KALKULUS INTEGRAL PROGRAM STUDI PENDIDIK

KALKULUS INTEGRAL

O l e h

Drs. Dwi Purnomo, M.Pd.

NIP : 196412041990031003

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA

FAKULTAS PENDIDIKAN ILMU EKSAKTA DAN KEOLAHRAGAAN IKIP BUDI UTOMO MALANG

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur senantiasa penulis panjatkan kehadlirat Allah swt. atas limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga ditengah-tengah kesibukan dan rutinitas penulis serta dengan segala kekurangannya, dapat disusun modul sederhana yang diharapkan dapat membantu mahasiswa dalam mempelajari Kalkulus Integral.

Modul ini dimaksudkan untuk memberikan bekal kepada mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengeahuan Alam Fakultas Pendidikan Ilmu Eksakta dan Keolahragaan IKIP Budi Utomo Malang yang sedang mengikuti perkuliahan Kalkulus. Kekurangan dan belum sempurnanya modul ini menjadi ‘tuntutan” penulis sehingga yang seharusnya mahasiswa menerima banyak pengetahuan tentang Kalkulus Integral dari modul ini belum dapat terwujud seluruhnya.

Terselesaikannya penulisan modul ini tentu tidak terlepas dari bantuan rekan-rekan seprofesi di IKIP Budi Utomo Malang, lebih-lebih mahasiswa yang menjadi motivasi penulis untuk segera menyelesaikan modul sederhana ini. Terima kasih juga untuk anakku Pandu, Prisma, Caesar dan juga mama anak-anak yang juga telah memberikan dorongan dan inspirasi panjang selama pembuatan modul ini.

Semoga bahan ajar yang telah dituangkan dalam modul ini, akan sangat berguna bagi mahasiswa. Kekurangan dan kekhilafan disana sini Insyaallah diperbaiki dikemudian hari.

Malang, 3 Mei 2010

Dwi Purnomo

DAFTAR ISI

Halaman

Halaman

Sampul ... 1 Kata

Pengantar ... 2 Daftar

Isi ... 3

Bab I PENDAHULUAN 1.1

Turunan ... ... .

4

1.2

Antiturunan ... ..

9

1.3 Integral

Tertentu ... 17

Bab II TEKNIK INTEGRAL 2.1 Teknik

Substitusi ... 28 2.2 Integral Fungsi

Trigonometri ... 34 2.3 Teknik Substitusi Fungsi

Trigonometri ... 45

2.4 Integral

Parsial ... 57 2.5 Integral Fungsi

Rasional ... 61 2.6 Integral Fungsi Rasional yang Memuat Fungsi

Trigonometri ... ....

73

Bab III INTEGRAL TIDAK WAJAR 3.1

Diskontinu ...

3.3 Integral Tidak Wajar dengan Batas Tak

Hingga .. 85

Bab IV RUMUS-RUMUS

INTEGRAL ... 91

Bab V TRANSFORMASI LAPLACE

5.1 Definisi Transformsi Laplace

... 101

5.2 Syarat Cukup Transformasi Laplace

Ada ... 106

5.3 Metode Transformasi

Laplace ... 106 5.4 Sifat-sifat Transformasi

Laplace ... 108

DAFTAR

PUSTAKA ... 122

BAB I

ANTITURUNAN

1.1 Turunan

Pembahasan tentang turunan tidak dapat dipisahkan dari pengertian tentang fungsi, baik fungsi eksplisit maupun fungsi implisit. Fungsi eksplisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam bentuk y = f(x), sedangkan fungsi implisit adalah fungsi yang secara umum penulisannya dinyatakan dalam bentuk f(x,y) = 0.

1. y = 2 - 2 3x 2. y = 3_x2 _ 4_x3

3. y = x x x

4. x2 _{+ y}2 _{– 25 = 0} 5. xy2 _{+ x}2 _{y – 2 = 0}

6. x2 _{– 2x + y}2 _{+ 4y – 5 = 0}

Pada contoh di atas, fungsi no 1, 2, dan 3 adalah fungsi eksplisit, sedangkan contoh 4, 5, dan 6 adalah fungsi implisit. Semua fungsi yang ditulis dalam bentuk eksplisit dapat diubah penulisannya dalam bentuk implisit, akan tetapi tidak semua fungsi yang ditulis dalam bentuk implisit dapat diubah dalam bentuk eksplisit. Perhatikan contoh 5 di atas. Selanjutnya dari fungsi-fungsi tersebut, dapat ditentukan turunannya.

Definisi

Turunan fungsi y = f(x) adalah fungsi lain yang dinotasikan dengan f’(x) dan didefinisikan oleh

f’(x) = _x f x x_x f x 

   



) ( ) (

lim

0 , asalkan limitnya ada.

Misal (x+x)= t , maka x = t – x

Karena x 0maka t x

Sehingga definisi turunan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk lain

f’(x) = _{t x} f t_{t x}f x   

) ( ) (

lim _{, asalkan limitnya ada.}

Notasi lain untuk turunan y = f(x) dinyatakan dengan ,D f(x)

dx dy

x ,

dx x df ( )

.

menggunakan kaidah differensial yaitu dengan cara mendiferensialkan masing-masing variabel dalam fugsi tersebut. Berikut ini diberikan beberapa contoh menentukan turunan fungsi eksplisit dan implisit.

Contoh

Tentukan dx dy

fungsi-fungsi berikut.

1. y = x + C

Berdasarkan definisi di atas diperoleh

_dxdy _x f x x_x f x 

   

 

) ( ) (

lim

0

=

x x x x

x _

    lim0

=

x x x x

x _

   

lim0 . x x x

x x x

  

  

= limx₀

}

{

)(

)

(

x

x

xx

x

x

x











= _lim_x0x



_x_x_{x x}



= x _{xx x} 1 lim

0

= ₂1_x

2. y = _(13_x)

Berdasarkan definisi di atas diperoleh

x x f x x f dx

dy

x _

   

 

) ( ) (

lim

0

=

x

x x

x

x _

      

1 3 ) 1

( 3

lim

= lim 3(1_{(1 ) ₎₍3₁(1 _)})

0 x x x x

x x x

x _{   }

      

= lim_{(1 1)(1} 3 ₎

0 x x

x _{  }

 



= _{(1 )}2

3

x

 

Fungsi-fungsi yang mempunyai turunan sebagaimana dijelaskan pada contoh di atas disebut fungsi yang differensiable (dapat diturunkan).

Dengan cara yang sama, jika y = xn _{maka turunannya} ditentukan oleh: x x f x x f dx dy x _       ) ( ) ( lim 0 = x x x x Lim n n x _      ) ( 0 = x x x x x n n n x x n n x nx

xn n n n n n

x _                   ) ( ... ) ( ! 3 ) 2 )( 1 ( ) ( ! 2 ) 1 ( lim 3 3 2 2 1 0 = x x x x n n n x x n n x

nxn n n n

x _                 ) ( .... ) ( ! 3 ) 2 )( 1 ( ) ( ! 2 ) 1 ( lim 3 3 2 2 1 0 = ( ) .... ( ) ] ! 3 ) 2 )( 1 ( ) ( ! 2 ) 1 ( [

lim 1 2 3 2 1

0               

 n n n

n

x x x x

n n n x x n n nx

= nxn1

3. x2_y2 _ 25_0

Dengan mendiferensialkan masing-masing variabel, diperoleh:

d(x2) _{+ d(y}2_{) - d(25) = d(0)}

0 2

2  

 xdx ydy

 x + y _dxdy = 0

4. Tentukan _dxdy dari x2_{y + xy}2 _{– 2 = 0}

 d(x2_{y) + d(xy}2 _{) – d(2) = d(0)}

 (x2_{dy + 2xydx) + (2xydy + y}2_{dx) = 0}  (2xy + y2_{) dx + (2xy +x}2_{) dy = 0}



dx dy

= - 2

2

2 2

x xy

y xy

 

Secara umum, misal u = u(x), v = v(x), dan w = w(x) adalah fungsi yang masing-masing dapat diturunkan dan c sebarang bilangan real, maka dengan menggunakan definisi turunan dapat ditentukan beberapa rumus umum turunan fungsi sebagai berikut.

1. _dxd (c) = 0

2. dx

d

(x) = 1

3. _dxd (xn_{) = nx}n-1

4. _dxd (un_{) = nu}n-1

dx d

(u)

5. _dxd ( u + v) = _dxd (u) + _dxd (v)

6. _dxd (u - v) = _dxd (u) - _dxd (v)

7. dx

d

( u v  w  ... ) = dx

d

(u) 

dx d

(v) 

dx d

(w)  ...

8. _dxd (cu) = c _dxd (u)

9. _dxd (uv) = u_dxd (v) + v _dxd (u)

10. _dxd (uvw) = uv_dxd (w) + uw _dxd (v) + vw _dxd (u)

11. _dxd (u_v ) =

2 v

Bukti sifat-sifat di atas diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Selanjutnya, dengan menggunakan definisi turunan

dx dy

= _x f x x_x f x 

   



) ( ) (

lim

0 , dapat ditunjukkan beberapa turunan

fungsi geometri di bawah ini. y = cos x, maka

dx dy

=

x x f x x f

x _

   



) ( ) (

lim

0

= _x x x_x x 

   



cos ) cos(

lim

0

=

x

x x x x

x x

x _

   

  

 

2 ) (

sin 2

) (

sin 2 lim

0

=

2 sin 2

) 2

sin( 2 lim

0

x x

x x

x

 

  

 

= -sin x.

Analog, diperoleh turunan fungsi trigonometri yang lain:

1. _dxd (sinx) = cos x

2. _dxd (cos x) = -sin x

3. _dxd (tan x) = sec2_x

4. _dxd (cot x) = -csc2_x

5. _dxd (sec x) = sec x tan x

6. _dxd (csc x) = -csc x cot x

Antiturunan merupakan balikan dari turunan, sehingga untuk mempelajarinya harus dikaitkan dengan turunan fungsi.

Menurut definisi turunan, jika y = x maka

x dx

dy

2 1

 _.

Dengan cara yang sama, diperoleh

1. Jika y = x +3 maka

x dx

dy

2 1

 _.

2. Jika y = x - 3 maka

x dx

dy

2 1

 _.

3. Jika y = x - 100 maka

x dx

dy

2 1 

4. Jika y = x +

7

1 _maka

x dx

dy

2 1

 _{, dan seterusnya.}

Dengan kata lain, untuk y = x + C, C R maka

x dx

dy

2 1

 _.

Karena antiturunan merupakan balikan dari turunan, maka penulisan bentuk di atas dapat disederhanakan dengan Ax

     

x

2 1

= xC.

Hal ini berarti bahwa fungsi y = xC, dengan C Rmempunyai

turunan _dxdy ₂1_{x .}

atau antiturunan dari f(x) =      

x

2 1

adalah F(x) = x + C, C R.

Fungsi-fungsi yang dapat ditentukan antiturunannya disebut integrable (terintegralkan).

Dalam hal yang lebih umum, bentuk Ax 

    

x

2 1

= xC.

dinyatakan dengan



     

x

2 1

dx = xC.

Jadi, misal y = f(x) dan antiturunannya adalah F(x) + C, maka

Bentuk



f(x) dx = F(x) + C , f(x) disebut integran dan F(x) + C disebut anti turunan.

Teorema 1.

Jika r sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka:





 



C r

x dx x

r r

1

1 .

Akibatnya jika r = -1 maka



_xr_{dx }



_x1_dx

=



dx x

1

= ln x C

Bukti

Untuk mengembangkan suatu hasil yang berbentuk



f(x) dx = F(x) + C, C



Real.

Kita cukup menunjukkan bahwa

) ( ] ) (

[F x C f x

Dx  

Dalam kasus di atas

r r r

x n x x

r C r

x

D 

  



      

 

 



) 1 ( 1 1 1

1

Teorema 2

Misal f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang integrable dan C sebarang konstanta maka:

1.



Cf(x)dx _{= C}



f(x)dx_,

2.



[f(x)g(x)]dx 



f(x)dx



g(x)dx_,

3.



[f(x) g(x)]dx



f(x)dx



g(x)dx_, Bukti

Untuk membuktikan teorema di atas, cukup dengan mendeferensialkan ruas kanan dan amati bahwa kita memperoleh integran dari ruas kiri.

= Cf(x)

2. Dx {



f(x)dx



g(x)dx} = Dx



f(x)dxDx



g(x)dx

= f(x) + g(x)

3. Dx {



f(x)dx



g(x)dx} = Dx



f(x)dx Dx



g(x)dx

= f(x) - g(x)

Contoh

Tentukan integral berikut berdasarkan sifat integral di atas. 1.





x2 x



dx

Jawab





x2 x



dx₌





x2dx xdx

= 3 1 2 2

2 1 3

1

C x C

x   

= x3 x2C

2 1 3 1

2. dx

x x2 ₁ 2



   



 

Jawab

dx

x x2 ₁ 2



   



 

= dx

x x x



2 1

2 4

=











dx x dx

x x dx

x

x4 2 2 1

=



_x7/2_dx2



_x3/2_dx



_x1/2_dx

3. dx

x x x



3 2

) 1 (

Jawab

dx x x x



3 2

) 1 (

=



( 2 ₃ 2 1)

x x x x

dx

= dx

x x dx x x dx

x x







 

3 3

2

3 3

=



x8/3dx₂



x5/3dx



x2/3dx

= x11/3  x8/3  x5/3C

5 3 4

3 11

3

Teorema 3



sin x dx = - cos x + C, C



Real



cos x dx = sin x + C, c



Real

Bukti

Untuk membuktikan teorema di atas cukup dengan menunjukkan bahwa

Dx( cosx)sinx dan Dx(sinx) cosx.

Teorema 4

Andaikan f(x) fungsi yang differensiable dan n bilangan Rasional yang bukan -1, maka:













 



, 1

) ( )

( ' ) (

1 C r

x f dx x f x f

r

r _C



_Real.

Contoh

1.



3x 4x2  11dx Jawab

Karena _D (4_x2 _11)

x = 6x dx, sehingga berdasarkan teorema

di atas



3x 4x2  11dx ₌



4  11 2

1 _x2 _d(6x)

= x  C

2 / 3

) 11 4

( 2

1 2 3/2

= ₍₄ 2 ₁₁₎3/2

3 1



x _{+ C.}

2.



_ dy y

y

5 2

3

2

Jawab



_ dy y

y

5 2

3

2 =





 ydy

y 5) 3

2

( 2 1/2

=



_{y }  _4ydy 4 3 ) 5 2

( 2 1/2

=



_{(2y 5)} _.4ydy 4

3 2 1/2

= y  C

2 / 1

) 5 2 ( . 4

3 2 1/2

= 2y 5C

2

3 2

3.



3sin(6x2)dx Jawab

Misal U = 6x + 2  dU = 6 dx atau 3 dx = dU₂ , sehingga



3sin(6x2)dx ₌



2 sinU dU

= ( cosU)C

2 1

=  cos(6x2)C

2 1

4.



1cosxsinxdx Jawab

Misal A = 1cosx  A21cosx

2A dA = (-sin x) dx, sehingga:



1cosxsinxdx =



A.(2A)dA

= -2



A2dA

=  A3C

3 2

=  (1cosA)3 C

3 2

Beberapa rumus dasar integral tak tentu. 1.



dx = x + C, C



Real

1.



xr _{dx =}

1 1



r x

r+1 _{+ C, C}



_{Real, r}



_-1 2.



(u+v) dx =



u dx +



v dx

3.



a u du = a



u du

4.



1_x dx = ln | x | + C = e_{log │x│+ C, C}



_Real

5.



au _{du =}

a a

ln + C, C



Real

6.



eu _{du = e}u _{+ C, C}



_Real

7.



tan x dx = ln | sec x | + C, C



Real

8.



sec x dx = ln | sec x + tan x | + C, C



Real

9.



cot x dx = ln | sin x | + C, C



Real

10.



css x dx = ln | csc x – cot x | + C, C



Real

11.



sec2_{x dx = tan x + C, C}



_Real

12.



csc2x dx = - cot x + C, C



Real

13.



sec x tan x dx = sec x + C, C



Real

14.



csc x cot x dx = -csc x + C, C



Real

15.



cosm x dx = cosn 1_nxsinx  n_n 1 



cos m-2 x dx

16.



sinm x dx = _nx x n_n

n _{cos 1}

sin 1 _

 





sin m-2 x dx

17.



u dv = uv -



v du

18.



_x2 _a2 dx

 = 2a

1

ln _xx_ _aa + C, C



Real

19.



_a2 _x2 dx

 = 2a

1

ln _xx__aa + C, C



Real

20.



_a2 _x2 dx

 = arc sin a x

+ C

21.



_x2 _a2 dx

 = a

1

arc tgn _ax + C

22.



_{x x}2 _a2 dx

 = a

1

arc sec a x

23.



_x2_a2 dx =

2 1

u _x2_a2 +

2 1

a2 _{Ln ( u + x}2_u2 ) + C

24.



_x2_{ a}2 dx =

2 1

u _x2_{ a}2 -

2 1

a2 _{Ln ( u + x}2 _{ u}2 ) + C

25.



_x2 _a2

 dx =

2 1

u _x2 _a2

 +

2 1

a2 _{Ln ( u + x}2 _u2

 ) + C

30.



_x2_a2 dx

= arc sinh _ax + C

31.



_x2_{ a}2 dx

= arc cosh _ax + C

32.



_um_eau _{du =}





 m au

au

m _{u e}

a m e u a

1

1

du

Soal-soal

Tentukan integral berikut. 1



(x 2  3)3 2dx

2



_(x3 ₁₎4_3x2dx

3



₍₅x2 ₁₎₍₅x3 ₃x ₈₎6dx

4



(5x2 1) 5x33x 8dx

5 x x dx

x x

) 1 2

1 2 (

2

 





6 dx

x x x

x

5 2

3 )

5 2 (

2

2 / 3 3

  





7



 

dx x

x x

1 1

4 2

4

8



dx

x

3 cos

1

2

9



_sin3_[(x2 ₁₎4_]cos[(x2 ₁₎4₍x2 ₁₎3xdx 10 Andaikan u = sin{(x2 ₁₎4

 }

11 Tentukan



2 xdx

sin

12



6sin[3(x 2)]dx

13





    

dx x

14



(x2cos2xxsin2x)dx

1.3 INTEGRAL TERTENTU

Definisi :

Misal f(x) suatu fungsi yang didefinisikan pada [a,b], selanjutnya f(x) dikatakan terintegralkan (integrable) pada [a,b]

jika 



 

n

i i i

Plim0 ₁f(x ) x ada.

Selanjutnya 

b

a

dx x

f( ) _{disebut Integral Tentu (Integral Riemann)}

f(x) dari a ke b, dan didefinisikan



b

a

dx x

f ( ) _{= }



 

n

i i i

Plim0 ₁f(x ) x .



b

a

dx x

f ( ) _{menyatakan luas daerah yang tercakup diantara kurva}

y = f(x) dan sumbu x dalam selang [a,b], jika 

b

a

dx x

f( ) _bertanda

negatif maka menyatakan luas daerah yang berada dibawah sumbu x.

Definisi :

1. 

a

a

dx x

f ( ) _{= 0}

2. 

b

a

dx x

f ( ) _{= -} a_

b

dx x

Teorema Dasar Kalkulus

Teorema dasar Kalkulus memberikan kemudahan untuk menghitung Integral Tentu, berikut teorema tersebut :

Misal f(x) kontinu pada [a,b] dan F(x) sebarang anti turunan

f(x), maka 

b

a

dx x

f ( ) _{= F(b) – F(a)}

Selanjutnya ditulis F(b) – F(a) = b a

x F( )] [

Contoh :

1. Perlihatkan bahwa jika r  Q dan r  -1, maka

1 1

1 1

   

 

x dx b_r a_r r r

b

a r

Jawab :

Karena F(x) =

1

1





r

xr _{suatu anti turunan dari f(x) = x}r_{, maka}

menurut teorema dasar Kalkulus

1 1

) ( )

( 1 1

    



 

x dx F b F a b_r a_r r r

b

a r

Integral tentu sebagai operator linear, yaitu bersifat :

Misal f(x) dan g(x) terintegralkan pada [a,b] dan k suatu konstanta, maka:

1.  

b

a

dx x

kf ( ) _k



b

a

dx

x

f

(

)

2.

f

x

g

x

dx

b

a

)]

(

)

(

[





=



b

a

dx

x

f

(

)

+ 

b

a

Contoh :

Hitung 2(4x 6x )dx

1

2







Jawab :

dx x dx

x dx

x

x _{ }



 



 



2

1 2 2

1 2

1

2_{) 4 6}

6 4

( _{= 4}

2

1 3 2

1 2

3 6 2



 

              

_{x x}

= 4 

   

 _

    



 _

3 1 3 8 6 2 1 2 4

=  12

Sifat-Sifat Integral Tentu 1. Sifat Penambahan Selang

Teorema :

Jika f(x) terintegralkan pada suatu selang yang memuat tiga titik a, b dan c, maka

dx x f c

a

)

( ₌ b f x dx

a

)

( ₊ c f x dx

b

)

( _{bagaimanapun urutan a, b}

dan c. Contoh :

1. _x dx_x dx_x dx

2

1 2 1

0 2 2

0

2 _{2. x dx x dx x dx}

 

  

2

3 2 3

0 2 2

0 2

3. _x dx _x dx _x dx  

 

2

1 2 1

0 2 2

0 2

2. Sifat Simetri

Jika f(x) fungsi genap, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat

f(-x) = f(x) , maka:

dx x f a

a





)

( _{= 2} a_f x dx

0 )

Jika f(x) fungsi ganjil, yaitu suatu fungsi yang memenuhi sifat

f(-x) = - f(x), maka

dx x f a

a





)

( _{= 0.}

Contoh :

1.    

     

     



 

 0 4

cos 2 4

cos x dx x dx 4 2

4 1 . 4 cos 8

0

 

     

dx x

2. dx

x x 

 

5 5 2

5

4 = 0

Secara lebih umum, sifat-sifat integral tertentu adalah:

Jika f(x) dan g(x) kontinu pada interval [a,b] dan k



Real dan f(x), g(x)

terintegralkan pada interval tersebut, maka:

1.



b 



a

b

a

dx x f k dx x

kf( ) ( )

2. f x g x dx f x dx g xdx

b

a b

a b

a







[ ( ) ( )]  ( )  ( )

3. [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx, b

a b

a b

a







  

4.



( ) 0 a

a

dx x f

5.







a

b b

a

dx x f dx

x

f( ) ( ) _{, jika b < a}

6.





b

a

dx x

f( )







b

c c

a

dx x f dx x

f( ) ( ) _{, c} (a,b)

7.



( )0, 

a

a

x

f _{jika f(-x) = -f(x)}

8.





a

a

dx x

f( ) _{= 2}



a

dx x f 0

)

9. Jika F(u) =



b

a

dx x

f( ) _{, maka} F(u) f(u)

du d



10.



b

a

dx x

f( ) _{= (b-a)} f(xo) untuk paling sedikit x = xo antara a

dan b.

11.







b

a b

a

dx x g dx x

f( ) ( ) _{jika dan hanya jika f(x)  g(x) untuk}

setiap x



[a,b].

12. D f(t)dt f(x) x

a x

    

 



Contoh

Tentukan hasil integral

1.



x dx 2

0

) 2 (

Jawab



x dx 2

0

) 2

( ₌

2

0 2

2

2 _

  

 

x

x

=    

 

     

 



2 0 0 . 2 2 2 2 . 2

2 2

= (4+2) – (0+0) = 6

2.





2

0 3

2_{(x 1)dx} x

Jawab

Misalnya u = (x3_1) du = 3x2 dx

du x2dx

3 





2

0 3

2_{(x 1)dx}

x ₌



9

1 3

du u

= 9

1 2

6 _    u

=    

 

 6 1 6 91

=

6 90

3.





4

1

) 1

( u udu

Jawab

Misal p = u  p2 = u

 2p dp = du Untuk u = 1 maka p = 1

Untuk u = 4 maka p = 2, sehingga:

4.





4

1

) 1

( u udu ₌





2

1

2_{) .2}

1

( p p pdp

=





2

1

3 2 _{2 )}

2

( p p dp

= 2 1 4 3

4 2 3 2

   

 

 p

p

= _ 3  4_ _ 3  ₄(1)4_ 2 ) 1 ( 3 2 )

2 ( 4 2 ) 2 ( 3 2

= _  _ _  ₄_ 2 3 2 8 3 16

= 14₃  30₄

=

4 31 

5.





8

4 x2 15 xdx

Misal A = _x2 _15  A2_ x2_15

 2A dA = 2x dx Untuk x = 4 maka A = 1

Untuk x = 8 maka A = 7, sehingga





8

4 x2 15 xdx

=



7

1 A AdA

=



7

1 dA

= [A] 7 1 = 7 – 1 = 6

6.



_ 10

6

2

25 x

dx

= 10

6

5 5 ln 5 . 2

1

 

x x

= ln6_{6 5}5 10

1 5 10

5 10 ln 10

1

  

 

= ln11 10

1 3 ln 10

1 

7. Tentukan



b

a

dx x f( )

dengan f(x) =





















2

,

2

1

,2

1

0

,

2

untukx

x

x

untuk

x

untuk

x

Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat





b

a

dx x

f( )







b

c c

a

dx x f dx x

f( ) ( ) _{, c} (a,b)

sehingga:





b

a

dx x

f( )











2

1

5

2 1

0

2

=

 

 

5

2 2 1 1 0 2

2

2 _

     

 x x

x

= (1-0) +(4-2) +



5/2 1



 1

=

2 9

8.





3

3

x _dx

Menurut definisi fungsi harga mutlak, bentuk di atas dapat dinyatakan dengan





3

3

x _{dx =}



3

0

x _{dx +}



 

0

3

x _dx.

=

0

3 2 3

0 2

2

2 _

          

x x

= (8/3 – 0) – (0 – 8/3)

= 16₃

Berdasarkan contoh di atas, tentukan hasil pengintegralan fungsi-fungsi berikut ini:

1.





8

1

3

1 xdx

2. x₍₁ x₎2dx





=



x



1 2 x x



dx

=



(x 2x xx2)dx_{, dengan sifat integral diperoleh}

=



xdx _-



2x x _{dx +}



x2dx

= 3

3 2 2 5 1

2

3 1 )

5 2 ( 2 2

1

C x C x C

x     

= 1 2 3

3 2

5 2

3 1 ) 5 2 ( 2 2 1

C C C x x

x     

= x  x2  x3C 5

2

Latihan di rumah

2. dz

z z





2 2 ₁₎

(

3.



 ds s s s

3 2

) 1 (

4.



(x 2x)3dx

3.







1

1

2 2 _{4 x dx} x

= 2 2 2

1

0

4 x

x 



dx

Misal _{4 x}2 = u

4-x2 _{= u}2 _{atau x}2 _{= 4 - u}2

-2x dx = 2 u du atau dx = du x u



4.







2

2

2

4 x dx

5.





3

0 1 x dx

6.



4  2

2

16

dx x

x

7.





27

8

3 / 1 x x

dx

8.



 2

0 2

sin x dx

9.



3 /

0

2_sin3 

xdx x

10.



_

2 /

0 3 cos2 

x dx

11.





11

3

3

12.



 

9

41

1

x x

dx

13. x ex dx



2

0 3 2

14.



4 /

6 / sin2 

 x

dx

15.





  

2

1 x2 2x 2 dx

16.





 



2

1

2_{( 1)}

) 1

( _dx

x x

x

17.





 



2

1

2

) 2 (

) 2 (

x x

dx x

18.



 

2

1

2 ₁₎

ln(x x dx

19.



_

4 /

0 2 sin 

x dx

20.





  



1

2 2 4 3

) 1 (

dx x x

x

21.





 



4

0

1

2x dx

x

22.



 

3

1 3 2

3 1

dx x x x

23.









a

a

dx x

a 8

3 3 / 1 3 / 1

24.



2 /

0

2_{3 sin3}

cos



xdx x

25. sin 3xcos3xdx 2

/

0 2





26. Hitunglah



b

a

dx x

a. f(x) =



















2

1

,2

)1

(2

1

0

,

2

x

untuk

x

x

untuk

x

b. f(x) =





















2

1

,1

1

0

,

1

2

x

untuk

x

x

untuk

x

c. f(x) =



























2

0

,2

2

0

2

,

1

2

x

untuk

x

x

untuk

x

d. f(x) = x 2 untuk -_4x4

e. f(x) = x x , untuk -1_x2

f. f(x) = (x-

 

x ₎2

g. f(x) = x2

 

x _{, untuk -1x2}

BAB II

Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan suatu fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik pengingtegralan mudah dipahami oleh pembaca, maka dalam bab ini dirincikan teknik pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan. Teknik-teknik integral tersebut adalah: Teknik Substitusi, Integral Fungsi Trigonometri, Teknik Substitusi Fungsi Trigonometri, Integral Parsial, Integral Fungsi Rasional, dan Integral Fungsi Rasional yang memuat fungsi Trigonomteri.

Berikut ini penjelasan teknik-teknik dalam pengintegralan.

2.1 Teknik Substitusi

Istilah lain untuk teknik substitusi adalah pemisalan. Teknik substitusi pada umumnya digunakan untuk memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;

a.



_xn

dx =

1

1

 

n xn

+ C, asalkan n



-1 atau

b.





f(x)



n f'(x)dx ₌





1 )

( 1

 

n x f n

+ C, asalkan n



-1

Karena rumus di atas adalah pedoman umum. maka integrannya menyesuaikan dengan rumus di atas. Jika belum sesuai atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah terlebih dahulu. Dengan demikian setelah integran sesuai dengan bentuk baku integralnya dapat dilakukan dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu. Akhirnya selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi.

1.



1 x _dx

Misal u = 1 x x

u  

 2 1

) 1 ( )

(_u2 _{d x}

d  



dx udu 

 2

Substitusi bentuk terakhir ke



1 x _{dx, diperoleh}



u(2u)du_{= -2}



u2du

Dengan rumus dasar di dapat



1 x _{dx = -2}



u2du

= -2 u _C

    

3

3

= - (1 x)3 C

3 2

2.



₍₃x₁₂₎11dx

Misal A = 3x + 12 d(A) = d(3x+12) dA = 3 dx

dx = dA₃

Sehingga



x 11dx

) 12 3

( =



3

11 dA A

=



A11dA

3 1

= A )C

12 ( 3

1 12

= A12C

36 1

= x C

36 ) 12 3

( 12

3. Cos22x



dx

dA = 2 dx

dx =

2

dA

x Cos22



dx = cos2 _AdA₂



=



Cos2A _dA

2 1

=



_cos2AdA

2 1

=



 AdA

2 2 cos 1 2 1

=



dA



cos2AdA

4 1 4

1

= A AC

8 2 sin 4

= x  xC

8 4 sin 4 2

= x xC

8 4 sin

2

4.



4x2 4x (4x+2) dx

Jawab

Misal A = 4x2 4x  A2 _{= 4x}2_{ 4x} 2A dA = (8x+4) dx 2A dA = 2(4x+2) dx A dA = (4x+2) dx Sehingga



4x2 4x (4x+2) dx =



A_{.A dA} =



A2dA

= A3C

3 1

= 3 ₄ 2 ₄

3 1

x

5.



4 3t

tdt

Jawab

Misal P = 3t4

P2 _{= 3t + 4  t =}

3 4

2_ P

d(P2_{) = d(3t+4)}

2P dp = 3 dt  dt = Pdp

3 2

, sehingga



₃tdt_t4 =





p

dp p P

) 3 2 )( 3

4 (

2

=



(2P  8)dp

9

1 2

6.



 2

2

16 x

dx x

Jawab

Misal U = _{16 x}2

U2 = 16 - x2 _ x2= 16 - U2 d(U2 ) = d(16 - x2 )

2U du = (-2x)dx

dx = du x U





 2

2

16 x

dx x

=



     _ 

u x u u ) 16

( 2

du

= du x

u







2

16

= -



 u du x (16 )

1 2

= 2 3 1

3 16

C x u C x

u

   

= C

x x x

x x

  

  

3 16 ) 16 ( 16

16

2 2

= C x

x x

x

 

 



3 ) 16 ( ) 16 (

16 2 1/2 2 3/2

Soal-soal

Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini: 1.



t₍t₂₎3/2dt

Jawab

Misal M = (t+2)2 3

M2 _{= (t+2)}3

2M dM = 3(t+2)2 _dt



t₍t₂₎3/2dt ₌



_{3( 2)}2

2 . .

t MdM t

M

= _



M dM t

t 2

2

) 2 ( 3

2

= 3 2 ₃

1 ) 2 ( 3

2

M t

t

 + C

= 2 9 2( 2)

) 2 ( 9

2



 t

t

t _{+ C}

= t t 2 C 5

) 2 ( 9 2

2. dx

x x



sin

3.



₂3_tdt_1

4.



 dx

x x

2 sin

2 cos 1

2

5.



 

  

dt t

t

t t t

1 3

1 3

sin ) 1 6 (

2 2

6.



_{x x}2 _{ 9} dx

7.



x₍₃x₂₎3/2dx

8.



_ dx

x x

16

9.



x dx

3 sin

10.



 x

xdx 2

cos 16

sin

11.



cos(2x 4)dx

12.



xsin(x2 1)dx

13.



x2cos(x3 1)dx

14.



_{x x}2_ 12/7_dx

) 3 (

15.



  

dx x

x x

1 3 2

2

16.



_

 

dx e e

e e

x x

x x

2 2

2 2

17. dt

e e

t t



 6

3

4

18.



 dx

x x

4

4 2

19.



4

4 x

xdx

20.



sinx 1 2cosxdx

2.2 Integral Fungsi Trigonometri

Sebelum membahas teknik integral fungsi trigonometri secara lebih rinci, berikut ini diberikan integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Bentuk dasar tersebut adalah:

1.



sinx _{dx = -cos x + C}

2.



cosx _{dx = sin x + C}

3.



tan_{x dx = ln} secx C

= -ln cosxC

= ln sinx C

5.



secx _{dx = ln} secxtanx C

6.



csc_{x dx = ln} cscx cotx C

Berdasarkan bentuk di atas selanjutnya diberikan beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yang dibahas pada bagian ini, diantaranya adalah:

A.



sinmxdx,

dan



_cosmxdx

dengan m bilangan ganjil atau genap positip

Jika m bulat positip dan ganjil, maka m diubah menjadi (m-1) + 1, atau m digenapkan terdekat. Selanjutnya substitusi dengan menggunakan kesamaan identitas sin2_xcos2_x1 _atau

sin2x = 1 - cos2x atau cos2x = 1 - sin2x.

Akhirnya dengan substitusi tersebut didapat kesamaan antara integran dengan tanda integrasinya, sehingga dengan mudah dapat diselesaikan.

Contoh: 1.



_sin3xdx Jawab



_sin3xdx

=



_sin(31)1xdx

= sin2xsinx



dx

=



(1 cos2_x)_d( cos_x)

=



1_d( cos_x)



cos2_d(cos_x)

= -cos x + cos3xC

3 1

2.



_cos5xdx Jawab



_cos5xdx

=



_cos(51)1_x

dx

= cos4xcosxdx

=



(1 sin2_x)2_d(sin_x)

= (1_2sin2_xsin4_x)_d(sin_x)



=



1_d(sin_x) 2



sin2_xd(sin_x)



sin4 _xd(sin_x)

= sin x - 3x _sin5xC

5 1 sin 3 2

3.



sin5(2x)dx Jawab:

Misal u = 2x, du = 2dx atau dx = du₂

Sehingga







2 sin )

2 (

sin5 _{x dx} 5_udu

=



_sin5udu

2 1

=



sin usinudu

2

1 4

=



(1 cos ) ( cos ) 2

1 2_u 2_{d u}

=



(1 2cos cos ) ( cos ) 2

1 2_u 4_{u d u}

=  u 3u _sin5uC

10 1 sin 3 1 cos 2 1

=  x x sin 2xC

10 1 2 sin 3 1 2 cos 2

1 3 5

Bentuk



_cosmxdx

,



_sinmdx

, jika m bilangan bulat positip genap, selesaiannya dapat dilakukan dengan menggunakan substitusi kesamaan setengah sudut

sin2x ₌

2 2 cos

1 x

dan cos

2 2 cos 1

2_x  x

Contoh: 1.



_sin2xdx

Karena pangkatnya genap, digunakan kesamaan setengah sudut, maka



_sin2xdx

=



 xdx

=



dx



cos2xdx

2 1 2

1

= x  xC

4 2 cos 2

2.



_cos4xdx Jawab



_cos4xdx

=



_(cos2 _x)2

dx

=



   



  x 2_dx

2 2 cos 1

=



 x  cos 2x)dx

4 1 2

2 cos 4 1

( 2

=



dx



xdx



cos 2xdx

4 1 2

2 cos 4

1 2

=

4 2 sin 4

x x

 ₊



 x dx

2 ) 4 cos 1 ( 4 1

= x xx xC

32 4 sin 8 4

2 sin 4

= x  x  xC

32 4 sin 4

2 sin 8 3

3.



sin42xdx

Misal u = 2x , du = 2dx atau dx = du₂ , sehingga



sin42xdx ₌



sin4udu₂

=



   



  u 2_du

2 2 cos 1 2 1

=



(1 2cos2ucos 2u)du

4 1 2

1 2

=



du



udu



cos 2udu

8 1 2

cos 4 1 8

1 2

=









  

   

 udu u du

du

2 4 cos 1 8 1 2

cos 4 1 8

1

=



du



udu 



du



cos4udu

16 1 16

1 2

cos 4 1 8

1

= u u u sin4uC

64 1 16

Karena u = 2x, maka



sin42xdx

= x  x  x  sin4(2x)C

64 1 ) 2 ( 16

1 ) 2 ( 2 sin 8 1 ) 2 ( 8 1

B.



_sinm x_cosnxdx

Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas sin2_xcos2_x1

dengan terlebih dahulu mengubah salah satu bilangan ganjil. Misal m ganjil maka ubah m dengan m = (m-1)+1 , jika n ganjil diubah menjadi (n-1)+1. Jika m dan n genap digunakan

kesamaan setengah sudut sin2x ₌

2 2 cos

1 x

dan cos 2_x1cos₂ 2x

sehingga diperoleh hasil pengintegralannya. Contoh

1.



_sin3x_cos2xdx Jawab

Karena m ganjil, maka gunakan substitusi kesamaan identitas



3x 2xdx

cos

sin =



_sin(31)1_cos2xdx



_sin2x_sinx_cos2dx

=



(1 cos2x)cos2xsinxdx

= (cos2_x cos4_x)_d( cos_x)

 



=



cos2_xd( cos_x)



cos4_xd( cos_x)

=  3x cos5xC

5 1 cos 3 1

= cos x x )C

3 1 cos 5 1

( 2

3

2. _sin2x_cos3xdx



Karena n ganjil, maka ubah menjadi genap _sin2x_cos3xdx



=



sin2xcos2xcosxdx =



sin2 (1 sin2 ) (sin )

=



sin2_xd(sin_x)



sin4_xd(sin_x)

= 3x sin5xC

5 1 sin 3 1

3.



_sin3x_cos3xdx

Jawab



_sin3x_cos3xdx

Karena kedua pangkat bilangan ganjil, pilih salah satu untuk diubah menjadi genap



_sin3x_cos3xdx

=



sin3xcos2xcosxdx

=



sin3_x(1 sin2 _x)_d(sin_x)

=



sin3_xd(sin_x)



sin5_xd(sin_x)

= 4x _sin6 xC

6 1 sin 4 1

Atau



_sin3x_cos3xdx

=



_sin2x_sinx_cos3xdx

=



(1 cos2 _x)cos3_xd( cos_x)

=



(cos3_x cos5_x)_d( cos_x)

=  4x cos6xC

6 1 cos 4 1

4.



_cos2x_sin2xdx

Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:



_cos2x_sin2xdx

=





  

      

  

dx x x

2 2 cos 1 2

2 cos 1

=



(1 cos 2x)dx

4

1 2

=



   



 

 x dx

2 4 cos 1 1 4 1

=



   

 

 x dx

2 4 cos 2 1 4 1

= x xC

  

 

 8

= x x C

64 4 cos 8

4.



4x 4xdx

cos sin

Jawab

Karena kedua pangkatnya bilangan genap, untuk menentukan selesaiannya gunakan kesamaan setengah sudut sin2x ₌

2 2 cos

1 x

dan cos 2_x1cos₂ 2x _{, sehingga:}



_sin4x_cos4xdx

=



_(sin2x₎2_(cos2 x₎2dx

=



           

  x 2 x 2_dx

2 2 cos 1 2 2 cos 1

=



(1 2cos2xcos 2x)(12cos2xcos 2x)dx

16

1 2 2

=



(1 2cos 2xcos 2x)dx

16

1 2 4

=



dx



xdx



cos 2xdx

16 1 2 cos 8 1 16

1 2 4

=







        

 x x dx

dx 2 2 4 cos 1 16 1 2 4 cos 1 8 1 16 1

=



dx



 x



₍₁_2cos4x_cos2₄x₎2dx

64 1 2 4 cos 1 8 1 16 1 =











          

 x dx xdx x dx

dx 2 8 cos 1 64 1 4 cos 32 1 64 1 2 4 cos 1 8 1 16 1

=



dx



 x



dx



xdx



dx



cos8xdx

128 1 128 1 4 cos 32 1 64 1 2 4 cos 1 8 1 16 1 =



dx



dx



xdx



dx



xdx



dx



cos8xdx

128 1 128 1 4 cos 32 1 64 1 4 cos 16 1 16 1 16 1

=



dx



xdx



cos8xdx

= x  x sin8xC

1024 1 4

sin 128

1 128

3

C.



tann xdx,

dan n xdx



cot

Dalam kasus ini jika n genap gunakan kesamaan identitas 1 + _tan2 x_sec2 x _{dan 1+cot}2_xcsc2 _{x. Jika n ganjil ubah menjadi} (n-1)+1 dan gunakan kesamaan 1 + _tan2 x_sec2 x _{dan 1+cot}

x

x 2

2 _{csc .}

Perhatikan contoh berikut: 1.



_tan3 xdx

Karena pangkat n ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap, selanjutnya gunakan kesamaan identitas 1 +_tan2x_sec2 x

Sehingga diperoleh



_tan3 xdx

=



_tan2 x

tanx dx

=



(sec2 _x 1)

tan x dx

=



2x

sec _{tan x dx -}



_{tan x dx}

=



tan x sec2x_{dx – ln secx + C} =



tanx _{d(tan x) – ln} secx + C

= tan x lnsecx C

2

1 2

2.



_cot4 xdx

Karena pangkat n , langsung gunakan kesaman identintas 1+cot2x_csc2 x_{, sehingga didapat}



_cot4 xdx

= _(cot2x₎2dx



=



_(csc2x ₁₎2dx

= (csc4x 2csc2x 1)dx



 

=



(1cot2_x)csc2_x 2csc2_x1_dx`

=



(1cot2x)d( cotx) 2



d( cotx)



dx

=  x  cot x2cotxxC

3 1 ) cot

( 3

=  cot xcotxxC

3

1 3

D.



_tanm x_secnxdx_{, dan}



_cotm x_cscnxdx

Bentuk ini mempunyai dua kasus yaitu n genap m sebarang dan m ganjil n sebarang. Jika n genap dan m sebarang gunakan kesamaan 1 + tan2x_sec2x _atau

1 + cot2x_{= csc}2_x. Contoh

1.



_tan5 x_sec4 xdx

Karena salah satu pangkat bilangan genap, maka langsung gunakan kesamaan identitas 1+tan2x_sec2x_{, sehingga} diperoleh



_tan5x_sec4 xdx _{= x x xdx}



_tan5 _sec2 _sec2

=



tan5x(1tan2x)sec2xdx

=



(tan5 _xtan7 _x)_d(tgnx)

= 6 x tan8xC

8 1 tan 6 1

2.



_cot4 x_csc4xdx Jawab



4x 4xdx

csc

cot ₌



cot4x(csc2x)(csc2x)dx

= cot4_x(cot2_ 1)_d(_ cot_x)



= (cot6_x cot4_x)_d( cot_x)

 



=  7x _cot5xC

Sedangkan untuk m bilangan ganjil dan n sebarang juga dengan menggunakan substitusi kesam