Makalah Integral Lipat 3

BAB I

BAB I

PEMBAHASAN

PEMBAHASAN

1.

1.

In

In

teg

teg

ra

ra

l L

l L

ip

ip

at

at

Ti

Ti

ga

ga

Sama seperti kita mendefinisikan integral tunggal untuk fungsi suatu Sama seperti kita mendefinisikan integral tunggal untuk fungsi suatu variable dan integral lipat dua variable, kita dapat mendefinisikan integral variable dan integral lipat dua variable, kita dapat mendefinisikan integral lipat-iga untuk fungsi tlipat-iga variable. Pertama-tama marilah kita menangani kasus paling iga untuk fungsi tiga variable. Pertama-tama marilah kita menangani kasus paling sederhana di mana

sederhana di mana f f   didefinisikan pada kotak segiempat  didefinisikan pada kotak segiempat 

!

!aannggkkaah h peerrttaamp ma a aaddaallaahh mem

membagbagi i B B menmen"ad"adi i kotkotak-ak-kotkotak ak   bagian.

 bagian. #ita #ita lakukan lakukan ini ini dengandengan me

membmbagagi i selselanangg

[[

aa ,, bb

]]

  men"adi  men"adi ll   se  sellaanngg--bbaaggiiaann

[[

 x xii−−11,, xxii

]]

 berlebar

 berlebar samasama ∆ x∆ x , , memembmbagagii

[[

cc ,, dd

]]

  _{m  meenn""aaddii} m_{m   selang-}  selang- bagian

 bagian berlebar berlebar samasama ∆ ∆ yy dandan me

membmbagagii

[[

rr ,, ss

]]

  me  men"n"adadii nn selselangang-ba-bagiagian n berberleblebar ar samasama ∆ z∆ z . Bidang-. Bidang- bidang

 bidang $ang $ang melalui melalui titik titik u"ung u"ung selangbagian-selangbagian selangbagian-selangbagian ini ini $ang $ang se"a"ar se"a"ar  terhad

terhadap bidang-biap bidang-bidang kordindang kordinat membagi kotakat membagi kotak BB   men  men"ad"adii lmnlmn   kotak-  kotak- bagian.

 bagian. B

B_ijk ijk 

=

=

[[

 x x_ii−−11,, xx_ii

]]

××

[[

 y y _j j−−11,, yy _j j

]]

××

[[

 z z_{k k −−11}, , yy_k k 

]]

1

%ang diperlihatkan dalam &ambar '. Masing-masing kotak bagian mempun$ai %ang diperlihatkan dalam &ambar '. Masing-masing kotak bagian mempun$ai volume

volume ∆∆ V V 

=

=

∆ x∆ x ∆ ∆ y ∆ zy ∆ z #emudian kita bentuk

#emudian kita bentuk jumlah Riemann r jumlah Riemann rangkap-tigaangkap-tiga

de

dengngan an tittitik ik samsampepell

((

 x xijk ijk 

¿

¿

, , yy_{ijk ,ijk ,}¿¿  z z_ijk ijk ¿¿

))

_{teterlerletak ptak padadaa} BB_{ijk ijk  . Berdasarkan. Berdasarkan} ana

analoglogi i dendengan gan defdefiniinisi si intintegregral al liplipat-dat-duaua

((

16.1.516.1.5

))

, kita definisikan integral, kita definisikan integral lipat-tiga sebagai limit dari "umlah (iemann rangkap-tiga dalam

lipat-tiga sebagai limit dari "umlah (iemann rangkap-tiga dalam

((

22

))

..

Sek

Sekali lagi, integali lagi, integral lipat-ral lipat-tigtiga a selaselalu ada lu ada "ik"ikaa f f    kontinu. #ita dapat  kontinu. #ita dapat memilih titik sampel sebagai sebarang titik di dalam kotak-bagian, tetapi "ika kita memilih titik sampel sebagai sebarang titik di dalam kotak-bagian, tetapi "ika kita

memilih titik sampel ini sebagai titik memilih titik sampel ini sebagai titik

 x  x

((¿

¿

¿

¿

ii ,, yy j j,, zzk k 

))

¿

¿

 kita peroleh ekspresi $ang kita peroleh ekspresi $ang

kelihatan lebih sederhana untuk integral lipat-tiga  kelihatan lebih sederhana untuk integral lipat-tiga 

∑

∑

ii==11 ll

∑

∑

 j j==11 m m

∑

∑

k  k ==11 n n

f f 

 ( (

 x x_ijk ijk ¿¿ ,, yy¿¿_{ijk ,ijk ,} z z_ijk ijk ¿¿

))

∆∆ V V  2

2

Defnisi Integral lipat-tiga

Defnisi Integral lipat-tiga dari

 dari

f f 

 pada kotak

 pada kotak

B B

 _adalah

 _adalah

∭

∭

B B f f 

 ( (

 x x , y, y ,, zz

))

dV dV 

=

=

limlim l , m , n → ∞ l , m , n → ∞

∑

∑

_ii==11 ll

∑

∑

 j j==11 m m

∑

∑

k  k ==11 n n

f f 

 ( (

 x x_ijk ijk ¿¿ ,, yy¿¿_{ijk ,ijk ,} z z_ijk ijk ¿¿

))

∆∆ V V  3 3

∭

∭

B B f f 

 ( (

 x x , y, y ,, zz

))

dV dV 

=

=

limlim l , m , n → ∞ l , m , n → ∞

∑

∑

_ii==11 ll

∑

∑

 j j==11 m m

∑

∑

k  k ==11 n n f f 

 ( (

 x x_ii, y, y _j j,, zz_k k 

))

∆∆ V V 

%ang diperlihatkan dalam &ambar '. Masing-masing kotak bagian mempun$ai %ang diperlihatkan dalam &ambar '. Masing-masing kotak bagian mempun$ai volume

volume ∆∆ V V 

=

=

∆ x∆ x ∆ ∆ y ∆ zy ∆ z #emudian kita bentuk

#emudian kita bentuk jumlah Riemann r jumlah Riemann rangkap-tigaangkap-tiga

de

dengngan an tittitik ik samsampepell

((

 x xijk ijk 

¿

¿

, , yy_{ijk ,ijk ,}¿¿  z z_ijk ijk ¿¿

))

_{teterlerletak ptak padadaa} BB_{ijk ijk  . Berdasarkan. Berdasarkan} ana

analoglogi i dendengan gan defdefiniinisi si intintegregral al liplipat-dat-duaua

((

16.1.516.1.5

))

, kita definisikan integral, kita definisikan integral lipat-tiga sebagai limit dari "umlah (iemann rangkap-tiga dalam

lipat-tiga sebagai limit dari "umlah (iemann rangkap-tiga dalam

((

22

))

..

Sek

Sekali lagi, integali lagi, integral lipat-ral lipat-tigtiga a selaselalu ada lu ada "ik"ikaa f f    kontinu. #ita dapat  kontinu. #ita dapat memilih titik sampel sebagai sebarang titik di dalam kotak-bagian, tetapi "ika kita memilih titik sampel sebagai sebarang titik di dalam kotak-bagian, tetapi "ika kita

memilih titik sampel ini sebagai titik memilih titik sampel ini sebagai titik

 x  x

((¿

¿

¿

¿

ii ,, yy j j,, zzk k 

))

¿

¿

 kita peroleh ekspresi $ang kita peroleh ekspresi $ang

kelihatan lebih sederhana untuk integral lipat-tiga  kelihatan lebih sederhana untuk integral lipat-tiga 

∑

∑

ii==11 ll

∑

∑

 j j==11 m m

∑

∑

k  k ==11 n n

f f 

 ( (

 x x_ijk ijk ¿¿ ,, yy¿¿_{ijk ,ijk ,} z z_ijk ijk ¿¿

))

∆∆ V V  2

2

Defnisi Integral lipat-tiga

Defnisi Integral lipat-tiga dari

 dari

f f 

 pada kotak

 pada kotak

B B

 _adalah

 _adalah

∭

∭

B B f f 

 ( (

 x x , y, y ,, zz

))

dV dV 

=

=

limlim l , m , n → ∞ l , m , n → ∞

∑

∑

_ii==11 ll

∑

∑

 j j==11 m m

∑

∑

k  k ==11 n n

f f 

 ( (

 x x_ijk ijk ¿¿ ,, yy¿¿_{ijk ,ijk ,} z z_ijk ijk ¿¿

))

∆∆ V V  3 3

∭

∭

B B f f 

 ( (

 x x , y, y ,, zz

))

dV dV 

=

=

limlim l , m , n → ∞ l , m , n → ∞

∑

∑

_ii==11 ll

∑

∑

 j j==11 m m

∑

∑

k  k ==11 n n f f 

 ( (

 x x_ii, y, y _j j,, zz_k k 

))

∆∆ V V 

Sama seperti untuk integral lipat-dua, metode praktis untuk penghitungan Sama seperti untuk integral lipat-dua, metode praktis untuk penghitungan int

integregral al liplipat-tat-tiga iga adaadalah lah menmen$at$atakaakann$nn$a a sebsebagai agai intintegregral al berberulaulang ng sebsebagaiagai  berikut.

 berikut.

)ntegral berulang pada ruas kanan *eorema +ubini bermakna baha pertama )ntegral berulang pada ruas kanan *eorema +ubini bermakna baha pertama kit

kita a menmengingintegtegralkralkan an terterhadhadapap  x   denga x   dengan mempen mempertahankrtahankanan  y   d y   daann  z z tetap

tetap, , kemudkemudian kita ian kita integintegralkan terhadapralkan terhadap  y y dengdengan mempertahan mempertahankanankan  z z tetap, dan akhirn$a kita integralkan terhadap

tetap, dan akhirn$a kita integralkan terhadap  z z . *erdapat lima kemungkinan. *erdapat lima kemungkinan ur

urututan an lalain in $a$ang ng dadapapat t kikita ta lalakukukakan n dadalalam m memengnginintetegrgralalkakan, n, sesemumuanan$$aa memberikan nilai sama. Misaln$a, "ika kita integralkan terhadap

memberikan nilai sama. Misaln$a, "ika kita integralkan terhadap  y y , kemudian, kemudian  z

 z , dan kemudian, dan kemudian  x x , kita mempun$ai, kita mempun$ai

∭

∭

B B f f 

 ( (

 x x , , yy ,, zz

))

dV dV 

=

=

∫

∫

a a b b

∫

∫

rr ss

∫

∫

cc d d f f 

 ( (

 x x ,, yy ,, zz

))

dyddydzz dxdx CONTOH 1 CONTOH 1

Hitunglah integral lipat-tiga

Hitunglah integral lipat-tiga

∭

∭

_BB  xyz xyz

2 2

dV  dV 

, dengan

, dengan BB  adalah kotak segiempat adalah kotak segiempat $ang diberikan oleh

$ang diberikan oleh B

B

=

=

{{

((

 x x , y, y ,, zz

))

∣∣

00≤ x≤ x ≤≤1,1,

−

−

11≤ ≤ yy ≤≤2,2, 00≤≤ zz ≤≤33

}}

PENYELEAIAN

PENYELEAIAN

Teorema Fubini untuk Integral Lipat-Tiga

Teorema Fubini untuk Integral Lipat-Tiga  jika

 jika

f f 

kontinu pada kotak

kontinu pada kotak

BB

=

=

 a , b × b , c ×  a , b × b , c × r ,r , ss

, maka

, maka

∭

∭

f f 

 ( (

 x x , y, y ,, zz

))

dV dV 

=

=

∫

∫

b b

∫

∫

ss

∫

∫

dd f f 

 ( (

 x x ,, yy ,, zz

))

ddyy ddzz ddxx 4 4

#ita dapat menggunakan salah satu dari enam urutan pengintegralan $ang mungkin. /ika kita memilih untuk mengintegralkan terhadap  x , kemudian

 y , dan kemudian  z , kita peroleh

∭

B  xyz2dV 

=

∫

0 3

∫

−1 2

∫

0 1  xyz2dxdy dz

¿

∫

0 3

∫

−1 2

[

 x2 yz2 2

]

 _x=0  x=1 dy dz

¿

∫

0 3

∫

−1 2  yz2 2  dydz

¿

∫

0 3

[

y2 z2 4

]

 _y=−1  y=2 dz

¿

∫

0 3 3 z2 4 dz

¿

 z 3 4

]

0 3

¿

27 4

Sekarang kita definisikan integral lipat-tiga pada daerah umum terbatas  E  dalam ruang tiga dimensi benda pe"al dengan prosedur $ang hampir sama seperti $ang kita gunakan untuk integral lipat-dua. #ita lingkupi  E   dalam sebuah kotak B $ang ber"enis sama seperti persamaan '. #emudian kita definisikan fungsi  F  agar fungsi ini sesuai dengan f    pada  E   tetapi  bernilai 0 untuk titik-titik pada B  $ang diluar  E . Menurut definisi,

∭

 E

f 

 (

 x , y , z

)

dV 

=

∭

B

 F 

(

 x , y , z

)

dV 

)ntegral ini ada "ika f   kontinu dan perbatasan  E  adalah 1dapat dikatakan mulus2. )ntegral lipat-tiga mempun$ai sifat $ang pada dasarn$a sama seperti integral lipat-dua

#ita batasi perhatian kita pada fungsi kontinu f    dan pada "enis daerah sederhana $ang tertentu. 3aerah pe"al  E  dikatakan sebagai !erjeni" 1 "ika daerah ini terletak diantara grafik dua fungsi kontinu  x   dan  y , dengan kata lain

dengan  D   adalah pro$eksi  E  pada bidang- xy   seperti diperlihatkan dalam &ambar 4. Perhatikan baha perbatasan atas benda pe"al  E   adalah  permukaan dengan persamaan  z

=

u2

(

 x , y

)

, sedangkan perbatasan baah

adalah permukaan  z

=

u1

(

 x , y

)

.

 E

=

{

(

 x , y , z

)

∣

(

 x , y

)

∈

 D , u₁

(

 x , y

)

≤ z≤ u₂

(

 x , y

)

}

5

Berdasarkan "enis argumentasi $ang sama $ang menghasilkan , dapat diperlihatkan baha "ika  E adalah daerah "enis ) $ang diberikan oleh  persamaan 5, maka

Makna dari integral sebelah dalam pada ruas kanan persamaan 6 adalah  baha  x   dan  y dipegang tetap, dan karenan$a u1

(

 x , y

)

dan

u₂

(

 x , y

)

_{dipandang sebagai konstanta, selama} f 

 (

 x , y , z

)

  _{diintegralkan}

terhadap  z .

#hususn$a, "ika pro$eksi  D   dari  E  pada bidang- xy  adalah daerha  bidang "enis ' seperti dalam gambar 7

Maka,

 E

=

{

(

 x , y , z

)

∨

a ≤ x ≤ b , g₁

(

 x

)

≤ y≤ g₂

(

 x

)

, u₁

(

 x , y

)

≤ z≤ u₂

(

 x , y

)

}

dan persamaan 6 men"adi

∭

 E f 

 (

 x , y , z

)

dV 

=

∬

 D

[

∫

u1( x , y) u_{2( x, y)} f 

 (

 x , y , z

)

dz

]

dA 6

∭

 E f 

 (

 x , y , z

)

dV 

=

∫

a b

∫

g₁( x) g2( x)

∫

u₁( x, y) u2( x, y) f 

 (

 x , y , z

)

dzdydx

7

Sebalikn$a, "ika  D  adalah daerah bidang )) seperti dalam gambar 8

Maka,

 E

=

{

(

 x , y , z

)

∨

c ≤ y ≤ d , 1

(

 y

)

≤ x≤ 2

(

 y

)

, u1

(

 x , y

)

≤ z≤ u2

(

 x , y

)

}

dan persamaan 6 men"adi

CONTOH #

Hitunglah

∭

 _E  z dV ,d!ngan E adalah bidang empat tetrahedron pe"al $ang dibatasi oleh empat bidang  x

=

0, y

=

0, z

=

0, dan x

+

 y

+

 z

=¿

8

∭

 E f 

 (

 x , y , z

)

dV 

=

∫

c d

∫

_1( y) 2( y)

∫

u_{1( x, y)} u2( x, y) f 

 (

 x , y , z

)

dzdxdy

PENYELEAIAN

#etika kita men$usun integral lipat-tiga adalah bi"aksana untuk menggambar dua diagram $aitu satu berupa daerah pe"al  E  lihat gambar 5 dan ' adalah pro$eksi  D  pada bidang- xy  lihat gambar 6. Batas baah bidang-empat adalah bidang  z

=

0 _{dan batas atasn$a bidang}

+

 y

+

 z

=

_{1   atau}

(

 z

=

1

−

 x

−

 y

)

_{, sehingga kita}

gunakan u1

(

 x , y

)

=

0   dan u2

(

 x , y

)

=

1

−

 x

−

 y  dalam rumus 9. Perhatikan baha

 bidang-bidang  x

+

 y

+

 z

=

1   dan  z

=

0   berpotongan pada garis  x

+

 y

=

1   atau

(

 y

=

1

−

 x

)

  _{di bidang- xy . Sehingga pro$eksi  E  adalah daerh segitiga $ang} diperlihatkan dalam gambar 6, dan kita mempun$ai

 E

=

{

(

 x , y , z

)

∨

0≤ x ≤1, 0≤ y ≤1

−

 x ,0≤ z ≤1

−

 x

−

 y

}

Pendeskripsian  E  sebagai daerah "enis ' ini membuat kita bisa menghitung integral sebagai berikut   z dV 

=¿

∫

0 1

∫

0 1− x

∫

0 1− x− y  z dz dy dx

∭

 E

¿

¿

∫

0 1

∫

0 1− x

[

 z2 2

]

 _z=0  z=1− x− y dy dx

9

¿

1 2

∫

₀ 1

∫

0 1− x

(

1

−

 x

−

 y

)

2dy dx 1

−

 x

−

 y

−¿

¿

−

(

¿

3

_¿¿

3

]

 _y y₌=₀1− xdx

¿

¿

¿

1 2

∫

₀ 1

¿

¿

 1 6

∫

₀ 1

(

1

−

 x

)

3dx

¿

 1 6

[

−

(

1

−

 x

)

4 4

]

₀ 1

¿

1 24

3aerah pe"al  E  adalah "enis 4 "ika berbentuk  E

=

{

(

 x , y , z

)

∨

(

 y , z

)

∈

 D ,u₁

(

 y , z

)

≤ x ≤ u₂

(

 y , z

)

}

kali ini dengan  D   adalah pro$eksi  E   pada bidang- yz   lihat gambar 9. Permukaan belakang adalah  x

=

u1

(

 y , z

)

 dan permukaan depan adalah u2

(

 y , z

)

dan kita mempun$ai

Akhirn$a daerah jeni" $ berbentuk  E

=

{

(

 x , y , z

)

∨

(

 x , z

)

∈ D , u₁

(

 x , z

)

≤ x≤ u₂

(

 x , z

)

}

dengan  D adalah pro$eksi  E pada bidang- xz ,  y

=

u1

(

 y , z

)

  _adalah

 permukaan kiri dan  y

=

u2

(

 y , z

)

adalah permukaan kanan lihat gambar :. ;ntuk 

daerah "enis ini kita mempun$ai

∭

 E f 

 (

 x , y , z

)

dV 

=

∬

 D

[

∫

u₂( y , z) u2( y , z) f 

 (

 x , y , z

)

]

dA

1

∭

 E f 

 (

 x , y , z

)

=

∬

 D

[

∫

u₁( x , z) u2( x , z) f 

 (

 x , y , z

)

dy

]

dA

1

3alam masing- masing persamaan '0 dan '' boleh "adi terdapat dua ekspresi $ang mungkin untuk integral tersebut tergantung pada apakah  D  daerah bidang  ber"enis ' atau "enis 4 dan berpadanan terhadap persamaan 9 dan :.

CONTOH $

Hitung

∭

 _E

√ 

 x

2

+

 z2dV ,

dengan  E  adalah daerah $ang dibatasi oleh paraboloid

 y

=

 x2

+

 z2  _{dan bidang  y}

=

4 PENYELEAIAN %

Benda pe"al  E diperlihatkan dalam gambar <. /ika kita pandang benda sebagai daerah "enis ', maka kita perlu menin"au pro$eksi  D   ke bidang

−

 xy , $ang  berupa daerah parabola dalam gambar '0 "e"ak dari  y

=

 x2

+

 z2  di bidang  z

=

0

adalah parabola  y

=

 x2 

3ari  y

=

 x2

+

 z2 kita dapatkan  z

=

"

√ 

 y

−

 x2 , sehingga permukaan perbatasan  baah dari  E  adalah  z

=−

√ 

 y

−

 x2  dan permukaan atasn$a adalah  z

=

√ 

 y

−

 x2

. #arena itu pen"abaran  E  sebagai daerah "enis ' adalah

 E

=

{

(

 x , y , z

)

∨−

2≤ x ≤2, x2≤ y ≤4,

−

√ 

 y

−

 x2≤ z ≤

√ 

 y

−

 x2

}

Sehingga kita peroleh

∭

 E

√ 

 x2

+

 z2dV 

=

∫

−2 2

∫

 x2 4

∫

−√  y− x2 √  y− x2

√ 

 x2

+

 z2dzdydx

=alaupun ekspresi ini benar, ekspresi ini sagat sukar untuk dihitung. Sebagai g antin$a marilah kita menin"au  E sebagai daerah "enis 7. 3engan demikian  pro$eksin$a  D3 _{ke dalam bidang}

−

 xz _{berupa >akram}  x

2

+

 z2≤4   _$ang

diperlihatkan pada gambar ''.

Maka perbatasan kiri dari E adalah paraboloid  y

=

 x2

+

 z2   dan perbatasan kanan adalah bidang  y

=

4 , sehingga dengan mengambil u1

(

 x , z

)

=

 x

2

+

 z2 _dan u2

(

 x , z

)

=

4  dalam persamaan '', kita mempun$ai

∭

 E

√ 

 x2

+

 z2dV 

=

∬

 D3

[

 ∫

 x2+ z2 4

√ 

 x2

+

 z2dy

]

dA

¿

∬

 D3

(

4

−

 x2

−

 z2

)

√ 

 x2

+

 z2dA

=alaupun integral ini dapat dituliskan sebagai

∫

−2 2

∫

−√ 4− x2 √ 4− x2

(

4

−

 x2

−

 z2

)

√ 

 x2

+

 z2dzdx

Adalah lebih mudah untuk beralih ke kordinat polar di bidang- xz : x

=

r cos # . )ni memberikan

∭

 E

√ 

 x2

+

 z2dV 

=

∬

 D3

(

4

−

 x2

−

 z2

)

√ 

 x2

+

 z2dA

¿

∫

0 2$ 

∫

0 2

(

4

−

r2

)

r r d r d #

=

∫

0 2$  d#

∫

0 2

(

4r2

−

r4

)

dr

¿

2$ 

[

4r 3 3

−

r5 5

]

0 2

=

128$  15

a. Penerapan Integral Lipat Tiga

)ngat baha "ika f 

 (

 x

)

%0 , maka integral tunggal

∫

a b

f 

 (

 x

)

_{dx  men$atakan}

luas dibaah kurva  y

=

f 

(

 x

)

mulai dari a ke b, dan "ika f 

 (

 x , y

)

%0   maka

integral lipat dua

∬

 D

f 

 (

 x , y

)

dA _{men$atakan volume di baah permukaan}

 z

=

f 

(

 x , y

)

 _{dan di atas D. Penafsiran integral lipat-tiga}

∭

 E

❑

f 

 (

 x , y , z

)

_{dV   $ang}

terkait, dengan f 

 (

 x , y , z

)

%0 tidaklah terlalu berguna karena aka berupa 1hipervolume2 dari beda empat dimensi, dan tentu sa"a amat sukar untuk  divisualisasikan. ingat baha  E   han$alah daerah asal domain fungsi f  ? grafik  f  _{terletak diruang empat dimensi. meskipun demikian, integral lipat-tiga}

∭

 E

❑

(

 x , y , z

)

_{dV   dapat ditafsirkan dalam >ara $ang berbeda dalam situasi fisis $ang}  berlainan, tergantung pada penafsiran fisis dari  x , y , z  dan f 

 (

 x , y , z

)

.

Marilah kita mulai dengan kasus khusus di mana f 

 (

 x , y , z

)

=

1  untuk semua titik dalam  E . Maka integral lipat-tiga memang en$atakan volume  E

Sebagai >ontoh, anda dapat melihat ini pada kasus daerah "enis ' dengan meletakkan f 

 (

 x , y , z

)

=

1  _{dalam rumus 6}

∭

 E 1dV 

=

∬

 D

[

∫

u1( x, y) u2( x, y) dz

]

dA

=

∬

 D

[

u2

(

 x , y

)

−

u1

(

 x , y

)

]

dA

dan dari materi sebelumn$a kita mengetahui baha ini men$atakan volume $ang terletak di antara permukaan-permukaan  z

=

u1

(

 x , y

)

 _{dan  z}

=

u2

(

 x , y

)

_.

CONTOH &

&unakan integral lipat-tiga untuk men>ari volume bidang@empat &   $ang dibatasi oleh bidang-bidang  x

+

2 y

+

2 z

=

2 ,  x

=

2 y , x

=

0 , dan  z

=

0 .

PENYELEAIAN

Bidang-empat &   dan pro$eksin$a  D  pada bidang  xy  diperlihatkan dalam gambar '4 dan '7. Perbatasan baah &   adalah bidang  z

=

0  dan perbatasan atas adalah bidang  x

+

2 y

+

2 z

=

2 , $aitu  z

=

2

−

 x

−

2 y . #arena itu, kita mempun$ai

V 

 (

 E

)

=

∭

 E

dV 

V 

 (

& 

)

=

∭

&  dV 

¿

∫

0 1

∫

 x 2 1− x 2

∫

0 2− x−2 y dzdydx

¿

∫

0 1

∫

 x 2 1− x 2

(

2

−

 x

−

2 y

)

dy dx

¿

1 3

Perhatikan baha kita tidak perlu menggunakanintegral lipat-tiga untuk  menghitung volume. )ntegral ini han$alah metode alternatif untuk pen$usunan  perhitungan

Semua penerapan integral dua dapat langsung dipeluas ke integral lipat-tiga. Misaln$a, "ika fungsi kerapatan dari benda pe"al $ang menempati daerah  E adalah  '

(

 x , y , z

)

, dalam satuan massa tiap satuan volume, di sembarang titik 

(

 x , y , z

)

 _{$ang diberikan, maka massa-n$a adalah}

3an momen-n$a terhadap tiga bidang koordinat adalah

Pusat massan$a terletak di titik

(

 x ,

´

 ´

 y , z

´

)

, dengan

1

m

=

∭

 E  '

(

 x , y , z

)

dV 

∭

 E  x'

(

 x , y , z

)

dV (  _xz

=

∭

 E  y'

(

 x , y , z

)

dV   (  _xy

=

∭

 E  z'

(

 x , y , z

)

dV 

1

´

 x

=

 (yz m  y

´

=

 (  _xz m  z

´

=

 (  _xy m

/ika kerapatann$a konstan, pusat massa benda pe"al disebut sentroid dari  E . Momen inersia terhadap tiga bidang koordinat adalah

 )  _x

=

⨌

 _E

(

 y2

+

 z2

)

 '

(

 x , y , z

)

dV   )  _y

=

⨌

 _E

(

 x2

+

 z2

)

 '

(

 x , y , z

)

dV   )  _z

=

⨌ _E

(

 x2

+

 y2

)

 '

(

 x , y , z

)

dV 

Muatan listrik total pada suatu benda pe"al $ang menempati daerah E dan mempun$ai kerapatan muatan * 

(

 x , y , z

)

 adalah

/ika kita mempun$ai tiga variabel a>ak kontinu ,%,dan  , fungsi kerapatan  bersama mereka adalah fungsi tiga variabel sedemikian rupa sehingga peluang baha

, %,  terletak dalam E adalah  x f 

(¿

, y , z

)

dV   +

(

(

  ,- ,  

)

∈

 E

)

=

∭

 E

¿

#hususn$a,  +

(

a ≤  ≤ b , c ≤ - ≤ d , r ≤  ≤ s

)

=

∫

a b

∫

c d

∫

r s f 

 (

 x , y , z

)

dz dy dx

+ungsi kerapatan bersaman$a memenuhi

1

1

/

=

∭

 E

f 

 (

 x , y , z

)

%0

∫

−∞ ∞

∫

−∞ ∞

∫

−∞ ∞ f 

 (

 x , y , z

)

dz dy dx

=

1 CONTOH '

Carilah pusat massa dari sebuah benda pe"al  berkerapatan konstan $ang dibatasi oleh silinder parabolik  x

=

 y2  dan bidang bidang

 x

=

 z , z

=

0 danx

=

1 PENYELEAIAN

Benda pe"al E dan pro$eksin$a pada bidang-D$ diperlihatkan dalam &ambar '8. Permukaan  baah dan atas dari E adalah bidang bidang  z

=

0   _dan  z

=

 _{x , sehingga kita katakan}  E sebagai daerah "enis '

 E

=

{

(

 x , y , z

)

|

−

1≤ y ≤1, y2≤ x ≤1,0≤ z ≤ x

}

Maka, "ika kerapatan adalah  '

(

 x , y , z

)

=

 ' , massan$a adalah

¿

 '

∫

−1 1

∫

 y2 1  x dx dy

=

 '

∫

−1 1

[

 x2 2

]

 _x= y2  x=1 dy 

¿

 ' 2

∫

₋₁ 1

(

1

−

 y4

)

dy

=

 '

∫

0 1

(

1

−

 y4

)

dy

¿

 '

[

 y

−

 y 5 5

]

₀ 1

=

4 ' 5 m

=

∭

 E  ' dV 

=

∫

−1 1

∫

 y2 1

∫

0  x  ' dz dx dy

#arena kesimetrisan E dan  '  terhadap bidang- xz  , kita segera dapat mengatakan baha  (  xz

=

0,  _{dan karena itu,  y}

=

0 . Momen lainn$a

adalah  (  _yz

=

⨌ _E x' dV 

=

∫

−1 1

∫

 y2 1

∫

0  x  x' dz dx dy

¿

 '

∫

−1 1

∫

 y2 1  x2dx dy

=

 '

∫

−1 1

[

 x3 3

]

 _x= y2  x=1 dy

¿

2 ' 3

∫

₀ 1

(

1

−

 y6

)

dy

=

2 ' 3

 [

 y

−

 y7 7

]

₀ 1

=

4 ' 7  (  _xy

=

⨌

 _E z'dV 

=

∫

−1 1

∫

 y2 1

∫

0  x  z' dz dx dy

¿

 '

∫

−1 1

∫

 y2 1

[

 z2 2

]

 _z=0  z= x dx dy

=

 ' 2

∫

₋₁ 1

∫

 y2 1  x2dxdy

¿

 ' 3

∫

₀ 1

(

1

−

 y6

)

dy

=

2 ' 7

#arena itu, pusat massan$a adalah

(

 x ,

´

 ´

 y , z

´

)

=

(

 (  yz m ,  (  _xz m ,  (  _xy m

 )

=

(

5 7 ,0, 5 14

)

#. Integral Lipat Tiga (alam )**r(inat ilin(er (an )**r(inat B*la

#oordinat silinder dari titik P adalah

(

r , # , z

)

, dengan r ,#  dan  z diperlihatkan dalam gambar '. Andaikan  E adalah daerah "enis ' $ang

 pro$eksin$a  D pada bidang- xy digambarkan dengan mudah dalam

koordinat polar lihat &ambar 4. #hususn$a , andaikan baha f   kontinu dan  E

={(

 x , y , z

)∨

(

 x , y

)

∈

 D ,u₁

(

 x , y

)

≤ z ≤ u₂

(

 x , y

)

}

3engan  D diberikan dalam koordinat polar oleh  D

={

(

r ,#

)

∨

(

 x , y

)

0 ≤ # ≤ 1 , ₁

(

#

)

≤ r ≤ ₂

(

#

)}

#ita mengetahui baha

*etapi kita "uga mengetahui bagaimana menghitung integral lipat-dua dalam koordinat polar dalam materi sebelumn$a

1

∭

 E f 

 (

 x , y , z

)

dV 

=

∬

 D

[

∫

u1( x , y) u2( x, y) f 

(

 x , y , z

)

]

dA

2

∬

 E f 

 (

 x , y , z

)

dV  # rcos# , rsin

¿

¿

(umus 4 adalah rumus untuk pengintegralan lipat-tiga dalam koordinat silinder. (umus ini mengatakan baha kita mengalaihkan integral lipat-tiga dari

koordinat siku-siku ke koordinat silinder dengan menuliskan

 x

=

r c2s#, y

=

_{r sin # ,   membiarkan  z apa adan$a, dengan mengunakan} limit-limit pengintegralan $ang sesuai untuk  z , r   dan # , serta dengan menggantikan dV   oleh rdzdrd#.  &ambar 7 memperlihatkan bagaimana menghafalkan ini. Adalah menguntungkan untuk menggunakan rumus ini ketika

 E   adalah daerah pe"al $ang se>ara mudah dideskripsikan dalam koordinat silnder, dan tertuma ketika fungsi f 

 (

 x , y , z

)

melibatkan ekpresi  x2

+

 y2.

CONTOH 1

Benda pe"al  E  terletak didalam silinder  x2

+

 y2

=

1 , dibaah bidang  z

=

4 ,dan di atas paraboloid  z

=

1

−

 x2

−

 y2 lihat gambar 8. #erapatan disebarang titik sebanding terhadap "arakn$a dari sumbu silinder. Carilah massa  E .

PENYELEAIAN

3alam koordinat silinder, persamaan silinder adalah r

=

1  dan paraboloid adalah  z

=

1

−

r2 , sehingga kita dapat menuliskan

 E

={

(

r ,# ,. 

)

∨

0≤ #≤2$ ,0≤ r ≤1, 1

−

r2≤ z ≤4

}

#arena kerapatan

(

 x , y , z

)

 sebanding terhadap "arak dari sumbu- z , maka fungsi kerapatan adalah

f 

 (

 x , y , z

)

=

 3 

√ 

 x2

+

 y2

=

 3r

dengan # adalah konstanta kesebandingan. #arena itu, dari (um '6.9.'7, massa E adalah m

=

∭

 E  3 

√ 

 x2

+

 y2dV 

¿

∫

0 2$ 

∫

0 1

∫

1−r2 4

(

 3r

)

rdzdrd#

¿

∫

0 2 $ 

∫

0 1  3 r2

[

4

−(

1

−

r2

)

]

dr d#

¿

 3 

∫

0 2 $  d#

∫

0 1

(

3r2

+

r4

)

dr

¿

2$3 

[

r3

+

r 5 5

]

0 1

¿

12$3  5 CONTOH # Hitunglah

∫

−2 2

∫

−√ 4− x2 √ 4− x2

∫

√  x2+ y2 2

(

 x2

+

 y2

)

dzdydx PENYELEAIAN

)ntegral berulang ini adalah integral lipat tiga pada daerah pe"al  E

=

{

(

 x , y , z

)

∨−

2≤ x ≤2,

−

√ 

4

−

 x2≤ y ≤

√ 

4

−

 x2,

√ 

 x2

+

 y2≤ z ≤2

}

dan pro$eksi E pada bidang

−

 xy  adalah >akram  x2

+

 y2≤4 . Permukaan baah E adalah keru>ut  z

=

√ 

 x2

+

 y2 dan permukaan atasn$a adalah bidang  z

=

2  lihat gambar 5. 3aerah ini mempun$ai pen"abaran $ang "auh lebih sederhana dalam koordinat silinder

 E

=

{

(

r , # , z

)

∨

0 ≤ # ≤2 $ ,0 ≤ r ≤2, r ≤ z ≤2

}

#arena itu, kita mempun$ai

∫

−2 2

∫

−√ 4− x2 √ 4− x2

∫

√  x2+ y2 2

(

 x2

+

 y2

)

dz dy dx

=

∭

 E

(

 x2

+

 y2

)

dV 

¿

∫

0 2$ 

∫

0 2

∫

r 2 r2rdzdrd#

¿

∫

0 2$  d#

∫

0 2 r3

(

2

−

r

)

dr

¿

2$ 

[

 1 2r 4

−

1 5 r 5

]

0 2

=

16$  5 !. )**r(inat B*la

3efinisikan koordinat bola

(

 ' , # , ϕ

)

 dari sebuah titik lihat gambar 6 dan kita melihat kaitan  berikut antara koordinat siku-siku

dan koordinat bola 

3alam s$stem koordinat ini mitra dari kotak persegi pan"ang adalah ba"i  bola (spherical wedge)

 E

=

{

(

 ' ,# , ϕ

)

∨

a ≤ ' ≤ b , 0 ≤ # ≤ 1 , c ≤ ϕ ≤ d

}

dengan a % 0, 1

−

0 ≤ 2 $,dand

−

c ≤ $  . =alaupun kita definisikan integral

lipat tiga dengan membagi benda pe"al

men"adi kotak-kotak ke>il, dapat

diperlihatkan baha pembagian

 benda pe"al men"adi ba"i-ba"i bola ke>il

selalu memberikan hasil sama. Sehingga

kita bagi E men"adi ba"i bola $ang lebih

ke>il Eijk   _{dengan menggunakan bola}

 ber"arak sama  '

=

 'i _{, setengah bidang}

#

=

# _{j , dan setengah keru>ut} ϕ

=

ϕ_{k  .}

&ambar 9 memperlihatkan baha  Eijk   _{hampir berupa kotak persegi pan"ang}

dengan ukuran ∆ ' , 'i∆ ϕ _{busur lingkaran dengan "ari-"ari}  'i _{, sudut}

∆ ϕ

¿

_{, dan}  '_isinϕ_k ∆ # _{busur lingkaran dengan "ari-"ari}  '_isinϕ_k ,sudu4∆#

¿

_{. Sehingga hampiran terhadap volume}  E_{ijk    diberikan} oleh

∆ V _ijk 

=

{

(

∆ '

)

(

 '_i∆ ϕ

)(

 '_isin ϕ_k ∆ #

)

=

 '_i2sinϕ_k ∆ ' ∆ # ∆ ϕ

}

+aktan$a, dapat diperlihatkan dengan bantuan *eorema Nilai (ata-rata soal latihan 7<, baha volume  Eijk   _{se>ara eksak diberikan oleh}

∆ V _ijk 

=

 '

~

_i2sin~ ϕ_k ∆ ' ∆ # ∆ ϕ dengan

(

~ 5i,

~

_#  j,

~

_ϕ

k 

)

adalah suatu titik di dalam  Eijk  _{. Misalkan}

(

 x_ijk ¿ , y_ijk ¿ , z_ijk ¿ ,

)

 _{adalah koordinat siku-siku dari titik ini. Maka }

∭

 E f 

(

 x , y , z

)

dV 

=

lim l , m , n → ∞

∑

_i=1 l

∑

 j=1 m

∑

k =1 n

~  5_i,sinϕ_k cos# _j,~ 5 i

¿

lim l , m , n → ∞

∑

_i=1 l

∑

 j=1 m

∑

k =1 n f 

 ¿

sin

~

ϕ_k sin

~

# _j, 5~ icos

~

ϕ_k 

¿

 '

~

_i2sin

~

ϕ_k ∆ '_i∆ # _j∆ ϕ_k 

*etapi "umlah ini adalah "umlah (iemann untuk fungsi #

 'sinϕcos# , 'sin ϕsin# , 'cos

¿

 F 

(

 ' , # , ϕ

)

=

 '2sinϕf 

¿

Akibatn$a, kita sampai pada rumus untuk pengintegralan lipat tiga dalam koordinat bola

(umus 8 mengatakan baha kita mengkonversi integral lipat tiga dari koordinat siku-siku ke koordinat bola dengan >ara menuliskan

ϕcos# y

=¿

 'sinϕsin# z

=

 'cosϕ  x

=

 'sin

¿

4

ϕ

 ' sin ϕ cos # , 'sin ϕ sin # , 'cos

¿

 '2sin ϕd'd#dϕ

¿

¿

f 

¿

∫

a b

¿

∫

0   1

¿

f 

 (

 x , y , z

)

dV 

=

∫

d

¿

dengan limit pengintegralan $ang sesuai, dan mengganti dV    dengan  '2sinϕ_{d'd#dϕ . )ni diilustrasikan dalam gambar :}

(umus ini dapat diperluas untuk men>akup daerah bola $ang lebih umum seperti   E

=

{

(

 ' ,# ,∅

)

|

0 ≤ # ≤ 1 , c ≤∅≤ d , g₁

(

# ,∅

)

≤ ' ≤ g₂

(

# ,∅

)

}

3alam kasus ini rumus sama seperti dalam 8 ke>uali baha limit pengintergralan untuk  '  adalah g1

(

# ,∅

)

 dan g2

(

# ,∅

)

.

Biasan$a koordinat bola digunakan dalam integral lipat F tiga ketika permukaan seperti keru>ut dan bola membentuk perbatasan dari daerah pengintegralan.

CONTOH $ Hitung ⨌B!

( x2+ y2+ z2)

3 2

dV  , dengan B adalah bola satuan B

=

{

(

 x , y , z

)

|

 x2

+

 y2

+

 z2≤1

}

PENYELEAIAN

#arena perbatasan B adalah bola, kita gunakan koordinat bola B

=

{

(

 ' , # ,∅

)

|

0≤ ' ≤1,0≤ # ≤2$ ,0≤∅≤ $ 

}

Sebagai tambahan, koordinat bola adalah tepat karena  x2

+

 y2

+

 z2

=

 '2

/adi, 8 memberikan

∭

B !( x2+ y2+ z2) 3 2 dV 

=

∫

0 $ 

∫

0 2$ 

∫

0 1 !( '2) 3 2  '2sin∅d'd# d∅ @

∫

0 $  sin∅d∅

∫

0 2$  d#

∫

0 1  '2! ' 3 d' @

[

−

cos∅

]

0 $ 

(

2$ 

)

[

1 3!  '3

]

0 1

¿

 4$  3

(

!

−

1

)

CATATAN

Akan sangat "anggal untuk menghitung integral dalam Contoh 7 tanpa koordinat bola. 3alam koordinat siku-siku integral berulang ini mungkin akan berupa

∫

−1 1

∫

−√ 1− x2 √ 1− x2

∫

−√ 1− x2− y2 √ 1− x2− y2 !( x2+ y2+ z2) 3 2 CONTOH &

&unakan koordinat bola untuk men>ari volume benda pe"al $ang terletak di atas keru>ut  z

=

√ 

 x2

+

 y2  _{dan di baah bola  x}2

+

 y2

+

 z2

=

 _{z . !ihat &ambar <.}

PENYELEAIAN

Perhatikan baha bola melalui titik asal dan mempun$ai pusat

(

0,0,

1

#ita tuliskan persamaan bola dalam koordinat bola sebagai  '2

=

 'cos∅   _atau  '

=

cos∅

#eru>ut dapat dituliskan sebagai

 ' cos∅

=

√ 

 '2sin2∅cos2#

+

 '2sin2∅sin2#

=

 ' sin∅

)ni memberikan sin∅

=

cos∅ , atau ∅

=

$ 

4 . #arena itu pendeskripsian benda pe"al E

dalam koordinat bola adalah  E

=

{

(

 ' , # ,∅

)

|

0≤ # ≤2$ ,0≤∅≤ $ 

&ambar '' memperlihatkan bagaimana  E  tersapu "ika kita mengintegralkan

mula-mula terhadap  ' , kemudian ∅ , dan kemudian # . Golume  E  adalah

V 

 (

 E

)

=

∭

 E dV 

=

∫

0 2 $ 

∫

0 $  4

∫

0 cos∅  '2sin∅d' d∅d# @

∫

0 2$  d#

∫

0 $  4 sin∅

[

 ' 3 3

]

 _'=0  '=cos∅ d∅ @ 2$  3

∫

₀ $  4 sin∅cos3∅d∅

=

2$  3

 [

−

cos4∅ 4

]

₀ $  4

=

$  8