Ringkasan matematika sma ipa Integral

INTEGRAL

A. Integral Tak Tentu

1. Rumus Integral Fungsi Aljabar

1.

∫

kxn dx =

1 + n

k xn+1

+ c ; n ≠ -1 2.

∫

(ax+b)ndx =

) 1 ( 1 + n

a (ax+b)

1

+

n

+ c ; a≠0 dan n ≠ -1 3.

∫

x 1

dx = ln|x| + c

4.

∫

(f(x)dx±g(x)dx) =

∫

f(x)dx ±

∫

g(x)dx

2. Rumus Integral Fungsi Trigonometri

1.

∫

sin dx = - cos x dx + c x

2.

∫

cos dx = sin x dx + c x

3.

∫

tan dx =x

∫

x x cos sin

dx =

∫

− x x dx d cos cos dx = - ln |cos x| + c

4.

∫

ctgx dx =

∫

x x sin cos

dx =

∫

x x dx d sin sin

dx = ln |sin x| + c

5.

∫

sin(ax+b)dx = - a 1

cos (ax+b) + c 6.

∫

cos(ax+b)dx =

a 1

sin (ax+b) + c

7.

∫

tan(ax+b)dx = - a 1

ln|cos(ax+b)| + c

8.

∫

ctg(ax+b)dx = a 1

ln|sin(ax+b)| + c

9.

∫

n

sin (ax+b) cos(ax+b) dx =

) 1 ( 1 + n a sin 1 + n (ax+b) +c

10.

∫

cos (ax+b)sin(ax+b) dx =n

) 1 ( 1 + n a cos 1 + n (ax+b) +c

11.

∫

2sinaxcos bx dx =

∫

a+b x 2

) (

sin dx +

∫

a−b x

2 ) (

sin dx

12.

∫

sec x dx = tan x + c 2

13.

∫

2

sec (ax+b)dx = a 1

tan (ax+b)+ c

14.

∫

csec2x dx = - ctg x + c

15.

∫

2 sec

c (ax+b)dx = -a 1

ctg (ax+b)+ c

16.

∫

tan secx dx = sec x + c x

17.

∫

ctan csecx dx = -csec x + c x

3. Integral Parsial

∫

udv = uv -

∫

vdu

Didapat dari :

y = u.v dimana u = g(x) dan v = h(x) y’ = u’ v + u v’

= v u’ + u v’

dx dy = v. dx du

+ u . dx dv

(dikalikan dx)

dy = v du + u dv d (u.v) = v du + u dv

∫

d(u.v) =

∫

vdu +

∫

udv

B. Integral Tertentu

∫

b

a x

f( )dx = F(x) b

a

| = F(b) – F(a)

1. Luas Daerah Antara Kurva dan Sumbu- sumbu Koordinat

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x),

sumbu x dan garis-garis x = a dan x = b serta x =g(y), sumbu y dan garis-garis y = a dan y = b dapat

dibedakan sbb

a. Jika f(x) > 0 (Kurva di atas sumbu x)

L =

∫

b

a x f( )dx

b. Jika f(x) < 0 (Kurva di bawah sumbu x)

L = -

∫

b

a x

f( )dx =

∫

a

b x f( )dx

c. Jika f(x) > 0 dan f(x) < 0 (Kurva sebagian berada di bawah sumbu x dan sebagian lainnya berada di atas sumbu x)

L = -

∫

c

a x

f( )dx +

∫

b

c x f( )dx

=

∫

a

c x

f( )dx +

∫

b

c x f( )dx

d. jika g(y) > 0 (kurva berada di sebelah kanan sumbu y)

L =

∫

b

e. jika g(y) < 0 (kurva berada di sebelah kiri sumbu y)

L = -

∫

b

a y

g( )dy =

∫

a

b y g( )dy

f. jika g(y) < 0 dan g(y) > 0 (kurva sebagian berada di sebelah kiri sumbu y dan sebagian lainnya berada

sebelah kanan sumbu y)

i

L = -

∫

c

a y

g( )dy +

∫

b

c y g( )dy

=

∫

a

c y

g( )dy +

∫

b

c y g( )dy

2. Luas Daerah Antara Dua Kurva

a. Di atas sumbu x

L =

∫

b

a

y2 dx -

∫

b

a

y1dx =

∫

− b

a

y y2 1)

( dx

b. Di bawah sumbu x

L = -

∫

b

a

y2 dx -

{

-

∫

b

a

y1dx

}

=

∫

b

a

y1dx -

∫

b

a

y2 dx

=

∫

− b

a y y1 2)

c. Di sebelah kanan sumbu y

L =

∫

b

a

x2 dy -

∫

b

a

x1dy =

∫

− b

a

x x2 1)

( dy

3. Volume Benda Putar

a. Diputar terhadap sumbu x maka,

V=

π

y dx b

a

∫

2

b. Diputar terhadap sumbu y maka,

V=

π

x dy b

a

∫

2

Contoh Soal:

UN2010 – UN2012

UN2010

1. Nilai dari

∫

x x dx

− + 3 1 ) 4 3 (

2 = ….

A. 88 C. 56 E. 46 B. 84 D. 48

Jawab: dx x x

∫

− + 3 1 ) 4 3 (

2 =

∫

x xdx

− + 3 1 2 ) 8 6

( = 2x3+ 4x2 3

1 |

−

= 2 (27-(-1)) + 4 (9-1) = 56 + 32 = 88

Jawabannya adalah A

UN2010

2. Hasil dari

∫

 =

     −      

− x dx

x

π

π

2 1 cos 2

1

sin = ….

A. –2 cos (x – 2π) + C D. cos (x – 2π) + C

B. -2 1

cos (x – 2π) + C E. 2 cos (x – 2π) + C

C. 2 1

cos (x – 2π) + C

Jawab:

sin 2A = 2 sin A cosA sin A cosA = 2 1 sin 2A

∫

      −      

− x dx

x

π

π

2 1 cos 2

1

sin =

∫



     − dx x

π

2 1 2 sin 2 1

=

∫

sin

(

x−2

π

)

dx 2

1

= cos( 2 ) 2

1

π

−

− x +C

Jawabannya adalah B

UN2010

3.

∫

(

)

=

π 2 1 0 cos sin

2 x xdx …

A. –1 C. 2 1

E. 1

B. - 3 2 1

D. 3 2 1

Jawab:

sin 2A = 2 sin A cosA

(

)

∫

= π 2 1 0 cos sin

2 x x dx

∫

(

)

=

π

2 1

0 2 sin xdx

π 2 1 0 | 2 cos 2 1 x −

= cos0}

2 1 . 2 {cos 2 1 ₋ −

π

= {cos cos0} 2

1 ₋

−

π

= − {−1−1}=

2

1 _{− − =}

} 2 { 2 1 1

Jawabannya adalah E UN2010

4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 - x2 , y = 3x, sumbu Y, dan x = 2 adalah ….

A. 6 Satuan luas D. 3 3 1 Satuan luas B. 5 3 1

13 Satuan luas E. 2 3 2

satuan luas

C. 5 Satuan luas

Jawab:

Buat grafiknya dengan memasukkan nilai x dan y : Kurva y = 4 - x2

kurva y = 3x

jika x = 0 y = 0 x = 1 y = 3 dst

Titk potong kurva y=4-x2 dengan garis y=3x 4-x2 = 3x

x2+3x – 4 = 0 (x + 4) (x - 1)= 0 x = -4 atau x = 1

pada gambar terlihat titik potong yang masuk dalam perhitungan adalah di x = 1

L = L I + L II

L I = {(4 x ) 3x}dx 1

0

2 − −

∫

=

4x-1 0 2 3 | 2 3 3 1 x

x − = 4.1 -

1 . 2 3 1 . 3 1 ₋

= 4 - 2 3 3 1₋ = 6 9 2 24− −

= 6 13

L II = {3x (4 x )}dx 2 1 2

∫

− − = 2 1 3 2 | 3 1 4 2 3 x x

x − + =

) 1 8 ( 3 1 ) 1 2 ( 4 ) 1 4 ( 2

3 _{− − − + −}

= (7) 3 1 ) 1 ( 4 ) 3 ( 2

3 _{− +}

= 6

14 24

27− +

= 6 17

L = L I + L II = 6 13 + 6 17 = 6 30

= 5 satuan luas

Jawabannya adalah C

UN2010

5. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y=x2, garis y=2x di kuadran I diputar 3600 terhadap sumbu X adalah ….

A. 15 20

π

Satuan volume D. 15 64

π

Satuan volume B. 15 30

π

Satuan volume E. 15 144

π

Satuan volume C. 15 54

π

Satuan volume Jawab: Titik potongnya: x2 = 2x

x2 - 2x = 0 x(x-2) = 0 x = 0 atau x =2

Volume =

π

∫

− 2 0 2 1 2 2 )

(y y dx

=

π

∫

− 2 0 2 2 2 ) ) ( ) 2

( x x dx =

π

∫

−

2 0 4 2 ) 4

( x x dx

=

π

( 3 5 5 1 3 4

x

x − )

2

=

π

( 3 25 5 1 2 3

4 ₋

)=

π

( 32 5 1 8 3

4 ₋

)=

π

(

5 32 3 32₋

)

=

π

15

96 160−

=

π

15 64

Jawabannya adalah D UN2011

6. Hasil 6 8 ...

A. B. C.

D. E.

Jawab:

6 8

3 8 |

= 4 2 3 4 2 8 4 2

= 64 8 3 16 4 8 2

= + 36 – 16 = =

Jawabannya adalah E

UN2011

7. Hasil ! sin 3 cos ...

A. B. C. D.

E.

Jawab:

Integral

sin 3 cos

! _{- cos 3x + sin x|!}

= - (cos 3π – cos 00 ) + (sin π – sin 00) = - (-1 – 1 ) + (0 – 0)

=

Jawabannya adalah D

UN2011

8. Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 – x2 , y = -x + 2, dan 0 ≤ x ≤ 2 adalah....

A. satuan luas C. satuan luas E. satuan luas

B. satuan luas D. satuan luas

Jawab:

y = 4 – x2 , y = -x + 2, dan 0 ≤ x ≤ 2 titik potong 4 – x2 = -x + 2 x2-x – 2 = 0 (x – 2 )(x +1) = 0 x = 2 atau x = -1

x = -1 untuk perhitungan tidak berlaku karena syarat 0 ≤ x ≤ 2 sehingga batas atas adalah 2 dan batas

bawah = 0

posisi atas adalah y = 4 – x2 dan bawah adalah y = -x + 2

maka Luasnya adalah = " 4 2 #

= 2

= 2x - + |

= 2. 2 - . 2 + . 2 = 4 - + 1

= = satuan luas

UN2011

9. Hasil dari $%& 2x sin 2x dx = ....

A. &'( 2 ) D. $%& 2 )

B. $%& 2 ) E. &'( 2 )

C. $%& 2 )

Jawab:

misal: u = cos 2x du = - 2 sin 2x dx

$%& 2x sin 2x dx = * dx = . *

= . * + C

= . $%& 2 + C

Jawabannya adalah B

UN2011

10. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis y = 2x di kuadran I diputar 3600 terhadap sumbu X adalah...

A. π _{satuan volume D.} π _{satuan volume}

B. π _{satuan volume E.} π _{satuan volume}

C. π _{satuan volume}

Jawab:

y1 = x 2

; y2 = 2x diputar terhadap sumbu x

titik potong y1 = y2

x2 = 2x x2 – 2x = 0 x(x -2) = 0 x = 0 atau x = 2

Volume benda putar diputar terhadap sumbu x :

V=

π

y dx b

a

∫

2

V=

π

∫

y −y dx 2

0

2 1 2

2 )

(

=

π

∫

x − x dx 2

0

2 2 2

) ( ) 2 ((

=

π

∫

x −x dx 2

0

4 2

) 4

(

=

π

( - ) |

=

π

( 2 - 2 ) =

π

( - ) =

π

( + )

=

π

satuan volume

UN2011

11.Hasil ,

√ ,. _+,

=....

A. 2 √3 + 9 − 1 + )

B. √3 + 9 − 1 + )

C. √3 + 9 − 1 + )

D. √3 + 9 − 1 + )

E. √3 + 9 − 1 + )

Jawab:

misal:

u = 3x2 + 9x – 1 du = (6x + 9) dx

du = 3 (2x+3) dx du =(2x+3) dx

,

√ ,. _+,

=

01

√1

=

*

2 . _du

= .

( 2_.) * 2 . _{+ C}

= .2 √* + C = √3 + 9 − 1 + )

Jawabannya adalah C

UN2012

12. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y= x2 - 4x + 3 dan y = 3 – x adalah ....

A. satuan luas D. satuan luas

B. +satuan luas E. satuan luas

C. + satuan luas

Jawab:

tanpa gambar :

kurva y= x2 - 4x + 3 ax2 – 4x + 3 a > 0 , kurva terbuka ke atas

sehingga garis y = 3 – x berada di atas.

Titik potong kurva dan garis yang merupakan batasnya: masukkan persamaan garis ke dalam kurva:

3 – x = x2 - 4x + 3 x2 - 4x + 3 + x – 3 = 0 x2 - 3x = 0

x (x – 3) = 0

x = 0 dan x = 3 batas atas dan bawah

L =

∫

− b

a

dx y

y )

( 2 2 dx

=

∫

− − − + 3

0

2

)) 3 4 ( 3

( x x x dx

=

∫

− − + − 3

0

2

) 3 4 3

( x x x dx

=

∫

− 3

0

2 ) 3

( x x dx = x2 - x3 | = 3 - 9

= 3 = + satuan luas

Jawabannya C

UN2012

13. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva y= x2 dan y = 4x -3 diputar 360° mengelilingi sumbu X adalah ....

Jawab:

Volume benda diputar terhadap sumbu x maka,

V=

π

y dx b

a

∫

2

y= x2 a > 0 , kurva terbuka ke atas garis y = 4x -3 berada di atas kurva

titik potong/batas:

subsitusikan persamaan y = 4x -3 ke dalam persamaan y= x2 :

4x -3 = x2 x2 – 4x + 3 =0 (x – 3) (x- 1) = 0

x = 3 dan x = 1 batas atas dan bawah

V=

π

y dx b

a

∫

2

=

π

∫

x− − x dx 3

1

2 2 2

) ) ( ) 3 4 ((

=

π

∫

_x − _x+ −_{x dx} 3

1

4 2

) ) 9 24 16

((

=

π

( x3 – 12x2 + 9x - x5) |

=

π

( (33 – 1) – 12(32 – 1) + 9(3-1) - (35-1) )

=

π

( . 26 – 12. 8 + 9. 2 - . 242 )

=

π

( – 96 + 18 - )

=

π

( – 78 - )

=

π

( 3 3 ) =

π

_{= 12}

π

Jawabannya E

UN2012

14. Nilai (2 sin 2 − 3 cos ) 2

. ! _{= ....}

A. -5 C. 0 E. 2 B. -1 D. 1

Jawab:

∫

sin(ax+b)dx = - a 1

cos (ax+b) + c

∫

cos(ax+b)dx = a 1

sin (ax+b) + c

(2 sin 2 − 3 cos ) 2

. ! _{= ( − 2. cos 2 − 3 sin )|} 5 .

= - (cos π – cos 0) – 3 (sin ! - sin0) = - (-1 – 1) – 3 (1 – 0)

= 2 – 3 = -1

Jawabannya B

UN20-12

15. Hasil dari ,

( ,. _{, 3)}6 =... A.

( ,. _{, 3)}7 + C C. _{( ,}. _{, 3)}7 + C E.

( ,. _{, 3)}6 + C B.

( ,. _{, 3)}7 + C D. _{( ,}. _{, 3)}7 + C

Jawab:

misal : u = 3 − 2 + 7 du = (6x – 2) dx

= 2 (3x – 1) dx (3x – 1) dx = du

,

( ,. _{, 3)}6 = 2 .

16 * = * 3 *

= . u- 6 + C

=

17 + C =

( ,. _{, 3)}7 + C

UN2012

16. Nilai dari 4 − + 5) = ....

A. B. C. D. E. 33

Jawab:

(4 − + 5) = x3 - x2 + 5x |

= (23 – 1 ) - (22 -1) + 5(2 – 1)

= . 7 - . 3 + 5. 1

= - + 5

= + = 33