Modul Integral by Mujito 1
INTEGRAL
A. Integral Tak Tentu
Hitung integral adalah kebalikan dari hitung differensial. Pada hitung differensial yang dicari adalah fungsi turunannya, sedangkan pada hitung integral yang dicari adalah fungsi yang
menurunkannya atau fungsi asalnya atau fungsi anti derivatifnya. F (x) = f(x) f(x) dx = F(x) + c
Dimana : F(x) disebut fungsi integral dari f(x) F(x) disebut fungsi integran
C disebut bilangan tetap integrasi / konstanta Hasil pengintegralan adalah tidak tetap.
Misalnya : F(x) = x2 + 1 F (x) = 2x G(x) = x2 – 5 G (x) = 2x H(x) = x2 + 100 H (x) = 2x
Karena F(x) = G(x) = H(x) = 2x ; maka dikatakan bahwa integral 2x ke x adalah x2 + 1 atau x2 – 5 atau x2 + 100 dan masih banyak yang lainnya. Karena hanya berbeda konstantanya saja maka dikatakan bahwa integral 2x ke x adalah x2 + c.
Ditulis : 2x dx = x2 + c. Rumus – Rumus Integral
1.
c x n dx xn n 1 1 1 ; n -1 2.
c x n a dx x a dx axn n n 1 1 3.
dx xc x dx x 1 1 ln 4.
adxaxc 5.
[f(x)g(x)]dx
f(x)dx
g(x)dx 6.
kf(x)dxk
f(x)dx 7. Integral substitusiJika u fungsi dalam x, maka:
c u n du un n 1 1 1
8. Jika u fungsi dalam x, maka:
du uc udu
u 1 1 ln
Integral Dengan substitusi Bentuk
dx x f x f ) ( ) ( ' dan f’(x). f(x) dxIntegral dengan substitusi merupakan cara penyelesaian integral dengan memasukkan variabel baru yang tujuannya untuk memudahkan menyelesaikan integral tersebut.
Integral Parsial
Digunakan untuk mengintegralkan hasil kali dua fungsi. Rumus umum :
u.dv = u.v - v.du
Modul Integral by Mujito 2 Contoh: 1)
x5dx x6 c 6 1 2)
x2 xdx
x dx x c x3 xc 7 2 7 2 72 2 5 3)
c x c x dx x dx x 4 4 5 5 4 1 4 1 1 4)
x2dx x3cx3 c 3 3 3 5)
x xdx
x dx x c x c x2 xc 5 1 5 1 5 2 . 2 1 2 1 2 1 52 2 5 2 3 6)
dx
x dx x c xc x 4 1 . 2 2 2 12 2 1 2 1 7)
2dx2xc 8)
dx xc 2 1 2 1 9)
2dx 2xc 10)
x3x2 dx x4 x3 c 3 1 4 1 ) ( 11)
x x x dx x x x 5xc 2 2 3 3 4 2 ) 5 2 3 2 ( 3 2 4 3 2 12)
x dx
x x dx x 6x 9xc 3 4 ) 9 12 4 ( ) 3 2 ( 2 2 3 2 13) c x x x c x x x dx x x dx x x x dx x x
1 2 3 1 2 3 1 ) 2 ( 1 2 ) 1 ( 2 2 3 1 3 2 2 4 2 2 2 14)
(2x5)15dx … ? Misal : u = 2x – 5 du = d(2x – 5) = 2 dx
(2x5)15dx
u15 du u16c (2x5)16c 32 1 16 1 . 2 1 2 1 . 15)
6x2(2x3 7)8dx … ? Misal : u = 2x3 + 7 du = 6x2 dx
6x2(2x3 7)8dx
u8du u9 c (2x3 7)9 c 9 1 9 1 16)
3x5dx… ? Misal : u = 3x – 5 du = 3 dx
3x5dx
u du u c (3x5) 3x5c 9 2 3 2 . 3 1 3 1 . 32 17)
2x 3 dx … ? Misal : u = -2x + 3 du = -2 dx
2x 3 dx c x c u du u
ln( 2 3) 2 1 ln 2 1 2 1 . 1Modul Integral by Mujito 3
B. Integral Tertentu
) ( ) ( )] ( ) (x dx F x F b F a f ba b a
Dengan : F(x) = fungsi hasil integral dari f(x) F(b) = Nilai fungsi F(x) untuk x = b F(a) = Nilai fungsi F(x) untuk x = a a = fungsi bawah
b = fungsi atas Sifat – Sifat Integral Tertentu
1.
a b b a dx x f dx x f( ) ( ) 2.
c b b a c a dx x f dx x f dx x f( ) ( ) ( ) ; a < b < c 3.
a a dx x f( ) = 0 4.
b a dx x kf( ) = k
b a dx x f( ) ; k = konstanta Contoh: 1) 4 3 3 4 1 4 1 . 4 1 2 . 4 1 4 1 4 4 2 1 4 2 1 3
x dx x 2)
2 3
10
12 13
02 03
2 0 2 3 2 1 0 2
x x dx x x 3) 8 15 8 1 16 1 . 8 1 2 . 8 1 8 1 2 1 4 4 2 1 4 2 1 3
x dx xModul Integral by Mujito 4
LATIHAN 1
1. Tentukan integral tak tentu berikut ini !
a. (x2 – 1) dx e. x (1 + x) dx i. x x x3 dx b. (x – 3)2 dx f. 2 4 1 x x dx j. (x - x 1 )2 dx c. (3x2 + 4x + 5) dx g. 2 2 2 ) 1 ( x x dx d. 2x (3x - x 1 ) dx h.
2
1 2 1 2 x x dx2. Tentukan integral tertentu berikut ini ! a.
4 0 7 x dx d.
1 1 2 2 1 dt t t b.
3 1 2 2 1 dx x e.
3 2 2 3 4 2 4 3 dx x x x c.
2 0 2 3 1 dx x f.
1 1 ) 1 )( 1 ( 12x x x dx3. Selesaikan soal berikut dengan substitusi ! a.
dx x x x 3 2 ) 5 4 ( 4 2 c. (x + 1) 2 5 ) 3 2 (x x dx b. x4 .(x5 + 3)6 dxModul Integral by Mujito 5
Rumus – Rumus Integral Trigonmetri
1. Sin x dx = - Cos x + c 2. Cos x dx = Sin x + c
Jika u fungsi dalam x, maka :
3. Sin u du = -.Cos u + c atau Sin u dx = -
u
1
.Cos u + c 4. Cos u du = Sin u + c atau Cos u du =
u 1 .Sin u + c Contoh: 1) Sin 5x dx = … ? Misal : u = 5x du = 5 dx Sin 5x dx = Sin u . 5 1 du = 5 1 (- Cos u) + c = - 5 1 cos 5x + c 2) Sin3x . Cosx dx = … ?
Misal : u = Sin x du = Cos x dx Sin3x . Cosx dx = u3 du = 4 1 u4 + c = 4 1 Sin4 x + c 3) Sin3 2x . Cos 2x dx = … ?
Misal : u = Sin 2x du = 2 Cos 2x dx Sin3 2x . Cos 2x dx = u3 . 2 1 du = 2 1 . 4 1 u4 + c = 8 1 Sin4 2x + c 4) Cos2 x dx = … ?
Dengan mengingat : Cos 2x = 2 Cos2 x – 1 Cos2 x = 2 2 1Cos x = 2 1 + 2 1 Cos 2x Sehingga: Cos2 x dx = 2 1 dx + 2 1 Cos 2x dx Misal : u = 2x du = 2 dx Cos2 x dx = 2 1 dx + 2 1 Cos u . 2 1 du = 2 1 x + 4 1 Sin u + C = 2 1 x + 4 1 Sin 2x + C 5)
0 (Cos x + Sin x) dx = … ?
0(Cos x + Sin x) dx = Sin x – Cos x
0 = (Sin - Cos ) – (Sin 0 – Cos0) = [0 – (-1)] – [0 – 1] = 1 – (-1) = 2 6)
2 0 (1 + Cos x) dx = x + Sin x
2 0 = ( 2 + Sin 2 ) – (0 – Sin 0) = ( 2 + 1) – 0 = 2 + 1 Kegiatan Belajar 2 : Integral TrigonometriModul Integral by Mujito 6
LATIHAN 2
1. Tentukan : a. (2 Sin x + Cos x) dx b.
2 0 Sin2 x . Cos x dx 2. Selesaikan dengan substitusi :a. Cos3x .Sin x dx c. Cos(7x – 2) dx b. Sin3x .Cos x dx d. . Cos4x .Sin x dx 3. Selesaikan soal berikut dengan integral parsial !
Modul Integral by Mujito 7
A. Menentukan Luas Daerah
(i) Y
y = f(x)
O a b X
Luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) ; x = a ; x = b ; dan sumbu X dinyatakan oleh: L = f x dx b a
( ) (ii) O a b X y = f(x) YUntuk daerah di bawah sumbu X :
L = - f x dx b a
( ) (iii) Y y = f(x) y = g(x) O a b XLuas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x) dimana f(x) > g(x) dalam interval x = a dan x = b dapat dinyatakan oleh :
L =
f x g x
dxb
a
( ) ( )Modul Integral by Mujito 8 Contoh:
1) Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x3 , sumbu X, X = 1 dan X = 3 ! Jawab: Y y = x3 O 1 3 X L =
3 1 3 dx x = 3 1 4 4 1 x = 4 4 1 . 4 1 3 . 4 1 20 4 80 4 1 4 81 satuan2) Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 6x dan sumbu x ! Jawab: Y y = x2 – 6x O 6 X L = -
6 0 2 ) 6 (x x dx = -
0 6 2 ) 6 (x x dx = 0 6 2 3 3 3 1 x x = 0 - 3 2 6 . 3 6 . 3 1 = 0 –(75 – 108) = -75 + 108 = 36 satuan luas 3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = 6x – x2 dan y = x2 – 2 !Jawab: Y
y = x2 – 2
O 4 X y = 6x – x2
Titik potong kedua parabola 6x – x2 = x2 – 2x 2x2 = 8x 2x2 - 8x = 0 2x(x – 4) = 0 x = 0 atau x = 4 L =
4 0 [(6x – x2) – (x2 – 2x)]dx =
4 0 (6x – x2 – x2 + 2x) dx =
4 0 (8x – 2x2) dx = 4 0 3 2 3 2 4x x = .4 0 3 2 4 . 4 2 3 = 0 3 128 64 = 64 - 42 3 2 = 21 3 1 satuan luas.Modul Integral by Mujito 9
B. Menentukan Volum Benda Putar
(i) Perputaran Terhadap Sumbu X Y
y = f(x)
O a b X
Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu X, maka volum benda putar yang terjadi adalah:
V = y dx b a
2 = f x dx b a
2 )] ( [(ii) Perputaran Terhadap Sumbu Y
Y x = f(y) b a O X
Jika daerah yang dibatasi kurva x = f(y), y = a dan y = b diputar mengelilingi sumbu Y, maka volum benda putar yang terjadi adalah:
V = x dy b a
2 = f y dy b a
2 )] ( [ a bModul Integral by Mujito 10 (iii) Y y = f(x) y = g(x) a b b X O a
Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), y = g(x), x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu X, maka volum benda putar yang terjadi adalah:
V = f x g x dx b a
{[ ( )]2 [ ( )]2} (iv) Y x = g(y) x = f(y) b a aaaa a O XJika daerah yang dibatasi kurva x = f(y), x = g(y), y = a dan y = b diputar mengelilingi sumbu Y, maka volum benda putar yang terjadi adalah:
V = f y g y dy
b
a
{[ ( )]2 [ ( )]2}Modul Integral by Mujito 11 Contoh:
1. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, x = 0 dan x = 5 diputar mengelilingi sumbu X. Tentukan volum benda putar yang terjadi !
Jawab: Y y = x O 5 X V =
y dx 5 0 2 =
x dx 5 0 2 2 ) ( =
x dx 5 0 4 = 5 0 5 5 1 . x = 5 5 0 . 5 1 5 . 5 1 . = 625 satuan volum2. Daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2, y = 0 dan y = 5 diputar dengan sumbu Y sebagai poros putar. Tentukan isi benda putar yang terjadi !
Jawab : Y x = y 5 O X V =
x dy 5 0 2 =
ydy 5 0 = 5 0 2 2 1 . y = 5 5 0 . 2 1 5 . 2 1 . = 2 25 = 2 1 12 satuan volum3. Hitung volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva y = x2 dan y = x + 2 diputar mengelilingi sumbu X !
Jawab: Y y = x2 y = x + 2 4 1 -1 O 2 X
Titik potong kedua kurva: x2 = x + 2
x2 – x – 2 = 0 (x + 1)(x – 2) = 0 1
Modul Integral by Mujito 12 x = -1 atau x = 2 untuk x = -1 y = 1 x = 2 y = 4 V =
x x dx 2 1 2 2 2 ] ) ( ) 2 [( =
x x dx 2 1 2 2 2 ] ) ( ) 2 [( = 2 1 5 2 3 5 1 4 2 3 1 . x x x x = 3 2 5 3 2 5 ) 1 ( 5 1 ) 1 ( 4 ) 1 ( 2 ) 1 ( 3 1 2 . 5 1 4 . 4 2 . 2 2 . 3 1 . = 5 1 4 2 3 1 5 32 8 8 3 8 . = 5 1 2 3 1 5 32 16 3 8 . = 5 33 21 . = 5 3 6 21 . = 5 2 14 satuan volum4. Hitunglahvolum yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva-kurva x = y dan x = y diputar
mengelilingi sumbu Y ! Jawab: Y x = y x = y 1 O 1 X
Titik potong kedua kurva:
y = y y = y2 y2 – y = 0 y(y-1) = 0 y = 0 atau y = 1 untuk y = 0 x = 0 y = 1 x = 1 V = y y dy b a
( 2) = 1 0 3 2 3 1 2 1 . y y = 0 1 . 3 1 1 . 2 1 . 2 3 = 3 1 2 1 = 6 satuan volum.Modul Integral by Mujito 13
LATIHAN 3
1. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 3, sumbu X, garis x = 0 dan garis x = 2 ! 2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x, y =
4 1
x, garis x = 3 dan garis x = 5 !
3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 3x - 5, sumbu X, garis x = 1 dan garis x = 3 ! 4. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan garis y = 2x !
5. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 –x dan y = 3x – x2 !
6. Hitunglah volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 !
a) y = 2x, x = 1, x = 5, dan sumbu X b) y = x, x = 4, x = 5, dan sumbu X
7. Hitunglah volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva di bawah ini diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 360 !
a) y = x, y = 2, y = 6, dan sumbu Y b) y = x2 + 1, y = 1, y = 6, dan sumbu Y
8. Tentukan volum benda putar yang terjadi jika kurva berikut ini menjadi batas-batasnya dan diputar 360mengelilingi sumbu X !
a) y = 2x dan y = x2 b) y = x dan y = x2 – 2x
