BAB II
TEKNIK INTEGRAL
Beberapa macam teknik pengintergralan digunakan untuk menentukan antiturunan bermacam-macam fungsi. Hal ini bertujuan untuk memudahkan dalam menentukan selesaian integral fungsi yang ditentukan. Agar teknik-teknik pengingtegralan dipahami oleh pembaca maka dalam bab ini dirincikan metode pengintegralan dimaksud dengan syarat-syarat yang ditentukan.
A. METODE SUBSTITUSI
Metode substitusi disebut juga metode pemisalan. Pada umumnya digunakan untuk
memudahkan selesaian integral ke bentuk rumus dasar rumus integral tak tentu, yaitu;
a.
xn dx =1 1
n
xn
+ C, asalkan n
-1 ataub.
f(x)
nf'(x)dx
=
1 )( 1
n x
f n
+ C, asalkan n
-1Sehingga rumus di atas adalah pedoman umumnya, jika integrannya belum sesuai
dengan tanda integralnya atau menyimpang dari bentuk di atas maka sedapat mungkin diubah
terlebih dahulu. . Dengan demikian menyederhanakan integran menjadi bentuk baku adalah
dengan mengaplikasikan rumus dasar integral tidak tentu tersebut di atas. Akhirnya
selesaiannya dapat dilakukan dengan metode substitusi (pemisalan).
Perhatikan beberapa contoh beriktu:
1.
1 x dxMisal u = 1 x
x u 2 1
) 1 ( ) ( 2
x d u
d
dx udu 2
Substitusi bentuk terakhir ke
1 x dx, diperoleh
u( 2u)du= -2
u2duDengan rumus dasar di dapat
1 x dx = -2
u2du= -2 u C
3
3
= - 31 xC
3 2
2.
(3x12)11dxMisal A = 3x + 12
d(A) = d(3x+12)
dA = 3 dx
dx = 3
dA
Sehingga
(3x12)11dx=
3 11 dA A=
A11dA3 1
= A )C
12 ( 3
1 12
= A12C
36 1
= x C
36 ) 12 3
( 12
3. Cos22x
Misal A = 2x
d(A) = d(2x)
dA = 2 dx
dA = 2
dx
x Cos22
dx =2 cos2 AdA
=
cos2 AdA2 1
=
AdA2 2 cos 1 2 1
=
dA
cos2AdA4 1 4
1
= A AC
8 2 sin 4
= x xC
8 4 sin 4 2
= x xC
8 4 sin
2
Soal-soal
Tentukan pengintegralan berikut:
1.
4 3t
2.
2 2
16 x
dx x
3.
9 2 x x
dx
4.
x(3x2)3/2dx5.
dx x
x
16 2
6.
x dx3 sin
7.
cos(2x 4)dx8.
xsin(x2 1)dx9.
x2cos(x3 1)dx10.
x(x2 3)12/7dxB. INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI
Beberapa rumus dasar Integral fungsi Trigonometri adalah:
1.
sinx dx = -cos x + C2.
cosx dx = sin x + C3.
tgnx dx = ln secx C4.
ctgn x dx = - ln cscx C5.
secx dx = ln secxtanx CBentuk di atas adalah rumus dasar yang dapat dijadikan sebagai acuan. Bebarapa bentuk
integral fungsi trigonometri yang dibahas dalam bagian ini adalah:
a.
sinmxdx,dan
cosmxdxJika m bulat positip dan ganjil, maka m dibuat menjadi genap. Selanjutnya gunakan kesamaan
identitas sin2xcos2x1. Contoh:
1.
sin3xdxJawab
sin3xdx= sin2xsinx
dx=
(1 cos2x)d( cosx)=
1d( cosx)
cos2d(cosx)= -cos x + cos3xC
3 1
2.
cos5xdxJawab
cos5 xdx= cos4xcosxdx
=
(1 sin2x)2d(sinx)= (12sin2xsin4x)d(sinx)
=
1d(sinx) 2
sin2xd(sinx)
sin4xd(sinx)= sin x - 3x sin5xC
5 1 sin 3 2
3.
sin5(2x)dxJawab:
Misal u = 2x, du = 2dx atau dx = 2
du
Sehingga
2 sin )
2 (
sin5 x dx 5udu
=
sin5udu2 1
=
sin usinudu2
1 4
=
(1 cos ) ( cos ) 21 2u 2d u
=
(1 2cos cos ) ( cos ) 21 2u 4u d u
= u 3u sin5uC
10 1 sin 3 1 cos 2 1
= x x sin 2xC
10 1 2 sin 3 1 2 cos 2
1 3 5
Pada bentuk
cosmxdx,
sinmdx, jika m bilangan bulat positip genap untuk
menyele-saikannya menggunakan kesamaan setengah sudut
sin2x =
2 2 cos
1 x
dan cos
2 2 cos 1
2x x
Contoh:
1.
sin2xdxKarena pangkatnya genap, gunakan kesamaan setengah sudut, maka
sin2xdx=
xdx=
dx
cos2xdx2 1 2
1
= x x C
4 2 cos 2
2.
cos4 xdxJawab
cos4xdx=
x 2dx
2 2 cos 1
=
x cos 2x)dx4 1 2
2 cos 4 1
( 2
3.
sin42xdxMisal u = 2x , du = 2dx atau dx = 2
du
, sehingga
sin42xdx=
2 sin4udu
=
u 2du
2 2 cos 1 2 1
=
(1 2cos2ucos 2u)du4 1 2
1 2
= u u u u u)C
2 1 2
2 cos 2 sin ( 2 1 . 8 1 2 sin 8 1 8
Karena u = 2x, maka
sin42xdx= x x x x (2x)C
32 1 ) 2 ( 2 cos ) 2 ( 2 sin 32
1 ) 2 ( 2 sin 8 1 8 2
Jika m atau n bilangan bulat positip ganjil, sedangkan lainnya sebarang bilangan, maka
faktorkan sin x atau cos x dengan menggunakan kesamaan identintas sin2xcos2 1. Jika m dan n genap maka digunakan kesamaan setengah sudut
sin2x =
2 2 cos
1 x
dan cos
2 2 cos 1
2x x
Contoh
1.
sin3xcos2xdxKarena m ganjil, maka
sin2xsinxcos2dx=
(1 cos2x)cos2xsinxdx= (cos2x cos4x)d( cosx)
= 3x cos5xC
5 1 cos 3 1
2.
2x 2xdxsin cos
Kedua pangkat bilangan genap, sehingga diperoleh:
cos2xsin2xdx=
x x dx
2 2 cos 1 2
2 cos 1
=
(1 cos 2x)dx4
1 2
=
x dx
2 4 cos 1 1 4 1
=
x)dx2 4 cos 2 1 ( 4 1
= x sin4x)C
=
c.
tann xdx,dan n xdx
cotDalam kasus ini gunakan kesamaan identitas 1 + tgn2xsec2x dan 1+ctgn
x c
x 2
2 cos , jika m genap. Jika m ganjil jadikan genap dan gunakan kesamaan di atas.
Perhatikan contoh berikut:
1.
tgn3xdxKarena pangkat m ganjil maka diubah dalam bentuk perkalian yang salah satunya genap,
selanjutnya gunakan kesamaan identitas
1 +tgn2xsec2x
Sehingga diperoleh
tgn3xdx=
tg2xtgnx dx
=
(sec2 x 1)tgn x dx
=
sec2xtgn x dx -
tgn x dx=
tgnx sec2xdx – ln (secx) + C=
tgnx d(tgn x) – ln (sec x) + C= tgn x ln(secx)C
2
1 2
2.
ctgn4xdxKarena pangkat m adalah genap, maka langsung gunakan kesaman identintas
1+ctgn2xcosec2x, sehingga didapat
ctgn4xdx=
(ctg2x 1)2dx= (ctgn4x 2ctgn2x 1)dx
=
(ctgn2x)ctgn2x 2ctgn2x1)dx=
(cosec2x1)ctgn2x 2(csec2x 1)1dx= 2 ( ) 3(cos 2 1)1
ctgn xd ctgnx ec dx= ctgn x 3ctgnx4xC
3
1 3 .
4.
tanm xsecnxdx, dan
cotm xcscnxdxPada kasus ini, jika m atau n genap, sedangkan lainnya sebarang, maka digunakan kesamaan 1
+ tgn2xsec2x atau 1 + ctg2x= cosec2x. Contoh
1.
tgn5xsec4xdxKarena salah satu pangkat bilangan genap, maka dapat digunakan kesamaan
1 + tgn2xsec2x, sehingga diperoleh
tgn5xsec4 xdx=
tgn5xsec2xsec2xdx=
tgn5x(1tgn2x)sec2xdx=
(tgn5xtgn7x)d(tgnx)
= tgn6x tgn8xC
8 1 6
1
2.
tgn3xsec2xdx=
tgn3xd(tgnx)
Selain kasus di atas, integral fungsi trigonometri
tanmxsecnxdx, dan
cotmxcscnxdxMempunyai bentuk m ganjil, n sebarang. Jadi pangkat menjadi genap. Selanjutnya gunakan
Contoh:
1.
tgn3xsec3xdx=
tgn2xtgnxsec2xsecxdx=
tgn2xsec2d(secx)= (sec2x 1)sec2xd(secx)
= (sec4x sec2x)d(secx)
= 5x sec3xC
3 1 sec 5 1
2.
tgn3xsec1/2xdx=
tgn2xtgn x sec3/2x sec x dx
=
(sec2 x-1)sec3/2xd(sec x)
=
(sec1/2xsec3/2x)d(secx)
= sec3/2x 2sec 1/2x
3
2
+ C
5.
sinmxcosnxdx,
sinmxsinnxdx,
cosmxcosnxdxIntegral bentuk ini juga sering muncul, untuk menyelesaikannya digunakan rumus kesamaan
hasil kali, yaitu:
sin mx cos nx = [sin( ) sin( ) ] 2
1
x n m x
n
m
sin mx sin nx = [cos( ) cos( ) ] 2
1
x n m x
n
m
cos mx cos nx = [cos( ) cos( ) ] 2
1
x n m x
n
Contoh
1.
sin3x cos 4x dx =
[sin(34) sin(3 4) ] 21
x
x dx
=
sin7x2 1
+ sin (-x) dx
= cos7x
14 1
- cos
2 1
x + C
2.
sin3xsin2xdx =
[cos(32) cos(3 2) ] 21
x
x dx
=
2 1(cos 5x – cos x) dx
= sin 10
1
5x + sin
2 1
x + C
3.
cos y cos 4y dy =
[cos(14)y2 1
+cos(1-4)y] dy
=
[cos5 cos(3 )] 21
y
x dy
= y sin3yC
6 1 5 sin 10
1
Soal-soal
Tentukan hasil integral berikut ini.
1.
sin3(4x)dx2.
x)dx3 ( cos4
4.
cotxcsc4 xdx5.
tgn6xdx6. 2 x 3xdx
1
cos 3 sin
7.
cot2xsec22xdx8.
(sin32t) cos2tdt9.
(tanxcotx)2dx10.
sin3xsinxdx11.
csc4 4ydy12.
tan4qsec2qdq13.
cos2xsin3xdx14.
dx x
3 cot4
15. 2z 3zdz 1
cos sin
C. SUBSTITUSI FUNGSI TRIGONOMETRI
Metode substitusi trigonometri digunakan untuk menyelesaikan integral suatu fungsi, jika
integrannya memuat bentuk-bentuk:
a. a2 x2
, a
Realb. x2a2 = a2x2 , a
Realatau bentuk lain yang dapat dimodifikasi menjadi bentuk di atas, misalnya a2 b2x,
c bx
ax2 dan seterusnya.
Bentuk integral yang integrannya memuat a2 x2 atau modifikasinya, selesaiannya
menggunakan substitusi x = a sin t, -2
2
t sehingga,
2 2 x
a = a sec t dan dx = a cos t dt.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
4 x2 dx
Jawab
Misal x = 2 sin t sin t = 2
x
dx = 2 cos t dt
4 x2 = 4 4sin2t 2cost
Sehingga
4 x2 dx =
2cost.2costdt= 4
costcostdt= 4
cos2tdt= 4 ( 2
cos sint t
- tC
2 1
)
= 2 sint cost – 2t + C
= 2( ) 2
x
2 4 x2
= x x C
2
4 2
2.
2 4x x
dx
Jawab
2 4x x
dx
=
( 2)2
4 x
dx
Misal (x-2) = 2 sin t, dx = 2 cos t dt
4 (x 2)2 2cost, sehingga
( 2)2
4 x
dx
=
t tdt
cos 2
cos 2
=
dt= t + C
= arc sin x C
2 2
3.
6 2
16 x x
dx
Jawab
6 2
16 x x
dx
=
( 3)2
25 x
dx
Misal (x-3) = 5 sin t, dx = 5 cos t dt
25 ( 3)2
x = 5 cos t, sehingga
6 2
16 x x
dx
=
t tdt
cos 5
=
dt= t + C
= ln x C
5 3
Kerjakan soal berikut sebagai latihan bagi pembaca
1.
2)32
1
( x
dx
2.
dxx x2 25
3.
2 29 x
x dx
4.
x2 3 x2 dx5.
2 3 2) 4
( x x dx
Bentuk integral yang integrannya memuat bentuk a2x2 atau modifikasinya, selesaiannya
menggunakan substitusi x = a tgn t, -2
2
t sehingga,
2 2 x
a = a sec t dan dx = a sec2t .
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan di bawah ini.
1.
2
9 x
dx
Misal x = 3 tgn t , dx = 3 sec2t dt
9x2 3 sec t, sehingga
2
9 x
dx
=
t dt
sec 3 sec
3 3
=
sectdt= ln secttant C
= ln 9x2 x C
2.
5 4
) 1 2 (
2 x x
dx x
Jawab
5 4
) 1 2 (
2 x x
dx x
=
4 5 4 5
2
2
2 x x
dx x
x xdx
=
2) 1 ( 2) 1 (
2
2
2 x
dx x
xdx
Misal (x+2) = tgn t , dx = sec2 t dan x = tgn t - 2
(x2)21 = sec t, sehingga
2) 1 ( 2) 1 (
2
2
2 x
dx x
xdx
=
t tdt t
tdt t
sec sec sec
sec ). 2 (tan
2 2 2
= 2
tantsectdt 4
sectdt= 2 sec t – 4 ln secttant C
Kerjakan soal berikut sebagai latihan
1.
(9 x2)2 dx dx
2.
3x2dx3.
x x2 1dx
4.
13 4 2
x x
dx
5.
5 2 3 2
x x
xdx
6. dt
t t
4 2
Bentuk bentuk integral yang integrannya memuat bentuk x2 a2 atau modifikasinya,
selesaiannya menggunakan substitusi x = a sec t, -2
2
t sehingga,
2 2 a
x = a tan t dan dx = a sec t tan t dt.
Contoh:
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
1.
dxx x2 9
Jawab
Misal x = 3 sec t, dx = 3 sec t tan t dt
2 9
dx x x2 9 =
t tdtt t
tan sec 3 sec 3
tan 3
= 3
tan2tdt= 3
(sec2t 1)dt= 3 tan t – 3 t + C
= 3 x arc xC
3 sec 3
9 2
2.
x2 2x 8 dxJawab
2 8 2
x x
dx
=
1) 9
(x 2
dx
Misal (x-1) = 3 sec t, dx = 3 sec t tgn t dt
( 1)2 9
x = 3 tgn t, sehingga
1) 9
(x 2
dx
=
t tdt
tan 3
tan sec 3
=
sectdt= ln secttant C
= ln x x x C
3 8 2 3
1 2
Kerjakan pengintegralan berikut sebagai latihan pembaca
1.
x2 1 dx2.
25 2
2
x
3.
dt t t3 2 4
4.
16 16x x2 dx
5.
6 2 x x
dx
6.
1 2 2
t t
dt
D. INTEGRAL PARSIAL
Integral parsial biasanya diterapkan untuk suatu integran yang merupakan perkalian dua fungsi uv, dimana u = f(x) dan v = g(x).
Karena y = uv, maka menurut definisi differensial dan turunan fungsi y = uv diperoleh dy = d(uv)
d(uv) = u dv + v du
Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh
d(uv)
udv
vdu
udv
d(uv)
vdu
udvuv
vdulBentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial. Prinsip yang digunakan dalam integral parsial adalah integran yang berbentu uv di manipulasi menjadi u dv dan dalam menentukan
udv tidak boleh memunculkan persoalan yang lebih sulit dibandingkan dengan
udvtersebut.
Perhatikan beberapa contoh berikut ini. Tentukan integral persial berikut ini
1.
xcosxdxJawab pada bentuk
xcosxdx diuba menjadi
udv, sehinggadv = cos x dx , v =
cosxdx = sin xAkibatnya
xcosxdx =
x d(sin x). Dengan rumus integral parsial
udvuv
vdu, diperoleh
x d(sin x) = x sin x -
sinx d(x)= x sin x -
sinx dx= x sin x + cos x + C
Akhirnya diperoleh
xcosxdx = x sin x + cos x + C2.
x 1x dxPilih u = x , du = dx
dv = 1x, v =
1x dx = 3 1 3 2x
Sehingga
x 1x dx =
1 ) 32
( 3 x
xd
Berdasarkan rumus integral parsial
udvuv
vdu, diperoleh
x 1x dx =
1 ) 32
( 3 x
xd
= 3 1 1 3
2 x
-
1 ( ) 323 xd x
= 3 1 1 3
2 x
-
31xdx3 2
= 3 1 1 3
2 x
- 1x)C
5 2 ( 3
2 5
= 3 1 1 3
2 x
- ( 1x)C
15 4 5
3.
sinx ex dxPilih u = sin x maka du = d(sinx) = cos dx
dv = exdx, v =
exdx= ex, sehingga:
= exsinx
exd(sinx)= exsinx
excosxdxDiperoleh bentuk
excosxdxyang juga diselesaikan dengan metode parsial
Pilih u = cos x , dv = d(cos x) = sin x dx
dv = exdx, v =
exdx= ex, sehingga:
cosx exdx =
cos x d(ex)= excosx
exd(cosx)= excosx
ex( sinx)dx= excosx
exsinx)dx,Akhirnya diperoleh
sinx exdx = exsinx
excosxdx= exsinx excosx
exsinx)dx,
sinx exdx = 2 1 x exsin
2 1
C x excos Catatan
Contoh 3 di atas disebut integral berulang, karena terjadi dua kali pengintegralan parsial. Berdasarkan contoh di atas kerjakan soal di bawah ini sebagai latihan.
1.
xsec2xdx2.
sin3 xdx3.
xtgn x dx4.
arc tgn x dx5.
x ln x dx6.
x3 2x7dx7.
arc cos 2x dx8.
x2e2xdx
9.
x xdx
2
10.
sinxsin3xdx11.
(x 2)cos(x 2)dx12. xex dx
213.
(2x 1)e 13xdx14.
sec3x dx15.
x3 24 x dx
16.
ln3x dx17.
x2sinx dx18.
x2 1 x dxE.INTEGRAL FUNGSI RASIONAL.
Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk F(x) = gf((xx)), dimana f(x)
, g(x) adalah fungsi pangkat banyak dan g(x)
0.f(x) = ao + a1x + a2x2 + a3x3+ … + anxn , n = 1, 2, 3, … Contoh
1. f(x) =
2 3 1 2
x x
x
2. f(x) =
4 4
4 2
2
x x
x
3. f(x) =
x x
x x x
5 1 2
3 3 5
Pada contoh di atas, (1) disebut fungsi rasional sejati, karena derajat pembilang lebih dari
derajat penyebut, sedangkan (2) dan (3) disebut fungsi rasional tidak sejati, karena derajat
Untuk langkah selanjutnya jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi
tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh
fungsi rasional sejati. Sehingga:
f(x) =
Dalam menentukan integral fungsi rasional, langkah yang ditempuh adalah:
1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.
2. Faktorkan penyebut g(x) dari fungsi rasional F(x) = gf((xx)) sampai tidak dapat difaktorkan
lagi.
3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, g(x) dapat berupa kombinasi antara: - fungsi linear berbeda, g(x) = (x-a)(x-b)….(x-t) dstnya.
- fungsi linear berulang, g(x) = (x-a)n
4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya,
Misal :
(Penyebut kombinasi liner berbeda)
...
(kombinasi lenear berulang)
...
5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil
Karena intergran adalah fungsi rasional sejati, selanjutnya faktorkan integran:
integran fungsi rasional tidak sejati, maka:
Tentukan hasil pengintegralan beririkut:
Contoh (Penyebut integan dalam faktor linear berulang)
1.
2 , karena integran adalah fungsi rasional sejati maka:
dxSehingga diperoleh
=
Integran di atas bukan fungsi rasional sejati, maka diubah terlebih dahulu menjadi fungsi rasional sejati. Sehingga:
dx
dxdx ( integran bukan fungsi rasional sejati)
Sehingga didapat B+C = 272, A-4B = 0, -4A = 4, atau A = -1, B =
Tentukan hasil dari:
1.
dxSelain dalam bentuk penyebut integran dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang, dapat juga difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadra atau kuadrat dengan kuadrat.
Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial
r
, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A,B, dan C.
Contoh
Karena integran fungsi rasional sejati maka
= dx
Integran merupakan fungsi rasional sejati, sehingga
3.
Jawab: Penyebut adalah kombinasi linear berbeda (x+3) dan (x-2) dengan kuadrat (x21)
, sehingg:
Tentukan pengintegralan berikut ini:
4.
FUNGSI TRIGONOMETRI SIN X DAN COS X.Fungsi F(x) = , ( ) 0, ( )
dan g(x) mememuat fungsi trigonometri dapat juga dikategorikan sebagai fungsi rasional, hanya saja tidak dapat disebut sejati atau tidak sejati. Hal ini dikarenakan f(x) = sin x dan f(x) = cos x tidak mempunyai derajat seperti halnya dengan fungsi polinomial. Pengintegralan jenis ini menggunakan metode substitusi.
Berikut ini diberikan beberapa contoh fungsi rasional yang pembilang dan penyebutnya
1.
Selesaian integral bentuk-bentuk di atas adalah menggunakan metode substitusi
x = 2 arc tgn z sehingga dx = dz z2 1
2
.
Selanjutnya sin x dan coc x di substitusi ke bentuk variabel z. Karena x = 2 arc tgn z maka:
Menurut rumus identitas fungsi trigonometri
1 + tgn
Dengan rumus jumlah Cosinus didapat:
Dengan demikian integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri dapat diselesaikan dengan menggunakan substitusi
x = 2 arc tgn z, sin x = 1 2
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini. Tentukan selesaian dari
Buktikan hasil pengintegralan berikut ini!
4.
1sinduu cosu= ln
2 1
2
u tgn
u tgn
+ C
5.
Cu
u du
34 2 tan 5 arctan 3 2 sin 4 5
6.
u Cu du
tan23 3 arctan 3
3 2 cos 2
7.
u Cu du
5 arctan( 5tan2)
5 2 2 3
8.
Cu u u
u udu
ln 1coscos) cos 1 ( cos
sin 2
2
9.
uu udu u
tan 1 ln tan
1
sec ) tan 2 (
2 2 2
C u
3