Makalah Kalkulus II "Integral" Oleh, MANSUR AMRIATUL (07 241 075)

(1)

MAKALAH KALKULUS II

“INTEGRAL”

O l e h :

Nama : Mansur Amriatul

NIM : 07 241 075

Semester : VIII (Delapan)

JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA IKIP MATARAM

(2)

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur senantiasa penulis panjatkan kehadlirat Allah swt. atas limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga ditengah-tengah kesibukan dan rutinitas penulis serta dengan segala kekurangannya, dapat menyusun makalah ini yang diharapkan dapat membantu pribadi penulis dan mahasiswa secara umumnya dalam mempelajari Kalkulus II tentang “Integral”.

Makalah ini dimaksudkan untuk memberikan bekal kepada pribadi penulis dan mahasiswa Jurusan Pendidikan Fisika, Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IKIP Mataram yang sedang mengikuti perkuliahan Kalkulus II. Kekurangan dan belum sempurnanya makalah ini menjadi ‘tuntutan” penulis sehingga yang seharusnya teman-teman menerima banyak pengetahuan tentang Kalkulus Integral dari makalah ini belum dapat terwujud seluruhnya.

Terselesaikannya penulisan makalah ini tentu tidak terlepas dari bantuan rekan-rekan seprofesi penulis di IKIP Mataram, lebih-lebih teman-teman kelas ku yang menjadi motivasi penulis untuk segera menyelesaikan makalah ini.

Semoga materi yang telah dituangkan dalam makalah ini, akan sangat berguna bagi pribadi penulis dan mahasiswa FPMIPA IKIP Mataram umumnyam. Kekurangan dan kekhilafan disana sini Insyaallah diperbaiki dikemudian hari.

Mataram, 18 Juli 2011 Penulis

(3)

DAFTAR ISI

Halaman Sampul ... i

Kata Pengantar ... ii

Daftar Isi ... iii

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Anti Turunan (Integral Tak-tentu) ……… 1

1.2 Integral Tertentu ………... 1

1.3 Sifat-Sifat Integral Tentu ... 2

1.4 Teorema Dasar Kalkulus ……….. 4

BAB II TEKNIK INTEGRAL 2.1 Teknik Substitusi ... 6

2.2 Integral Fungsi Trigonometri ... 7

2.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri ... 13

2.4 Integral Parsial ... 15

2.5 Integral Fungsi Rasional ... 17

2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi Trigonometri… 19 Bab III INTEGRAL TIDAK WAJAR 3.1 Pengertian ... 21

3.2 Integral Tidak Wajar dengan Batas Diskontinu ... 25

3.3 Integral Tidak Wajar dengan Batas Tak Hingga ………… 28

BAB IV RUMUS-RUMUS INTEGRAL DAFTAR PUSTAKA ... 41

BAB I PENDAHULUAN 1.5 Anti Turunan (Integral Tak-tentu)

(4)

Matematika mempunyai banyak pasangan operasi balikan: penambahan dan pengurangan,perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar, serta penarikan logaritmadan penghitungan logaritma.

Definisi :

Fungsi F dikatakan anti turunan dari fungsi f pada selang I jika F’(x) = f(x) untuk semua x di I.Notasi : F(x) = ∫ f(x) dxIntegral tak tentu adalah Anti/Invers/Kebalikan turunan.

Contoh : Integral tak tentu adalah operator liner, yaitu bersifat : a.

b.

1.6 Integral Tertentu Definisi :

Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada [a,b], selanjutnya f(x) dikatakan terintegralkan (integrable) pada [a,b]

jika ∑ = → ∆ n i i i Plim0 ₁f(x ) x ada. Selanjutnya b_∫ a dx x

f( ) _{disebut Integral Tentu (Integral Riemann) f(x) dari a}

ke b, dan didefinisikan ∫ b a dx x f ( ) ₌ ∑ = → ∆ n i i i Plim0 ₁f(x ) x .

(5)

∫

b a

dx x

f ( ) _{menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva}

y = f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], jika b_∫ a

dx x

f( ) _{bertanda negatif maka}

menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x. Definisi : a. a_∫ a dx x f ( ) _{= 0} b. b_∫ a dx x f( ) _{= -}a_∫ b dx x f( ) _{, a > b}

1.7 Sifat-Sifat Integral Tentu

a. Sifat Penambahan Selang Teorema :

Jika f(x) terintegralkan pada suatu selang yang memuat tiga titik a, b dan c, maka : dx x f c a∫ ) ( ₌b f x dx a∫ ) ( ₊c f x dx b∫ )

( _{bagaimanapun urutan a, b dan c.}

Contoh : 1. _∫x dx =_∫x dx +2_∫x dx 1 2 1 0 2 2 0 2 _2._∫_x _dx ₌_∫_x _dx ₊2_∫_x _dx 3 2 3 0 2 2 0 2 3. _∫x dx _∫ x dx _∫x dx − − + = 2 1 2 1 0 2 2 0 2 b. Sifat Simetri

Jika f(x) fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat f(-x) = f(x) , maka: dx x f a a ∫ − ) ( _{= 2}a_∫f x dx 0 ) ( _dan

Jika f(x) fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat f(-x) = - f(x), maka

(6)

dx x f a a ∫ − ) ( _{= 0.} Contoh : 1. _∫ _∫  =      =       − π π π 0 4 cos 2 4 cos x dx x dx 4 2 4 1 . 4 cos 8 0∫ =       π dx x 2. dx x x ∫ − + 5 5 2 5 4 = 0

Secara lebih umum, sifat-sifat integral tertentu adalah:

Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a,b] dan k

∈

Real dan f(x), g(x) terintegralkan pada interval tersebut, maka:

1.

∫

_ab =

∫

b a dx x f k dx x kf ( ) ( ) 2. dx x g dx x f dx x g x f b a b a b a

∫

[ ( )+ ( )] = ( ) + ( ) 3. , ) ( ) ( )] ( ) ( [f x g x dx f x dx g x dx b a b a b a

∫

− = − 4.

_∫

a ( ) =0 a dx x f 5.

∫

=−

∫

a b b a dx x f dx x f ( ) ( ) , jika b < a 6.

∫

= b a dx x f( )

∫

+

∫

b c c a dx x f dx x f ( ) ( ) , c ) , (a b ∈ 7.

_∫

( )=0, − a a x f _{jika f(-x) = -f(x)}

(7)

8.

∫

− a a dx x f( ) = 2

∫

a dx x f 0 ) ( , jika f(-x) = f(x) 9. Jika F(u) =

∫

b a dx x f ( ) , maka ) ( ) (u f u F du d ₌ 10.

∫

b a dx x

f( ) = (b-a) f(xo) untuk paling

sedikit x = xo antara a dan b.

11.

∫

≤

∫

b a b a dx x g dx x

f( ) ( ) jika dan hanya

jika f(x) ≤ g(x) untuk setiap x

∈

[a,b].

12. D f(t)dt f(x) x a x =      

∫

1.8 Teorema Dasar Kalkulus

Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut :

Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan f(x), maka ∫ b a dx x f ( ) _{= F(b) – F(a)}

Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = b a

x F( )] [

Contoh :

Perlihatkan bahwa jika r ∈ Q dan r ≠ -1, maka 1 1 1 1 + − + = + + ∫x dx b_rr a_rr b a r

(8)

Jawab : Karena F(x) = 1 1 + + r

xr _{suatu anti turunan dari f(x) = x}r_{, maka menurut teorema dasar}

Kalkulus 1 1 ) ( ) ( 1 1 + − + = − = + + ∫x dx F b F a b_rr a_rr b a r

Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat :

Misal f(x) dan g(x) terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka: a. b_∫ = a dx x kf ( ) _k

∫

b

a

dx

x

f

(

)

b.

f

x

g

x

dx

b

a

)]

(

)

(

[

∫

+

=

∫

b

a

dx

x

f

(

)

+ b_∫ a dx x g( ) Contoh : Hitung 2(4x 6x )dx 1 2 ∫ − − Jawab : dx x dx x dx x x _∫ _∫ ∫ − − − − = − 2 1 2 2 1 2 1 2₎ ₄ ₆ 6 4 ( _{= 4} 2 1 3 2 1 2 3 6 2 − −         −        _x _x = 4       + −       − 3 1 3 8 6 2 1 2 4 = − 12 BAB II TEKNIK INTEGRAL

(9)

Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan suatu fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik integral tersebut adalah: Teknik Substitusi, Integral Fungsi Trigonometri, Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri, Integral Parsial, Integral Fungsi Rasional, dan Integral Fungsi Rasional yang memuat fungsi Trigonomteri.

Berikut ini penjelasan teknik-teknik dalam pengintegralan. 2.1 Teknik Substitusi

Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. Teknik substitusi pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;

a.

∫

_xn dx = 1 1 + + n xn + C, asalkan n

≠

-1 atau b.

[

f₍x₎

]

n f _'₍x₎dx

∫

=

[

]

1 ) ( 1 + + n x f n _{+ C, asalkan n}

_≠

_-1

Karena rumus di atas adalah pedoman umum. maka integrannya menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi.

Perhatikan beberapa contoh berikut: 1.

∫

1−x _dx Misal u = 1−x x u = − ⇔ 2 1 ) 1 ( ) (_u2 _d _x d = − ⇔ dx udu =− ⇔2

(10)

∫

u(−2u)du _{= -2}

∫

u2du Dengan rumus dasar di dapat

∫

1−x _dx _{= -2}

∫

u2du = -2 u _+C      3 3 = - ₍₁−x₎3 +C 3 2 2.

∫

₍₃x+₁₂₎11dx Misal A = 3x + 12 d(A) = d(3x+12) dA = 3 dx dx = 3 dA Sehingga

∫

₍₃x+₁₂₎11dx =

∫

3 11 dA A =

∫

A11dA 3 1 = A )+C 12 ( 3 1 12 = A12 +C 36 1 = x+ +C 36 ) 12 3 ( 12

2.2 Integral Fungsi Trigonometri

Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:

1.

∫

sin x_{dx = -cos x + C} 2.

∫

cos x_{dx = sin x + C} 3.

∫

tan _{x dx} _{= ln}sec x +C

(11)

4.

∫

cot _{x dx = - ln}csc x +C

= ln sin x +C

5.

∫

sec x_{dx = ln}sec x+tan x +C

6.

∫

csc _{x dx} _{= ln}csc x−cot x +C

Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

a.

∫

sin m xdx ,

dan

∫

_cos mxdx

dengan m bilangan ganjil atau genap positip

Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas sin2_x₊cos2_x₌1_{atau sin}2_x_{= 1 - cos}2_x_{atau cos}2_x_{= 1 - sin}

x

2 _.

Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.

Contoh: 1.

∫

3xdx sin Jawab :

∫

_sin3xdx =

∫

_sin (3−1)+1 xdx = sin 2x sin x

∫

dx =

∫

(1−cos 2_x)_d(−cos _x)

=

∫

1_d(−cos _x)+

∫

cos 2_d(cos _x) = -cos x + _cos3x+C 3 1 2.

∫

_cos 5 xdx Jawab :

∫

_cos 5 xdx =

∫

_cos (5−1)+1 _x dx = cos 4x cos xdx

∫

=

∫

(1−sin2_x)2_d(sin _x)

(12)

= (1₋2sin2_x₊sin4_x)_d(sin _x)

∫

=

∫

1_d(sin _x)−2

∫

sin2 _xd(sin _x)+

∫

sin 4_xd(sin _x) = sin x - 3x+ _sin5x+C 5 1 sin 3 2 b.

∫

_sinm x_cosnxdx

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas

1 cos

sin2 _x₊ 2_x₌ _{dengan terlebih dahulu mengubah salah satu bilangan ganjil.}

Misal m ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1. Jika m dan n genap digunakan kesamaan setengah sudut sin2x₌

2 2 cos 1− x dan cos 2 2 cos 1 2_x ₌ + x

sehingga diperoleh hasil pengintegralannya.

Contoh

1.

∫

_sin3x_cos 2xdx Jawab

Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas

∫

_sin3x_cos 2xdx

=

∫

_sin (3−1)+1_cos 2 xdx

∫

_sin2x_sin x_cos2dx

=

∫

(1−cos2x)cos2xsin xdx = (cos 2_x₋cos 4_x)_d(₋cos _x)

∫

=

∫

cos2_xd(−cos _x)−

∫

cos4_xd(−cos _x) = − 3x+ _cos5x+C 5 1 cos 3 1 = cos x x− )+C 3 1 cos 5 1 ( 2 3 2. _sin2x_cos 3xdx

∫

Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap _sin 2x_cos 3xdx

∫

=

∫

sin2xcos2xcos xdx =

∫

sin2_x(1−sin 2_x)_d(sin _x)

(13)

= 3x− _sin5x+C 5 1 sin 3 1 c.

∫

tan n xdx , dan n xdx

∫

cot

Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 + _tan2 x₌_sec2x

dan 1+cot2x₌_csc2 x_{. Jika n ganjil ubah menjadi (n-1)+1 dan gunakan}

kesamaan 1 + _tan2 x₌_sec2 x_{dan 1+cot}2_x₌_csc2 _x_.

Perhatikan contoh berikut: 1.

∫

_tan 3 xdx

Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 +_tan2 x₌_sec2x

Sehingga diperoleh

∫

_tan 3 xdx =

∫

_tan 2 x tanx dx =

∫

(sec 2_x−1) tan x dx =

∫

2 x

sec _{tan x dx -}

∫

_{tan x dx} =

∫

tan x sec2x_{dx – ln}sec + Cx

=

∫

tan x_{d(tan x) – ln} sec x _{+ C}

= tan x−lnsecx +C

2 1 2

2.

∫

_cot 4 xdx

Karena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 1+cot2x₌_csc2 x_,

sehingga didapat

∫

_cot 4 xdx = _(cot 2x₎2dx

∫

=

∫

_(csc 2x−₁₎2dx = (csc 4x 2csc2x 1)dx

∫

− + =

∫

(csc 2x)csc2x−2csc2x+1)dx =

∫

(1+cot 2_x)csc2_x−2csc2_x+1_dx`

=

∫

(1+cot 2x)d(−cot x)−2

∫

d(−cot x)+

∫

dx = − x − cot x+2cotx+x+C 3 1 ) cot ( 3

(14)

= − cot x+cotx+x+C

3 1 3

d.

∫

_tanm x_sec nxdx

, dan

∫

_cot m x_cscnxdx

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan2x₌_sec2x

atau 1 + cot2x_{= csc}2_x_.

Contoh

1.

∫

_tan5 x_sec 4 xdx

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan2x₌_sec2x_{, sehingga diperoleh}

dx x x

∫

_tan5 _sec 4

=

∫

_tan 5x_sec2x_sec2 xdx =

∫

_tan5x₍₁+_tan2x₎_sec 2xdx =

∫

(tan 5_x+tan7 _x) d(tgnx) = 6 x+ _tan8 x+C 8 1 tan 6 1 2.

∫

_cot 4 x_csc 4 xdx Jawab :

∫

_cot 4x_csc 4xdx =

∫

cot 4x(csc 2x)(csc 2x)dx = cot 4 _x(cot 2₋1)_d(₋cot _x)

∫

= (cot 6_x₋cot 4_x)_d(₋cot _x)

∫

= − 7x+ _cot5x+C 5 1 cot 7 1

Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan substitusi kesamaan identitas 1 + tan2x₌_sec2x_{atau 1 + cot}2_x_{= csc}2_x_.

Contoh:

1.

∫

_tan 3x_sec3 xdx

=

∫

tan2 xtan xsec2 xsec xdx =

∫

tan 2 _xsec2_d(sec _x)

= (sec 2_x 1)sec 2_x_d(sec _x)

∫

−

= (sec 4_x sec 2_x)_d(sec _x)

(15)

= 5x− _sec3x+C 3 1 sec 5 1 2.

∫

_tan 3_x_sec−1/2 _xdx =

∫

_tan 2 x

tan x sec−3/2x_{sec x dx}

=

∫

_(sec 2 x -1)sec−3/2x_{d(sec x)} =

∫

_(sec 1/2 x− sec−3/2_x)_d(secx) = _sec3/2x ₂_sec 1/2x 3 2 ₊ − _{+ C}

e.

∫

sin mx cos nxdx _,

∫

sin mxsin nxdx ,

∫

cos mx cos nxdx

Integral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan hasil kali, yaitu:

sin mx cos nx = [sin( ) sin( ) ] 2 1 x n m x n m+ + −

sin mx sin nx = [cos( ) cos( ) ] 2 1 x n m x n m+ − − −

cos mx cos nx = [cos( ) cos( ) ] 2 1 x n m x n m+ + − Contoh :

1.

∫

sin _{3x cos 4x dx} ₌

∫

[sin( 3+4) +sin(3−4) ] 2 1 x x _dx =

∫

sin 7x 2 1 + sin (-x) dx = cos7x 14 1 − - cos 2 1 x + C

2.

∫

sin 3xsin 2x_dx ₌

∫

− [cos( 3+2) −cos(3−2) ] 2 1 x x _dx = −

∫

2 1 (cos 5x – cos x) dx = sin 10 1 − 5x + sin 2 1 x + C

3.

∫

cos _{y cos 4y dy} ₌

∫

[cos( 1₊4)y

2 1 +cos(1-4)y] dy =

∫

[cos 5 +cos( −3 )] 2 1 y x _dy

(16)

= y− sin3y+C 6 1 5 sin 10 1

2.3 Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri

Teknik substitusi fungsi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk:

a. _a2 ₋_x2 , a > 0, a

∈

Real b. 2 2 a x + = 2 2 x a + , a > 0, a

∈

Real c. _x2₋_a2 , a > 0, a

∈

Real

atau bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, misalnya

2 2 2 x b a − = 2 2 x b a ₋       x b a2₊ 2 = 2 2 x b a ₊       2 2 2_x _b a − = 2 2 _      − a b

x atau ax2 +bx +c yang dapat diubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Integrannya memuat _a2₋_x2 atau sejenisnya, Gunakan substitusi

x = a sin t atau sin t =

a x x = a sin t ⇔dx = a cos t dt dengan -2 π 2 π ≤ ≤t sehingga, _a2 ₋_x2 = _a2₋₍_a_sin _t₎2 = _a2(1₋sin2_t) = a cos t Catatan :

Gambar segitiga siku-siku di atas yang masing-masing sisinya diketahui berguna untuk menentukan nilai fungsi trigonometri yang lain, yaitu cos t, tan t, cot t, sec t, dan csc t. Hal ini dikarenakan sangat mungkin hasil dari pengintegralan adalah fungsi-fungsi tersebut.

Contoh:

Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:

t

x

a

2 2 x a −

(17)

1.

∫

₄₋_x2 dx Jawab : Substitusi x = 2 sin t ⇔ sin t = 2 x dx = 2 cos t dt ₄₋_x2 = ₄₋₄_sin2_t ₌₂_cos_t Sehingga :

∫

₄₋_x2 dx =

∫

2cos t.2cos tdt = 4

∫

cos t cos tdt = 4

∫

_cos 2tdt = 4

∫

+ t dt 2 ) 2 cos 1 ( = 2

∫

dt _{+ 2}

∫

cos 2t _dt = 2t + sin 2t + C = 2t + 2 sin t cos t = 2 arc sin 2 4 2 2 2 x x x_₊ −      _{+ C} Atau 4

∫

_cos 2tdt = 4 ( 2 cos sint t + t+C 2 1 ) = 2 sint cost + 2t + C = 2       2 x 2 4₋_x2 + 2 arc sin       2 x + C = x x x+C      − − 2 arcsin 2 2 4 2 2.

∫

− 2 4x x dx Jawab :

∫

₄_x₋_x2 dx =

∫

− −₍ ₂₎2 4 x dx Substitusi (x-2) = 2 sin t, dx = 2 cos t dt t x 2) 2cos ( 4₋ ₋ 2 ₌ _{, sehingga}

∫

dx

_∫

2cos tdt t

x

2 2 4−x 2 − x 2 4x−x 2 t

(18)

=

∫

dt = t + C = arc sin       − 2 2 x + C 2.4 Integral Parsial

Secara umum integral parsial digunakan untuk menentukan selesaian integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x). Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh :

dy = d(uv)

d(uv) = u dv + v du

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

∫

d(uv)=

∫

udv +

∫

vdu

⇔

_∫

udv =

_∫

d(uv)−

_∫

vdu

⇔

_∫

udv =uv −

_∫

vdu

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan

∫

udv _tersebut.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini. Tentukan integral persial berikut ini 1)

∫

x cos xdx

Jawab :

Bentuk

∫

x cos xdx _{diubah menjadi}

∫

_udv, Misal u = x , dv = 1 dx

dv = cos x dx , v =

∫

cos x_{dx = sin x} Akibatnya

∫

x cos xdx ₌

∫

_{x d(sin x).} Dengan rumus integral parsial

∫

udv =uv −

∫

vdu _{, diperoleh}

∫

x d(sin x) = x sin x -

∫

sin x_d(x) = x sin x -

∫

sin x_dx

(19)

= x sin x + cos x + C Akhirnya diperoleh

∫

x cos xdx _{= x sin x + cos x + C}

2)

∫

x 1+x_dx Pilih u = x , du = dx dv = 1+x, v =

∫

1+x dx = 3 1 3 2 x + Sehingga

∫

x 1+x_{dx =}

∫

1₊ ) 3 2 ( 3 _x xd

Berdasarkan rumus integral parsial

∫

udv =uv −

∫

vdu _{, diperoleh}

∫

x 1+x_dx ₌

∫

1₊ ) 3 2 ( 3 _x xd = 3 ₁ ₁ 3 2x ₊ -

∫

1+ ( ) 3 2₃ x d x = 3 ₁ ₁ 3 2x ₊ -

∫

3 ₁+xdx 3 2 = 3 ₁ ₁ 3 2x ₊ - 3 ₍₁+x₎4 +C 4 2

2.5 Integral Fungsi Rasional.

Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) = _gf₍(_xx₎) , dimana f(x) , g(x) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan g(x)

≠

0.

Fungsi pangkat banyak adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan

f(x) = ao + a1x + a2 x2 + a3x3+ … + an xn , n = 1, 2, 3, … , sehingga fungsi

rasional adalah fungsi berbentuk _gf₍(_xx₎) yang pembilang dan penyebutnya polinom. Contoh : a. F(x) = 2 3 1 2₋ ₊ − x x x

(Fungsi Rasional Sejati) b. F(x) = 4 4 4 2 2 + − − x x x

(Fungsi Rasional Tidak Sejati) c. F(x) = x 2x x 1

3

5₊ ₋ ₊

(20)

Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut. Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati. Sehingga:

F(x) = x x x x x 5 1 2 3 3 5 + + − + = x2₋3₊ x x x 5 ) 1 14 ( 3 ₊ + F(x) = _gf₍(_xx₎) , g(x)

≠

0.

Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah: a. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

b. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = _gf₍(_xx₎) sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

c. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara:

- fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.

- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)n _{= (x-a)(x-a)(x-a) … (x-a)}

- fungsi liner dan kuadrat, g(x) = (x-a)(ax2 _{+bx + c)}

- fungsi kuadrat berbeda, g(x) = (ax2₊_bx ₊_c)(_px₂ _{+ qx + c)}

- fungsi kuadrat berulang, g(x) = (ax2₊_bx ₊_c) n _{dan seterusnya.}

d. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal : _gf₍(_xx₎) = ... ) ( ) ( 2 2 2 1 1 1 ₊ + + + ax b A b ax A

(Penyebut kombinasi liner berbeda) ... ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 2 2 1 ₊ + + + + + = b ax A b ax A b ax A x g x f

(21)

... ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 + + + + + + + + = c x b x a B x A c x b x a B x A x g x f (kombinasi kuadrat berbeda)

e. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta A1, A2 , …An dan B1, B2 , …Bn .

Contoh : 1. Tentukan

∫

− dx x 1 2 2

Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:

∫

−1 2 2 x dx =

∫

(x−1)(x+1)dx 2 =

∫

₋ + ₊ dx x B x A ) 1 ( ) 1 ( = dx x x x B x A

∫

(₍+₋1₁)₎₍+ ₊(₁₎−1) =

∫

+ ₋ + ₊− dx x x B A x B A ) 1 )( 1 ( ) ( ) (

Diperoleh A + B = 0 , A – B = 2 atau A = 1, B = -1 sehingga:

∫

_x22₋₁dx =

∫

₊ − + − x dx x ( 1) 1 1 1 =

∫

− dx x 1 1 -

∫

+ dx x 1 1 = ln x−1−ln x+1+C = ln C x x ₊ + − 1 1 2.

∫

₋+ , 1 1 dx x x

integran fungsi rasional tidak sejati, maka:

∫

=

∫

+ ₋ − + _dx x dx x x 1 2 1 1 1 =

∫

− + dx x dx 1 2 = x + ln (x-1)2 _{+ C}

(22)

Fungsi F(x) = , ( ) 0, ( ) ) ( ) ( x f x g x g x f _≠

dan g(x) mememuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan METODE SUBSTITUSI.

Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat f(x) = sin x atau g(x) = cos x.

1. F(x) = x x cos sin 1− 2. F(x) = x x sin cos sin 2 1+ + 3. F(x) = x x cos 2 sin 5 + 4. F(x) = x sin 2 3 1 − 5. F(x) = x x cos sin 1 2 − +

Sehingga dalam bentuk pengingtegralan fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya memuat fungsi trigonometri adalah:

1.

∫

− + x x dx cos sin 1 2.

∫

+ x dx cos 2 3.

∫

₊ ₊ x x dx cos sin 1 4.

∫

x x sin cos sin 2 1+ + dx 5.

∫

x sin 2 3 1 − dx

Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi x = 2 arc tan z sehingga dx = dz

z2

1 2

(23)

x di substitusi ke bentuk variabel z. Karena x = 2 arc tan z maka: z x ₌       ⇔ 2 tan

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri 1 + tan       2 2 x = sec       2 2 x ⇔ 1 + z       = 2 sec2 2 x 2 2 1 1 2 cos z x + =       ⇔

Menurut rumus identitas fungsi trigonometri yang lain sin2_x₊cos2_x₌1 1 2 cos 2 sin2 2 _₌      +       ⇔ x x , sehingga didapat sin 2 2 1 1 1 2 z x + − =       ₌ 2 2 1 z z +

Dengan rumus jumlah cosinus didapat: cos 2x = cos2x−_sin2 _x

      +       = ⇔ 2 sin 2 cos cos_x 2 x 2 x 2 2 2 ₁ 1 1 cos z z z x + − + = ⇔ = ₂ 2 1 1 z z + −

Dengan rumus jumlah sinus didapat: sin 2x = 2 sin x cos x

⇔sin x = 2 sin       2 x cos       2 x = 2 2 ₂ ₂ 1 1 1 z z z + + = ₂ 1 2 z z +

Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi

(24)

x = 2 arc tan z, sin x = ₁ 2 2 z z + , cos x = 2 2 1 1 z z + −

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini. Tentukan selesaian dari :

1.

∫

+ + x x dx cos sin 1 Jawab :

∫

₁₊_sindx_x₊_cos _x =

∫

+ − + + + + 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 z z z z dz z =

∫

+ − + + + + + + 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 z z z z z z z dz =

∫

+ z dz 2 2 2 =

∫

₊ z dz 1 = ln 1+z _{+ C} = ln + x +C 2 tan 1 2.

∫

− x dx cos 2 Jawab :

∫

₋ x dx cos 2 =

∫

+ − − + 2 2 2 1 1 2 1 2 z z z dz =

∫

+ − − + + + 2 2 2 2 2 1 1 1 ) 1 ( 2 1 2 z z z z z dz =

∫

+₃ 2 1 2 z dz =

∫

₊       2 2 3 1 3 2 z dz

(25)

= 3 3 2 arc tan       3 / 1 z + C = 3 2 arc tan 3z + C = 3 2

arc tan 3(tan x/2) + C BAB III

INTEGRAL TAK WAJAR 3.1 Pengertian

Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.

Teorema:

Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b], dan F(x) sebarang antiturunan pada I, maka

∫

b a dx x f ( ) =

[

F(x)

]

b F(b) F(a) a = − Contoh : 1. 4 2 4 2 2 2 1 ) 1 (

∫

−x dx =_ −x x _ = (4- ½ .16) – (2- ½ 4) = -4 – 0 = -4 2.

[

]

2 1 2 1 1 ln 1

∫

= + +x x dx = ln (1+2) – ln (1+1) = ln 3 – ln 2 3.

∫

− 2 1 1 x dx

, tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas karena integran f(x) =

x

−

1 1

(26)

4.

∫

−

1

1 x

dx

, tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran f(x) =

x

1

tidak terdefinisi di x = 0

Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.

Bentuk

∫

b

a

dx x

f ( ) disebut Integral Tidak Wajar jika:

a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut.

Pada kasus ini teorema dasar kalkulus

∫

b

a

dx x

f ( ) = F(b) – F(a) tidak berlaku lagi.

Contoh : 1)

∫

− 4 0 4 x dx

, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4) 2)

∫

− 2

1 x 1

dx

, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]

3)

∫

− 4 0 3 2 ) 2 ( x dx

, f(x) tidak kontinu di x = 2

∈

[0,4] atau f(x) kontinu di [0,2)

∪

(2,4]

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga 1)

∫

∞ + 0 2 ₄ x dx

, integran f(x) memuat batas atas di x =

∞

2)

∫

∞ − 0 2 _dx e x

(27)

3)

∫

∞ ∞ − + 2 4 1 x dx

, integran f(x) memuat batas atas di x =

∞

dan batasa bawah di x = -

∞

Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga (

∞

).

Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

3.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinu a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b

Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x = b -

ε

(

ε

→

₀+_),

sehingga

∫

= _→+ b a dx x f 0 lim ) ( ε

∫

−ε b a dx x f( )

Karena batas atas x = b -

ε

( x

→

b−_{), maka}

∫

− → = b a t b dx x f( ) lim

∫

t a dx x f ( )

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

1)

∫

− → − = − + ε ε 4 0 0 4 0 4 lim 4 x dx x dx

, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga = __ε_→₊− − _4−ε 0 0 2 4 lim x = -2 _εlim_→₀+

[

4−(4−ε)− (4−0)

]

= -2 (_εlim_→₀+ ε − 4) = -2(0-2) = 4 Cara lain :

∫

= ₋ − _→− t t x dx x dx 0 4 4 0 4 lim 4 =

[

]

t tlim→4− −2 4−x 0

(28)

= lim

[

2 4 2 4 0

]

4− − − + − → t t = -2(0)+2(2) = 4 2)

∫

− − 2 2 4 x2 dx , f(x) = ₂ 4 1 x −

Fungsi di atas tidak kontinu di x = 2 dan x = -2, sehingga: maka = −

∫

− 2 2 4 x2 dx 2

∫

− 2 0 4 x2 dx = 2

∫

− 2 0 4 x2 dx = 2 ε ε − →     + 2 0 0 arcsin 2 x Lim = 2 ( 0) 2 − π =

π

b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a

Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a +

ε

(

ε

→

₀+

), sehingga

∫

= _→+ b a dx x f 0 lim ) ( ε

∫

+ b a dx x f ε ) (

Karena batas bawah x = a +

ε

( x

→

a−_{) maka dapat dinyatakan dalam}

bentuk lain:

∫

= _→ + b a t a dx x f( ) lim

∫

b t dx x f ( )

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.

1) = −

∫

4 3 3 3 x dx

∫

₋ + → 4 3 3 3 lim t t x dx =

[

]

4 3 3(2) 3 lim _t t→ + x−

(29)

= lim

[

6 4 3 6 3

]

3+ − − − → t t = 6(1) – 6(0) = 6 2)

∫

+ →+ = 1 0 1 0 0 lim ε ε _x dx x dx

,f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0 sehingga diperoleh:

[ ]

1 0 1 0 0 2 lim ε ε + →

∫

_x = + x dx = _εlim_→₀+

[

2 1−2 0+ε

]

= 2 – 0 = 2

c. f(x) kontinu di [a,c)

∪

(c,b] dan tidak kontinu di x = c

Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c +

ε

dan x = c -

ε

(

ε

→

₀+_{), sehingga}

∫

b =

∫

+

∫

a c a b c dx x f dx x f dx x f( ) ( ) ( ) = _εlim_→₀+

∫

−ε c a dx x f ( ) +

∫

− →+ b c x f Lim ε ε 0 ( )

Dapat juga dinyatakan dengan :

∫

− → = b a t b dx x f( ) lim

∫

t a dx x f ( ) + _tlim _→_a+

∫

b t dx x f ( )

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini. 1)

∫

−

4

0 3 x 1

dx

, f(x) tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh

∫

+

∫

₋ − 1 0 4 13 3 ₁ _x ₁ dx dx x dx

, berdasarkan contoh sebelumnya didapat:

∫

+ → − → + − + + − 4 1 3 0 1 0 3 0 1 lim 1 lim ε ε ε ε _x dx x dx

(30)

= 4 1 3 2 0 1 0 3 2 0 2( 1) 3 lim ) 1 ( 2 3 lim ε ε ε ε + → − → _     − +       − ₊ + x x = lim (1 ) 1) (0 1) ₂3 2 3 ₃2 3 2 0 _+     − − − − + → ε ε _     − + − − + → 3 2 3 2 0 (4 1) ((1 ) 1) lim ε ε = ( 1 9) 2 3 ₋ ₊3 2)

∫

− − 8 1 3 1 , dx

x f(x) tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh

dx x dx x

∫

− − − +8 0 3 1 0 1 3 1 =

∫

x dx

∫

x dx + − → − − − → + + + 8 0 3 1 0 0 1 3 1 0 lim lim ε ε ε ε = 8 0 3 2 0 0 1 3 2 0 2 3 lim 2 3 lim ε ε ε ε + → − − → _     +       + + x x = - 6 2 3 ₊ = 2 9

3.3 Integral tak wajar dengan batas tak hingga

Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.

a. Intergral tak wajar dengan batas atas x =

∞

.

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.

∫

→∞ ∞ = t a t a dx x f dx x f( ) lim ( )

Perhatikan contoh berikut ini : 1)

∫

∞ + 0 2 ₁ x dx =

∫

+ ∞ → t t x dx 0 2 ₄ lim

(31)

= t t x 0 2 arctan 2 1 lim     →∞ = _→_∞_ − arctan 0_ 2 1 2 arctan 2 1 lim t t = ( ½ . 2 π_{- ½ .0)} = 4 π 2)

∫

∞ 1 2 x dx = lim_t_→_∞

∫

t x dx 1 2 = t t x 1 1 lim    − ∞ → = t t t 1 1 1 lim    ₋ ₊ ∞ → = 1

b. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = -

∞

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:

∫

∞ − →−∞ = a t a t f x dx dx x f ( ) lim ( )

Perhatikan contoh berikut ini:

1.

∫

∞ − 0 2 x e dx = 0 2 2 1 lim t x t e      −∞ → = _      ₋ −∞ → t t e 2 2 1 1 . 2 1 lim = ½ - 0 = ½ 2.

∫

∞ − − 0 2 ) 4 ( x dx = 0 ) 4 ( 1 lim t t x _     − −∞ → =      − + − −∞ → ₍₄ ₀₎ 1 ) 4 ( 1 lim t t

(32)

= 0 + 4 1

= ¼

c. Integral tak wajar batas atas x =

∞

dan batas bawah di x = -

∞

Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak wajar dengan

∫

∞ ∞ − −∞ ∞ + = a a dx x f dx x f x x f( ) ( ) ( ) , sehingga

bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh bentuk:

∫

∞ ∞ − −∞ ∞ + = a a dx x f dx x f x x f( ) ( ) ( ) = _→_−∞

∫

+ _→_∞

∫

t a a t t tlim f(x)dx lim f(x)dx

Perhatikan beberapa contoh dibawah ini: 1.

∫

∞ ∞ − + 2 4 1 x dx =

∫

∞ − ∞ + + + 0 0 2 2 ₁ ₄ 4 1 x dx x dx = _tlim_→_−∞

[

arctg4x

]

0t +

[

]

t t arctg4x0 lim ∞ → = 2 π 2.

∫

∞ ∞ − +1 2 x x e dx e =

∫

∞ − + 0 2x ₁ x e dx e +

∫

∞ + 0 2x ₁ x e dx e = tlim→−∞

∫

+ 0 2 ₁ t x x e dx e + tlim→∞`

∫

+ t x x e dx e 0 2 ₁

= tlim→−∞ (arc tgn ex) _t0+ limt→∞(arc tgn ex)t₀

= − + 4 2 π π ₀ 4 − π ₌ 2 π BAB IV

(33)

Misal u adalah suatu fungsi yang terintegralkan dan C sebuah konstanta, dengan memperhatikan sifat-sifat operasi Aljabar fungsi (penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian) dapat diperikan beberapa sifat Integral tak tentu fungsi yang terintegralkan. Sifat-sifat berikut berlaku untuk syarat yang diberikan.

1.

∫

_un du = 1 1 + + n un + C, jika n

≠

-1 2.

[

]

[

]

C n x u dx x u x u n n + + = +

∫

( ) '( ) ( )₁ 1 , jika n

≠

-1 3.

∫

u du = ln u _{+ C atau}

∫

dx = f x +C x f x f ) ( ln ) ( ) ( ' 4.

∫

eu_{du = e}u_{+ C} 5.

∫

au_{du =} u au ln + C 6.

∫

u dv = uv -

∫

v du 7.

∫

sin du = - cos u + C 8.

∫

cos u du = sin u + C 9.

∫

sec2_{u du = tan u + C} 10.

∫

csc2_{u du = - cot u + C} 11.

∫

sec u tan u du = sec u + C 12.

∫

csc u cot u du = - csc u + C 13.

∫

tan u du = ln sec u _{+ C}

14.

∫

cot u du = ln sin u _{+ C}

15.

∫

sec u du = ln sec u+tan u _{+ C}

16.

∫

csc u du = ln csec u−cot u _{+ C} 17.

∫

2 2 u a du − = arc sin a u +C 18.

∫

₂ ₂ u a du + = a 1 arc tan a u + C 19.

∫

= − 2 2 _u a du a 2 1 ln _uu₋+_aa + C 20.

∫

= − 2 2 _a u du a 2 1 ln _uu₊−_aa + C

(34)

21.

∫

+ 2 2 a u du = ln (u + _u2 ₊_a2 ) + C 22.

∫

− 2 2 _a u du = ln (u + _u2 ₋_a2 ) + C 23.

∫

_a2₋_u2 du = ½ u _u2 ₋_a2 ₋ C a u a arcsin + 2 1 2 24.

∫

₂ ₂ a u u du − = a 1 arc sec u_a + C 25.

_∫

_u2 −_a2 _{du = ½ u} − − 2 2 _a u 2ln 2 2 2 1 a u u a + − + C 26.

_∫

_u2 +_a2 _{du = ½ u} + + 2 2 _a u 2ln 2 2 2 1 a u u a + + + C 27.

∫

sin2_{u du =} 2 1 u – 4 1 sin 2u + C 28.

∫

cos2_{u du =} 2 1 u + ¼ sin 2u + C 29.

∫

tan2_{u du = -u + tan u + C} 30.

∫

cot2_{u du = - u – cot u + C} 31.

∫

sin3_{u du = -} 3 1 ( 2 + sin2_{u ) cos u + C} 32.

∫

cos3_{u du =} 3 1 ( 2 + cos2_{u ) sin u + C} 33.

∫

tan3_{u du =} 2 1 tgn2_{u + ln}_cos _u _{+ C} 34.

∫

cot3_{u du =} -2 1 cot2_{u - ln}_sin _u _{+ C} 35.

∫

sec3_{u du =} 2 1 sec u tan u + 2 1 ln sec u+tan u _{+ C} 36.

∫

csc3_{u du =} -2 1 csc u cot u + 2 1 ln csec u−cot u _{+ C}

37.

∫

sin au sin bu du = sin(₂₍_aa₋−_bb₎)u - sin(₂₍_aa₊+_bb₎)u + C, jika a2

≠

_b2 38.

∫

cos au cos bu du = sin(₂₍_aa₋−_bb₎)u + sin(₂₍_aa₊+_bb₎)u + C, jika a2

≠

_b2 39.

∫

sin au cos bu du = - cos(₂₍_aa₋−_bb₎)u - cos(₂₍_aa₊+_bb₎)u + C, jika a2

≠

_b2

(35)

40.

∫

sinn_{u du =} -n u u n _cos sin −1 + n n 1−

∫

sin n-2_{u du} 41.

∫

cosn_{u du =} n u u n _sin cos −1 + n n 1−

∫

cos n-2_{u du} 42.

∫

tann _{u du =} 1 1 − n tan n-1 u -

∫

−2 tan n u du jika n

≠

1 43.

∫

cot n_{u du =} -1 1 − n cot n-1_{u -}

∫

_cot _gnn−2 u du jika n

≠

1 44.

∫

sec n_{u du =} 1 1 − n sec n-2_{u tgn u +} 1 2 − − n n

∫

sec n-2_{u du, jika n}

≠

₁ 45.

∫

csc n_{u du= -} 1 1 − n csc n-2_{u cot u +} 1 2 − − n n

∫

csc n-2_{u du, n}

≠

₁ 46.

∫

sin n _ucosm _{u du = -} m n u u m n + + −1 _cos 1 sin + m n n + −1

∫

sin n-2_{u cos}m_{u du,} n

≠

-m

47.

∫

u sin u du = sin u – u cos u + C 48.

∫

u cos u du = cos u + u sin u + C

49.

∫

un_{sin u du = -u}n _{cos u + n}

∫

_un-1_{cos u du} 50.

∫

un_{cos u du = u}n _{sin u + n}

∫

_un-1_{sin u du} 51.

∫

sin u d(sin u) = 2 1 sin 2 _{u + C} 52.

∫

cos u d(cos u) = 2 1 cos2 _{u + C} 53.

∫

tan u d(tan u) = 2 1 tan 2 _{u + C} 54.

∫

cot u d(cot u) = ½ cot2_{u + C} 55.

∫

sec u d(sec u) = ½ sec2_{u + C} 56.

∫

csc u d(csc u) = ½ csc2_{u + C} 57.

∫

_u2 _±_a2 du = 2 u ₂ ₂ a u ± ± 2 2 a ln _u₊ _u2 _±_a2 + C 58.

∫

u a u2 ₊ 2 du = _u2₊_a2 - a ln         _± ₋ u u u a 2 2 + C 59.

∫

_u2 _a2 du ± = ln 2 2 _a u u+ ± _{+ C}

(36)

60.

∫

u a u2 ₋ 2 du = _u2 ₋_a2 - a arc sec a u + C 61.

∫

u2 2 2 u a ± du = 8 u (2a2 ±_u2₎ 2 2 u a ± - 8 4 a ln _u₊ _a2 _±_u2 + C 62.

∫

₂ ₂ 2 a u u ± du = 2 u ₂ ₂ u a ± ± 2 2 a ln _u₊ _a2 _±_u2 + C 63.

∫

2 2 2 a u u du ± = ± a u a u 2 2 2_± + C 64.

∫

2 ₂ 2 u a u ± _{du = -} u a u2 _± 2 - ln _u₊ _a2 _±_u2 + C 65.

∫

2 3 2 2 ₎ (u a du ± = a2 u2 a2 u ± ± _{+ C} 66.

∫

− 2 2 _u a udu = - _a2 ₋_u2 + C 67.

∫

(_u2 _±_a2₎3/2 _{du =} 8 u (2u2±_5a2₎ _u2 _±_a2 + 8 3_a4 ln _u₊ _u2 _±_a2 + C 68.

∫

_a2₋_u2 du = 2 a ₂ ₂ u a − + u a2 arc sin -1 a u + C 69.

∫

₂ ₂ 2 u a u − du = - 2 a ₂ ₂ u a − + u a2 arc sin -1 a u + C 70.

∫

u u a2 ₋ 2 du = _a2 ₋_u2 - a ln u u a a₊ 2 ₋ 2 + C 71.

∫

u2 _a2 ₋_u2 du = 8 u (2u2_{- a}2₎ _a2₋_u2 + 8 4 a arc sin -1 a u + C 72.

∫

2 2 2 u a u du − = - a u u a 2 2 2 ₋ + C 73.

∫

2 ₂ 2 u a u − _{du = -} u a u2 ₋ 2 - arc sin -1 a u + C 74.

∫

_u _a2 _u2 du − = - a 1 ln a+ a_u2 −u2 + C 75.

∫

−u u du 1 = ln x x − + − − 1 1 1 1 + C 76.

_∫

+u u 1 du = 2 u - 2 arc tan u + Cl

(37)

77.

∫

_u₍₁du₊ _u₎= 2 ln (1+ u) 78.

∫

2 3 2 2 ₎ (a u du − = a2 a2 u2 u − + C 79.

∫

(_a2 ₋_u2₎3/2 _{du =} 8 u (5a2_{- 2u}2₎ 2 2 u a − + 8 3_a4 arc sin -1 a u + C 80.

∫

ueu_{du = (u-1)e}u_{+ C} 81.

∫

un_eu_{du = u}n_eu_{– n}

∫

_un-1_eu_du 82.

∫

ln u du = u ln u – u + C 83.

∫

un_{ln u du =} 1 1 + + n un ln u - 2 1 ) 1 ( + + n un + C 84.

∫

eau _{sin bu du =} 2 2 _b a eau

+ (a sin bu – b cos bu) + C

85.

∫

eau _{cos bu du =}

2

2 _b

a eau

+ (a cos bu + b sin bu) + C

86.

∫

arc sin -1_{u du = u arc sin}-1_{u +} 2

1 u− + C 87.

∫

arc tan u du = u arc tan u -

2 1

ln ₁₊_u2

+ C 88.

∫

arc sec u du = u arc sin u – ln _u₊ ₁₊_u2

+ C 89.

∫

u arc sin u du = ¼ (2u2_{– 1) arc sin u +}

4

u ₂

1 u− + C 90.

∫

u arc tan u du = ½ (u2 _{+ 1) arc tan u -}

2 u + C 91.

∫

u arc sec u du = 2 2 u arc sec u – ½ _u2 ₋1 + C 92.

∫

u arc sin u du = 1 1 + + n un arc sin u - 1 1 + n

∫

₋ + 2 1 1 u un du + C, jika n

≠

-1 93.

∫

un _{arc tan u du =} 1 1 + + n un arc tan u - 1 1 + n

∫

₊ + 2 1 1 u un du + C, jika n

≠

-1 94.

∫

un_{arc sec u du =} 1 1 + + n un arc sec u - 1 1 + n

∫

₋ + 1 2 1 u un du + C, jika n

≠

-1 95.

∫

sinh u du = cosh u + C 96.

∫

cosh u du = sinh u + C

(38)

97.

∫

tanh u du = ln (cosh u ) + C 98.

∫

coth u du = ln sinh u _{+ C}

99.

∫

sech u du = arc tan sinh u _{+ C}

100.

∫

csch u du = ln tanh u₂ _{+ C} 101.

∫

sinh2 _{u du = ¼ sinh u -} 2 u + C 102.

∫

cosh 2 _{u du = ¼ sinh u +} 2 u + C 103.

∫

tanh2 _{u du = u - tanh u + C} 104.

∫

coth2 _{u du = u – coth u + C} 105.

∫

sech2 _{u du = tanh u + C} 106.

∫

csch2 _{u du = -coth u + C} 107.

∫

sech u tgnh u du = - sech u + C 108.

∫

csch u coth u du = - csch u + C 109.

∫

u(au+b)-1 _{du =} 2 a b a u − ln au +b _{+ C} 110.

∫

u(au + b)-2_{du =}     + + + b au b b au a ln 1 2 + C 111.

∫

u(au+b)n _{du =} 2 1 ) ( a b au₊ n+     + − + + 1 2 n b n b au + C, jika n

≠

-1, -2 112.

∫

_a _u n du ) ( 2 _± 2 =       ± − + ± − 2 2 −1

∫

2 2 −1 2₍ ₁₎ ₍ ₎ (2 1) ₍ ₎ 2 1 n n _a _u du n u a u n a + C, n

≠

1 113.

∫

u au +bdu = au b au b C a − + + 2 3 2 (3 2 )( ) 15 2 114.

∫

un _au ₊_b_{du =}     + − + +

∫

− _au _b u nb b au u n a n n 2 1 3 ) ( ) 3 2 ( 2 + C 115.

∫

b au udu + = 3a (au−2b) au+b 2 2 + C 116.

∫

b au du un + = (2 1) 2 + n a

(

u au b

)

n ₊ _-nb

∫

−₊ du b au un 1

(39)

117.

∫

b au u du + = b 1 ln _auau ₊+_bb ₊− _bb + C 118.

∫

b au u du n ₊ = - ₋

∫

₊ − − − + − − _u _au _b du b n a n u n b b au n n 1 ₍₂ ₂₎ 1 ) 3 2 ( ) 1 ( + C, jika n

≠

1 119.

∫

₂_au ₋_u2 = _arc n a u au a u 2 2 2 2 − + − _sin a a u− + C 120.

∫

₂ 2au u du − = arc sin a a u− + C 121.

∫

un 2 2au −u = ₊ + − − 2 ) 2 ( 2 3 2 1 n u au un 2 ) 1 2 ( + + n a n

∫

_un−1 ₂_au −_u2 du 122.

∫

₂ 2au u du un − = - 2 1 2au u n un − − + −

∫

n a n 1) 2 ( 2 1 2au u du un − − + C 123.

∫

u u au 2 2 − ₌ ₂_au ₋_u2 ₊ a arc sin a a u− + C 124.

∫

_n u u au 2 2 − ₌ + − − n au n u au ) 2 3 ( ) 2 ( 2 3 2

∫

− − − − _du u u au a n n n 1 2 2 ) 3 2 ( 3 125.

∫

) 2 ( 2 u au u du n ₋ =

∫

− − − + − − −1 2 2 2 ) 1 2 ( 1 ) 2 1 ( 2 u u u du a n n u n a u au n n 126.

∫

( ₂_au ₋_u2 )2 =

∫

₋ − + 1 2 2 ) 2 ( 1 n u au n na du 127.

∫

₍ ₂_au _u2₎4 du − =

(

)

_∫

− − − + − − − − 2 3 2 2 2 2 2 ) 2 ( ) 2 ( 3 2 ) 2 ( u au du a n n u au n a u n du 128. 1 2 1 tan ln 1 cos sin − − = −

∫

u u u du + C 129. u u u du 2 1 tan 1 ln cos sin 1+ + = +

∫

+ C 130.

∫

+ udu udu 2 sin 1 sin = 2 4 1 ln 2 2 3 2 tan 2 2 3 2 tan 2 2 + + − + u u + C