Matematika Rekayasa 1: MATERI INTEGRAL

Mata kuliah : Matematika Rekayasa 1 Dosen Pengampu : Drs. Priyono, M.Pd

Agil Fitri Handayani, S.Pd., M.T

MATERI INTEGRAL

DISUSUN OLEH KELOMPOK 6:

1. PRAWIRA KERTA PRADANA 2. RANGGUN INDAH PERMATA

3. SAFRILIA AINIRA PINKANI 4. SALSA DWI ARSITA

5. SITI REGINA ERA FAJIRA 6. YULFA ANIFATULAIL Q

3-1

+

Integral adalah bentuk penjumlahan berkesinambungan (kontinu) yang merupakan anti turunan atau kebalikan dari turunan.

Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x), maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x).

PENGERTIAN INTEGRAL

1, 2, 3...

Setiap fungsi ini memiliki turunan f '(x) = 6x

²

Jadi, turunan fungsi f (x) = 2x

³

adalah f '(x) = 6 x

^2.

Menentukan fungsi f (x) dari f '(x) , berarti menentukan antiturunan dari f '(x).

Sehingga, integral merupakan antiturunan (antidiferensial) atau operasi invers terhadap diferensial. Jika f (x) adalah fungsi umum yang bersifat f '(x) = f (x) , maka f (x) merupakan antiturunan atau integral dari F '(x) = f (x).

PENGERTIAN INTEGRAL

Apa itu Integral Tak Tentu?

Integral Tak Tentu (undefinite integral) adalah bentuk integral yang variabel integrasinya tidak memiliki batas sehingga integrasi dari sebuah fungsi akan menghasilkan banyak kemungkinan dan hanya dinyatakan sebagai penyelesaian umum.

5

2

Bentuk Integral Tak Tentu?

5

2

Sifat Integral Tak Tentu

2

Perhatikan rumus dibawah ini :

Rumus Integral Tak Tentu

1+1

kita tahu kalau integral tak tentu

berarti nilai atau batasannya

belum pasti, sehingga ada nilai

konstanta di dalamnya.

Soal Jawaban

Contoh Soal Integral Tak Tentu

+

Hasil dari :

Apa itu Integral Tentu?

Integral tentu adalah integral yang sudah ditentukan nilai awal dan akhirnya, ada rentang a-b. a-b merupakan batas atas dan bawah.

5

2

Bentuk Integral Tentu?

Nah, karena batasnya udah diketahui, maka grafik integral tentu ini bisa digambarkan sebagai berikut:

5

2

Sifat Integral Tentu

2

Perhatikan rumus dibawah ini :

Rumus Integral Tentu

1+1

Integral dari f(x) terhadap dx

dari b sampai a adalah F(a)

dikurangi F(b). Dengan F'(x)

adalah fungsi yang turunannya

bernilai f(x) Hasil dari definite

integral adalah suatu angka

yang pasti.

Aplikasi Integral Tentu

Integral tentu biasanya digunakan buat

menghitung luas daerah yang nggak beraturan

dan volume benda putar. 

Soal Jawaban

Tentukan Jawaban : Kita memiliki fungsi f(x) = 3x².

Dengan definite integral, maka kita akan memperoleh

Contoh Soal Integral Tentu

+

Lalu, kita substitusikan batas atas dan bawahnya ke dalam hasil f(x) = x³. Batas atas = 2 –> f(2) = 2³ = 8.

Batas bawah = 1 –> f(1) = 1³ = 1. Maka

= f(2) – f(1) = 8 – 1 = 7.

Integral Fungsi Rasional

3-2

PENGERTIAN

INTEGRAL FUNGSI

RASIONAL. M enurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom).

9

+

Fungsi f dan g di atas dinamakan fungsi rasional sejati karena pangkat dari 

pembilang kurang dari pangkat penyebut. Sebaliknya, fungsi h adalah fungsi rasional  tidak sejati karena pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebut.

Bentuk Integral Fungsi Rasional

5

2

Fungsi y=1/x

Contoh Soal Integral Fungsi Rasional.

2

Dengan mengggunakan

substitusi 

u=x+1u=x+1

, maka

    

1

Contoh Soal Integral Fungsi Rasional.

2

Penyelesaian:

Pikirkan dahulu

substitusi 

u=x

²

−4x+8u=x2−4x+8

 sehingga 

du=(2x−4),

Kemudian kita peroleh,

Dalam integral kedua, buatlah menjadi kuadrat murni, sebagai berikut.

Dengan demikian, kita peroleh

Integral Fungsi Eksponen

3-2

Integral fungsi eksponen…?

Bentuk integral eksponen yang pertama kali harus kita ketahui adalah dengan e adalah bilangan natural yang besarnya

e =2,71828182845904523….

Terkadang e^x biasa ditulis menjadi exp (x) Jadi

∫exp (x) dx = exp (x) + c  

Bagaimana jika bilangan pokoknya bukan e ? Dengan a adalah bilangan positif

Sedangkan ln a = ^elog a

Oleh sebab itu kita tidak perlu menuliskan karena ln e = ^elog e = 1

9

Sifat Integral Fungsi Eksponen

 

1.

Grafiknya berbentuk garis lengkung Fungsi eksponensial merupakan fungsi kontinu, karena nilai- nilainya tidak bersifat diskrit. Nilainya yang kontinu membuat grafik fungsi eksponensial berbentuk garis  melengkung yang menanjak maupun menurun.

 

2.

Fungsi injektif Fungsi eksponensial adalah fungsi injektif atau fungsi satu-satu. Dilansir dari 

Mathematics LibreTexts, hal tersebut menyebabkan setiap nilai y pada grafik hanya muncul satu kali saja  untuk nilai x tertentu. Artinya, hanya ada satu nilai y yang berbeda untuk setiap nilai x. 

3.

Grafik fungsi eksponen memiliki domain bilangan real dari mulai bilangan minus tak hingga sampai  bilangan tak hingga. Adapun, grafik fungsi eksponensial memiliki range bilangan real positif dari mulai 0  sampai bilangan tak hingga. 

Tidak pernah memotong sumbu x Karena rangenya merupakan bilangan real positif, maka nilai y dari  fungsi eksponen selalu positif (tidak pernah negatif). Dilansir dari Lumen Learning, grafik eksponensial  menurun terlihat mendekati sumbu x tetapi tidak pernah menyentuhnya. Artinya, kurva atau grafik fungsi  eksponensial tidak pernah memotong sumbu x.

 

Sifat Integral Fungsi Eksponen

 

4.

Memiliki asimtot datar Karena tidak pernah memotong sumbu y, grafik fungsi  eksponensial memiliki asimtot datar (asimtot horizontal) yaitu Y=0.

5.

Secara umum grafik fungsi eksponensial terbagi menjadi dua jenis, yaitu eksponensial  menanjak dan eskponensial menurun. Jenis grafik fungsi eksponensial ditentukan oleh  nilai a dalam persamaannya. Persamaan fungsi eksponensial: f(x) = a^x Dengan, a: 

konstanta x: variabel.

 

6.

Grafik eksponensial menanjak Grafik eksponensial menanjak terjadi jika nilai a nya  lebih besar dari 1 (a > 1). Grafik eksponensial menanjak memiliki nilai yang perlahan  meningkat di awal dan kemudian meningkat dengan cepat.

7.

Grafik eskponensial menurun Grafik eskponensial menurun terjadi jika nilai a nya  berada di antara 0 dan 1 (0 < a < 1). Grafik eksponensial menurun dimulai dengan  penurunan nilai fungsi secara perlahan dan kemudian menurun dengan cepat.

Contoh grafik eksponen menanjak

2

Contoh grafik eksponen menurun

Contoh Soal Integral Fungsi Eksponen

1

Jawab :

misal y = 5x + 3 maka

Jadi

 

Contoh Soal Integral Fungsi Eksponen

2

Jawab :

Misalkan y = sin x maka

Integral

Trigonometri

3-2

Integral

trigonometri…?

Dalam Matematika Integral Trigonometri sendiri adalah kelompok integral yang melibatkan pada fungsi trigonometri. Dan trigonometri sendiri

adalah salah satu cabang ilmu matematika yang membahas relasi antar sisi dan sudut segitiga, khususnya segitiga siku-siku.

9

Integral Trigonometri

Contoh Soal Integral Triggonometri

1

● ∫(4 sin x + cos x) dx =

“ Ingat lagi rumus integral trigonometri, bahwa: “

∫ cos xdx = sin x + C

∫ sin xdx = – cos x + C

Dari rumus di atas, bisa kita uraikan sebagai berikut.

∫(4 sin x + cos x) dx = -4 cos x + sin x + C.

∫ cos xdx = sin x + C

∫ sin xdx = – cos x + C

∫(4 sin x + cos x) dx = -4 cos x + sin x + C

.

Contoh Soal Integral Trigonometri

2

Jawab :

Berapakah hasil dari integral ∫sec2 (23x) dx ?

Teknik Integral

5

Dalam mengerjakan materi ini, dibutuhkan teknik atau metode untuk menyelesaikan persamaan integral. Tenik tersebut terbagi menjadi dua, yaitu teknik integral substitusi

dan parsial.

1. Teknik Integral substitusi

Jika sebuah persamaan integral begitu kompleks, maka dibutuhkan teknik substitusi untuk menyederhanakannya.

Rumus integral subtitusi adalah sebagai berikut:

 

2. Teknik Integral Parsial

Integral parsial digunakan dengan memisahkan dua fungsi berbeda, tetapi memiliki variabel yang sama. Rumus integral parsial adalah sebagai berikut:

#

Di mana f(x) = u, sehingga

du = f(X)dx; dan g(x) = v,

sehingga dv = g(x)dx.

Dari perhitungan tersebut, diperoleh rumus sederhana sebagai berikut:

f(x) memiliki derajat n yang

lebih besar dari 1, di mana n

adalah bilangan asli. Untuk

menghitungnya, pecah kedua

fungsi seperti skema di

bawah ini:

Contoh Soal