MAKALAH KALKULUS VARIABEL BANYAK DAN PEM

MAKALAH

KALKULUS VARIABEL BANYAK DAN

PEMBELAJARANNYA

MATERI

TRIPLE INTEGRALS

(Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals, dan Contohnya)

Dosen Pengampu

Dr. Drs. Kamid, M.Si

Drs. Jefri Marzal, M.Sc., Ph.D

Dr. Drs. Syaiful, M.Pd

Disusun Oleh:

ABDUL MA’ARIF (P2A916016)

HENRI SAMUEL (P2A916015 )

RIZA MAIYUSRIANI (P2A916014)

PROGRAM STUDI MAGISTER

PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS

KEGURUAN

2017

BAB I PENDAHULUAN

A. Deskripsi Makalah

Integral untuk fungsi banyak peubah dinamakan integral lipat atau integral rangkap. Pada integral lipat dua, fungsi yang dipakai dibatasi, yaitu fungsi tersebut dibatasi pada selang tertutup di R2. Untuk triple integrals dari fungsi tiga peubah, pembatasannya adalah fungsi tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R3. Berdasarkan konsep integral rangkap dua, maka dalam makalah ini akan dibahas mengenai definisi triple integrals, aturan triple integrals, dan contohnya.

B. Materi Prasyarat

Materi prasyarat yang diperlukan adalah sebagai berikut: 1. Geometri Dasar

2. Kalkulus Dasar dan Kalkulus Lanjut

3. Materi sebelumnya tentang integral lipat dua dalam koordinat kartesius dan koordinat kutub

C. Rumusan Masalah

Rumusan masalah dari makalah ini sebagai berikut:

1. Apakah yang dimaksud triple integrals atau definisi triple integrals? 2. Bagaimana cara menentukan triple integrals pada daerah umum?

3. Bagaimana cara mengkonversi dan menentukan triple integrals dalam koordinat silinder dan koordinat bola?

C. Tujuan Makalah

BAB II PEMBAHASAN

Definisi Triple Integrals, Aturan Triple Integrals dan Contohnya

A. Definisi Triple Integrals dan Aturan pengintegralannya

1. Definisi Triple Integrals

triple integrals atau integral lipat tiga merupakan integral biasa atau tunggal yang hasilnya diintegralkan dan kemudian diintegralkan kembali. Integral lipat tiga ini dinyatakan sebagai berikut:

∭

f(x , y , z)dxdydz , pernyataan ini disebut dengan integral lipat tiga tak tertentu (indifinite triple integrals).

Dinyatakan juga sebagai berikut:

∫

tiga tertentu (difinite triple integrals) dengan batas bawah (x1, y1, z1) dan

batas atasnya (x2, y2, z2).

dzdydx. Daerah pengintegralannya adalah

B=

{

(x , y , z)│0≤ x ≤ p ,0≤ y ≤ l,0≤ z ≤ t

}

. Volume total balok ditentukan

dengan integral lipat tiga sebagai berikut :

∭

pengintegralannya. Daerah pengintegralan integral lipat tiga (perhatikan pada gambar dibawah ini).

maka secara umum ditulis :

B=

{

(x , y , z)│ a ≤ x ≤ b , α(x)≤ y ≤ β(x), γ(x , y)≤ z ≤ δ(x , y)

}

Bentuk integral lipat tiga dalam ditulis sebagai :

∭

2. Aturan Triple Integrals

1). Indifinite Triple Integral

Langkah-langkah penyelesainnya yaitu:

 Fungsi f(x,y,z) diintegralkan terhadap x dengan menggangap variabel

lainnya konstan

 Hasilnya kemudian diintegralkan terhadap y dengan menggangap

variabel lainnya konstan

 Hasilnya kemudian diintegralkan terhadap z dengan menggangap

*Jangan lupa untuk setiap hasil pengintegralan ditambah dengan konstanta sembarang C

2). Infinite Triple Integrals

Langkah-langkah penyelesainnya yaitu:

 Fungsi f(x,y,z) diintegralkan terhadap z (dengan menggangap x dan y

konstan), dihitung nilainya dengan mensubstitusikan batas atas z = z2

B. Integral Lipat Tiga (Triple Integral) dalam Koordinat Silinder

Dalam koordinat silinder, titik P(x,y,z) dikonversi ke titik P(r,θ,z).

Contoh Soal:

1. Konversi integral berikut ke koordinat silindris

Penyelesaian:

2. Hitung integral

∭

E

❑

y dV dimana E adalah daerah di bawah bidang

z=x+2 dan di atas bidang xy serta di antara silinder x2+y2=1 dan x2+y2=4 .

Contoh Soal:

1. Konversi integral berikut ke koordinat Bola.

∫

0 3

∫

0

√9−y2

∫

√x2

+y2

√18−x2_−y2

(

x2

+y2

+z2

₎

_dzdxdy

Sehinga;

∫

0 3

∫

0

√9−y2

∫

√x2

+y2

√18−x2

−y2

(

x2+y2+z2

)

dzdxdy

_¿

_∫

0

π

4

∫

0

π

2

∫

0 3√2

ρ4sinφ dρdθdφ

2. Hitung integral

∭

E

❑

16z dV di mana E adalah setengah bola

x2+y2+z2=1 bagian atas.

BAB III KESIMPULAN

merupakan integral biasa atau tunggal yang hasilnya diintegralkan dan kemudian diintegralkan kembali.

Integral lipat tiga ini dinyatakan sebagai berikut:

∭

f(x , y , z)dxdydz , pernyataan ini disebut dengan integral lipat tiga tak tertentu (indifinite triple integrals).

Dinyatakan juga sebagai berikut:

∫

tertentu (difinite triple integrals) dengan batas bawah (x1, y1, z1) dan batas atasnya

(x2, y2, z2).

Karakteristik khusus difinitif triple integrals yaitu:

 Triple integrals dikhususkan untuk fungsi tiga variabel

 Analog dengan integral lipat dua, triple integrals pada daerah

E=

{

(x , y , z)∨a ≤ x ≤b , c ≤ y ≤ d ,r ≤ z≤ s

}

 Jika fungsi f kontinu pada daerah E maka,

∭

 Untuk beberapa kasus tertentu difinitif triple integrals akan lebih mudah

jika konversikan ke koordinat silindris atau bola.

Danang Mursita. 2006. Matematika Dasar Untuk Perguruan Tinggi. Bandung: Rekayasa Sains.

Frank Ayres dan Elliot Mendelson. 2006. Kalkulus Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga.

J. Purcell, Edwin. dkk. 2004. Kalkulus Jilid 2. Jakarta: Erlangga.

Martono, Koko. 1990. Kalkulus Integra Lipat Dua. Bandung: Institut Teknologi Bandung.

Murray Spiegel dan Robert Wrede. 2007. Kalkulus lanjut Edisi Kedua. Jakarta: Erlangga.

Stewart, James. 1999. Kalkulus Edisi Keempat. Jakarta: Erlangga