil eksperimen yang dilakukan diperoleh bawah batas bawah nilai R untuk aliran turbulen adalah sekitar 2100.
Konsep nilai kritis Reynold menggambarkan kedua rezim aliran merupakan suatu cara yang sangat baik dalam menjelaskan secara singkat berbagai fenomena aliran. Dengan mengaplikasikan konsep ini pada aliran dalam pipa silinder, para engineer dapat meramalkan bahwa aliran bersifat laminar jika R < 2100 dan bersifat turbulen untuk R ≥ 2100. Bagaimanapun juga, Reynold Number adalah suatu nilai yang sangat dipengaruhi oleh batas-batas geometri.
Untuk aliran di antara dinding paralel (menggunakan kecepatan rata-rata v dan d adalah jarak), Rc ≡ 1000 (sekitar/mendekati/diantara)
Untuk aliran dalam bola (menggunakan pendekatan kecapatan v dan d adalah diameter bola), Rc ≡ 1
Sebaiknya, nilai bilangan Reynold ditentukan melalui hasil eksperimen dikarenakan sifat turbulen yang cukup kompleks. Saat ini berbagai metode analitis dikembangkan untuk keperluan tersebut.
