TEORI DEFINITE INTEGRAL

(1)

n→∞ n→∞

∫

b a

dx

x

f

(

)

∫

b a

dx

x

f

(

)

[

_F

( x

)

]

b a

TEORI DEFINITE INTEGRAL

Definisi :

Jika y = f(x) adalah fungsi kontinu dan terdefinisi dalam interval tertutup [a,b] sehingga lim

∑

=

Δ

n i i i

x

f

1

.

)

(

ada (mempunyai nilai), maka definite integral

f(x) terhadap x dari x = a sampai x = b dinyatakan oleh :

=

lim

∑

=

Δ

n i i i

x

f

1

.

)

(

dengan n adalah jumlah sub interval di dalam interval [a,b]

catatan : definite integral sering disebut sebagai Integral Riemann.

Untuk menentukan nilai definite integral secara langsung dengan definisi di atas maka kita harus menggunkan jumlah Riemann (jumlah Riemann akan dijelaskan dalam contoh). Hal ini kurang efisien, terkadang dalam perhitungannya menemui kesalahan. Oleh karena itu, nilai definite integral ditentukan dengan menggunakan teorema dasar integral kalkulus berikut ini :

(2)

∫

a a

dx

x

f

(

)

∫

b a

dx

x

f

(

)

∫

a b

dx

x

f

(

)

∫

b a

dx

x

f

k

(

)

∫

b a

dx

x

f

(

)

∫

b

±

a

dx

x

g

x

f

(

)

(

)]

[

∫

b a

dx

x

f

(

)

∫

b a

dx

x

g

(

)

∫

c a

dx

x

f

(

)

∫

b c

dx

x

f

(

)

∫

b a

dx

x

f

(

)

∫

b a

dx

x

f

(

)

∫

b a

dx

x

f

(

)

Sifat- Sifat Umum Definite Integral :

Misalkan f(x) dan g(x) merupakan fungsi-fungsi kontinu dalam interval tertutup [a,b], maka definite integral memenuhi sifat-sifat umum sebagai berikut :

(1) = 0

(2) = -

(3) =

k

; dengan k adalah konstanta

(4) =

+

(5) + = ; untuk a < c < b

(6) a) Jika f(x) > 0 dalam interval a < x < b, maka > 0

(3)

TEORI LUAS

Menentukan Luas dengan Proses Limit

Misalkan kurva y = f(x) kontinu dalam interval a < x < b. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu x, dan garis-garis x = a dan x = b, dapat ditentukan dengan menggunakan proses limit sebagai berikut :

(1) Mula-mula interval [a,b] dibagi menjadi n buah sub-interval (panjang tiap sub interval tidak perlu sama) dengan cara menyisipkan (n-1) buah titik. Misalkan titik-titik itu adalah ξ1, ξ2, ξ3,…., ξn-1. Ditetapkan pula bahwa a = ξ0 dan b= ξn , sehingga a = ξ0 < ξ1 < ξ2 < …. < ξn = b. Dengan demikian, panjang setiap sub-interval adalah ∆x1= ξ1 – ξ0, ∆x2 = ξ2 – ξ1, ∆x3 = ξ3 – ξ2, ….., ∆xi = ξi – ξi-1,……., ∆xn = ξn – ξn-1. Dalam setiap sub-interval ∆xi = ξi – ξi-1, kita tentukan titik dengan absis xi dan koordinatnya f(xi). Kemudian dibuat persegi

panjang-persegi panjang dengan lebar ∆xi dan tinggi f(xi), seperti diperlihatkan pada

gambar dibawah ini. Perhatikan bahwa banyaknya persegi panjang yang dibuat dengan cara seperti itu ada n buah, dan luas masing-masing persegi panjang itu adalah

Y X 0 y=f(x) f(x1) f(xn) ∆x1 ∆x2 ∆x3 ∆xn X1 X2 X3 Xn L1 = f(x1).∆x1 L2 = f(x2).∆x2 L3 = f(x3).∆x3 . . . . . . Ln = f(xn).∆xn

(4)

n→∞ ∆x60

∫

b a

dx

x

f

(

)

n→∞ ∆x60

∫

b a

dx

x

f

(

)

(2) Luas daerah L didekati dengan jumlah semua luas persegi panjang tadi, Jadi,

L ≡ f(x1).∆x1 + f(x2).∆x2 + f(x3).∆x3 + ….. + f(xn).∆xn

Dengan menggunakan notasi sigma ( ∑ ) bagian ruas kanan dari bentuk di atas dapat dituliskan menjadi :

L ≡

∑

=

Δ

n i i i

x

f

1

.

)

(

Untuk menunjukkan bahwa penjumlahan tersebut mencakup ujung-ujung interval a dan b, maka hubungan di atas dapat ditulis sebagai berikut :

L ≡

∑

= =

Δ

b x a x

x

f

(

)

.

Bentuk penjumlahan

∑

=

Δ

n i i i

x

f

1

.

)

(

_{disebut sebagai jumlah Reimann.}

(3) Luas daerah L yang sebenarnya diperoleh dengan mengambil nilai n yang cukup besar (n 6 ∞). Ini berarti baha nilai ∆x menjadi kecil sekali (∆x 6 0). Dengan demikian, luas daerah L ditentukan dengan :

L =

lim

∑

=

Δ

n i i i

x

f

1

.

)

(

atau

L = lim

∑

= =

Δ

b x a x

x

f

(

)

.

Untuk menyederhanakan cara penulisan, bentuk-bentuk limit di atas dapat dituliskan menjadi :

lim

∑

=

Δ

n i i i

x

f

1

.

)

(

_{= lim}

∑

= =

Δ

b x a x

x

f

(

)

.

₌

Jadi, luas daerah L ditentukan oleh rumus :

L =

(5)

∫

b a

dx

x

f

(

)

∫

b a

dx

x

)

(

g

∫

b a

dx

x

f

(

)

-

g

(x)}

{

∫

b a

dx

x

f

(

)

-

g

(x)}

{

Menentukan Luas Daerah Antara Dua Kurva

Misalkan dua kurva masing-masing dengan persamaan y = f(x) dan y = g(x), merupakan kurva-kurva yang kontinu dan f(x) > g(x) dalam interval a < x < b. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a dan garis x = b diperlihatkan pada gambar di bawah. Kita dapat menentukan luas daerah yang diarsir (ABCD) dengan cara sebagai berikut :

Luas ABCD = Luas EFCD – Luas EFBA = – =

A

D

C

E

F

B

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x), garis x = a dan garis x = b, ditentukan dengan rumus :

L =

Dengan catatan bahwa f(x) > g(x) dalam interval a < x < b x = b

x = a

y = f(x)

(6)

PENGAPLIKASIAN DENGAN MAPLE

Contoh 1 Definite Integral :

> Int(x^2-x-6,x=0..2); value(%); d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ 0 2 − − x2 x 6 x -34 3

> Int(x^2-4*x+5,x=1..4); value(%); d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ 1 4 − + x2 4 x 5 x 6

> Int(x^2/2+2,x=1..2); value(%); d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ 1 2 + 1 2x2 2 x 19 6

> Int(3/(2*x+1),x=0..2); value(%); evalf(%,5); d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ 0 2 3 + 2 x 1 x

(7)

3 2ln 5( ) 2.4141

Contoh 5 Jumlah Reimann :

> restart: with(student): with(plots):

Warning, the name changecoords has been redefined

> f:= x -> x^2 + 3;

:=

f x → x2 + 3

> plot(f(x), x = 0..4, color = blue);

(8)

> leftsum(f(x), x = 0..4, 8); 1 2 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜_i

∑

₌7₀⎛_⎝⎜⎜1 + ⎞_⎠⎟⎟⎟⎟⎟_⎠⎞ 4i2 3 > evalf(%); 29.50000000

> leftbox(f(x), x = 0..4, 16, color = blue, shading = magenta);

> leftsum(f(x), x = 0..4, 16); 1 4 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜_i

∑

₌15₀⎛_⎝⎜⎜ 1 + ⎞_⎠⎟⎟⎟⎟⎟_⎠⎞ 16i 2 ₃ > evalf(%); 31.37500000

(9)

> leftsum(f(x), x = 0..4, 128); 1 32 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜_i

∑

127₌₀⎛_⎝⎜⎜ 1 + ⎞_⎠⎟⎟⎟⎟⎟_⎠⎞ 1024i2 3 > evalf(%); 33.08398438 > Int(f(x),x); d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮x2 + 3 x > int(f(x),x); + 1 3x 3 _{3 x} > int(f(x),x= 0..4); 100 3 > evalf(%); 33.33333333

dengan rumus definite integral dapat kita peroleh dengan mudah hasil yang sama : > f:= x^2 + 3; := f x2 + 3 > int (f(x), x=0..4);evalf(%); d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ 0 4 + ( ) x x 2 _{3 x} 33.33333333

(10)

Contoh 6 Jumlah Reimann :

> restart: with(student): with(plots):

> g:= x -> x + 5;

:=

g x → x + 5

> plot(g(x), x = 0..3, y = 0..8, color = blue);

> leftbox(g(x), x = 0..3, 3, color = blue, shading = magenta);

> leftsum(g(x), x = 0..3, 3);

∑

= i 0 2 (i + 5)

(11)

> evalf(%);

18.

> leftbox(g(x), x = 0..3, 12, color = blue, shading = magenta);

> leftsum(g(x), x = 0..3, 12); 1 4 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜_i

∑

₌11₀⎛_⎝⎜⎜1 + ⎞_⎠⎟⎟⎟⎟⎟_⎠⎞ 4i 5 > evalf(%); 19.12500000

(12)

> leftsum(g(x), x = 0..3, 243); 1 81 ⎛ ⎝ ⎜⎜⎜_i

∑

242₌₀⎛_⎝⎜⎜ 1 + ⎞_⎠⎟⎟⎟⎟⎟_⎠⎞ 81i 5 > evalf(%); 19.48148148 > Int(g(x),x); d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮x + 5 x > int(g(x),x); + 1 2x2 5 x > int(g(x), x = 0..3); 39 2 > evalf(%); 19.50000000

dengan rumus definite integral dapat kita peroleh dengan mudah hasil yang sama : > f:= x + 5; := f x + 5 > int (f(x),x=0..3);evalf(%); d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ 0 3 + ( ) x x 5 x 19.50000000

(13)

Contoh 7 Luas Diantara 2 Kurva : > restart; > with(plots): > f:= x -> x/3; := f x → 1 3x > g:= x -> -x; := g x → −x > h:= x -> (24 - 7*x) / 3; := h x → 8 − 7 3x

> a:= plot(f(x), x = -.5..7, thickness=2, color = brown):

> b:= plot(g(x), x = -.5..7, thickness=2, color = blue):

> c:= plot(h(x), x = -.5..7, thickness=2, color = magenta):

> d:= textplot([6,4,`f`], thickness=2, color = brown):

> e:= textplot([1.5,7,`h`], thickness=2, color = magenta):

> k:= textplot([2,-4,`g`], thickness=2, color = blue):

> p:= seq( plot([0 + i * (3/50) , t, t = g(0 + i*(3/50))..f(0 + i * (3/50))], thickness=2, color=red), i = 1..50):

> q:= seq( plot([3 + i * (3/50), t, t = g(3 + i *(3/50))..h(3 + i *(3/50))], thickness=2, color = brown), i = 0..49):

> display({a,b,c,d,e,k,p,q});

>#kita membutuhkan titik potong. >#kita tentukan f = g, h = g, dan h = f.

(14)

> solve(f(x) = g(x), x); 0 > solve(h(x) = g(x), x); 6 > solve(h(x) = f(x), x); 3

>#selesaikan dengan integral > int(x/3 + x, x= 0..3);

6

> int(8 - (7*x)/3 + x, x = 3..6);

6

Jadi, luas daearah antara 2 kurva = 12 sq units

Contoh 8 Luas Diantara 2 Kurva :

Tentukan luas area antara kurva y = 6 x x − 2 _dany = x2 − 4 x

>#kita membutuhkan titik potong. > f := x -> 6*x-x^2; g := x -> x^2-4*x; solve(f(x)=g(x),x); := f x → 6 x x − 2 := g x → x2 − 4 x , 0 5 > h := unapply(simplify(f(x)-g(x)),x); Int(h(x),x=0..5); value(%); := h x → 10 x 2 x − 2 d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ 0 5 − 10 x 2 x2 x 125 3

(15)

> areabetween([f(x),g(x)],x=[0..5,-1..6],shading=silver);

Jadi luas daerah yang diarsir = 125/3

Contoh 9 Luas Diantara 2 Kurva :

Tentukan luas area antara y = 8 x x − 2 _andy = x3 − 3 x2

jawab

tentukan titik potong kedua kurva > f := x -> 8*x-x^2; g := x -> x^3-3*x^2; solve(f(x)=g(x),x); := f x → 8 x x − 2 := g x → x3 − 3 x2 , , 0 4 -2

ilustrasikan dengan menggunakan grafik > f := x -> 8*x-x^2; g := x -> x^3-3*x^2; areabetween([f(x),g(x)],x=[-2..4,-2.3..4.3]); := f x → 8 x x − 2 := g x → x3 − 3 x2

(16)

(a) tentukan luas pada sisi kanan koordinat (0,0) d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ 0 4 (f x( ) − g x( )) x. > f := x -> 8*x-x^2; g := x -> x^3-3*x^2; Int(f(x)-g(x),x=0..4); value(%); := f x → 8 x x − 2 := g x → x3 − 3 x2 d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ 0 4 + − 8 x 2 x2 x3 x 128 3

(b) tentukan luas pada sisi kiri koordinat (0,0)

d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ −2 0 (g x( ) − f x( )) x. > f := x -> 8*x-x^2; g := x -> x^3-3*x^2; Int(g(x)-f(x),x=-2..0); value(%); := f x → 8 x x − 2 := g x → x3 − 3 x2

(17)

d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ -2 0 − − x3 2 x2 8 x x 20 3

Contoh 10 Luas Ellips Dibatasi Garis x=3 dan x=7 :

> restart: with(plots):

> f:=(x-5)^2/9+(y-7)^2/4=1; := f (x − 5) + = 2 9 (y − 7)2 4 1 > p1:=3: p2:=7: > implicitplot({x=p1,x=p2,f},x=0..10,y=4..10); > Y:=solve(f,y); := Y 7 + 2 − − + 16 x , 2 _{10 x} 3 7 − 2 − − + 16 x2 _{10 x} 3 > Int(Y[1]-Y[2],x=p1..p2); d ⌠ ⌡ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ 3 7 4 − − + 16 x2 _{10 x} 3 x > value(%); + 8 5 3 12arcsin⎛_⎝⎜⎜ ⎞_⎠⎟⎟ 2 3 > evalf(%); 14.71957982